A modified Cauchy problem for an inhomogeneous equation of degenerate hyperbolic type of the second kind

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

In this study, a modified Cauchy problem was examined for an inhomogeneous equation of degenerate hyperbolic type of the second kind in a characteristic triangle. It is known that degenerate hyperbolic equations have a singularity, meaning that the well-posedness of the Cauchy problem with initial data on the line of parabolic degeneracy does not always hold for them. Therefore, in such cases, it is necessary to consider the problem with initial conditions in a modified form.
In present paper, modified Cauchy problems with initial conditions were formulated on the line of parabolic degeneracy for an inhomogeneous equation of degenerate hyperbolic type of the second kind. The considered problem is reduced to a modified Cauchy problem for a homogeneous equation and to a Cauchy problem for an inhomogeneous equation with zero initial conditions. The solutions of the modified Cauchy problem for a homogeneous equation are derived from the general solution of the considered equation. The explicit solutions of the modified Cauchy problem with homogeneous conditions for the inhomogeneous equation are found using the Riemann
method.
It is proven that the discovered solutions indeed satisfy the equation and the initial conditions.

About the authors

Akhmadjon K. Urinov

Fergana State University; V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan

Email: urinovak@mail.com
ORCID iD: 0000-0002-9586-1799
Scopus Author ID: 19639412400
https://www.mathnet.ru/person30024

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Head of Department; Dept. of Mathematical Analysis and Differential Equations; Leading Researcher

Uzbekistan, 150100, Ferghana, Murabbiylar st., 19; 100174, Tashkent, University st., 46

Akmaljon B. Okboev

V.I. Romanovskiy Institute of Mathematics
of the Academy of Sciences of the Republic of Uzbekistan

Author for correspondence.
Email: akmaljon12012@gmail.com
ORCID iD: 0000-0002-5544-3111
Scopus Author ID: 57216342298
https://www.mathnet.ru/person117934

PhD (Phys. & Math. Sci.); Senior Researcher

Uzbekistan, 100174, Tashkent, University st., 46

References

  1. Bitsadze A. V. Equations of the Mixed Type. Oxford, Pergamon, 1964, xiii+160 pp. DOI: https://doi.org/10.1016/C2013-0-01727-6.
  2. Tersenov S. A. On the theory of hyperbolic equations with given degeneracy type on lines, Sibirsk. Mat. Zh., 1961, vol. 2, no. 6, pp. 913–935 (In Russian).
  3. Eleev V. A. Some problems of the type of the Cauchy problem and problems with a shift for a certain degenerate hyperbolic equation, Differ. Uravn., 1976, vol. 12, no. 1, pp. 46–58 (In Russian).
  4. Khayrullin R. S. Zadacha Trikomi dlia uravneniia vtorogo roda s sil’nym vyrozhdeniem [Tricomi Problem for an Equation of the Second Kind with Strong Degeneracy]. Kazan, Kazan. Univ., 2015, 236 pp. (In Russian). EDN: UWLDMB.
  5. Mamadaliev N. K. On representation of a solution to a modified Cauchy problem, Sib. Math. J., 2000, vol. 41, no. 5, pp. 889–899. EDN: JFHDUB. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02674745.
  6. Salakhitdinov M. S., Isamukhamedov S. S. Boundary value problems for a mixed type equation of the second kind, Serdica Bulg. Math. Publ., 1977, vol. 3, pp. 181–188 (In Russian). http://www.math.bas.bg/serdica/1977/1977-181-188.pdf.
  7. Sabitov K. B., Suleimanova A. Kh. The Dirichlet problem for a mixed-type equation with characteristic degeneration in a rectangular domain, Russian Math. (Iz. VUZ), 2009, vol. 53, no. 11, pp. 37–45. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X0911005X.
  8. Sabitov K. B., Suleimanova A. Kh. The Dirichlet problem for a mixed-type equation with characteristic degeneration in a rectangular domain, Russian Math. (Iz. VUZ), 2007, vol. 51, no. 4, pp. 42–50. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X07040068.
  9. Yuldashev T. K., Islomov B. I., Abdullaev A. A. On Solvability of a Poincare–Tricomi type problem for an elliptic–hyperbolic equation of the second kind, Lobachevskii J. Math., 2021, vol. 42, no. 3, pp. 663–675. EDN: XNSEAX. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080221030239.
  10. Urinov A. K., Usmonov D. A. An initial-boundary problem for a hyperbolic equation with three lines of degenerating of the second kind, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 4, pp. 672–693 (In Russian). EDN: DIOYZF. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1962.
  11. Urinov A. K., Okboev A. B. Nonlocal boundary-value problem for a parabolic-hyperbolic equation of the second kind, Lobachevskii J. Math., 2020, vol. 41, no. 9, pp. 1886–1897. EDN: GDVVCS. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080220090280.
  12. Okboev A. B. Tricomi problem for second kind parabolic hyperbolic type equation, Lobachevskii J. Math., 2020, vol. 41, no. 1, pp. 58–70. EDN: BCPUBY. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080220010096.
  13. Cibrario M. Intorno ad una equazione lineare alle derivate parziali delsecondo ordine di tipo misto iperbolico-ellittica, Ann. Scuola Normale Sup. di Pisa, Ser. 2, 1934, vol. 3, no. 3–4, pp. 255–285. http://eudml.org/doc/82880.
  14. Karol’ I. L. On the theory of equations of mixed type, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 1953, vol. 88, no. 3, pp. 397–400 (In Russian).
  16. Reyn J. W. Solutions in the hyperbolic region of an equation, which approximates Chaplygin’s equation near the vacuum line, J. Math. Phys., 1967, vol. 46, no. 1-4, pp. 28–42. DOI: https://doi.org/10.1002/sapm196746128.
  17. Krikunov Yu. M. The modified Tricomi problem for the equation $u_{xx} + yu_{yy} + (−n + 1/2)u_y = 0$, Soviet Math. (Iz. VUZ), 1979, vol. 9, no. 208, pp. 20–27 (In Russian).
  18. Kapilevich M. B. On an equation of mixed elliptic-hyperbolic type, Mat. Sb., 1952, vol. 30, no. 1, pp. 11–38 (In Russian).
  19. Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka, 1969, 724 pp.
  20. Evdokimov F. F. Cauchy problem for the equation $u_{xx} - (-y)^m u_{yy} - lambda 2u = 0$, In: Differ. Uravn. Tr. Pedinstitutov RSFSR, Iss. 12. Ryazan, 1978, pp. 45–50 (In Russian).
  21. Urinov A. K., Okboev A. B. Modified Cauchy problem for one degenerated hyperbolic equation of the second kind, Ukr. Math. J., 2020, vol. 72, no. 1, pp. 114–135. EDN: XDIOGV. DOI: https://doi.org/10.1007/s11253-020-01766-1.
  22. Urinov A. K., Okboev A. B. On a Cauchy type problem for a second kind degenerating hyperbolic equation, Lobachevskii J. Math., 2022, vol. 43, no. 3, pp. 793–803. EDN: QPEVQB. DOI: https://doi.org/10.1134/S1995080222060324.
  23. Kapilevich M. B. Confluent hypergeometric Horn functions, Differ. Uravn., 1966, vol. 2, no. 9, pp. 1239–1254 (In Russian).

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2024 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».