Hydrodynamics of an ideal incompressible fluid with a linear velocity field

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this study, a three-dimensional gas-dynamic model of an ideal incompressible fluid is proposed, where the solution is sought in the form of a linear velocity field with inhomogeneous deformation. The problem is formulated in both Eulerian and Lagrangian variables. Exact solutions are obtained for a special linearity matrix, generalizing previously known solutions. The equations of world lines for these solutions are derived, the trajectories of fluid particle motion are constructed, and the evolution of the initial spherical particle volume is investigated. The equations of constant pressure surfaces are presented and their time dynamics is analyzed. Special attention is paid to the analysis of particle motion in an ideal incompressible fluid and to obtaining new, more general solutions.

About the authors

Ruslan R. Zagitov

Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Centre of the Russian Academy of Sciences

Author for correspondence.
Email: rr.zagitov.02@gmail.com
ORCID iD: 0009-0003-5480-9366
SPIN-code: 9640-3992
https://www.mathnet.ru/person228241

Research Engineer; Lab. of Differantial Equations of Mechanics

Russian Federation, 450054, Ufa, Oktabrya pr., 71

Yulia V. Yulmukhametova

Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Centre of the Russian Academy of Sciences

Email: yulmuhametova.yuv@ugatu.su
ORCID iD: 0000-0002-5127-4584
https://www.mathnet.ru/person65962

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Researcher; Lab. of Differantial Equations of Mechanics

Russian Federation, 450054, Ufa, Oktabrya pr., 71

References

  1. Chandrasekhar S. Ellipsoidal Figures of Equilibrium. New Haven, London, Yale Univ. Press, 1969, ix+252 pp.
  2. Dirichlet G. L. Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik, Nachrichten von der G. A. Universität und der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1857, vol. 14, pp. 205–207.
  3. Dirichlet. G. L. Untersuchungen über ein Problem der Hydrodynamik, J. Reine Angew. Math., 1861, vol. 58, pp. 181–216. DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1861.58.181.
  4. Dedekind R. Zusatz zu der vorstehenden Abhandlung, J. Reine Angew. Math., 1861, vol. 58, pp. 217–228. DOI: https://doi.org/10.1515/crll.1861.58.217.
  5. Riemann B. Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegung eines flüssigen gleichartigen Ellipsoides, Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1861, vol. 9, pp. 3–36. http://eudml.org/doc/135728.
  6. Ovsyannikov L. V. A new solution of the hydrodynamic equations, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1956, vol. 111, no. 1, pp. 47–49 (In Russian).
  7. Dyson F. J. Dynamics of a spinning gas cloud, J. Math. Mech., 1968, vol. 18, pp. 91–101.
  8. Anisimov S. I., Lysikov Yu.I. Expansion of a gas cloud in vacuum, J. Appl. Math. Mech., 1970, vol. 34, no. 5, pp. 882–885. DOI: https://doi.org/10.1016/0021-8928(70)90070-5.
  9. Pukhnachev V. V. On the motion of a liquid ellipse, Dinamika Sploshnoi Sredy, 1978, no. 33, pp. 68–75 (In Russian). EDN: ZESVMD.
  10. Sideris T. C. Global existence and asymptotic behavior of affine motion of 3D ideal fluids surrounded by vacuum, Arch. Rational. Mech. Anal., 2017, vol. 225, pp. 141–176. DOI: https://doi.org/10.1007/s00205-017-1106-3.
  11. Hadžić M., Jang J. J. A class of global solutions to the Euler–Poisson system, Commun. Math. Phys., 2019, vol. 370, pp. 475–505. DOI: https://doi.org/10.1007/s00220-019-03525-1.
  12. Giron J. F. Ramsey S. D. Baty R. S. Nemchinov–Dyson solutions of the two-dimensional axisymmetric inviscid compressible flow equations, Phys. Fluids, 2020, vol. 32, no. 12, 127116. DOI: https://doi.org/10.1063/5.0032170.
  13. Hadžić M. Star dynamics: Collapse vs. expansion, Quart. Appl. Math., 2023, vol. 81, no. 2, pp. 329–365. DOI: https://doi.org/10.1090/qam/1638.
  14. Nikonorova R. F. Simple invariant solutions of the dynamic equation for a monatomic gas, Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 2023, vol. 321 (suppl. 1), pp. S186–S203. EDN: DTGOIQ. DOI: https://doi.org/10.1134/S0081543823030161.
  15. Panov A. V About regular expansion of a two-phase ball, Int. J. Non-Linear Mech., 2023, vol. 166, 104824. EDN: IVDJLH. DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2024.104824.
  16. Lugovtsov B. A., Ovsyannikov L. V. Development of hydrodynamics at the Siberian Branch, Academy of Sciences of the USSR, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 1987, vol. 28, no. 4, pp. 473–491. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00916730.
  17. Ovsyannikov L. V. The plane problem of unsteady fluid motion with free boundaries, In: Dinamika sploshnoi sredy [Dynamics of Continuous Medium], Collection of Scientific Papers, vol. 338. Novosibirsk, 1971, pp. 22–26 (In Russian).
  18. Andreev V. K Vortex perturbations of the nonstationary motion of a liquid with a free boundary, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 1975, vol. 16, no. 5, pp. 713–723. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00854081.
  19. Nalimov V. I., Pukhnachev V. V. Neustanovivshiesia dvizheniia ideal’noi zhidkosti so svobodnoi granitsei [Unsteady Motions of Ideal Fluid with Free Boundary]. Novosibirsk, Novosibirsk State Univ., 1975, 173 pp. (In Russian)
  20. Nalimov V. I. A priori estimates of solutions of elliptic equations in the class of analytic functions, and their applications to the Cauchy–Poisson problem, Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 1969, vol. 189, no. 1, pp. 45–48 (In Russian).
  21. Ovsyannikov L. V. On a class of unsteady motions of an incompressible fluid, In: Scientific Council on National Economic Applications of Explosion, Siberian Branch of the Academy of Sciences, Proceedings of the 5th Session. Frunze, Ilim, 1965, pp. 34–42 (In Russian).
  22. Lavrent’eva O. M. One class of motions of a fluid ellipsoid, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 1984, vol. 25, no. 4, pp. 642–648. EDN: JJZCBW. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00910007.
  23. Ovsyannikov L. V. Lektsii po osnovam gazovoi dinamiki [Lectures on Basic Gas Dynamics]. Moscow, Izhevsk, Institute of Computer Studies, 2003, 336 pp. (In Russian). EDN: QJPLMV.
  24. Andreev V. K., Pukhnachev V. V. Motion of a finite mass of fluid, J. Appl. Mech. Tech. Phys., 1979, vol. 20, no. 2, pp. 144–157. DOI: https://doi.org/10.1007/BF00910013.
  25. Gumerov I. I., Katashova A. A., Yulmukhametova Yu. V. Collapsing motions of a diatomic gas whose density depends only on time, Multiphase Systems, 2023, vol. 18, no. 1, pp. 9–16 (In Russian). EDN: CEHSLW. DOI: https://doi.org/10.21662/mfs2023.1.002.
  26. Urazbakhtina L. Z., Yulmukhametova Yu. V. A planar collapse of a gas with a linear velocity field, Trudy Inst. Mat. Mekh. UrO RAN, 2023, vol. 29, no. 2, pp. 207–216 (In Russian). EDN: DYBGCR. DOI: https://doi.org/10.21538/0134-4889-2023-29-2-207-216.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Figure 1. Fluid particle trajectories for various values of $\eta$ with fixed parameters $\xi=-1$, $\zeta=0$, $b=1$, and $\vec{l} = (1, 1, 1)$

Download (184KB)
Indexing metadata
3. Figure 2. Fluid particle trajectories for various values of $b$ with fixed parameters $\vec{\xi}= (-1, 0, 1)$, and $\vec{l} = (1, 1, 1)$

Download (114KB)
Indexing metadata
4. Figure. 3. Temporal evolution of the constant-pressure surface for the investigated solution at representative time points $t=0; 2.5; 5$

Download (215KB)
Indexing metadata
5. Figure 4. Evolution of the selected fluid volume at representative time points $t=0; 2; 5$

Download (281KB)
Indexing metadata
6. Figure 5. Fluid particle trajectories for the system (23) at varying parameter $\eta$. Fixed parameters: $b=1$, $\vec{l}=(1,1,1)$, $\vec{a}=(1,1,1)$, $\xi=\zeta=1$, time interval $t\in[0{,} 5]$

Download (180KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2025 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».