К расчету приближенных симметрий дробно-дифференциальных уравнений

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Предлагается новый алгоритм нахождения приближенных симметрий для дробно дифференциальных уравнений с производными типа Римана–Лиувилля и Герасимова–Капуто, порядок которых близок к целому. Алгоритм основан на разложении дробной производной в ряд по малому параметру, выделяемому из порядка дробного дифференцирования. В линейном приближении такое разложение содержит нелокальный интегро-дифференциальный оператор с логарифмическим ядром.
В результате исходное дробно-дифференциальное уравнение приближается интегро-дифференциальным уравнением с малым параметром, для которого могут быть найдены приближенные симметрии. Доказывается теорема о виде продолжения однопараметрической группы точечных преобразований на новую переменную, порождаемую нелокальным оператором, входящим в разложение дробной производной. Знание такого продолжения позволяет применить к рассматриваемому уравнению приближенный критерий инвариантности.
Предлагаемый алгоритм иллюстрируется на задаче нахождения приближенных симметрий для нелинейного дробно-дифференциального уравнения фильтрации субдиффузионного типа. Показано, что размерность алгебры приближенных симметрий такого уравнения оказывается существенно больше размерности алгебры точных симметрий, что открывает возможность построения большого числа приближенно инвариантных решений. Также на примере линейного дробно-дифференциального уравнения субдиффузии показывается, что алгоритм дает принципиальную возможность находить нелокальные приближенные симметрии определенного вида.

Об авторах

Вероника Олеговна Лукащук

Уфимский университет науки и технологий

Email: voluks@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-3082-1446
https://www.mathnet.ru/person51946

кандидат физико-математических наук; доцент; каф. высокопроизводительных вычислительных технологий и систем

Россия, 450076, Уфа, ул. Заки Валиди, 32

Станислав Юрьевич Лукащук

Уфимский университет науки и технологий

Автор, ответственный за переписку.
Email: lsu@ugatu.su
ORCID iD: 0000-0001-9209-5155
https://www.mathnet.ru/person44044

доктор физико-математических наук, доцент; профессор; каф. высокопроизводительных вычислительных технологий и систем

Россия, 450076, Уфа, ул. Заки Валиди, 32

Список литературы

  1. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 400 с.
  2. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. 280 с.
  3. Grigoriev Yu. N., Ibragimov N. H., Kovalev V. F., Meleshko S. V. Symmetries of Integro-Differential Equations. With Applications in Mechanics and Plasma Physics / Lecture Notes in Physics. vol. 806. Dordrecht: Springer, 2010. xiii+305 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-90-481-3797-8.
  4. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  5. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations / North-Holland Mathematics Studies. vol. 204. Amsterdam: Elsevier, 2006. xv+523 pp. DOI: https://doi.org/10.1016/s0304-0208(06)x8001-5.
  6. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008. 512 с.
  7. Gazizov R. K., Kasatkin A. A., Lukashchuk S. Yu. Symmetries and group invariant solutions of fractional ordinary differential equations / Handbook of Fractional Calculus with Applications. vol. 2, Fractional Differential Equations; eds. A. Kochubei, Yu. Luchko. Berlin: De Gruyter, 2019. pp. 65–90. DOI: https://doi.org/10.1515/9783110571660-004.
  8. Lukashchuk S. Yu. On the property of linear autonomy for symmetries of fractional differential equations and systems // Mathematics, 2022. vol. 10, no. 13, 2319. EDN: WBYZVC. DOI: https://doi.org/10.3390/math10132319.
  9. Hashemi M. S., Baleanu D. Lie Symmetry Analysis of Fractional Differential Equation. Boca Raton: CRC Press, 2020. xiii+208 pp. DOI: https://doi.org/10.1201/9781003008552.
  10. Gazizov R. K., Lukashchuk S. Yu. Approximations of fractional differential equations and approximate symmetries // IFAC-PapersOnLine, 2017. vol. 50, no. 1. pp. 14022–14027. EDN: XYGJKP. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2017.08.2426.
  11. Gazizov R. K., Lukashchuk S. Yu. Higher-order symmetries of a time-fractional anomalous diffusion equation // Mathematics, 2021. vol. 9, no. 3, 216. EDN: VEHQHB. DOI: https://doi.org/10.3390/math9030216.
  12. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Приближенные симметрии // Матем. сб., 1988. Т. 136(178), №4(8). С. 435–450.
  13. Байков В. А., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Методы возмущений в групповом анализе / Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж., Т. 34. М.: ВИНИТИ, 1989. С. 85–147.
  14. Ibragimov N. H. Transformation groups and Lie algebras. Hackensack: World Scientific, 2013. x+185 pp. DOI: https://doi.org/10.1142/8763.
  15. Лукащук С. Ю. Групповая классификация одного нелинейного приближенного уравнения субдиффузии // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016. Т. 20, №4. С. 603–619. EDN: YHPUVH. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1520.
  16. Лукащук В. О., Гаврюшина Л. О. Приближенные симметрии и законы сохранения дробно-дифференциального обобщения уравнения Бюргерса // Математика и математическое моделирование, 2019. №5. С. 1–14. EDN: LCDIJL. DOI: https://doi.org/10.24108/mathm.0519.0000197.
  17. Lashkarian E., Motamednezhad A., Hejazi S. R. Invariance properties and conservation laws of perturbed fractional wave equation // Eur. Phys. J. Plus, 2021. vol. 136, 615. DOI: https://doi.org/10.1140/epjp/s13360-021-01595-6.
  18. Lashkarian E., Motamednezhad A., Hejazi S. R. Group analysis, invariance results, exact solutions and conservation laws of the perturbed fractional Boussinesq equation // Int. J. Geom. Methods Mod. Phys., 2023. vol. 20, no. 1, 2350013. DOI: https://doi.org/10.1142/S0219887823500135.
  19. Nadjafikhah M., Mirala M., Chaichi M. Approximate symmetries and conservation laws of forced fractional oscillator // Int. J. Nonlinear Anal. Appl., 2023. vol. 14, no. 2. pp. 195–205. DOI: https://doi.org/10.22075/ijnaa.2022.25979.3178.
  20. Tarasov V. E., Zaslavsky G. M. Dynamics with low-level fractionality // Physica A, 2006. vol. 368, no. 2. pp. 399–415. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physa.2005.12.015.
  21. Tofighi A., Golestani A. A perturbative study of fractional relaxation phenomena // Physica A, 2008. vol. 387, no. 8–9. pp. 1807–1817. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physa.2007.11.046.
  22. Tofighi A. An especial fractional oscillator // Int. J. Stat. Mech., 2013. vol. 2013, 175273. DOI: https://doi.org/10.1155/2013/175273.
  23. Виноградов А. М., Красильщик И. С. Один метод вычисления высших симметрий нелинейных эволюционных уравнений и нелокальные симметрии // Докл. АН СССР, 1980. Т. 253, №6. С. 1289–1293.
  24. Bluman G. W., Reid G. J., Kumei S. New classes of symmetries of partial differential equations // J. Math. Phys., 1988. vol. 29, no. 4. pp. 806–811. DOI: https://doi.org/10.1063/1.527974.
  25. Leach P.G.L., Andriopoulos K. Nonlocal symmetries past, present and future // Appl. Anal. Discrete Math., 2007. vol. 1, no. 1. pp. 150–171.
  26. Ахатов И. Ш., Газизов Р. К., Ибрагимов Н. Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход / Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Нов. достиж., Т. 34. М.: ВИНИТИ, 1989. С. 3–83.
  27. Bluman G. W., Cheviakov A. F., Anco S. C. Applications of Symmetry Methods to Partial Differential Equations / Applied Mathematical Sciences. New York: Springer, 2010. xix+398 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-0-387-68028-6.
  28. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики / ред. А. М. Виноградов, И. С. Красильщик. М.: Факториал, 1997. 464 с.
  29. Газизов Р. К., Касаткин А. А., Лукащук С. Ю. Уравнения с производными дробного порядка: замены переменных и нелокальные симметрии // Уфимск. матем. журн., 2012. Т. 4, №4. С. 54–68. EDN: OILYOP.
  30. Ludu A. Nonlocal symmetries for time-dependent order differential equations // Symmetry, 2018. vol. 10, no. 12, 771. DOI: https://doi.org/10.3390/sym10120771.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет), 2024

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».