Triply periodic surface description using Laplace–Beltrami operator and a statistical machine learning model

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Triply periodic surfaces (TPS) and their minimal analogs (TPMS) are currently widely used in various fields, including mechanics, biomechanics, aerodynamics, hydrodynamics, and radiophysics. In this context, the problem of establishing correlations between the topological and geometric properties of surfaces and their physical characteristics arises. To address this problem, it is necessary to introduce a measure of similarity between surfaces with different topological and geometric features. This work focuses on describing TPS and TPMS in terms of a specific metric space of descriptors. The problem is solved using the mathematical framework of image recognition theory. A descriptor is constructed based on a set of eigenvectors and eigenvalues of the Beltrami–Laplace operator and a joint Bayesian model. A metric based on a probabilistic measure of surface similarity is introduced in the descriptor space. The effectiveness of the method developed in this work has been tested on 51 surfaces of class P. The accuracy of predicting the surface type is 92.8 %. The developed machine learning model enables the determination of whether a given surface belongs to the class of P-surfaces.

About the authors

Mikhail I. Smolkov

Samara State Technical University

Author for correspondence.
Email: m.smolkov97@gmail.com
ORCID iD: 0000-0001-5573-662X
https://www.mathnet.ru/person227410

Postgraduate Research Student; Junior Researcher; International Research Center for Theoretical Materials Science

Russian Federation, 443100, Samara, Molodogvardeyskaya st., 244

References

  1. Abueidda D. W., Al-Rub R. K. A., Dalaq A. S., et al. Effective conductivities and elastic moduli of novel foams with triply periodic minimal surfaces, Mech. Mater., 2016, vol. 95, pp. 102–115. DOI: https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2016.01.004.
  2. Maskery I., Sturm L., Aremu A. O., et al. Insights into the mechanical properties of several triply periodic minimal surface lattice structures made by polymer additive manufacturing, Polymer, 2018, vol. 152, pp. 62–71. DOI: https://doi.org/10.1016/j.polymer.2017.11.049.
  3. Montazerian H., Davoodi E., Asadi-Eydivand M., et al. Porous scaffold internal architecture design based on minimal surfaces: a compromise between permeability and elastic properties, Materials & Design, 2017, vol. 126, pp. 98–114. DOI: https://doi.org/10.1016/j.matdes.2017.04.009.
  4. Sadeghi F., Baniassadi M., Shahidi A., Baghani M. TPMS metamaterial structures based on shape memory polymers: Mechanical, thermal and thermomechanical assessment, J. Mater. Res. Techn., 2023, vol. 23, pp. 3726–3743. DOI: https://doi.org/10.1016/j.jmrt.2023.02.014.
  5. Yang W., An J., Kai Chua C., Zhou K. Acoustic absorptions of multifunctional polymeric cellular structures based on triply periodic minimal surfaces fabricated by stereolithography, Virt. Phys. Prot., 2020, vol. 15, no. 2, pp. 242–249. DOI: https://doi.org/10.1080/17452759.2020.1740747.
  6. Wang H., Tan D., Liu Z., et al. On crashworthiness of novel porous structure based on composite TPMS structures, Eng. Struct., 2022, vol. 252, 113640. DOI: https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2021.113640.
  7. Saleh M., Anwar S., Al-Ahmari A. M., Alfaify A. Compression performance and failure analysis of 3D-printed carbon fiber/PLA composite TPMS lattice structures, Polymers, 2022, vol. 14, no. 21, 4595. DOI: https://doi.org/10.3390/polym14214595.
  8. Al-Ketan O., Abu Al-Rub R. K. Multifunctional mechanical metamaterials based on triply periodic minimal surface lattices, Adv. Eng. Mater., 2019, vol. 21, no. 10, 1900524. DOI: https://doi.org/10.1002/adem.201900524.
  9. Mal’tsev V. P., Shatrov A. D. Triply degenerate surface waves in the metamaterial plate, J. Commun. Technol. Electron., 2012, vol. 57, no. 2, pp. 170–173. DOI: https://doi.org/10.1134/S1064226912010111.
  10. Mias C., Webb J. P., El-Esber L., Ferrari R. Finite element modelling of electromagnetic waves in doubly and triply periodic structures, IEE Proc. Optoelectron., 2005, vol. 152, no. 5. DOI: https://doi.org/10.1049/ip-opt:20050007.
  11. Smolkov M. I., Krutov A. F. Software development for implementing a model of porous structures based on three periodic surfaces, Phys. Wave Proces. Radio Systems, 2022, vol. 25, no. 1, pp. 71–79 (In Russian). EDN: NMHCYK. DOI: https://doi.org/10.18469/1810-3189.2022.25.1.71-79.
  12. Smolkov M. I., Blatova O. A., Krutov A. F., Blatov V. A. Generating triply periodic surfaces from crystal structures: the tiling approach and its application to zeolites, Acta Crystal., Sect. A, 2022, vol. 78, no. 4, pp. 327–336. EDN: DLGEKT. DOI: https://doi.org/10.1107/S2053273322004545.
  13. Eremin A. V., Frolov M. A., Krutov A. F., et. al. Mechanical properties of porous materials based on new triply periodic and minimal surfaces, Mech. Adv. Mater. Struct., 2024, vol. 31, no. 29, pp. 11320–11336. DOI: https://doi.org/10.1080/15376494.2024.2303724.
  14. Alexandrov E. V., Blatov V. A., Proserpio D. M. A topological method for the classification of entanglements in crystal networks, Acta Crystal., Sect. A, 2012, vol. 68, no. 4, pp. 484–493. EDN: PDSSYB. DOI: https://doi.org/10.1107/S0108767312019034.
  15. Blatov V. A., Alexandrov E. V., Shevchenko A. P. Topology: ToposPro, In: Comprehensive Coordination Chemistry III, vol. 2, Fundamentals: Characterization Methods, Theoretical Analysis, and Case Studies, 2021, pp. 389–412. EDN: FDMWRS. DOI: https://doi.org/10.1016/B978-0-12-409547-2.14576-7.
  16. Wang Z., Lin H. 3D shape retrieval based on Laplace operator and joint Bayesian model, Visual Informatics, 2020, vol. 4, no. 3, pp. 69–76. DOI: https://doi.org/10.1016/j.visinf.2020.08.002.
  17. Chen D., Cao X., Wang L., et al. Bayesian face revisited: A joint formulation, In: Computer Vision–ECCV 2012, Lecture Notes in Computer Science, 7574. Springer, Berlin, Heidelberg, 2012, pp. 566–579. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-33712-3_41.
  18. Schoen A. H. Infinite Periodic Minimal Surfaces Without Self-Intersections, NASA Technical Note (TN) D-5541, C-98. Cambridge, MA, NASA Electronics Research Center, 1970. https://ntrs.nasa.gov/citations/19700020472.
  19. Reuter M., Wolter F. E., Peinecke N. Laplace–Beltrami spectra as 'Shape-DNA' of surfaces and solids, Computer–Aided Design, 2006, vol. 38, no. 4, pp. 342–366. DOI: https://doi.org/10.1016/j.cad.2005.10.011.
  20. Sharp N., Crane K. A laplacian for nonmanifold triangle meshes, Computer Graphics Forum, 2020, vol. 39, no. 5, pp. 69–80. DOI: https://doi.org/10.1111/cgf.14069.
  21. Virtanen P.,Gommers R., Oliphant T. E., et al. SciPy 1.0: Fundamental algorithms for scientific computing in Python, Nature Methods, 2020, vol. 17, no. 3, pp. 261–272. DOI: https://doi.org/10.1038/s41592-019-0686-2.
  22. Lévy B. Laplace–Beltrami eigenfunctions towards an algorithm that "understands" geometry, In: IEEE International Conference on Shape Modeling and Applications 2006 (SMI'06). Matsushima, Japan, 2006, pp. 13–13. DOI: https://doi.org/10.1109/SMI.2006.21.
  23. Rustamov R. M. Laplace–Beltrami eigenfunctions for deformation invariant shape representation, In: SGP07: Eurographics Symposium on Geometry Processing, 257, 2007, pp. 225–233. DOI: https://doi.org/10.2312/SGP/SGP07/225-233.
  24. Song R., Zhao Z., Wang X. The application of V-system in visualization of multidimensional data, In: 11th IEEE International Conference on Computer-Aided Design and Computer Graphics. Huangshan, China, 2009, pp. 170–173. DOI: https://doi.org/10.1109/CADCG.2009.5246911.
  25. Ma H., Qi D., Song R., Wang T. The complete orthogonal V-system and its applications, Commun. Pure Appl. Anal., 2007, vol. 6, no. 3, pp. 853–871. DOI: https://doi.org/10.3934/cpaa.2007.6.853.
  26. Song R., Wang X., Ou M., Li J. The structure of V-system over triangulated domains, In: Advances in Geometric Modeling and Processing, Lecture Notes in Computer Science, 4975. Berlin, Heidelberg, Springer, 2008, pp. 563–569. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-540-79246-8_48.
  27. Huang C., Yang L. H., Qi D. X. A new class of multi-wavelet bases: V-system, Acta. Math. Sin., English Ser., 2012, vol. 28, no. 1, pp. 105–120. DOI: https://doi.org/10.1007/s10114-012-9424-8.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Figure 1. Example of P-type TPS unit cell based on Linde Type A (LTA) zeolite

Download (164KB)
Indexing metadata
3. Figure 2. Example of "tufted cover": a) nonmanifold surface; b) "tufted" surface

Download (150KB)
Indexing metadata
4. Figure 3. Example of image histogram $\Gamma$ $64 \times 64$ for P-type TPS based on Linde Type A (LTA) zeolite: a) original TPS; b) TPS obtained by shifting along the $X$ and $Y$ axes by 40 % of the length of the edge of the bounding box; c) TPS obtained by shifting along the $Y$ and $Z$ axes by 40 % of the length of the edge of the bounding box

Download (925KB)
Indexing metadata
5. Figure 4. Visual comparison of the LTA surface with the BRE and PON surfaces

Download (650KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2025 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».