A problem with dynamical boundary condition for a one-dimensional hyperbolic equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this paper, we consider a problem with dynamical boundary conditions for a hyperbolic equation. The dynamical boundary condition is a convenient method to take into account the presence of certain damper when fixing the end of a string or a beam.Problems with dynamical boundary conditions containing first-order derivatives with respect to both space and time variables are not self-ajoint, that complicates solution by spectral analysis.However, these difficulties can be overcome by a method proposed in the paper. The main tool to prove the existence of the unique weak solution to the problem is the priori estimatesin Sobolev spaces. As a particular example of the wave equation is considered.The exact solution of a problem with dynamical condition is obtained.

About the authors

Aleksandr Borisovich Beylin

Samara State Technical University

Email: abeilin@mail.ru
Candidate of technical sciences, Associate professor

Ludmila Stepanovna Pulkina

Samara State University

Email: louise@samdiff.ru
Doctor of physico-mathematical sciences, Professor

References

  1. Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, Наука, М., 2004
  2. Скубачевский А. Л., Стеблов Г. М., "О спектре дифференциальных операторов с областью определения, не плотной в ", Докл. АН СССР, 321:6 (1991), 1158-1163
  3. Ионкин Н. И., "Решение одной краевой задачи теории теплопроводности с неклассическим краевым условием", Дифференц. уравнения, 13:2 (1977), 294-304
  4. Лажетич Н. Л., "О классической разрешимости смешанной задачи для одномерного гиперболического уравнения второго порядка", Дифференц. уравнения, 42:8 (2006), 1072-1077
  5. Рогожников А. М., "О различных типах граничных условий для одномерного уравнения колебаний", Сборник статей молодых ученых факультета ВМК МГУ, т. 10, 2013, 188-214
  6. Киричек В. А., Пулькина Л. С., "Задача с динамическими граничными условиями для гиперболического уравнения", Вестн. Самарск. ун-та. Естественно-научн. сер., 23:1 (2017), 21-27
  7. Корпусов М. О., Разрушение в неклассических волновых уравнениях, URSS, М., 2010
  8. Бейлин А. Б., Пулькина Л. С., "Задача о продольных колебаниях стержня с динамическими граничными условиями", Вестн. Самарск. гос. ун-та. Естественно-научн. сер., 2014, № 3(114), 9-19
  9. Doronin G. G., Lar'kin N. A., Souza A. J., "A hyperbolic problem with nonlinear second-order boundary damping", Electron. J. Differ. Equ., 1998 (1998), no. 28, 10 pp.
  10. Andrews K. T., Kuttler K. L., Shillor M., "Second order evolution equations with dynamic boundary conditions", J. Math. Anal. Appl., 197:3 (1996), 781-795
  11. Бейлин А. Б., Пулькина Л. С., "Задача с нелокальными динамическими условиями для уравнения колебаний толстого стержня", Вестн. Самарск. ун-та. Естественно-научн. сер., 23:4 (2017), 7-18
  12. Louw T., Whitney S., Subramanian A., Viljoen H., "Forced wave motion with internal and boundary damping", J. Appl. Phys., 111 (2012), 014702
  13. Пулькина Л. С., "Задача с динамическим нелокальным условием для псевдогиперболического уравнения", Изв. вузов. Матем., 2016, № 9, 42-50
  14. Федотов И. А., Полянин А. Д., Шаталов М. Ю., "Теория свободных и вынужденных колебаний твердого стержня, основанная на модели Рэлея", ДАН, 417:1 (2007), 56-61
  15. Pulkina L. S., Beylin A. B., "Nonlocal approach to problems on longitudinal vibration in a short bar", Electron. J. Differ. Equ., 2019 (2019), no. 29, 9 pp.
  16. Хазанов Х. С., Механические колебания систем с распределенными параметрами, Самар. госуд. аэрокосмич. ун-т, Самара, 2002
  17. Ладыженская О. А., Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973
  18. Ильин В. А., Тихомиров В. В., "Волновое уравнение с граничным управлением на двух концах и задача о полном успокоении колебательного процесса", Дифференц. уравнения, 35:5 (1999), 692-704
  19. Ильин В. А., Избранные труды В. А. Ильина, т. 2, Макс-Пресс, М., 2008

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2020 Samara State Technical University

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».