An application of Mueller's method for determining eigenfrequencies of vibrations of viscoelastic bodies with frequency-dependent characteristics of a material

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

A search for optimal damping properties of structures using methods of numerical modelling is as a rule associated with a large number of computations. Alongside this an application of mechanical problem of natural vibrations of structures for this purpose allows estimating damping properties of structures regardless external force and kinematic impacts. This fact leads to sufficient decrease in computational costs. The results of the solution to the problem of natural vibrations of piecewise-homogeneous viscoelastic bodies are complex natural vibration frequencies, the real part of which is a frequency of vibrations and imaginary part is damping index (rate of vibration damping). A mechanical behavior of a viscoelastic material is described by the linear theory of Boltzman–Volterra. Within the frameworks of this theory mechanical properties of a viscoelastic material can be represented as complex dynamic moduli (shear modulus and bulk modulus). As a rule, these properties depend on frequency of external excitation. In current paper an algorithm which allows obtaining solution to the problem on natural vibrations, in case when components of complex dynamic moduli are frequency-dependent, is represented. The algorithm is based on using capabilities of the ANSYS software package and also the Mueller's method which allows solving partial problem of complex eigenvalues. An efficiency and productivity of the algorithm is demonstrated on the example of a two-layered cantilever plate. One layer of the plate is made of an elastic material and the second one is made of a viscoelastic material. Reliability of the obtained results is proved by comparison natural vibration frequencies obtained as a result of solution to the problem of natural vibrations and resonant frequencies at frequency response plots of the displacements obtained as a result of solution to the problem of forced steady-state vibrations using the ANSYS software package.

About the authors

Dmitrii A. Oshmarin

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS

Email: oshmarin@icmm.ru
ORCID iD: 0000-0002-9898-4823
SPIN-code: 6084-5189
Scopus Author ID: 57041319000
ResearcherId: J-7906-2018
http://www.mathnet.ru/person122272

Juior Researcher; Dept. of Complex Problems of Deformable Solids Mechanics

1, Academician Korolev str., Perm, 614013

Natalya V. Sevodina

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS

Email: natsev@icmm.ru
ORCID iD: 0000-0001-9374-7135
SPIN-code: 1605-0002
Scopus Author ID: 15133373300
http://www.mathnet.ru/person73434

Cand. Techn. Sci.; Researcher; Dept. of Complex Problems of Deformable Solids Mechanics

1, Academician Korolev str., Perm, 614013

Nataliya A. Iurlova

Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS

Author for correspondence.
Email: yurlova@icmm.ru
ORCID iD: 0000-0003-3497-0358
SPIN-code: 7391-6762
Scopus Author ID: 57191952953
ResearcherId: N-5129-2015
http://www.mathnet.ru/person122838

Cand Phys. & Math. Sci.; Associate Professor; Academic Secretary

1, Academician Korolev str., Perm, 614013

References

  1. Nashif A. D., Jones D. I. G., Henderson J. P. Vibration Damping. New York, John Wiley & Sons, 1985, 480 pp.
  2. Ilyushin A. A., Pobedrya B. E. Osnovy matematicheskoi teorii termoviazkouprugosti [Fundamentals of the Mathematical Theory of Thermal Viscoelasticity]. Moscow, Nauka, 1970, 280 pp. (In Russian)
  3. Rabotnov Yu. N. Creep Problems in Structural Members, North-Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics. Amsterdam, North-Holland Publ., 1969, ix+822 pp.
  4. Rabotnov Yu. N. Elements of Hereditary Solid Mechanics. Mir Publ., Nauka, 1980, 387 pp.
  5. Harutyunyan N. Kh., Kolmanovsky V. V. Teoriia polzuchesti neodnorodnykh tel [Theory of Creep of Inhomogeneous Bodies]. Moscow, Nauka, 1983, 336 pp. (In Russian)
  6. Harutyunyan N. Kh., Drozdov A. D., Naumov V. E. Mekhanika rastushchikh viazkouprugoplasticheskikh tel [Mechanics of Growing Viscoelastic Plastic Bodies]. Moscow, Nauka, 1987, 472 pp. (In Russian)
  7. Bugakov I. I. Polzuchest’ polimernykh materialov (teoriia i prilozheniia) [Creep of Polymeric Materials (Theory and Applications)]. Moscow, Nauka, 1973, 288 pp. (In Russian)
  8. Karnaukhov V. G. Sviazannye zadachi termoviazkouprugosti [Coupled Problem of Thermoviscoelasticity]. Kiev, Nauk. Dumka, 1982, 260 pp. (In Russian)
  9. Koltunov M. A. Polzuchest’ i relaksatsiia [Creep and Relaxation]. Moscow, Vyssh. Shk., 1976, 277 pp. (In Russian)
  10. Moskvitin V. V. Soprotivlenie viazkouprugikh materialov primenitel’no k zariadam raketnykh dvigatelei na tverdom toplive [The Strength of Viscoelastic Materials as Applied to Charges of Solid-Propellant Rocket Engines]. Moscow, Nauka, 1982, 328 pp. (In Russian)
  11. Rzhanitsyn A. R. Nekotorye voprosy mekhaniki sistem, deformiruiushchikhsia vo vremeni [Some Problems in the Mechanics of Time-Deformable Systems]. Moscow, Leningrad, Gostehizdat, 1949, 252 pp. (In Russian)
  12. Rzhanitsyn A. R. Teoriia polzuchesti [Creep Theory]. Moscow, Stroiizdat, 1968, 419 pp. (In Russian)
  13. Bland D. R. The Theory of Linear Viscoelasticity. Mineola, New York, Dover Publications, 2016, 125 pp.
  14. Christensen R. M. Theory of Viscoelasticity, An Introduction. New York, Academic Press, 1982, xii+364 pp.
  15. Ferry J. D. Viscoelastic Properties of Polymers. New York, John Wiley & Sons, 1980, xxiv+641 pp.
  16. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: Novel trends and recent results, Appl. Mech. Rev., 2010, vol. 63, no. 1, 010801. https://doi.org/10.1115/1.4000563.
  17. Shitikova M. V. Fractional operator vModels in dynamic problems of mechanics of solids: A review, Mech. Solids, 2022, vol. 57, no. 1, pp. 1–33. https://doi.org/10.3103/S0025654422010022.
  18. Troyanovskii I. E. Construction of periodic solutions of integrodifferential equations of viscoelasticity, Polymer Mechanics, 1974, vol. 10, no. 3, pp. 447–448. https://doi.org/10.1007/BF00865608.
  19. Adamov A. A., Matveenko V. P., Trufanov N. A., Shardakov I. N. Metody prikladnoi viazkouprugosti [Methods of Applied Viscoelasticity]. Ekaterinburg, UB RAS, 2003, 398 pp. (In Russian)
  20. Matveyenko V. P., Kligman E. P. Natural vibration problem of viscoelastic solids as applied to optimization of dissipative properties of constructions, J. Vibr. Contr., 1997, vol. 3, no. 1, pp. 87–102. https://doi.org/10.1177/107754639700300107.
  21. Baz A. M. Active and Passive Vibration Damping. Hoboken, NJ, John Wiley & Sons, 2019, xxii+719 pp. https://doi.org/10.1002/9781118537619.
  22. Vasques C. M. A., Moreira R. A. S., Dias Rodrigues J. Viscoelastic damping technologies. Part I: Modeling and finite element implementation, J. Adv. Res. Mech. Eng., 2010, vol. 1, no. 2, pp. 76–95.
  23. Moleiro F., Araújo A. L., Reddy J. N. Benchmark exact free vibration solutions for multilayered piezoelectric composite plates, Compos. Struct., 2017, vol. 182, pp. 598–605. https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2017.09.035.
  24. Wang F., Wei Z., Xu B. Damping performance of viscoelastic material applied to blades, Rev. Int. Métodos Numér. Cálc. Diseño Ing., 2019, vol. 35, no. 1, 9. https://doi.org/10.23967/j.rimni.2018.09.002.
  25. Gröhlich M., Böswald M., Winter R. Vibration damping capabilities of treatments with frequency and temperature dependent viscoelastic material properties, In: Proc. of 23rd Internat. Congress on Acoustics, 2019, pp. 4273–4280. https://pub.dega-akustik.de/ICA2019/data/articles/000565.pdf.
  26. Martinez-Agirre M., Elejabarrieta M. J. Dynamic characterization of high damping viscoelastic materials from vibration test data, J. Sound Vibr., 2011, vol. 330, no. 16, pp. 3930–3943. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2011.03.025.
  27. Slovikov S. V., Bulbovich R. V. Methodological aspects of the experimental research of viscoelastic filled polymer composites with complicated dynamic cyclical impacts, PNRPU Mechanics Bulletin, 2010, vol. 2, pp. 104–112 (In Russian).
  28. Wang Y., Palmer R. A., Schoonover J. R., Aubuchon S. R. Dynamic mechanical analysis and dynamic infrared linear dichroism study of the frequency-dependent viscoelastic behavior of a poly(ester urethane), Vibr. Spectros., 2006, vol. 42, no. 1, pp. 74–77. https://doi.org/10.1016/j.vibspec.2006.04.017.
  29. López-Guerra E. A., Solares S. D. On the frequency dependence of viscoelastic material characterization with intermittent-contact dynamic atomic force microscopy: avoiding mischaracterization across large frequency ranges, Beilstein J. Nanotechnol., 2020, vol. 11, pp. 1409–1418. https://doi.org/10.3762/bjnano.11.125.
  30. Lawless B. M., Sadeghi H., Temple D. K., Dhaliwal H., Espino D. M., Hukins D. W. L. Viscoelasticity of articular cartilage: Analysing the effect of induced stressand the restraint of bone in a dynamic environment, J. Mech. Beh. Biomed. Mater., 2017, vol. 75, pp. 293–301. https://doi.org/10.1016/j.jmbbm.2017.07.040.
  31. Durand D., Delsanti M., Adam M., Luck J. M. Frequency Dependence of Viscoelastic Properties of Branched Polymers near Gelation Threshold, Europhysics Letters, 1987, vol. 3, no. 3, pp. 297–301. https://doi.org/10.1209/0295-5075/3/3/008.
  32. Li W., Shepherd D. E. T., Espino D. M. Frequency dependent viscoelastic properties of porcine brain tissue, J. Mech. Beh. Biomed. Mater., 2020, vol. 102, 103460. https://doi.org/10.1016/j.jmbbm.2019.103460.
  33. Muller D. E. A method for solving algebraic equations using an automatic computer, Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 1956, vol. 10, no. 56, pp. 208–215. https://doi.org/10.2307/2001916.
  34. Matveenko V. P., Sevodin M. A., Sevodina N. V. Applications of Muller’s method and the argument principle to eigenvalue problems in solid mechanics, Computational Continuum Mechanics, 2014, vol. 7, no. 3, pp. 331–336 (In Russian). https://doi.org/10.7242/1999-6691/2014.7.3.32.
  35. Kligman E. P., Matveenko V. P., Sevodina N. V. Determination of natural vibrations of piecewise homogeneous viscoelastic bodies using the ANSYS software package, Computational Continuum Mechanics, 2010, vol. 3, no. 2, pp. 46–54 (In Russian). https://doi.org/10.7242/1999-6691/2010.3.2.16.
  36. Korepanova T. O., Matveenko V. P., Sevodina N. V. Numerical analysis of stress singularities at the tip of intersecting 3d wedge-shaped cracks, Computational Continuum Mechanics, 2011, vol. 4, no. 3, pp. 68–73 (In Russian). https://doi.org/10.7242/1999-6691/2011.4.3.28.
  37. Bochkarev S. A. and Lekomtsev S. V. Hydroelastic stability of coaxial cylindrical shells made of piezoelectric material, PNRPU Mechanics Bulletin, 2019, vol. 2, pp. 35–48 (In Russian). https://doi.org/10.15593/perm.mech/2019.2.04.
  38. Iurlova N. A., Oshmarin D. A., Sevodina N. V., Iurlov M. A. Algorithm for solving problems related to the natural vibrations of electro-viscoelastic structures with shunt circuits using ANSYS data, Int. J. Smart Nano Mater., 2019, vol. 10, no. 2, pp. 156–176. https://doi.org/10.1080/19475411.2018.1542356.
  39. Matveenko V. P., Iurlova N. A., Oshmarin D. A., Sevodina N. V., Iurlov M. A. An approach to determination of shunt circuits parameters for damping vibrations, Int. J. Smart Nano Mater., 2018, vol. 9, no. 2, pp. 135–149. https://doi.org/10.1080/19475411.2018.1461144.
  40. Lekomtsev S. V., Oshmarin D. A., Sevodina N. V. An approach to the analysis of hydroelastic vibrations of electromechanical systems, based on the solution of the non-classical eigenvalue problem, Mech. Adv. Mater. Struct., 2021, vol. 28, no. 19, pp. 1957–1964. https://doi.org/10.1080/15376494.2020.1716120.
  41. Lekhnitskii S. G. Theory of Elasticity of an Anisotropic Elastic Body, Holden-Day Series in Mathematical Physics. San Francisco, Holden-Day, Inc., 1963, xii+404 pp.
  42. Ansys 17.2 Documentation. SAS IP, Inc., 2016.
  43. Shaw M. T., Mac Knight W. J. Introduction to Polymer Viscoelasticity. New York, Wiley, 2005, xix+316 pp. https://doi.org/10.1002/0471741833.
  44. Nielsen L. E., Landel R. F. Mechanical Properties of Polymers and Composites. CRC Press, Boca Raton, 1993, 582 pp. https://doi.org/10.1201/b16929.
  45. Cowans J. The Effects of Viscoelastic Behavior on the Operation of a Delayed Resonator Vibration Absorber, MS Thesis. 18. Clemson Univ., 2006. https://tigerprints.clemson.edu/all_theses/18.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. [Figure 1. Graphical relations between components of complex dynamic moduli and frequency of external excitation]

Download (148KB)
Indexing metadata
3. [Figure 2. Relations between real parts ωRe ( a) and imaginary parts ωIm (b) of complex natural vibration frequency and values of component of complex dynamic moduli]

Download (298KB)
Indexing metadata
4. [Figure 3. A technique for determining values of real parts ωRe (a) and imaginary parts ωIm (b) of complex natural vibration frequencies]

Download (335KB)
Indexing metadata
5. [Figure 4 (color online). Computational scheme of the structure]

Download (151KB)
Indexing metadata
6. [Figure 5. Graphical relations of components of complex dynamic moduli and frequency of external excitation: increasing (a) and decreasing (b)]

Download (315KB)
Indexing metadata
7. [Figure 6. The first six modes of vibrations of the plate ( a) and frequency response plots of |Usum|/|U0| obtained for increasing (b) and decreasing (c) components of complex dynamic moduli]

Download (1MB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2022 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».