Том 27, № 3 (2025)

В настоящей работе рассматриваются классические системы итерированных функций (СИФ), состоящие из конечного числа сжимающих отображений полного метрического пространства. Основная цель - исследовать класс СИФ, аттракторы которых являются канторовыми множествами, то есть совершенными вполне несвязными множествами. Важными представителями такого класса являются вполне несвязные СИФ, введенные Барнсли. Нами предложены другие определения вполне несвязной СИФ и доказана их эквивалентность определению Барнсли. Получены достаточные условия,  при которых СИФ является вполне несвязной. Показано, что инъективность отображений из СИФ влечет совершенность аттрактора и его несчетность. Доказано, что если отображения из СИФ являются инъективными, а сумма их коэффициентов сжатия меньше единицы, то аттрактор является канторовым множеством. В общем случае, эти условия не гарантируют вполне несвязность СИФ. Между тем показано, что если СИФ состоит из двух инъективных отображений, сумма коэффициентов сжатия которых меньше единицы, то СИФ является вполне несвязной. Построены примеры аттракторов СИФ, демонстрирующие, что условия доказанных теорем имеют только достаточный характер и не являются необходимыми.  

Работа содержит достаточные условия действия обобщенного и линейного обобщенного частно-интегрального оператора Романовского в пространстве непрерывных функций, определенных на n-мерном параллелепипеде. Установлена непрерывность обобщенного и линейного обобщенного частно-интегрального оператора Романовского в случае его действия в пространстве непрерывных функций и в более общем случае непрерывных ядер операторов со значениями в пространстве измеримых и интегрируемых по Лебегу функций. Получены оценки норм обобщенного и линейного обобщенного частно-интегрального оператора Романовского в пространстве непрерывных функций. Показана зависимость оценки нормы линейного оператора типа Романовского с обобщенными частными интегралами от размерности пространства и от нормы непрерывных ядер обобщенных частно-интегральных операторов Романовского со значениями в пространстве измеримых и интегрируемых по Лебегу функций. Установленные свойства операторов применяются к исследованию линейных обобщенных частно-интегральных уравнений типа Романовского, в частности, к изучению обобщенного частно-интегрального уравнения n-связных цепей Маркова.

В работе предложен новый квадратно-корневой метод параметрической идентификации градиентного типа для дискретных линейных стохастических систем в пространстве состояний с неизвестными входными сигналами. Разработан новый алгоритм вычисления значений критерия идентификации и его градиента на основе квадратно-корневой модификации метода Гиллейнса – Де-Мора, использующий численно устойчивые матричные ортогональные преобразования. В отличие от известных решений, в данной работе применены оригинальные методы дифференцирования матричных ортогональных преобразований. Построена и теоретически обоснована новая модель чувствительности, позволяющая вычислить значения градиента критерия идентификации через частные производные оценок вектора состояния по идентифицируемым параметрам. Основные результаты включают новые уравнения квадратно-корневой модели чувствительности и квадратно-корневой алгоритм вычисления значений критерия идентификации и его градиента. Вычислительные эксперименты выполнены в системе MATLAB на примере решения задачи численной идентификации стохастической модели диффузии с неизвестными граничными условиями. Эффективность предложенного алгоритма подтверждается сравнением методов градиентного и безградиентного типов. Результаты вычислительных экспериментов демонстрируют работоспособность предложенного подхода, который может быть использован для решения практических задач идентификации параметров математических моделей, представленных дискретными линейными стохастическими системами в пространстве состояний при отсутствии априорной информации о входных сигналах.

На основе экспериментов по захвату и перемещению груза системой самоорганизующихся частиц в магнитном поле моделируется динамика такого процесса. Транспортная система частиц представляет собой самособирающуюся структуру в виде одной замкнутой цепочки (двумерный случай) или двух параллельно расположенных замкнутых цепочек (трехмерный случай). В результате действия внешнего магнитно- го поля частицы приводятся во вращение и перемещаются поступательно. Учитывается гидродинамическое взаимодействие между всеми частицами и грузом, который с внешним полем не взаимодействует. Математическая модель включает в себя уравнения гидродинамики вязкой жидкости и динамики частиц в приближении малых чисел Рейнольдса. Для численного моделирования и визуализации полученных результатов проведены использовался специально разработанный программный комплекс. Проведенные численные расчеты подтвердили возможность управляемого захвата и переноса груза в случае расположения системы частиц и груза в одной плоскости. В трехмерном случае проведенное численное моделирование показывает, что захват груза и его перемещение транспортной структурой в виде параллельно расположенных замкнутых цепочек частиц не происходит. Полученные результаты качественно согласуются с известными экспериментами. Предлагаемая модель может быть использована для расчета динамики системы частиц, самоорганизующихся в замкнутые цепочки, в жидкости в присутствии посторонних тел.