Optimization of the error in exponential-trigonometric interpolation formula

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In engineering geodesy, point clouds obtained through area measurement methods, such as terrestrial laser scanning or photogrammetry, need to be approximated by a curve or surface that can be described by using a continuous mathematical function, often employing splines and optimal interpolation formulas.
This work is devoted to the construction of an optimal interpolation formula that is exact for exponential-trigonometric functions in a Hilbert space. The optimal interpolation formula is obtained by minimizing the norm of the error functional with respect to the coefficients. The article proves the existence and uniqueness of the optimal interpolation formula and provides explicit analytical expressions for the optimal coefficients of the interpolation formula. Using the constructed optimal interpolation formula, specific functions were interpolated, and a comparison was made with known results from other authors.

About the authors

Kholmat M. Shadimetov

Tashkent State Transport University; V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics
of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan

Email: kholmatshadimetov@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-4183-6184
https://www.mathnet.ru/person51749

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Department; Dept. of Computer Science and Graphics; Leading Research Scientist; Lab. of Computational Mathematics

Uzbekistan, 100167, Tashkent, Temiryulchilar st., 1; 100174, Tashkent, University st., 9

Aziz K. Boltaev

V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan; International Nordic University

Author for correspondence.
Email: aziz_boltayev@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-8329-4440
https://www.mathnet.ru/person178798

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Senior Research Scientist; Lab. of Computational Mathematics; Associate Professor; Dept. of Economics and Business Management

Uzbekistan, 100174, Tashkent, University st., 9; 100043, Tashkent, Bunyodkor st., 8/2

References

  1. Ahlberg J. H., Nilson E. N., Walsh J. L. The Theory of Splines and Their Applications, Mathematics in Science and Engineering, vol. 38. New York, Academic Press, 1967, xi+284 pp. DOI: https://doi.org/10.1016/s0076-5392(08)x6115-6.
  2. Stechkin S. B., Subbotin Yu. N. Splainy v vychislitel’noi matematike [Splines in Numerical Mathematics]. Moscow, Nauka, 1976, 248 pp. (In Russian)
  3. Zav’yalov Yu. S., Kvasov B. I., Miroshnichenko V. L. Metody splain-funktsii [Methods of Spline Functions]. Moscow, Nauka, 1980, 352 pp. (In Russian)
  4. Nürnberger G. Approximation by Spline Functions. Berlin, Springer-Verlag, 1989, xi+243 pp.
  5. Ignatev M. I., Pevniy A. B. Natural’nye splainy mnogikh peremennykh [Natural Splines of Many Variables]. Leningrad, Nauka, 1991, 127 pp. (In Russian)
  6. Samarsky A. A. Vvedenie v chislennye metody [An Introduction to Numerical Methods]. Moscow, Nauka, 1987, 288 pp. (In Russian)
  7. Burden A. M., Faires J. D., Burden R. L. Numerical Analysis. Boston, MA, Cengage Learning, 2016, xvi+896 pp.
  8. Duchon J. Splines minimizing rotation-invariant semi-norms in Sobolev spaces, In: Constructive Theory of Functions of Several Variables, Lecture Notes in Mathematics, 571, 1977, pp. 85-100. DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0086566.
  9. Bojanov B. D., Hakopian H. A., Sahakian A. A. Spline Functions and Multivariate Interpolations, Mathematics and its Applications. Dordrecht, Kluwer Academic Publ., 1993, ix+276 pp.
  10. Bezhaev A. Yu., Vasilenko V. A. Variational Theory of Splines. Dordrecht, Kluwer Academic Publ., 2001, xvii+280 pp.
  11. Cheney E. W., Kincaid D. Numerical Mathematics and Computing. USA, Brooks Cole, 2013, 700 pp.
  12. Schoenberg I. J. Cardinal Spline Interpolation, CBMS-NSF Reg. Conf. Ser. Appl. Math. vol. 12. Philadelphia, Pa., SIAM, 1973, vi+125 pp.
  13. Sobolev S. L., Vaskevich V. L. The Theory of Cubature Formulas, Mathematics and Its Applications, vol. 415. Dordrecht, Kluwer Academic Publ., 1997, xxi+416 pp.
  14. Laurent P.-J. Approximation et Optimisation, Enseignement des Sciences, vol. 13. Paris, Hermann, 1972, xii+531 pp. (In French)
  15. Arcangéli R., López de Silanes M. C., Torrens J. J. Multidimensional Minimizing Splines. Theory and Applications. Boston, MA, Kluwer Academic Publ., 2004, xvi+261 pp.
  16. Schumaker L. L. Spline Functions: Basic Theory, Cambridge Mathematical Library. Cambridge, Cambridge Univ. Press, 2007, xv+582 pp.
  17. Holladay J. C. A smoothest curve approximation, Math. Tables Aids Comput., 1957, vol. 11, pp. 233–243. DOI: https://doi.org/10.2307/2001941.
  18. Schoenberg I. J. On equidistant cubic spline interpolation, Bull. Am. Math. Soc., 1971, vol. 77, pp. 1039–1043. DOI: https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1971-12853-7.
  19. de Boor C. Best approximation properties of spline functions of odd degree, J. Math. Mech., 1963, vol. 12, pp. 747–749.
  20. Cabada A., Hayotov A. R., Shadimetov Kh. M. Construction of $D^m$-splines in $L^{(m)}_2 (0,1)$ space by Sobolev method, Appl. Math. Comput., 2014, vol. 244, pp. 524–551. DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2014.07.033.
  21. Hayotov A. R., Milovanović G. V., Shadimetov Kh. M. Interpolation splines minimizing a semi-norm, Calcolo, 2014, vol. 51, no. 2, pp. 245–260. DOI: https://doi.org/10.1007/s10092-013-0080-x.
  22. Shadimetov Kh. M., Hayotov A. R., Nuraliev F. A. Optimal interpolation formulas with derivative in the space $L^{(m)}_2 (0,1)$, Filomat, 2019, vol. 33, no. 17, pp. 5661–5675. DOI: https://doi.org/10.2298/FIL1917661S.
  23. Shadimetov Kh. M., Boltaev A. K. An exponential-trigonometric spline minimizing a seminorm in a Hilbert space, Adv. Differ. Equ., 2020, vol. 2020, 352. DOI: https://doi.org/10.1186/s13662-020-02805-8.
  24. Akhmedov D., Shadimetov Kh. Optimal quadrature formulas with derivative for Hadamard type singular integrals, AIP Conf. Proc., 2021, vol. 2365, 020020. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0057124.
  25. Akhmedov D. Approximate solution of a class of singular integral equations of the first kind, AIP Conf. Proc., 2024, vol. 3004, 060033. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0199828.
  26. Rasulov R., Mahkamova D. The norm of the error functional for the Euler–Maclaurin type quadrature formulas in the space $W^{(2k,2k-1)}_2 (0,1)$, AIP Conf. Proc., 2024, vol. 3004, 060042. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0200255.
  27. Shadimetov Kh., Boltaev A. An exponential-trigonometric optimal interpolation formula, Lobachevskii J. Math., 2023, vol. 44, no. 10, pp. 4379–4392. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223100359.
  28. Sobolev S. L. On interpolation of functions of $n$ variables, Sov. Math., Dokl., 1961, vol. 2, no. 4, pp. 343–346.
  29. Shadimetov Kh., Boltaev A., Parovik R. Optimization of the approximate integration formula using the discrete analogue of a high-order differential operator, Mathematics, 2023, vol. 11, no. 14, 3114. DOI: https://doi.org/10.3390/math11143114.
  30. Ghalichi S. S. S., Amirfakhrian M., Allahviranloo T. An algorithm for choosing a good shape parameter for radial basis functions method with a case study in image processing, Results Appl. Math., 2022, vol. 16, 100337. DOI: https://doi.org/10.1016/j.rinam.2022.100337.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Figure 1. Graphs of absolute errors for \(\varphi_1(z)\) and \(\varphi_2(z)\) at \(N = 5\)

Download (198KB)
Indexing metadata
3. Figure 2. Graphs of absolute errors for \(\varphi_1(z)\) and \(\varphi_2(z)\) at \(N = 5\) [30]

Download (141KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2024 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».