Mathematical modeling of the effect on the transfer of salt ions of changes in the dissociation/recombination rate constant in the diffusion layer of the ion-exchange membrane

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

This study presents a novel theoretical model of steady-state ion transport through cation-exchange membrane systems. Unlike existing theoretical approaches, the proposed model relates modifications in the equilibrium constant not only to the electric potential gradient, but also to spatial charge distribution. Analysis of the Poisson equation confirms the significant dependence of ion dissociation kinetics on local space charge density within the membrane structure.
The developed mathematical model, incorporating this dependence, enables a more accurate description of diffusion-migration processes in cationexchange membranes. The obtained results provide a more precise description of ion behavior under steady-state transport conditions — a crucial factor for developing advanced membrane materials and technological processes. The proposed model can be applied in various technological fields employing ion-exchange membrane systems, including water treatment processes and energy converters.
A key advantage of the proposed model is its capability for comprehensive consideration of critical ion transport parameters: solution ionic strength, temperature conditions, and membrane structural-functional characteristics. This enables more accurate prediction of membrane system performance in actual technological processes.
In particular, application of this model in membrane water purification systems allows optimization of demineralization processes, thereby enhancing water treatment efficiency while reducing energy consumption in the technological cycle.
Thus, the developed model offers new opportunities for both fundamental research and practical optimization of mass transfer processes in ionexchange membrane systems.

About the authors

Roman R. Nazarov

Kuban State University

Email: r.nazarov1998@mail.ru
ORCID iD: 0009-0001-7280-0563
https://www.mathnet.ru/person213833

Postgraduate Research Student; Dept. of Data Analysis and Artificial Intelligence1

Russian Federation, 350040, Krasnodar, Stavropolskaya st., 149

Anna V. Kovalenko

Kuban State University

Author for correspondence.
Email: savanna-05@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3991-3953
SPIN-code: 3693-4813
Scopus Author ID: 55328224000
ResearcherId: P-1166-2015
http://www.mathnet.ru/person112835

Dr. Techn. Sci., Associate Professor; Head of Department; Dept. of Data Analysis and Artificial Intelligence1

Russian Federation, 350040, Krasnodar, Stavropolskaya st., 149

Ramazan A. Bostanov

Umar Aliev Karachay–Cherkess State University

Email: bost-rasul@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0002-8502-7653
https://www.mathnet.ru/person30830

Cand. Phys. & Math. Sci., Associate Professor; Dept. of Mathematical Analysis2

Russian Federation, 369202, Karachayevsk, Lenina st., 29

Makhamet Kh. Urtenov

Kuban State University

Email: urtenovmax@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-0252-6247
https://www.mathnet.ru/person119069

Dr. Phys. & Math. Sci., Professor; Dept. of Applied Mathematics1

Russian Federation, 350040, Krasnodar, Stavropolskaya st., 149

References

  1. Ershkov S., Burmasheva N. V., Leshchenko D. D., Prosviryakov E. Yu. Exact solutions of the Oberbeck–Boussinesq equations for the description of shear thermal diffusion of Newtonian fluid flows, Symmetry, 2023, vol. 15, no. 9, 1730. EDN: UXUKDI. DOI: https://doi.org/10.3390/sym15091730.
  2. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Exact solutions to the Oberbeck–Boussinesq equations for shear flows of a viscous binary fluid with allowance made for the Soret effect, Bulletin Irkutsk State Univ., Ser. Mathematics, 2021, vol. 37, pp. 17–30. EDN: NTNSFJ. DOI: https://doi.org/10.26516/1997-7670.2021.37.17.
  3. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Exact solution of the Couette–Poiseuille type for steady concentration flows, Uchen. Zap. Kazan. Univ., Ser. Fiziko-Matem. Nauki, 2022, vol. 164, no. 4, pp. 285–301 (In Russian). EDN: FXLLHT. DOI: https://doi.org/10.26907/2541-7746.2022.4.285-301.
  4. Bashurov V. V., Prosviryakov E. Yu. Steady thermo-diffusive shear Couette flow of incompressible fluid. Velocity field analysis, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2021, vol. 25, no. 4, pp. 763–775. EDN: AXCZUX. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1878.
  5. Burmasheva N. V., Prosviryakov E. Yu. Influence of the Dufour effect on shear thermal diffusion flows, Dynamics, 2022, vol. 2, no. 4, pp. 367–379. EDN: NGVOBP. DOI: https://doi.org/10.3390/dynamics2040021.
  6. Shel’deshov N. V. Processes of Hydrogen and Hydroxyl Ions in Ion-Exchange Membrane Systems, Doctoral dissertation in Chemical Sciences (Specialty: 02.00.05 — Electrochemistry). Krasnodar, Kuban State Univ., 2002, 405 pp. (In Russian). EDN: NNNGQN.
  7. Nikonenko V. V., Pis’menskaya N. D., Volodina E. I. Rate of generation of ions H+- and OH− at the ion-exchange membrane/dilute solution interface as a function of the current density, Russ. J. Electrochem., 2005, vol. 41, no. 11, pp. 1205–1210. EDN: LJAQQR. DOI: https://doi.org/10.1007/s11175-005-0203-z.
  8. Grebennikov V. P., Pivovarov N. Ya., Kovarsky N. Ya., et al. Bipolar Ion-Exchange Membrane, USSR Patent SU 745193 A1, IPC C25B 13/04. Appl. 2665517, 1978-09-18; publ. 1990-04-15 (In Russian). EDN: VNZYHP.
  9. Golovnya V. A., Kapustin A. F., Smirnova N. M., et al. Process for Inorganic Acid Regeneration, USSR Patent SU 865321 A1, IPC B01D 13/00. Appl. 2867388, 1980-01-04; publ. 1981-09-23 (In Russian). EDN: GSAAWG.
  10. Smagin V. N., Chukhin V. A., Medvedev I. N., Shchekotov P. D. Water Desalination Electrodialyzer, USSR Patent SU 971403 A1, IPC B01D 13/02. Appl. 3275226, 1981-04-10; publ. 1982-11-07 (In Russian). EDN: STKKOM.
  11. Grebennikov V. P., Pivovarov N. Ya., Latskov V. L., et al. Bipolar Ion-Exchange Membrane, USSR Patent SU 1150989 A1, IPC C25B 13/00, B01D 69/00. Appl. 3634930, 1983-07-22; publ. 1990-11-15 (In Russian). EDN: UYAFXH.
  12. Rubinshtein I., Maletzki F. Electroconvection at an electrically inhomogeneous permselective membrane surface, J. Chem. Soc., Faraday Trans., 1991, vol. 87, no. 13, pp. 2079–2087. DOI: https://doi.org/10.1039/FT9918702079.
  13. Rubinshtein I., Zaltzman B., Pretz J., Linder C. Experimental verification of the electroosmotic mechanism of overlimiting conductance through a cation exchange electrodialysis membrane, Rus. J. Electrochem., 2002, vol. 38, no. 8, pp. 853–863. EDN: VBRMLJ. DOI: https://doi.org/10.1023/A:1016861711744.
  14. Grebennikov V. P., Pivovarov N. Ya., Latckov V. L., et al. Electrodialyzer, USSR Patent SU 1237230 A1, IPC B01D 13/02. Appl. 3736135, 1984-05-04; publ. 1986-06-15 (In Russian). EDN: LHEPGD.
  15. Mareev S. A., Evdochenko E., Wessling M., et al. A comprehensive mathematical model of water splitting in bipolar membranes: Impact of the spatial distribution of fixed charges and catalyst at bipolar junction, J. Membr. Sci., 2020, vol. 603, 118010. EDN: AJNNIW. DOI: https://doi.org/10.1016/j.memsci.2020.118010.
  16. Kovalenko A. V., Uzdenova A. M., Ovsyannikova A. V., et al. Mathematical modeling of the effect of spacers on mass transfer in electromembrane systems, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2022, vol. 26, no. 3, pp. 520–543 (In Russian). EDN: JWREJU. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1944.
  17. Kazakovtseva E. V., Kovalenko A. V., Pismenskiy A. V., Urtenov M. Kh. Hybrid numericalanalytical method for solving the problems of salt ion transport in membrane systems with axial symmetry, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2024, vol. 28, no. 1, pp. 130–151 (In Russian). EDN: BOXTTX. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu2043.
  18. Newman J. S. Electrochemical Systems. Hoboken, N.J., John Wiley & Sons, Inc., 2004, xx+647 pp.
  19. Urtenov M. K., Kovalenko A. V., Sukhinov A. I., et al. Model and numerical experiment for calculating the theoretical current-voltage characteristic in electro-membrane systems, IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng., 2019, vol. 680, pp. 012030. EDN: AUNMRR. DOI: https://doi.org/10.1088/1757-899X/680/1/012030.
  20. Kovalenko A. V., Nikonenko V. V., Chubyr N. O., Urtenov M. Kh. Mathematical modeling of electrodialysis of a dilute solution with accounting for water dissociation-recombination reactions, Desalination, 2023, vol. 550, 116398. EDN: UCCTJU. DOI: https://doi.org/10.1016/j.desal.2023.116398.
  21. Uzdenova A. M., Kovalenko A. V., Urtenov M. K., Nikonenko V. V. Theoretical analysis of the effect of ion concentration in solution bulk and at membrane surface on the mass transfer at overlimiting currents, Russ. J. Electrochem., 2017, vol. 53, no. 11, pp. 1254–1265. EDN: XXDDNZ. DOI: https://doi.org/10.1134/S1023193517110179.
  22. Kovalenko A. V., Yzdenova A. M., Sukhinov A. I., et al. Simulation of galvanic dynamic mode in membrane hydrocleaning systems taking into account space charg, AIP Conf. Proc., 2019, vol. 2188, 050021. EDN: YHCGZX DOI: https://doi.org/10.1063/1.5138448.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download
2. Figure 1. Schematic of the diffusion layer for the boundary value problem formulation. Scale is not preserved for clarity

Download (124KB)
Indexing metadata
3. Figure 2. (color online) Spatial distributions of (a) space charge density $\rho(x)$ and (b) equilibrium function $P_w(x)$ in the diffusion layer. Insets show magnified regions near the boundary areas at $x=0$ (solution bulk) and $x=h$ (membrane interface). Blue curves correspond to the base model ($b=0$), while green curves represent the modified model accounting for the dependence of the equilibrium constant on space charge ($b=10^{-6}$)

Download (382KB)
Indexing metadata
4. Figure 3. (color online) Spatial distribution of the modified equilibrium constant $K_w(x) = K_{w_0} + b\rho(x)$ in the diffusion layer, where $K_{w_0}$ is the bulk equilibrium constant and $\rho(x)$ is the space charge density. Insets show magnified regions near the boundaries at $x=0$ (solution bulk) and $x=h$ (membrane interface). Blue curve — $b=10^{-6}$ (space-charge-dependent case); green curve — $b=0$ (reference case with constant $K_w$). The dependence on $\rho(x)$ leads to significant variations near the membrane interface

Download (170KB)
Indexing metadata
5. Figure 4. (color online) Spatial distribution of ion fluxes for $\mathrm{H}^+$ ($j_3$) and $\mathrm{OH}^-$ ($j_4$) in the diffusion layer. Insets display magnified regions adjacent to the boundaries at $x=0$ (solution bulk) and $x=h$ (membrane interface). Legend: blue curve — $\mathrm{H}^+$ ion flux at $b=0$; green curve — $\mathrm{H}^+$ ion flux at $b=10^{-6}$; red curve — $\mathrm{OH}^-$ ion flux at $b=0$; cyan curve — $\mathrm{OH}^-$ ion flux at $b=10^{-6}$

Download (227KB)
Indexing metadata

Copyright (c) 2025 Authors; Samara State Technical University (Compilation, Design, and Layout)

Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».