Inhomogeneous Couette flows for a two-layer fluid

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

The paper presents a new exact solution to the Navier–Stokes equations which describes a steady shearing isothermal flow of an incompressible two-layer fluid stratified in terms of density and/or viscosity, the vertical velocity of the fluid being zero. This exact solution belongs to the class of functions linear in terms of spatial coordinates, and it is an extension of the classical Couette flow in an extended horizontal layer to the case of non-one-dimensional non-uniform flows. The solution constructed for each layer is studied for the ability to describe the appearance of stagnation points in the velocity field and the generation of counterflows. It has been found that the flow of a two-layer fluid is stratified into two zones where the fluid flows in counter directions. It is also shown that the tangential stress tensor components can change their sign.

About the authors

Natalya V. Burmasheva

Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences; Ural Federal University named after the First President of Russia B. N. Yeltsin

Author for correspondence.
Email: nat_burm@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-4711-1894
SPIN-code: 7927-5530
Scopus Author ID: 57193346922
ResearcherId: E-3908-2016
http://www.mathnet.ru/person52636

Senior Researcher, Sect. of Nonlinear Vortex Hydrodynamics; Cand. Tech. Sci., Associate Professor, Dept. of Information Technology and Automation

Russian Federation, 620049, Ekaterinburg, Komsomolskaya st., 34; 620002, Ekaterinburg, Mira st., 19

Ekaterina A. Larina

Ural Federal University named after the first President of Russia B. N. Yeltsin; Institute of Engineering Science, Ural Branch of RAS

Email: larinakatia@yandex.ru
ORCID iD: 0009-0000-7883-0803

Assistant, Dept. of Information Technology and Automation; Engineer, Sect. of Nonlinear Vortex Hydrodynamics

Russian Federation, 620002, Ekaterinburg, Mira st., 19; 620049, Ekaterinburg, Komsomolskaya st., 34

Evgeniy Yu. Prosviryakov

Institute of Engineering Science, Urals Branch, Russian Academy of Sciences; Ural Federal University named after the First President of Russia B. N. Yeltsin; Udmurt Federal Research Center, Ural Branch of RAS

Email: evgen_pros@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2349-7801
SPIN-code: 3880-5690
Scopus Author ID: 57189461740
ResearcherId: E-6254-2016
http://www.mathnet.ru/person41426

Head of Sector, Sect. of Nonlinear Vortex Hydrodynamics; Dr. Phys. & Math. Sci., Professor, Dept. of Information Technology and Automation; Leading Researcher, Lab. of Physical and Chemical Mechanics

Russian Federation, 620049, Ekaterinburg, Komsomolskaya st., 34; 620002, Ekaterinburg, Mira st., 19; 426067, Izhevsk, T. Baramzina st., 34

References

  1. Couette M. Études sur le frottement des liquids, Ann. de Chim. et Phys. (6), 1890, vol. 21, pp. 433–510 (In French).
  2. Drazin P., Riley N. The Navier–Stokes equations: A classification of flows and exact solutions, London Mathematical Society Lecture Note Serie, vol. 334. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 2006, x+196 pp. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511526459.
  3. Aristov S. N., Knyazev D. V., Polyanin A. D. Exact solutions of the Navier–Stokes equations with the linear dependence of velocity components on two space variables, Theor. Found. Chem. Eng., 2009, vol. 43, no. 5, pp. 642–662. EDN: LPGJRJ. DOI: https://doi.org/10.1134/S0040579509050066.
  4. Taylor G. I. Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders, J. Phil. Trans. Royal Society A, 1923, vol. 102, no. 718, pp. 541–542. DOI: https://doi.org/10.1098/rsta.1923.0013.
  5. Shlikhting G. Teoriia pogranichnogo sloia [Boundary-Layer Theory]. Moscow, Nauka, 1974, 712 pp. (In Russian)
  6. Ilin K. I., Morgulis A. B. Critical curves for the Couette–Taylor throughflow, Izv. Vuzov. Severo-Kavkazskii Reg. Natural Sci., 2019, vol. 1, pp. 10–16 (In Russian). EDN: ZBZEWT.
  7. Devisilov V. A., Sharay E. Yu. Hydrodynamic filtration, Safety in Technosphere, 2015, vol. 4, no. 3, pp. 68–80 (In Russian). EDN: TZKMCL. DOI: https://doi.org/10.12737/11885.
  8. Lebiga V. A., Zinoviev V. N., Pak A. Yu., Zharov I. R. The circular gap Couette flow modeling, Vestn. Novosib. Gos. Univ. Ser. Fizika, 2016, vol. 11, no. 4, pp. 52–60 (In Russian). EDN: XRUKWH.
  9. Astaf’ev N. M. Structures formed in a rotating spherical layer under the influence of conditions simulating global heat fluxes in the atmosphere, Sovr. Probl. DZZ Kosm., 2006, vol. 3, no. 1, pp. 245–256 (In Russian). EDN: NDPOWR.
  10. Belyaev Yu. N., Monakhov A. A., Yavorskaya I. M. Stability of spherical Couette flow in thick layers when the inner sphere revolves, Fluid. Dyn., 1978, vol. 13, no. 2, pp. 162–168. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01091664.
  11. Puhnachev V. V., Puhnacheva T. P. The Couette problem for a Kelvin–Voigt medium, J. Math. Sci., 2012, vol. 186, no. 3, pp. 495–510. EDN: RGHYXH. DOI: https://doi.org/10.1007/s10958-012-1003-0.
  12. Skul’skiy O. I., Aristov S. N. Mekhanika anomal’no viazkikh zhidkostei [Mechanics of Abnormally Viscous Fluids]. Moscow, Izhevsk, R&C Dynamics, 2003, 156 pp. (In Russian). EDN: OWGAFL.
  13. Prosviryakov E. Yu. Exact solutions for three-dimensional potential and vorticity Couette flows of an incompressible viscous fluid, Vestnik natsional’nogo issledovatel’skogo yadernogo universiteta "MIFI", 2015, vol. 4, no. 6, pp. 501–506. EDN: VLRBSB. DOI: https://doi.org/10.1134/S2304487X15060127.
  14. Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu. On laminar flows of planar free convection, Nelin. Dinam., 2013, vol. 9, no. 4, pp. 651–657 (In Russian). EDN: SAHAZJ.
  15. Aristov S. N., Prosviryakov E. Yu. Inhomogeneous Couette flow, Nelin. Dinam., 2014, vol. 10, no. 2, pp. 177–182 (In Russian). EDN: SHVJGX.
  16. Zubarev N. M., Prosviryakov E. Yu. Exact solutions for layered three-dimensional nonstationary isobaric flows of a viscous incompressible fluid, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2019, vol. 60, no. 6, pp. 1031–1037. EDN: VKJMMQ. DOI: https://doi.org/10.1134/S0021894419060075.
  17. Berker R. Sur quelques cas d’intégration des équations du mouvement d’un fluide visqueux incompressible. Paris-Lille, Imprimerie A. Taffin-Lefort, 1936, 161 pp. (In French)
  18. Shmyglevskii Yu. D. On isobaric planar flows of a viscous incompressible liquid, USSR Comput. Math. Math. Phys., 1985, vol. 25, no. 6, pp. 191–193. DOI: https://doi.org/10.1016/0041-5553(85)90030-8.
  19. Lin C. C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics, Arch. Rational Mech. Anal., 1957, vol. 1, no. 1, pp. 391–395. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00298016.
  20. Sidorov A. F. Two classes of solutions of the fluid and gas mechanics equations and their connection to traveling wave theory, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 1989, vol. 30, no. 2, pp. 197–203. EDN: LZHPWE. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00852164.
  21. Aristov S. N. Eddy Currents in Thin Liquid Layers, Dr. Sci. [Phys.-Math.] Dissertation. Vladivostok, 1990, 303 pp. (In Russian)
  22. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Exact solutions to the Navier–Stokes equations describing stratified fluid flows, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2021, vol. 25, no. 3, pp. 491–507. EDN: JKXFDQ. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1860.
  23. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. A large-scale layered stationary convection of a incompressible viscous fluid under the action of shear stresses at the upper boundary. Temperature and presure field investigation, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2017, vol. 21, no. 4, pp. 736–751 (In Russian). EDN: YUGZXQ. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1568.
  24. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Studying the stratification of hydrodynamic fields for laminar flows of vertically swirling fluids, Diagnostics, Resource and Mechanics of Materials and Structures, 2020, no. 4, pp. 62–78. DOI: https://doi.org/10.17804/2410-9908. 2020.4.062-078.
  25. Landau L. D., Lifshitz E. M. Fluid Mechanics, Course of Theoretical Physics, vol. 6. Oxford, Pergamon Press, 1963, xii+536 pp.
  26. Kochin N. K., Kibel I. A., Roze N. V. Theoretical Hydromechanics. New York, John Wiley and Sons, 1964, v+577 pp.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Figure 1. The scheme of a two-layer fluid

Download (41KB)
Indexing metadata
3. Figure 2. The \(U\)-velocity profiles (the dashed line \(U^{(1)}\) for the lower layer and the solid line \(U^{(2)}\) for the upper layer) for \(W=10\) m/s, \(\varphi=\pi/12\), \(h_1=0.4\) m, \(h_2=0.6\) m, \(\Omega1.4584\cdot10^{-5}\) rad/s, \(\rho_1=1100\) kg/m\(^3\), \(\rho_2=1057.6\) kg/m\(^3\), \(\eta_1=1.7\cdot10^{-5}\) Pa\(\cdot\)s, \(\eta_2=1.2\cdot10^{-5}\) Pa\(\cdot\)s

Download (32KB)
Indexing metadata
4. Figure 3. The \(U\)-velocity profiles (the dashed line \(U^{(1)}\) for the lower layer and the solid line \(U^{(2)}\) for the upper layer) for \(W=10\) m/s, \(\varphi=\pi/12\), \(h_1=0.6\) m, \(h_2=0.4\) m, \(\Omega1.4584\cdot10^{-5}\) rad/s, \(\rho_1=1100\) kg/m\(^3\), \(\rho_2=733.1\) kg/m\(^3\), \(\eta_1=1.7\cdot10^{-5}\) Pa\(\cdot\)s, \(\eta_2=1.2\cdot10^{-5}\) Pa\(\cdot\)s

Download (32KB)
Indexing metadata
5. Figure 4. The profile of the stress \(\tau_{xz}\) (the dashed line \(\tau_{xz}^{(1)}\) for the lower layer and the solid line \(\tau_{xz}^{(2)}\) for the upper layer) for \(W=10\) m/s, \(\varphi=\pi/12\), \(h_1=0.4\) m, \(h_2=0.6\) m, \(\Omega1.4584\cdot10^{-5}\) rad/s, \(\rho_1=1100\) kg/m\(^3\), \(\rho_2=1057.6\) kg/m\(^3\), \(\eta_1=1.7\cdot10^{-5}\) Pa\(\cdot\)s, \(\eta_2=1.2\cdot10^{-5}\) Pa\(\cdot\)s

Download (40KB)
Indexing metadata
6. Figure 5. The profile of the stress \(\tau_{xz}\) (the dashed line \(\tau_{xz}^{(1)}\) for the lower layer and the solid line \(\tau_{xz}^{(2)}\) for the upper layer) for \(W=10\) m/s, \(\varphi=\pi/12\), \(h_1=0.6\) m, \(h_2=0.4\) m, \(\Omega1.4584\cdot10^{-5}\) rad/s, \(\rho_1=900\) kg/m\(^3\), \(\rho_2=733.1\) kg/m\(^3\), \(\eta_1=1.7\cdot10^{-5}\) Pa\(\cdot\)s, \(\eta_2=1.2\cdot10^{-5}\) Pa\(\cdot\)s

Download (39KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2023 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».