Начально-граничная задача для уравнения в частных производных высшего четного порядка с оператором Бесселя

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В данной статье для дифференциального уравнения в частных производных высокого четного порядка с оператором Бесселя в прямоугольнике сформулирована начально-граничная задача. На основе метода разделения переменных к поставленной задаче получена спектральная задача для обыкновенного дифференциального уравнения высокого четного порядка. Доказана самосопряженность последней задачи, откуда следует существование системы ее собственных функций, а также ортонормированность и полнота этой системы. Далее исследованы равномерная сходимость некоторых билинейных рядов и порядок коэффициентов Фурье, зависящих от найденных собственных функций. Решение изучаемой задачи найдено в виде суммы ряда Фурье по системе собственных функций спектральной задачи. Доказана равномерная сходимость этого ряда, а также рядов, полученных из него почленным дифференцированием. Методом спектрального анализа доказана единственность решения задачи. Получена оценка для решения задачи, откуда следует его непрерывная зависимость от заданных функций.

Об авторах

Ахмаджон Кушакович Уринов

Ферганский государственный университет; Институт математики имени В. И. Романовского АН Республики Узбекистан

Email: urinovak@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-9586-1799
Scopus Author ID: 19639412400
http://www.mathnet.ru/person30024

доктор физико-математических наук, профессор; профессор каф. математического анализа и дифференциальных уравнений, ведущий научный сотрудник

Узбекистан, 150100, Фергана, ул. Мураббийлар, 19; 100174, Ташкент, ул. Университетская, 46

Музаффар Сулаймонович Азизов

Ферганский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: muzaffar.azizov.1988@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2091-9300

докторант каф. математического анализа и дифференциальных уравнений

Узбекистан, 150100, Фергана, ул. Мураббийлар, 19

Список литературы

  1. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.
  2. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк., 1995. 301 с. EDN: PDBBNB.
  3. Салахитдинов М. С., Аманов Д. Разрешимость и спектральные свойства самосопряженной задачи для уравнения четвертого порядка // Узб. мат. ж., 2005. № 3. С. 72–77.
  4. Аманов Д., Юлдашева А. В. Разрешимость и спектральные свойства самосопряженной задачи для уравнения четвертого порядка // Узб. мат. ж., 2007. № 4. С. 3–8.
  5. Аманов Д., Мурзамбетова М. Б. Краевые задачи для уравнения четвертого порядка со спектральным параметром // Узб. мат. ж., 2012. № 3. С. 22–30.
  6. Аманов Д., Мурзамбетова М. Б. Краевая задача для уравнения четвертого порядка с младшим членом // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2013. № 1. С. 3–10. EDN: PXPCOF.
  7. Отарова Ж. А. Разрешимость и спектральные свойства самосопряженных задач для уравнения четвертого порядка // Узб. мат. ж., 2008. № 2. С. 74–80.
  8. Отарова Ж. А. Разрешимость и спектральные свойства самосопряженной задачи для уравнения четвертого порядка // Докл. АН РУз, 2008. № 1. С. 10–14.
  9. Отарова Ж. А. Вольтеррова краевая задача для уравнения четвертого порядка // Докл. АН РУз., 2008. № 6. С. 18–22.
  10. Сабитов К. Б. Начальная задача для уравнения колебаний балки // Диффер. уравн., 2017. Т. 53, № 5. С. 665–671. EDN: YSXNEH. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064117050090.
  11. Сабитов К. Б. Колебания балки с заделанными концами // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015. Т. 19, № 2. С. 311–324. EDN: UGXNZR. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1406.
  12. Сабитов К. Б. К теории начально-граничных задач для уравнения стержней и балок // Диффер. уравн., 2017. Т. 53, № 1. С. 89–100. EDN: XRBXOV. DOI: https://doi.org/10.1134/S0374064117010083.
  13. Сабитов К. Б., Фадеева О. В. Начально-граничная задача для уравнения вынужденных колебаний консольной балки // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2021. Т. 25, № 1. С. 51–66. EDN: SXRWIP. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1845.
  14. Azizov M. S. A boundary problem for the fourth order equation with a singular coefficient in a rectangular region // Lobachevskii J. Math., 2020. vol. 41, no. 6. pp. 1043–1050. EDN: HDCKMU. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080220060050.
  15. Азизов М. С. Смешанная задача для неоднородного уравнения четвертого порядка с сингулярным коэффициентом в прямоугольнике // Бюл. инст. мат., 2020. № 4. С. 50–59.
  16. Amanov D., Yuldasheva A. V. Solvability and spectral properties of boundary value problems for equations of even order // Malays. J. Math. Sci., 2009. vol. 3, no. 2. pp. 227–248. https://mjms.upm.edu.my/lihatmakalah.php?kod=2009/July/3/2/227-248.
  17. Amanov D. About correctness of boundary value problems for equation of even order // Uzbek Math. J., 2011. no. 4. pp. 20–35.
  18. Юлдашева А. В. Об одной задаче для уравнения высокого порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2014. № 2(9). С. 17–22. EDN: TBECFX. DOI: https://doi.org/10.18454/2079-6641-2014-9-2-17-22.
  19. Юлдашева А. В. Об одной задаче для квазилинейного уравнения четного порядка / Дифференциальные уравнения. Математическая физика / Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз., Т. 140. М.: ВИНИТИ РАН, 2017. С. 43–49.
  20. Amanov D., Ashyralyev A. Well-posedness of boundary value problems for partial differential equations of even order // AIP Conference Proceedings, 2012. vol. 1470, no. 1, 3. DOI: https://doi.org/10.1063/1.4747625.
  21. Ашуров Р. Р., Мухиддинова А. Т. Начально-краевые задачи для гиперболических уравнений с эллиптическим оператором произвольного порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки, 2020. Т. 30, № 1. С. 8–19. EDN: UDRGAX. DOI: https://doi.org/10.26117/2079-6641-2020-30-1-8-19.
  22. Ashurov R. R., Muhiddinova O. T. Initial-boundary value problem for a time-fractional subdiffusion equation with an arbitrary elliptic differential operator // Lobachevskii J. Math., 2021. vol. 42, no. 2. pp. 517–525. EDN: WSMCML. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080221030070.
  23. Каримов Ш. Т. Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя // Изв. вузов. Матем., 2017. № 8. С. 27–41. EDN: YNLHGN.
  24. Karimov Sh. T. On some generalizations of properties of the Lowndes operator and their applications to partial differential equations of high order // Filomat, 2018. vol. 32, no. 3. pp. 873–883. EDN: YBVBZJ. DOI: https://doi.org/10.2298/FIL1803873K.
  25. Karimov Sh. T. The Cauchy problem for the degenerated partial differential equation of the high even order // Sib. Elektron. Mat. Izv., 2018. no. 15. pp. 853–862. EDN: VUTMHO. DOI: https://doi.org/10.17377/semi.2018.15.073.
  26. Каримов Ш. Т., Уринов А. К. Решение задачи Коши для четырехмерного гиперболического уравнения с оператором Бесселя // Владикавк. матем. журн., 2018. Т. 20, № 3. С. 57–68. EDN: VKJWUR. DOI: https://doi.org/10.23671/VNC.2018.3.17991.
  27. Urinov A. K., Karimov Sh. T. On the Cauchy problem for the iterated generalized two-axially symmetric equation of hyperbolic type // Lobachevskii J. Math., 2020. vol. 41, no. 1. pp. 102–110. EDN: FNVWZQ. DOI: https://doi.org/10.1134/S199508022001014X.
  28. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматлит, 1959. 234 с.
  29. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Физматлит, 1969. 528 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Авторский коллектив; Самарский государственный технический университет (составление, дизайн, макет), 2022

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».