Метод оптимального расположения узлов аппроксимации

В настоящей статье предложен метод оптимизации расположения узлов аппроксимации, реализованный на примере функции Рунге.  В основу предложенного метода заложена идея о нелинейности пространства по осям декартовой системы координат. Для управления нелинейностью использована полиномиальная функция с параметром, равномерно распределенным на отрезке $[0,1]$. Проведен  сравнительный анализ следующих стандартных методов выбора узлов аппроксимации  функции Рунге: равномерно по оси абсцисс, равномерно по оси ординат, равномерно по длине кривой, по узлам Чебышева. Для сравнения интерполяционных полиномов Лагранжа проведена оценка погрешностей аппроксимации функции Рунге.  Представлены графики построенных полиномов Лагранжа для пяти и семи узлов, выбранных разными способами. Для выбора оптимального расположения узлов аппроксимации предложенного метода составлена целевая функция, минимизация которой и обеспечивает оптимальное расположение узлов $x_i$ по оси абсцисс.  Расположение узлов аппроксимации по оси ординат определено вычислением значений $y_i$ на основе исходной функции Рунге. В результате найдены узлы, которые обеспечивают минимальные отклонения от исходной аппроксимируемой функции Рунге. В качестве примера рассмотрены случаи пяти и семи узлов аппроксимации. Для визуализации полученных результатов приведены графики исходной функции Рунге и её аппроксимации с указанием найденных оптимальных узлов. Данный метод является устойчивым к увеличению количества узлов, расположение которых каждый раз оптимизируется и адаптируется к исходной функции.