Гравитационное поле однородного куба. Классический и релятивистский случай

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Вопрос исследования гравитационного поля тел сложной формы (не относящийся к шарообразной) представляет большой интерес для геофизики, астрофизики, математической физики и других областей. Статья состоит из двух частей. В первой части представлен краткий литературный обзор различных методов расчета потенциала гравитационного поля однородного куба в рамках классической механики: получение аналитического решения; как частный случай задачи нахождения гравитационного поля полиэдра; методом конечных элементов; методом мультипольного разложения. Более подробно проанализирован метод расчета потенциала гравитационного поля однородного куба с помощью аналитического решения и мультипольного разложения. Во второй части статьи описан релятивистский случай гравитационного поля однородного куба в рамках постньютоновского формализма в первом и втором приближении. Данный метод расчета выбран по причине чрезвычайной сложности получение решения с помощью уравнений Эйнштейна. Ранее подобные задачи для тел с формой куба не рассматривались. Для решения задачи выбрана физическая модель — координатный равновесный куб, заполненный несжимаемой жидкостью с нулевой скоростью и постоянной плотностью. Получены релятивистские поправки для временной и пространственной координаты. Получен точный аналитический вид этих поправок для области вне куба, а также компоненты метрического тензора. Дано краткое сравнение полученных результатов для релятивистского случая с результатами классического ньютоновского случая. Для области внутри куба решение получено с помощью численных методов. Полученные результаты с достаточной точностью определяют параметры гравитационного поля для однородного куба, рассмотренного в рамках релятивистского подхода. Основное приложение этой задачи в рамках релятивистской физики относится к области математической физики (или, шире, математики).

Об авторах

Валерий Николаевич Макаров

Оренбургский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: makarsvet13@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-5749-1427
https://www.mathnet.ru/person190858

кандидат физико-математических наук; доцент; каф. физики и методики преподавания физики

Россия, 460018, Оренбург, просп. Победы, 13

Леонид Александрович Шлейгер

Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН

Email: lslejger@gmail.com
ORCID iD: 0009-0007-9648-3172
https://www.mathnet.ru/person191490

младший научный сотрудник; сектор теоретической астрофизики

Россия, 194021, Санкт-Петербург, ул. Политехническая, 26

Александр Александрович Карасев

Институт промышленной экологии УрО РАН; Уральский федеральный университет им. первого Президента России Б.Н. Ельцина

Email: KarasevAL@ecko.uran.ru
ORCID iD: 0000-0001-7394-7375
https://www.mathnet.ru/person130772

младший научный сотрудник; лаб. эколого-климатических проблем Арктики; ассистент; каф. прикладной математики и механики

Россия, 620108, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 20; 620075, Екатеринбург, просп. Ленина, 51

Список литературы

  1. Haug E. G., Spavieri G. New exact solution to Einsteins field equation gives a new cosmological model, 2023. hal: hal-04286328. DOI: https://doi.org/10.13140/RG.2.2.36524.44161.
  2. Stephani H., Kramer D., MacCallum M., et al. Exact solutions of Einstein’s field equations / Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2009. xxix+701 pp. DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511535185.
  3. Watanabe S., Hirabayashi M., Hirata N., et al. Hayabusa2 arrives at the carbonaceous asteroid 162173 Ryugu — A spinning top-shaped rubble pile // Science, 2019. vol. 364, no. 6437. pp. 268–272. DOI: https://doi.org/10.1126/science.aav8032.
  4. Domokos G., Sipos A. Á., Szabó Gy. M., Várkonyi P. L. Formation of sharp edges and planar areas of asteroids by polyhedral abrasion // Astrophys. J., 2009. vol. 699, no. 1, L13. DOI: https://doi.org/10.1088/0004-637X/699/1/L13.
  5. Gibney E. Freefall space cubes are test for gravitational wave spotter // Nature, 2015. vol. 527, no. 7578. pp. 284–285. DOI: https://doi.org/10.1038/527284a.
  6. Liu X., Baoyin H., Ma X. Equilibria, periodic orbits around equilibria, and heteroclinic connections in the gravity field of a rotating homogeneous cube // Astrophys. Space Sci., 2011. vol. 2, no. 333. pp. 409–418. DOI: https://doi.org/10.1007/s10509-011-0669-y.
  7. Liu X., Baoyin H., Ma X. Periodic orbits in the gravity field of a fixed homogeneous cube // Astrophys. Space Sci., 2011. vol. 2, no. 334. pp. 357–364. DOI: https://doi.org/10.1007/s10509-011-0732-8.
  8. Park R. S., Werner R. A., Bhaskaran S. Estimating small-body gravity field from shape model and navigation data // J. Guid. Control Dyn., 2010. vol. 33, no. 1. pp. 212–221. DOI: https://doi.org/10.2514/1.41585.
  9. Mufti I. R. Iterative gravity modeling by using cubical blocks // Geophys. Prospect., 1975. vol. 23, no. 1. pp. 163–198. DOI: https://doi.org/10.1111/j.1365-2478.1975.tb00688.x.
  10. Fukushima T. Mosaic tile model to compute gravitational field for infinitely thin nonaxisymmetric objects and its application to preliminary analysis of gravitational field of M74 // Mon. Not. R. Astron. Soc., 2016. vol. 459, no. 4. pp. 3825–3860. DOI: https://doi.org/10.1093/mnras/stw924.
  11. Sanny J., Smith D. How spherical is a cube (Gravitationally)? // Phys. Teacher, 2015. vol. 53, no. 2. pp. 111–113. DOI: https://doi.org/10.1119/1.4905815.
  12. Lira J. A. If the Earth were a cube, what would be the value of the acceleration of gravity at the center of each face? // Phys. Educ., 2018. vol. 53, no. 6, 065013. DOI: https://doi.org/10.1088/1361-6552/aadb25.
  13. Chappell J. M., Chappell M. J., Iqbal A., Abbott D. The gravity field of a cube // Physics International, 2013. vol. 3, no. 2. pp. 50–57. DOI: https://doi.org/10.3844/pisp.2012.50.57.
  14. Seidov Z. F., Skvirsky P. I. Gravitational potential and energy of homogeneous rectangular parallelepiped, 2000, arXiv: astro-ph/0002496. DOI: https://doi.org/10.48550/arXiv.astro-ph/0002496.
  15. Bessel F. W. Auszug aus einem Schreiben des Herrn Prof. Bessel an den Herausgeber // Astron. Nachr., 1823. vol. 2, no. 32. pp. 133–136 (In German).
  16. Monatliche Correspondenz zur Beförderung der Erd- und Himmelskunde / hrsg. vom Freyherrn von Zach, Band 24, November 1811. Gotha: Becker, 1811. pp. 425–522 (In German). https://zs.thulb.uni-jena.de/receive/jportal_jpvolume_00203228.
  17. Everest G. An Account of the Measurement of an Arc of the Meridian Between the Parallels of 18° 3’ and 24° 7’: Being a Continuation of the Grand Meridional Arc of India as Detailed by the Late Lieut.–Col. Lambton in the Volumes of the Asiatic Society of Calcutta. London: J.L. Cox, 1830. xii+337 pp. https://catalog.hathitrust.org/Record/012336511.
  18. Haáz I. B. Relations between the potential of the attraction of the mass contained in a finite rectangular prism and its first and second derivatives // Geofizikai Közlemények, 1953. vol. 2, no. 7. pp. 57–66 (In Hungarian). http://epa.niif.hu/02900/02941/00002/pdf/EPA02941_geofizikai_kozlemenyek_1953_02_057-066.pdf.
  19. Mader K. Das Newtonsche Raumpotential prismatischer Körper u. seine Ableitungen bis zur dritten Ordnung: Sonderheft 11 der Österreichischen Zeitschrift für Vermessungswesen. Wien: Österr. Verein f. Vermessungswesen, 1951. 74 pp. (In German). https://www.ovg.at/static/vgi-sonderhefte/sonderheft1951_11_final_OCR.pdf.
  20. Nagy D. The gravitational attraction of a right rectangular prism // Geophys., 1966. vol. 31, no. 2. pp. 362–371. DOI: https://doi.org/10.1190/1.1439779.
  21. Botezatu R., Visarion M., Scurtu F., Cucu G. Approximation of the gravitational attraction of geological bodies // Geophys. Prospect., 1971. vol. 19, no. 2. pp. 218–227. DOI: https://doi.org/10.1111/j.1365-2478.1971.tb00594.x.
  22. Mufti I. R. Rapid determination of cube’s gravity field // Geophys. Prospect., 1973. vol. 21, no. 4. pp. 724–735. DOI: https://doi.org/10.1111/j.1365-2478.1973.tb00054.x.
  23. Banerjee B., Das Gupta S. P. Gravitational attraction of a rectangular parallelepiped // Geophys., 1977. vol. 42, no. 5. pp. 1053–1055. DOI: https://doi.org/10.1190/1.1440766.
  24. Waldvogel J. The Newtonian potential of a homogeneous cube // ZAMP, 1976. vol. 27, no. 6. pp. 867–871. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01595137.
  25. Conway J. T. Analytical solution from vector potentials for the gravitational field of a general polyhedron // Celest. Mech. Dyn. Astron., 2015. vol. 121. pp. 17–38. DOI: https://doi.org/10.1007/s10569-014-9588-x.
  26. Barnett C. T. Theoretical modeling of the magnetic and gravitational fields of an arbitrarily shaped three-dimensional body // Geophys., 1976. vol. 41, no. 6. pp. 1353–1364. DOI: https://doi.org/10.1190/1.1440685.
  27. Jessop C., Duncan M., Chau W. Y. Multigrid methods for n-body gravitational systems // J. Comput. Phys., 1994. vol. 115, no. 2. pp. 339–351. DOI: https://doi.org/10.1006/jcph.1994.1200.
  28. MacMillan W. D. Theoretical Mechanics. II: The Theory of Potential. New York, London: McGraw-Hill, 1930. xiii+469 pp.
  29. Fock V. A. The Theory of Space, Time and Gravitation. New York: Pergamon Press, 1963. 411 pp.
  30. O’Leary J., Barriot J. P. Reconstructing the cruise-phase trajectory of deep-space probes in a general relativistic framework: An application to the Cassini gravitational wave experiment // Astrodyn., 2023. vol. 7, no. 3. pp. 301–314. DOI: https://doi.org/10.1007/s42064-023-0160-x.
  31. Денисов В. И., Умнов А. Н. Параметризованный постньютоновский формализм для неметрических теорий гравитации // ТМФ, 1993. Т. 96, №1. С. 79–95.
  32. Zhu Y. Equations and Analytical Tools in Mathematical Physics. A Concise Introduction. Singapore: Springer, 2021. xii+252 pp. DOI: https://doi.org/10.1007/978-981-16-5441-1.
  33. Багапш А. О. Интеграл Пуассона и функция Грина для одной сильно эллиптической системы уравнений в круге и эллипсе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 2016. Т. 56, №12. С. 2065–2072. DOI: https://doi.org/10.7868/S0044466916120048.
  34. Кондратьев Б. П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями. М.: Мир, 2007. 512 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. Визуализация эквипотенциальных поверхностей, полученная с помощью формулы (6)

Скачать (85KB)
Метаданные
3. Рис. 2. Визуализация эквипотенциальных поверхностей, полученная с помощью формулы (7)

Скачать (109KB)
Метаданные
4. Рис. 3. Потенциалы гравитационного поля однородного куба от координаты $x$, полученные с помощью формул (6), (7) и (2), причем $G=c=\rho=1$; вертикальные линии представляют собой границы куба: $a=0.5$

Скачать (139KB)
Метаданные
5. Рис. 4. Результат расчета релятивистских поправок $V(x,y)$ и $V(x,y,z)$ в системе Wolfram Mathematica 13.0 с использованием численных методов ($c=G=\rho=1$)

Скачать (323KB)
Метаданные
6. Рис. 5. Результат расчета релятивистских поправок $S(x,y)$ и $S(x,y,z)$ в системе Wolfram Mathematica 13.0 с использованием численных методов ($c=G=\rho=1$)

Скачать (322KB)
Метаданные
7. Рис. 6. Сравнение параметров гравитационного поля во внешнем пространстве без релятивистских поправок и с их наличием от координаты $x$, причем $c=G=\rho=1$; вертикальные линии представляют собой границы куба: $a=1$

Скачать (84KB)
Метаданные

© Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет), 2024

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».