On a numerical method for recovery of fractional derivative order in the generalized wave equation

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Background. The purpose of the paper is the development of a computational algorithm for approximate recovery of derivative order in the generalized wave equation. Urgency of the stated problem is dictated not only by significant need for improvement of mathematical apparatus for solution of inverse and ill-posed problems but also by the growing number of applications of equations with partial derivatives of fractional order to math-ematical modelling in different fields of physical and technical sciences. Materials and methods. The approach for solution of the stated problem is based on its reduction to a nonlinear in the unknown parameter integral equation and subsequent solution of this integral equation with the help of continuous operator method for solution of nonlinear equations in Banach spaces. Results. Application of the continuous operator equation made it possible to develop the numerical algorithm for recovery of fractional derivative order in the generalized wave equation on the extra assumption of that the solution of this equation is additionally known at one arbitrary point. Conclusions. The approach described in this paper appears to be quite efficient for solution of inverse problems for partial differential equations with fractional order derivatives. Extending of the used approach to a wider range of inverse and ill-posed problems for equations with fractional order derivatives is of considerable interest.

About the authors

Vladimir A. Ryazantsev

Penza State University

Author for correspondence.
Email: ryazantsevv@mail.ru

Candidate of engineering sciences, associate professor of the sub-department of higher and applied mathematics

(40 Krasnaya street, Penza, Russia)

References

  1. Ashurov R.R., Fayziev Yu.E. Inverse problem of determining the order of the fractional derivative in the wave equation. Matematicheskie zametki = Mathematical notes. 2021;110(6):824‒836. (In Russ.). doi: 10.4213/mzm13090
  2. Ashurov R., Sitnik S. Identification of the order of the fractional derivative for the fractional wave equation. Fractal and fractional. 2023;7(1):67. doi: 10.3390/fractalfract7010067
  3. Li Z., Yamamoto M. Inverse problems of determining coefficients of the fractional partial differential equations. Handbook of fractional calculus with applications. 2019;2:443‒464. doi: 10.48550/arXiv.1904.05505
  4. Tatar S., Ulusoy S. A uniqueness result for an inverse problem in a space-time fractional diffusion equation. Electronic Journal of Differential Equations. 2013;257:1‒9.
  5. Cheng J., Nakagawa J., Yamamoto M., Yamazaki T. Uniqueness in an inverse problem for a one-dimensional fractional diffusion equation. Inverse Problems. 2009;25(11). id. 115002. doi: 10.1088/0266-5611/25/11/115002
  6. Zheng X., Cheng J., Wang H. Uniqueness of determining the variable fractional order in variable-order time-fractional diffusion equations. Inverse Problems. 2019;35(12). id. 125002. doi: 10.1088/1361-6420/ab3aa3
  7. Tverdyy D.A., Parovik R.I. Solution of the inverse problem of identifying the order of fractional derivative in a mathematical model of solar activity dynamics at the rise stage. Vestnik KRAUNTs. Fiziko-matematicheskie nauki = Bulletin KRASEC. Physical and mathematical sciences. 2023;45(4):36‒51. (In Russ.). doi: 10.26117/2079-6641- 2023-45-4-36-51
  8. Vasil'ev V.I., Kardashevskiy A.M. Numerical identification of the order of fractional time derivative of the subdiffusion model. Matematicheskie zametki SVFU = Proceedings of the North-Eastern Federal University. 2020;27(4):60‒71. (In Russ.). doi: 10.25587/SVFU.2020.98.14.005
  9. Boykov I.V., Ryazantsev V.A. On one approximate method for determining the thermal conductivity coefficient. Zhurnal Srednevolzhskogo matematicheskogo obshchestva = Journal of the Middle Volga Mathematical Society. 2019;21(2):149‒163. (In Russ.). doi: 10.15507/2079-6900.21.201902.149-163
  10. Boykov I.V., Ryazantsev V.A. On the numerical solution of the coefficient inverse problem for hyperbolic equations. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2019;(3):47‒62. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040- 2019-3-4
  11. Boykov I.V., Ryazantsev V.A. On an approximate method for solving the inverse coefficient problem for the heat conduction equation. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki = Siberian Journal of Industrial Mathematics. 2021;24(2):5‒22. (In Russ.). doi: 10.33048/SIBJIM.2021.24.201
  12. Boykov I.V., Ryazantsev V.A. On an iterative method for solving direct and inverse problems for parabolic equations. Izvestiya Saratovskogo uni-versiteta. Novaya seriya. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika = Proceedings of Saratov University. New series. Series: Mathematics. Mechanics. Computer sciences. 2023;23(3):286‒310. (In Russ.). doi: 10.18500/1816-9791-2023-23-3-286-310
  13. Boykov I.V., Ryazantsev V.A. Numerical reconstruction of the initial condition in Cauchy problems for linear parabolic and hyperbolic equations. Izve-stiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2020;(3):68‒84. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2020-3-6
  14. Boykov I.V., Ryazantsev V.A. On a method of reconstructing the boundary condition for linear equations of parabolic type. Izvestiya vysshikh uchebnykh za-vedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2020;(4):42‒56. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040- 2020-4-4
  15. Boykov I.V., Ryazantsev V.A. On the problem of recovering boundary conditions in the third value problem for parabolic equation. University Proceedings. Volga region. Physical and Mathematical Sciences. 2021;(2):3‒13. doi: 10.21685/2072-3040-2021-2-1
  16. Boykov I.V. On a continuous method for solving nonlinear operator equations. Differentsial'nye uravneniya = Differential equations. 2012;48(9):1308‒1314. (In Russ.)
  17. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I. Integraly i proizvodnye drobnogo poryadka i nekotorye ikh prilozheniya = Integrals and derivatives of fractional order and some of their applications. Minsk: Nauka i tekhnika, 1987:688. (In Russ.)
  18. Nakhushev A.M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie = Fractional calculus and its applications. Moscow: Fizmatlit, 2003:272. (In Russ.)
  19. Uchaykin V.V. Metod drobnykh proizvodnykh = Fractional derivative method. Ul'yanovsk: Artishok, 2008:512. (In Russ.)
  20. Krylov V.I., Skoblya N.S. Metody priblizhennogo preobrazovaniya Fur'e i obrashcheniya preobrazovaniya Laplasa = Approximate Fourier transform and Laplace transform inversion methods. Moscow: Nauka, 1974:224. (In Russ.)

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».