Разрешимость задачи восстановления коэффициентов в дробно-временном уравнении диффузии с периодическими граничными и переопределенными условиями

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Исследуется обратная задача для уравнений дробно-временной диффузии с периодическими граничными условиями и интегральными условиями переопределения на прямоугольной области. Сначала вводится определение классического решения задачи. Затем с использованием метода Фурье прямая задача сводится к эквивалентному интегральному уравнению. Существование и единственность решения прямой задачи устанавливаются с помощью оценок для функции Миттаг–Леффлера и обобщенных сингулярных неравенств Гронвалля.
Во второй части работы рассматривается обратная задача, которая переформулируется в виде эквивалентного интегрального уравнения, а затем решается с использованием принципа сжимающих отображений. Строго доказываются локальное существование и глобальная единственность решения. Кроме того, получена оценка устойчивости решения.
Данное исследование вносит вклад в теорию обратных задач для дробных дифференциальных уравнений, предоставляя основу для анализа задач с периодическими граничными условиями и интегральными условиями переопределения. Разработанные методы могут быть применены к широкому кругу задач в математической физике и инженерии, где дробно-временные модели диффузии все чаще используются для описания сложных явлений.

Об авторах

Дурдимурод Каландарович Дурдиев

Бухарское отделение Института математики Академии наук Республики Узбекистан; Бухарский государственный университет

Email: d.durdiev@mathinst.uz
ORCID iD: 0000-0002-6054-2827
https://www.mathnet.ru/person29112

доктор физико-математических наук, профессор; заведующий отделением1; профессор, каф. дифференциальных уравнений2

Узбекистан, 705018, Бухара, ул. М. Икбол, 11; 705018, Бухара, ул. М. Икбол, 11

Жонибек Жамолович Жумаев

Бухарское отделение Института математики Академии наук Республики Узбекистан; Бухарский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: jonibekjj@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-8496-1092
https://www.mathnet.ru/person159031

кандидат физико-математических наук, доцент; старший научный сотрудник1; доцент, каф. дифференциальных уравнений2

Узбекистан, 705018, Бухара, ул. М. Икбол, 11; 705018, Бухара, ул. М. Икбол, 11

Список литературы

  1. Agarwal R., Sharma U. P., Agarwal R. P. Bicomplex Mittag–Leffler function and associated properties, J. Nonlinear Sci. Appl., 2022, vol. 15, no. 1, pp. 48–60, arXiv: 2103.10324 [math.CV]. DOI: https://doi.org/10.22436/jnsa.015.01.04.
  2. Haddouchi F., Guendouz C., Benaicha S. Existence and multiplicity of positive solutions to a fourth-order multi-point boundary value problem, Matemat. Vesn., 2021, vol. 73, no. 1, pp. 25–36, arXiv: 1908.08598 [math.CA].
  3. Sharma S. Molecular Dynamics Simulation of Nanocomposites Using BIOVIA Materials Studio, Lammps and Gromacs. Amsterdam, Netherlands, Elsevier, 2019, xvi+349 pp. DOI: https://doi.org/10.1016/C2017-0-04396-3.
  4. Baglan I. Determination of a coefficient in a quasilinear parabolic equation with periodic boundary condition, Inverse Probl. Sci. Eng., 2015, vol. 23, no. 5, pp. 884-900. DOI: https://doi.org/10.1080/17415977.2014.947479.
  5. Kanca F. Inverse coefficient problem of the parabolic equation with periodic boundary and integral overdetermination conditions, Abstr. Appl. Anal., 2013, no. 5, 659804. DOI: https://doi.org/10.1155/2013/659804.
  6. Kanca F., Baglan I. An inverse coefficient problem for a quasilinear parabolic equation with nonlocal boundary conditions., Bound. Value Probl., 2013, vol. 2013, 213. DOI: https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-213.
  7. Kanca F. The inverse problem of the heat equation with periodic boundary and integral overdetermination conditions, J. Inequal. Appl., 2013, vol. 2013, 108. DOI: https://doi.org/10.1186/1029-242X-2013-108.
  8. Ivanchov N. I. Inverse problems for the heat-conduction equation with nonlocal boundary condition, Ukr. Math. J., 1993, vol. 45, no. 8, pp. 1186–1192. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01070965.
  9. Ivanchov M. I., Pabyrivska N. Simultaneous determination of two coefficients of a parabolic equation in the case of nonlocal and integral conditions, Ukr. Math. J., 2001, vol. 53, no. 5, pp. 674–684. DOI: https://doi.org/10.1023/A:1012570031242.
  10. Liao W., Dehghan M., Mohebbi A. Direct numerical method for an inverse problem of a parabolic partial differential equation, J. Comput. Appl. Math., 2009, vol. 232, no. 2, pp. 351–360. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cam.2009.06.017.
  11. Oussaeif T. E., Abdelfatah B. An inverse coefficient problem for a parabolic equation under nonlocal boundary and integral overdetermination conditions, Int. J. Part. Dif. Equ. Appl., 2014, vol. 2, no. 3, pp. 38–43. DOI: https://doi.org/10.12691/ijpdea-2-3-1.
  12. Cannon J. R., Lin Y., Wang S. Determination of a control parameter in a parabolic partial differential equation, J. Aust. Math. Soc., Ser. B, 1991, vol. 33, no. 2, pp. 149–163. DOI: https://doi.org/10.1017/S0334270000006962.
  13. Hazanee A., Lesnic D., Ismailov M. I., Kerimov N. B. Inverse time-dependent source problems for the heat equation with nonlocal boundary conditions, Appl. Math. Comput., 2019, vol. 346, pp. 800–815. DOI: https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.10.059.
  14. Huzyk N. Nonlocal inverse problem for a parabolic equation with degeneration, Ukr. Math. J., 2013, vol. 65, no. 6, pp. 847–863. DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-013-0822-6.
  15. Durdiev D. K., Jumaev J. J. Inverse coefficient problem for a time-fractional diffusion equation in the bounded domain, Lobachevskii J. Math., 2023, vol. 44, no. 2, pp. 548–557. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080223020130.
  16. Durdiev D. K., Rahmonov A. A., Bozorov Z. R. A two-dimensional diffusion coefficient determination problem for the time-fractional equation, Math. Methods Appl. Sci., 2021, vol. 44, no. 13, pp. 10753–10761. DOI: https://doi.org/10.1002/mma.7442.
  17. Ionkin N. I. Solution of a boundary-value problem in heat conduction with a nonclassical boundary condition, Differ. Equ., 1977, vol. 13, no. 2, pp. 204–211.
  18. Subhonova Z. A., Rahmonov A. A. Problem of determining the time dependent coefficient in the fractional diffusion-wave equation, Lobachevskii J. Math., 2021, vol. 42, no. 15, pp. 3747–3760. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080222030209.
  19. Sultanov M. A., Durdiev D. K., Rahmonov A. A. Construction of an explicit solution of a time-fractional multidimensional differential equation, Mathematics, 2021, vol. 9, no. 17, 2052. DOI: https://doi.org/10.3390/math9172052.
  20. Colombo F. An inverse problem for a parabolic integrodifferential model in the theory of combustion, Phys. D, 2007, vol. 236, no. 2, pp. 81–89. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.07.012.
  21. Durdiev D. K., Nuriddinov J. Z. Determination of a multidimensional kernel in some parabolic integro-differential equation, J. Sib. Fed. Univ., Math. Phys., 2021, vol. 14, no. 1, pp. 117–127. EDN: RMPPXU. DOI: https://doi.org/10.17516/1997-1397-2021-14-1-117-127.
  22. Durdiev D. K., Zhumaev Zh. Zh. Memory kernel reconstruction problems in the integrodifferential equation of rigid heat conductor, Math. Methods Appl. Sci., 2022, vol. 45, no. 14, pp. 8374–8388. DOI: https://doi.org/10.1002/mma.7133.
  23. Durdiev D. K., Zhumaev Zh. Zh. One-dimensional inverse problems of finding the kernel of the integro-differential heat equation in a bounded domain, Ukr. Math. J., 2022, vol. 73, no. 11, pp. 1723–1740. DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-022-02026-0.
  24. Durdiev D. K., Zhumaev Zh. Zh. Problem of determining a multidimensional thermal memory in a heat conductivity equation, Methods Funct. Anal. Topol., 2019, vol. 25, no. 3, pp. 219–226.
  25. Durdiev D. K., Zhumaev Zh. Zh. Problem of determining the thermal memory of a conducting medium, Differ. Equ., 2020, vol. 56, no. 6, pp. 785–796. DOI: https://doi.org/10.1134/S0012266120060117.
  26. Dyatlov G. V. Determination for the memory kernel from boundary measurements on a finite time interval, J. Inverse Ill-Posed Probl., 2003, vol. 11, no. 1, pp. 59–66. DOI: https://doi. org/10.1515/156939403322004937.
  27. Janno J., Wolfersdorf L. Inverse problems for identification of memory kernels in heat flow, Ill-Posed Probl., 1996, vol. 4, no. 1, pp. 39–66. DOI: https://doi.org/10.1515/jiip.1996.4.1.39.
  28. Lorenzi A., Paparoni E. Direct and inverse problems in the theory of materials with memory, Rend. Semin. Mat. Univ. Padova, 1992, vol. 87, pp. 105–138.
  29. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations, North-Holland Mathematics Studies, vol. 204. Amsterdam, Elsevier, 2006, xx+523 pp. DOI: https://doi.org/10.1016/s0304-0208(06)x8001-5.
  30. Kang B., Koo N. A note on generalized singular Gronwall inequalities, J. Chungcheong Math. Soc., 2018, vol. 31, no. 1, pp. 161–167. DOI: https://doi.org/10.14403/jcms.2018.31.1.161.
  31. Lakshmikantham V., Leela S., Vasundhara Devi J. Theory of Fractional Dynamic Systems. Cambridge, Cambridge Scientific Publ., 2009, vi+170 pp.
  32. Budak B. M., Samarskii A. A., Tikhonov A. N. Sbornik zadach po matematicheskoi fizike [A collection of Problems on Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1979, 685 pp. (In Russian)
  33. Kolmogorov A. N., Fomin S. V. Elementy teorii funktsii i funktsional’nogo analiza [Elements of Function Theory and Functional Analysis]. Moscow, Nauka, 1972, 496 pp. (In Russian)

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет), 2025

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».