Вариант формальной теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Актуальность и цели. В теории линейных дифференциальных уравнений существенную роль играют преобразования, порожденные дифференциальными заменами зависимых переменных. Исследование этих преобразований привело к со- зданию общей теории дифференциальных алгебр симметрии однородных линейных систем дифференциальных уравнений и к теории дифференциальных гомоморфизмов. Эти теории оказались тесно связанными с понятием теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов (ЛДО). К настоящему времени доказано несколько теорем о нулях ЛДО, но этих теорем недостаточно для исследования алгебр дифференциальной симметрии и соотношений между разными типами линейных однородных систем дифференциальных уравнений. Формулировка и доказательство новых теорем о нулях ЛДО является актуальной задачей. Основная цель работы – формулировка и доказательство варианта формальной теоремы о нулях ЛДО. Другая важная цель – построение примеров применения теоремы, которые подтверждают ее полезность и основательность. Материалы и методы. Приведены общие сведения о работах, в которых представлены теоремы о нулях ЛДО. Поясняется смысл формальных теорем о нулях и роль, которую такие частные теоремы могут играть в общей теории. Представлены основные обозначения и понятия, приведено определение теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов для семейства модулей над кольцом скалярных линейных дифференциальных операторов. Описаны элементы теории псевдообратных матриц и операторов, которые используются при доказательстве основной теоремы работы. Результаты. Формулируется и доказывается вариант формальной теоремы о нулях. Приведены примеры семейств линейных дифференциальных операторов, для которых выполняются условия теоремы 1 (теоремы 2, 3, 4). Описан метод построения локальных сечений в общей задаче псевдообращения; в новой ситуации применена псевдообратная матрица; использован специальный базис, в котором координаты ЛДО совпадают с его коэффициентами; введено полезное понятие матрицы главных символов ЛДО по столбцам. Выводы. Результаты работы могут служить основой доказательства справедливости формальной теоремы о нулях для множества конкретных линейных дифференциальных операторов и семейств операторов.

Об авторах

Вера Ивановна Титаренко

Институт информационных систем, Государственный университет управления

Автор, ответственный за переписку.
Email: vera_xmel@mail.ru

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и информатики, 

(Россия, г. Москва, Рязанский пр-кт, 99)

Александр Иванович Фомин

независимый исследователь

Email: fomin45@mail.ru

кандидат физико-математических наук,
доцент

(Россия, г. Москва)

Список литературы

  1. Fomin A. I. Differential Homomorphisms of Linear Homogeneous Systems of Differential Equations // Russian Journal of Mathematical Physics. 2012. Vol. 19, № 2. P. 159–181.
  2. Фомин А. И. Преобразования Лапласа как дифференциальные изоморфизмы // Научная дискуссия: вопросы математики, физики, химии, биологии : сб. ст. по материалам XLIV‒XLVIII Междунар. науч.-практ. конф. М. : Интернаука, 2016. № 8-12 (35). С. 5–12.
  3. Fomin A. I. Differential symmetry algebras for linear homogeneous differential equations // Russian Journal of Mathematical Physics. 1997. Vol. 5, № 2. P. 189–210.
  4. Фомин А. И. Титаренко В. И. Теоремы о нулях линейных дифференциальных операторов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико- математические науки. 2024. № 4. С. 18‒34.
  5. Moore H. On the reciprocal of the general algebraic matrix // Bulletin of the American Mathematical Society. 1920. Vol. 26. P. 394‒395.
  6. Пенроуз Р. A generalized inverse for matrices // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1955. Vol. 51. P. 406‒413.
  7. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М. : Физматлит, 2016. 576 с.
  8. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. М. : Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1983. 336 с.
  9. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М. : Изд. Лань, 2024. 432 с.
  10. Пытьев Ю. П. Псевдообратный оператор. Свойства и применения // Математиче- ский сборник. 1982. Т. 118 (160), № 1 (5). С. 19‒49.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать


Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».