Stability and convergence of the locally one-dimensional scheme A. A. Samarskii, approximating the multidimensional integro-differential equation of convection-diffusion with inhomogeneous boundary conditions of the first kind

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The first initial-boundary value problem for a multidimensional (in space variables) integro-differential equation of convection-diffusion is studied. For an approximate solution of the problem a locally one-dimensional scheme by A. A. Samarskii with order of approximation O(h2+τ) is proposed. The study of the uniqueness and stability of the solution is carried out using the method of energy inequalities. A priori estimates for the solution of a locally one-dimensional difference scheme are obtained, which imply the uniqueness of the solution, the continuous and uniform dependence of the solution on the input data, and the convergence of the solution of the scheme to the solution of the original differential problem at a rate equal to the order of approximation of the difference scheme. For a two-dimensional problem, a numerical solution algorithm is constructed, numerical calculations of test cases are carried out, illustrating the theoretical results obtained in the study.

About the authors

Zaryana V. Beshtokova

Institute of Applied Mathematics and Automation, Kabardino-Balkarian Scientific Center of RAS

Author for correspondence.
Email: zarabaeva@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-8020-4406
https://orcid.org/0000-0001-8020-4406

Junior Researcher, Dept. of Computational Methods

Russian Federation, 360000, Nalchik, Shortanov str., 89a

References

  1. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N. Chislennye metody resheniia zadach konvektsii-diffuzii [Numerical Methods for Solving Convection-Diffusion Problems]. Moscow, Editorial URSS, 2015, 246 pp. (In Russian). EDN: QJVBYN.
  2. Douglas J., Rachford H. H. On the numerical solution of heat conduction problems in two and three space variables, Trans. Amer. Math. Soc., 1956, vol. 82, no. 2, pp. 421–439. DOI: https://doi.org/10.2307/1993056.
  3. Peaceman D. W., Rachford H. H. The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations, J. Soc. Indust. Appl. Math., 1955, vol. 3, no. 1, pp. 28–41. DOI: https://doi.org/10.1137/0103003.
  4. Yanenko N. N. Metod drobnykh shagov resheniia mnogomernykh zadach matematicheskoi fiziki [The Method of Fractional Steps for Solving Multidimensional Problems in Mathematical Physics]. Nauka. Sibirsk. Otdel., Novosibirsk, 1967, 196 pp. (In Russian)
  5. Samarskii A. A. On an economical difference method for the solution of a multidimensional parabolic equation in an arbitrary region, USSR Comput. Math. Math. Phys., 1963, vol. 2, no. 5, pp. 894–926. EDN: XKSSEZ. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90504-4.
  6. Samarskii A. A. Local one dimensional difference schemes on non-uniform nets, USSR Comput. Math. Math. Phys., 1963, vol. 3, no. 3, pp. 572–619. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(63)90290-8.
  7. Marchuk G. I. Metody rasshchepleniia [Decomposition Methods]. Moscow, Nauka, 1988, 264 pp. (In Russian)
  8. D’yakonov E. G. Difference schemes with a splitting operator for nonstationary equations, Dokl. Sov. Math., 1962, vol. 3, no. 1, pp. 645–648.
  9. Fryazinov I. V. Difference approximation of the boundary conditions for the third boundary value problem, USSR Comput. Math. Math. Phys., 1964, vol. 4, no. 6, pp. 180–188. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(64)90090-4.
  10. Fryazinov I. V. Economic schemes for increasing the order of accuracy when solving multidimensional parabolic equations, USSR Comput. Math. Math. Phys., 1969, vol. 9, no. 6, pp. 104–117. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(69)90128-1.
  11. Fryazinov I. V. Economic schemes for the equation of heat conduction with a boundary condition of the third kind, USSR Comput. Math. Math. Phys., 1972, vol. 12, no. 3, pp. 53–70. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(72)90034-1.
  12. Nakhusheva F. M., Vodakhova V. A., Kudaeva F. Kh., Abaeva Z. V. Locally-onedimensional difference scheme for the fractional-order diffusion equation with lumped heat capacity, Modern Problems of Science and Education, 2015, no. 2, 763 (In Russian). EDN: UHXHYD.
  13. Beshtokova Z. V., Shkhanukov–Lafishev M. Kh. Locally one-dimensional difference scheme for the third boundary value problem for a parabolic equation of the general form with a nonlocal source, Differ. Equat., 2018, vol. 54, no. 7, pp. 870–880. EDN: VBIHHF. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266118070042.
  14. Beshtokova Z. V. Locally one-dimensional difference scheme for a nonlocal boundary value problem for a parabolic equation in a multidimensional domain, Differ. Equat., 2020, vol. 56, no. 3, pp. 354–368. EDN: GHNGTY. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266120030088.
  15. Beshtokova Z. V. Numerical method for solving an initial-boundary value problem for a multidimensional loaded parabolic equation of a general form with conditions of the third kind, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 1, pp. 7–35 (In Russian). EDN: BIBCLS. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1908.
  16. Samarskii A. A. Teoriia raznostnykh skhem [Theory of Difference Schemes]. Moscow, Nauka, 1983, 616 pp. (In Russian)
  17. Samarskii A. A., Gulin A. B. Ustoichivost’ raznostnykh skhem [Stability of Difference Schemes]. Moscow, Nauka, 1973, 415 pp. (In Russian)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2023 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».