Testing Lehman’s hypothesis with incomplete data for parallel systems

Full Text

Введение

На практике часто возникает задача сравнения законов распределения наработок до отказа элементов в различных режимах в случае, когда имеются данные по отказам состоящих из этих элементов параллельных систем. В этом случае наблюдаются наработки только наиболее надежных элементов, входящих в эти системы. В работах авторов [1, 2] для случая полных результатов испытаний (все системы доводятся до отказа) решалась задача проверки степенной зависимости функций распределения наработок элементов в разных режимах по наработкам систем, состоящих из этих элементов. Авторами было предложено использовать критерий типа Колмогорова-Смирнова, построенный на основе сравнения оценок функций распределения наработок до отказа элементов типа Каплана-Мейера. В настоящей работе авторы предлагают и исследуют критерий типа Реньи, который позволяет проверять гипотезу Лемана в случае, когда не все системы испытаны до отказа.

1. Постановка задачи

В двух различных режимах работы ${\epsilon }_1$ и ${\epsilon }_2$ испытывают $n_1$ сложных систем, состоящих из $m_1$ параллельно соединенных элементов, и $n_2$ систем, состоящих из $m_2$ параллельно соединенных элементов соответственно. Испытания проходят таким образом, что $(m_j-1),j=\mathrm{1,2}$ отказов не наблюдаются, а наблюдаются только отказы последних элементов систем. Предполагается, что на распределение наработок до отказа элементов в системах не влияют отказы составляющих систему элементов. По испытаниям такого рода наблюдают две выборки ${\Theta }_1=\left({\theta }_1^1\mathrm{,...,}{\theta }_1^{n_1}\right),{\Theta }_2=\left({\theta }_2^1\mathrm{,...,}{\theta }_2^{n_2}\right)$ из максимумов наработок до отказа элементов систем, работающих в режимах ${\epsilon }_1$ и ${\epsilon }_2$.

По испытаниям такого рода требуется проверить гипотезу Лемана [3]

$H_0:F_1\left(t\right)={\left[F_2\left(t\right)\right]}^k$, (1)

где $F_1\left(t\right)$ — функция распределения наработок до отказа элементов в режиме ${\epsilon }_1,$ $F_2\left(t\right)$ — функция распределения наработок до отказа в режиме ${\epsilon }_2,$ $k$ — некоторое фиксированное число.

В работе [1] для проверки гипотезы (1) в случае, когда наблюдаются отказы всех систем, был предложен критерий типа Колмогорова–Смирнова. Он основан на сравнении впервые предложенных в [2] оценок ${\stackrel{⌢}{F}}_{{\theta }_1}\left(t\right),{\stackrel{⌢}{F}}_{{\theta }_2}\left(t\right)$ функций распределения $F_1\left(t\right),F_2\left(t\right)$ — аналогов оценок Каплана–Мейера [4, 5] функций надежности по цензурированным выборкам, вид и свойства которых были рассмотрены в работе [3].

Эти оценки имеют вид

$\begin{array}{l}{\stackrel{⌢}{F}}_{{\theta }_j}\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{0,}{d}_j\left(t\right)=0;\\ \prod _{i=1}^{n_j-d_j\left(t\right)}\left(1-\frac{1}{m_j\left(n_j-i+1\right)}\right)\\ \mathrm{1,}{d}_j\left(t\right)=n_j,\end{array}\right.,1\le d_j\left(t\right)\le (n_j-1);j=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\\ \end{array}$ (2)

где $d_j\left(t\right)$ — количество отказов систем к моменту времени $t$ выборки ${\Theta }_j$.

Свойства (2) более подробно рассмотрены в работе [3].

В силу того, что далеко не всегда удается испытать все системы до отказа, важное значение имеет задача проверки (1) для случая, когда не все системы испытаны до отказа [6].

Введем некоторые обозначения. Обозначим $r_1\le n_1$ — число отказов систем за время испытаний в режиме ${\epsilon }_1$, аналогично $r_2\le n_2$ — число отказов систем в режиме ${\epsilon }_2$. Пусть $G_j\left(t\right)=F_j^{m_j}\left(t\right),j=\mathrm{1,2}$ — функции распределения наработок до отказа систем. Объединённую эмпирическую функцию распределения изделий по выборкам $\left({\theta }_1^1\mathrm{,...,}{\theta }_1^{r_1}\right),\left({\theta }_2^1\mathrm{,...,}{\theta }_2^{r_2}\right)$ обозначим ${\stackrel{⌢}{F}}_0\left(t\right)$. Как и в работе [2]

${\stackrel{⌢}{F}}_0\left(t\right)=\frac{n_1}{n_1+n_2}{{\stackrel{⌢}{G}}_1}^{\frac{1}{m_1}}+\frac{n_2}{n_1+n_2}{{\stackrel{⌢}{G}}_2}^{\frac{k}{m_2}}$.

Для проверки справедливости (1) в настоящей работе предлагается критерий типа Реньи [7], статистика которого имеет вид

$R_{\lambda }=\frac{m_1{m}_2\sqrt{\rho n_2}}{\sqrt{k^2\rho m_1^2+m_2^2}}\sqrt{\frac{\lambda }{1-\lambda }}\underset{t:\psi \left({\stackrel{⌢}{F}}_0\right(t\left)\right)<1-\lambda }{\max }\frac{{\stackrel{⌢}{F}}_0{\left(t\right)}^{m_1+\frac{m_2}{k}-1}\cdot \left|{\stackrel{⌢}{F}}_{{\theta }_1}\left(t\right)-{\left({\stackrel{⌢}{F}}_{{\theta }_2}\left(t\right)\right)}^k\right|}{k{}_2\stackrel{⌢}{F}_0{\left(t\right)}^{\frac{m_2}{k}}+k{}_1\stackrel{⌢}{F}_0{\left(t\right)}^{m_1}-{\stackrel{⌢}{F}}_0{\left(t\right)}^{m_1+\frac{m_2}{k}}}$. (3)

Здесь $\psi \left(x\right)=x^{\frac{m_2}{k}}/(k_2{x}^{\frac{m_2}{k}-m_1}+k_1),x\in (0,1],\psi \left(0\right)=\mathrm{0,}$ строго возрастающая функция,

$k_1=\frac{\rho m_1^2{k}^2}{\rho m_1^2{k}^2+m_2^2},k_2=\frac{m_2^2}{\rho m_1^2{k}^2+m_2^2},\rho =\frac{n_1}{n_2}$.

В (3) в случае ${\stackrel{⌢}{F}}_0\left(t\right)=0$ функция, максимум которой определяется, равна 0.

Тогда продолжительность испытаний можно определить следующим образом. Пусть $0<\lambda <1$ — некоторое фиксированное число. Испытания прекращаются в момент времени, когда нарушается неравенство $\psi \left({\stackrel{⌢}{F}}_0\right(t\left)\right)<1-\lambda .$ Параметр $\lambda$ назовём параметром Реньи.

2. Точные распределения статистики $R_{\lambda }$

Для вычисления точных распределений статистики $R_{\lambda }$, введем модель случайного блуждания частицы по целочисленной решетке [8, 9]. Для этого запишем статистику (3) в виде $R_{\lambda }=\underset{t}{\max }H\left(t\right),$ где $H\left(t\right)$ определяется видом статистики.

Для вычисления точных распределений статистики (3) составим $Q=\left\{{\theta }_1^1\mathrm{,...,}{\theta }_1^{n_1},{\theta }_2^1\mathrm{,...,}{\theta }_2^{n_2}\right\}$ — объединённую выборку из отказов систем в обоих режимах. Расположим элементы выборки $Q$ в порядке убывания и составим из них ряд $\Gamma =\left\{{\gamma }_1\ge {\gamma }_2\ge {\gamma }_3\ge \mathrm{...}\ge {\gamma }_{n_1+n_2}\right\}$.

Замечание. То, что рассматриваются полные выборки $Q=\left\{{\theta }_1^1\mathrm{,...,}{\theta }_1^{n_1},{\theta }_2^1\mathrm{,...,}{\theta }_2^{n_2}\right\}$ и $\Gamma =\left\{{\gamma }_1\ge {\gamma }_2\ge {\gamma }_3\ge \mathrm{...}\ge {\gamma }_{n_1+n_2}\right\}$ из отказов систем, введено лишь для удобства изложения. В дальнейшем не требуется, чтобы при расчете распределений использовались полные данные.

Введем вектор $\mathbf{Z}=\left(z_1,z_2\mathrm{,...,}{z}_{n_1+n{}_2}\right)$, состоящий из $n_1$ единиц и $n_2$ нулей, где

$z_l=\left\{\begin{array}{c}\mathrm{1,}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}если }{\gamma }_l={\theta }_1^i,i=\overline{\mathrm{1,}{n}_1}\\ \text{0,\hspace{0.33em}\hspace{0.17em}если }{\gamma }_l={\theta }_2^i,i=\overline{\mathrm{1,}{n}_2}\end{array},l=\mathrm{1,}\dots ,n_1+n_2\right.$.

В работе [2] была доказана следующая лемма.

Лемма 1. Распределение вероятностей векторов $\mathbf{Z}=\left(z_1,z_2\mathrm{,...,}{z}_{n_1+n{}_2}\right)$ не зависит от распределения наработок до отказа и определяется следующим выражением:

$p\left(Z\right)=\prod _{l=1}^{n_1+n_2}\left(\frac{{\left(\left(n_1-V_{l-1}\right)m_{1}k\right)}^{z_l}{\left(\left(n_2-U_{l-1}\right)m_2\right)}^{1-z_l}}{\left(n_1-V_{l-1}\right)m_{1}k+\left(n_2-U_{l-1}\right)m_2}\right)$,

где $V_l=\sum _{i=1}^l{z}_i,V_0=0$ — количество единиц в векторе Z до l-ого места включительно, $U_l=l-\sum _{i=1}^l{z}_i,U_0=0$ — количество нулей в векторе Z до l-ого места включительно.

Пусть $(i,j),0\le i\le n_1,0\le j\le n_2$ — целочисленная решетка на плоскости. Частица на первом шаге выходит из точки $\left(0,0\right)$ и на $\left(n_1+n_2\right)$ – ом шаге она заканчивает блуждание в точке $(n_1,n_2)$, совершая $n_1$ скачков «вправо» и $n_2$ скачков «вверх». Траектории частицы будут находиться во взаимно однозначном соответствии с векторами Z. Равенство $z_l=1$, $l=\mathrm{1,}\dots ,\left(n_1+n_2\right)$ в векторе Z соответствует скачку вправо на l шаге, если же $z_l=0$, $l=\mathrm{1,}\dots ,\left(n_1+n_2\right)$ — скачку вверх.

Точные вероятности $P\left(R_{\lambda }<h\right)={\pi }_{n_1,n_2}\left(h\right)$ вычисляются при помощи алгоритма, основанного на модели случайного блуждания по множеству точек, которое показано на рис. 1.

 

Рис. 1. Случайное блуждание частицы по целочисленной решетке

 

При прохождении блуждания через точку $\left(i,j\right)$ (что соответствует $V_{i+j}=i,U_{i+j}=j$) функция $H\left(t\right)$ принимает значение, равное

$H_{ij}=\frac{m_1{m}_2\sqrt{\rho n_2}}{\sqrt{k^2\rho m_1^2+m_2^2}}\sqrt{\frac{\lambda }{1-\lambda }}\frac{{F_{ij}}^{m_1+\frac{m_2}{k}-1}\cdot {\Delta }_{ij}}{k{}_{2}F{{}_{ij}}^{\frac{m_2}{k}}+k{}_{1}F{{}_{ij}}^{m_1}-{F_{ij}}^{m_1+\frac{m_2}{k}}}.$

Здесь

${\Delta }_{ij}=\left|\prod _{s_1=1}^i\left(1-\frac{1}{m_1\left(n_1-s_1+1\right)}\right)-{\left(\prod _{s_2=1}^j\left(1-\frac{1}{m_2\left(n_2-s_2+1\right)}\right)\right)}^k\right|$ — значения модуля разности оценок типа Каплана-Мейера функций распределения элементов двух выборок,

$F_{ij}=\frac{n_1}{n_1+n_2}{\left(\frac{n_1-i}{n_1}\right)}^{\frac{1}{m_1}}+\frac{n_2}{n_1+n_2}{\left(\frac{n_2-j}{n_2}\right)}^{\frac{k}{m_2}}$ — значение объединенной оценки ${\stackrel{⌢}{F}}_0\left(t\right)$ функции распределения.

Теорема 1. Вероятность $P\left(R_{\lambda }<h\right)={\pi }_{n_1,n_2}\left(h\right)$ может быть получена путем применения следующего рекуррентного соотношения:

${\pi }_{ij}\left(h\right)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1,}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}если\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}i=\mathrm{0,}j=0;\\ \left(\frac{m_2\left(n_2-j+1\right)}{m_{1}k\left(n_1-i\right)+m_2\left(n_2-j+1\right)}{\pi }_{i,j-1}\left(h\right)\right){\chi }_{ij}\left(h\right),i=\mathrm{0,}1\le j\le n_2;\\ \left(\frac{m_{1}k\left(n_1-i+1\right)}{m_{1}k\left(n_1-i+1\right)+m_2\left(n_2-j\right)}{\pi }_{i-\mathrm{1,}j}\left(h\right)\right){\chi }_{ij}\left(h\right),1\le i\le n_1,j=0;\\ \left(\begin{array}{l}\frac{m_{1}k\left(n_1-i+1\right)}{m_{1}k\left(n_1-i+1\right)+m_2\left(n_2-j\right)}{\pi }_{i-\mathrm{1,}j}\left(h\right)+\\ +\frac{m_2\left(n_2-j+1\right)}{m_{1}k\left(n_1-i\right)+m_2\left(n_2-j+1\right)}{\pi }_{i,j-1}\left(h\right)\end{array}\right){\chi }_{ij}\left(h\right),1\le i\le n_1,1\le j\end{array}\right.$ (4)

${\chi }_{ij}\left(h\right)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{1,}& a_{ij}\in A_0\left(h\right)\\ \mathrm{0,}& a_{ij}\notin A_0\left(h\right)\end{array}\right.$ — индикатор множества $A_0\left(h\right)$, где $A_0\left(h\right)=\left\{a_{ij}\right\}$, а индексы $i,j$ удовлетворяют следующим условиям:

1. $i=n_1,j=n_2$.
2. $\frac{{\left(F_{ij}\right)}^{\frac{m_2}{k}}}{k_2{\left(F_{ij}\right)}^{\frac{m_2}{k}-m_1}+k_1}\ge 1-\lambda .$
3. $\left(\frac{{\left(F_{ij}\right)}^{\frac{m_2}{k}}}{k_2{\left(F_{ij}\right)}^{\frac{m_2}{k}-m_1}+k_1}<1-\lambda \right)\wedge$ $\left(H_{ij}<h\right).$

Доказательство. Вероятность каждой траектории $\omega$ можно записать в следующем виде:

$p\left(Z\right)=p\left(\omega \right)=\prod _{l=1}^{n_1+n_2}\left(\frac{{\left(\left(n_1-V_{l-1}\right)m_{1}k\right)}^{z_l}{\left(\left(n_2-U_{l-1}\right)m_2\right)}^{1-z_l}}{\left(n_1-V_{l-1}\right)m_{1}k+\left(n_2-U_{l-1}\right)m_2}\right)=\prod _{l=1}^{n_1+n_2}{\lambda }_l\left(\omega \right)$.

Пусть ${\omega }_{ij}$ — множество «частичных» траекторий, начинающихся в точке $\left(0,0\right)$ и оканчивающихся в точке $\left(i,j\right)$ (соответствующие Z имеют $i$ единиц и $j$ нулей на $l$– ом месте, где $l=i+j$). Обозначим $p_{ij}\left(\omega \right)=\prod _{s=1}^l{\lambda }_s\left(\omega \right)$. Вероятность любой траектории, совершающей скачок $\left(i-\mathrm{1,}j\right)\to \left(i,j\right)$ (что соответствует $z_l=1$), имеет множитель ${\lambda }_l\left(\omega \right)=\frac{m_{1}k\left(n_1-i+1\right)}{m_{1}k\left(n_1-i+1\right)+m_2\left(n_2-j\right)}$. Если же происходит скачок $\left(i,j-1\right)\to \left(i,j\right)$ (что соответствует $z_l=0$), то ${\lambda }_l\left(\omega \right)=\frac{m_2\left(n_2-j+1\right)}{m_{1}k\left(n_1-i\right)+m_2\left(n_2-j+1\right)}$. Пусть ${\pi }_{ij}=\sum _{{\omega }_{ij}}{p}_{ij}$. Тогда (4) следует из того, что в $\left(i,j\right)$ за один скачок можно попасть только из точки $\left(i-\mathrm{1,}j\right)$ или из $\left(i,j-1\right)$.

Множество $A_0\left(h\right)$ имеет такой вид вследствие того, что неравенство $R_{\lambda }<h$ не проверяется вне области $\psi \left({\stackrel{⌢}{F}}_0\right(t\left)\right)<1-\lambda$. При этом учитывается, что эмпирические функции распределения наработок до отказа систем равны ${\stackrel{⌢}{F}}_{}^1=\frac{n_1-i}{n_1},{\stackrel{⌢}{F}}_{}^2=\frac{n_1-j}{n_2},i=\overline{\mathrm{1,}{n}_1},j=\overline{\mathrm{1,}{n}_2}.$ Соотношения (1) и (2) задают начальные и граничные условия.

В табл. 1 представлены вычисленные вероятности точного распределения статистики $R_{\lambda }$ для квантилей h=1.96, h=2.24, которые являются соответственно квантилями уровней 0.9, 0.9498 асимптотического распределения статистики Реньи [10].

 

Таблица 1. Точные вероятности $P\left(R_{\lambda }<h\right)$ в случае равных объёмов выборок при $m_1=\mathrm{2,}{m}_2=\mathrm{3,}\lambda =0.2$

$n_1=n_2$	$P\left(R_{\lambda }<h\right)$
	h=1.96		h=2.24
	k=1	k=2	k=1	k=2
100	0.9211	0.9180	0.9619	0.9592
400	0.9079	0.9080	0.9564	0.9551
700	0.9069	0.9082	0.9535	0.9532
1000	0.9057	0.9056	0.9530	0.9530
1300	0.9043	0.9050	0.9523	0.9526
1600	0.9043	0.9041	0.9523	0.9523
1900	0.9043	0.9040	0.9522	0.9520
2200	0.9037	0.9036	0.9519	0.9519
2500	0.9035	0.9033	0.9516	0.9516
$\infty$	0.9000	0.9000	0.9498	0.9498

 

Таблица 2. Точные вероятности $P\left(R_{\lambda }<h\right)$ в случае равных объёмов выборок при $m_1=m_2=k=1$

$n_1=n_2$		100	1000	1600	1900	2200	2500	$\infty$
$P\left(R_{\lambda }<h\right)$	h=1.96	0.9240	0.9063	0.9041	0.9038	0.9041	0.9034	0.9000
	h=2.24	0.9550	0.9530	0.9520	0.9522	0.9519	0.9518	0.9498

 

В целях сравнения сходимости распределения статистики (3) при различных $m_1,m_2,k$ со сходимостью распределения классической статистики Реньи проверки однородности были вычислены точные вероятности $P\left(R_{\lambda }<h\right)$ при $m_1=m_2=k=1$ для равных объёмов выборок при $\lambda =0.2$.

Результаты расчёта показали, что скорость сходимости к предельному распределению приблизительно одинакова в обоих случаях.

3. Асимптотическое распределение статистики $R_{\lambda }$

Без ограничения общности будем считать, что $F_1\left(t\right)=t,$$F_2\left(t\right)=t^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$k$}\right.},$$0\le t\le 1$. В работе [1] для асимптотической ковариации процесса $Z_n\left(t\right)=\sqrt{n_1}\left({\stackrel{⌢}{F}}_{{\theta }_1}\left(t\right)-{\left({\stackrel{⌢}{F}}_{{\theta }_2}\left(t\right)\right)}^k\right),0<\Delta \le t\le 1$, который определяет статистику (3). была доказана следующая теорема. Обозначим $K_n\left(t_1,t_2\right)$ функцию ковариации $Z_n\left(t\right).$

Теорема 2. Пусть $0<\Delta \le t_1\le t_2\le 1$, тогда $K_n\left(t_1,t_2\right)\underset{\begin{array}{l}{n}_1\to \infty \\ n_2\to \infty \end{array}}{\to }K\left(t_1,t_2\right)=K_1\left(t_1,t_2\right)+\rho K_2\left(t_1,t_2\right)=$

$=t_1{t}_2\left(\frac{1-{t_2}^{m_1}}{{m_1}^2{t_2}^{m_1}}+\frac{\rho k^2\left(1-{t_2}^{\frac{m_2}{k}}\right)}{{m_2}^2{t_2}^{\frac{m_2}{k}}}\right)=t_1\left(\frac{1-{t_2}^{m_1}}{{m_1}^2{t_2}^{m_1-1}}+\frac{\rho k^2\left(1-{t_2}^{\frac{m_2}{k}}\right)}{{m_2}^2{t_2}^{\frac{m_2}{k}-1}}\right)$.

Введём процесс $Y_n\left(t\right)=\frac{m_1{m}_2}{\sqrt{k^2\rho m_1^2+m_2^2}}{Z}_n\left(t\right)$. При стандартных ограничениях $0<\Delta \le t_1\le t_2\le 1$ процесс $Y_n\left(t\right)$ сходится к гауссовскому процессу Y(t) с нулевым математическим ожиданием и ковариацией

$\begin{array}{c}E\left[Y\left(t_1\right)\cdot Y\left(t_2\right)\right]=\frac{m_1^2{m}_2^2}{k^2\rho m_1^2+m_2^2}{t}_1\cdot \left(\frac{1-{t_2}^{m_1}}{m_1^2{t_2}^{m_1-1}}+\frac{\rho k^2\left(1-{t_2}^{\frac{m_2}{k}}\right)}{m_2^2{t_2}^{\frac{m_2}{k}-1}}\right)=t_1\cdot \frac{k_2{t_2}^{\frac{m_2}{k}-m_1}+k_1-{t_2}^{\frac{m_2}{k}}}{{t_2}^{\frac{m_2}{k}-1}}=\\ =t_1\cdot \frac{k_2{t_2}^{\frac{m_2}{k}+1}+k_1{t}_2^{m_1+1}-{t_2}^{\frac{m_2}{k}+m_1+1}}{{t_2}^{\frac{m_2}{k}+m_1}},0<\Delta \le t_1\le t_2\le 1.\end{array}$

Теорема 3. При $n_1\to \infty ,n_2\to \infty ,\frac{n_1}{n_2}\to \rho$ и справедливости гипотезы (1) распределение статистики (3) сходится к стандартному распределению Реньи

$L\left(h\right)=\frac{4}{\pi }\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}\sum _{i=0}^{\infty }\frac{{(-1)}^i}{2i+1}\exp \left\{-\frac{{(2i+1)}^2{\pi }^2}{8h^2}\right\}$.

Доказательство. Рассмотрим преобразование времени

$\tau \left(t\right)=\frac{t^{\frac{m_2}{k}+m_1}}{k_2{t}^{\frac{m_2}{k}}+k_1{t}^{m_1}-t^{\frac{m_2}{k}+m_1}},\text{\hspace{0.17em}}t\ne \mathrm{0,}t\ne 1.$

Тогда ${\tau }^{\text{'}}\left(t\right)>0.$ Так как $\underset{t\to 0}{\lim }\tau \left(t\right)=\mathrm{0,}\underset{t\to \infty }{\lim }\tau \left(t\right)=\mathrm{1,}$ то доопределяя $\tau \left(0\right)=0$ получим строго возрастающее отображение $[0;1)\to [0;\infty )$. Тогда существует обратное преобразование $t=t\left(\tau \right)$.

Пусть ${\tau }_1\le {\tau }_2\iff t\left({\tau }_1\right)=t_1\le t_2=t\left({\tau }_2\right)$.

Введем в рассмотрение процесс

$W\left(\tau \right)=Y\left(t\left(\tau \right)\right)\cdot \frac{{\left(t\left(\tau \right)\right)}^{\frac{m_2}{k}+m_1-1}}{k_2{\left(t\left(\tau \right)\right)}^{\frac{m_2}{k}}+k_1{\left(t\left(\tau \right)\right)}^{m_1}-{\left(t\left(\tau \right)\right)}^{\frac{m_2}{k}+m_1}}$.

$E\left[W\left(\tau \right)\right]=0$,

$E\left[W\left({\tau }_1\right)\cdot W\left({\tau }_2\right)\right]=\frac{{t_1}^{\frac{m_2}{k}+m_1-1}}{k_2{t_1}^{\frac{m_2}{k}}+k_1{t_1}^{m_1}-{t_1}^{\frac{m_2}{k}+m_1}}\cdot \frac{{t_2}^{\frac{m_2}{k}+m_1-1}}{k_2{t_2}^{\frac{m_2}{k}}+k_1{t_2}^{m_1}-{t_2}^{\frac{m_2}{k}+m_1}}\cdot E\left[Y\left(t_1\right)Y\left(t_2\right)\right]=$

$\begin{array}{l}=\frac{{t_1}^{\frac{m_2}{k}+m_1-1}}{k_2{t_1}^{\frac{m_2}{k}}+k_1{t_1}^{m_1}-{t_1}^{\frac{m_2}{k}+m_1}}\cdot \frac{{t_2}^{\frac{m_2}{k}+m_1-1}}{k_2{t_2}^{\frac{m_2}{k}}+k_1{t_2}^{m_1}-{t_2}^{\frac{m_2}{k}+m_1}}\cdot t_1\cdot \frac{k_2{t_2}^{\frac{m_2}{k}+1}+k_1{t}_2^{m_1+1}-{t_2}^{\frac{m_2}{k}+m_1+1}}{{t_2}^{\frac{m_2}{k}+m_1}}=\\ =\frac{{t_1}^{\frac{m_2}{k}+m_1}}{k_2{t_1}^{\frac{m_2}{k}}+k_1{t_1}^{m_1}-{t_1}^{\frac{m_2}{k}+m_1}}={\tau }_1.\end{array}$

Таким образом, процесс $W\left(\tau \right)$ является винеровским процессом.

Рассмотрим неравенство $\psi \left(t\right)<1-\lambda ,$ задающее область поиска максимума в статистике (3)

$\psi \left(t\left(\tau \right)\right)=\frac{t^{\frac{m_2}{k}}}{k_2{t}^{\frac{m_2}{k}-m_1}+k_1}=\frac{t^{\frac{m_2}{k}+m_1}}{k_2{t}^{\frac{m_2}{k}}+k_1{t}^{m_1}}=\frac{t^{\frac{m_2}{k}+m_1}}{k_2{t}^{\frac{m_2}{k}}+k_1{t}^{m_1}-t^{\frac{m_2}{k}+m_1}}\cdot \frac{k_2{t}^{\frac{m_2}{k}}+k_1{t}^{m_1}-t^{\frac{m_2}{k}+m_1}}{k_2{t}^{\frac{m_2}{k}}+k_1{t}^{m_1}}=\frac{\tau }{1+\tau }<1-\lambda .$

Решив неравенство относительно $\tau$, получим $\tau <\frac{1-\lambda }{\lambda }$.

В асимптотике ${\stackrel{⌢}{F}}_0\left(t\right)$ — объединенную эмпирическую оценку функции распределения элементов по двум полным выборкам ${\Theta }_1,{\Theta }_2$ можно заменить [11] на $t$. Тогда, учитывая, что для винеровского процесса $W\left(t\right)$ справедливо $\sqrt{C}W\left(t\right)=W\left(Ct\right)$ [12] в пределе при $n_1\to \infty ,n_2\to \infty$ получим

$P(R_{\lambda }<h)=P\left(\sqrt{\frac{\lambda }{1-\lambda }}\underset{\tau <\frac{1-\lambda }{\lambda }}{\max }\left|W\left(\tau \right)\right|<h\right)=P\left(\underset{\tau <\frac{1-\lambda }{\lambda }}{\max }\left|W\left(\frac{\lambda }{1-\lambda }\tau \right)\right|<h\right)=$

$=P\left(\underset{u<1}{\max }\left|W\left(u\right)\right|<h\right)=L\left(h\right),\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}где\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}u=\frac{\lambda }{1-\lambda }\tau .$

Доказанная теорема позволяет проверять гипотезы при достаточно больших объемах выборок $n_1,n_2$. Но учитывая, что скорость сходимости распределений статистик типа Реньи медленная [13], на практике лучшим является использование точных распределений статистики $R_{\lambda }$.

4. Оценка степенного параметра

Аналогично работе [1] рассмотрим возможность нахождения оценки параметра $k$ в модели Лемана минимизацией статистики (3). Пусть испытания проводились до момента времени $\tau$, когда отказала лишь часть систем, находящихся на эксплуатации. В качестве оценки степенного параметра $k$ будем использовать значение, которое даёт минимум статистики (3), т. е. $\stackrel{⌢}{k}=\mathrm{argmin}{R}_{\lambda }$. Рассмотрим алгоритм моделирования оценки параметра модели Лемана.

1. Моделируются $n_1{m}_1$ одинаково распределенных случайных величин $({\xi }_1^1,\mathrm{...,}{\xi }_{m_1{n}_1}^1)$ с функцией распределения $G_0\left(t\right)$.
2. Наработки случайным образом разбиваются на групп по величин в каждой. Элементы $i$-й группы обозначим $\left({\xi }_1^{\mathrm{1,}i}\mathrm{,...,}{\xi }_{m_1}^{\mathrm{1,}i}\right),i=\overline{\mathrm{1,}{n}_1}$. Определяются наработки до отказа систем ${\theta }_1^i=\max \left({\xi }_1^{\mathrm{1,}i}\mathrm{,...,}{\xi }_{m_1}^{\mathrm{1,}i}\right)$.
3. Аналогичным образом $n_2{m}_2$ моделируются одинаково распределенных случайных величин $({\xi }_1^2,\mathrm{...,}{\xi }_{m_2{n}_2}^2)$ с функцией распределения ${\left(G_0\left(t\right)\right)}^{\frac{1}{k}}$, где $k$ — некоторое заданное значение степенного параметра. Наработки $({\xi }_1^2,\mathrm{...,}{\xi }_{m_2{n}_2}^2)$ случайным образом разбиваются на $n_2$ групп по $m_2$ величин в каждой. Элементы $i$-й группы обозначим $\left({\xi }_1^{\mathrm{2,}i}\mathrm{,...,}{\xi }_{m_2}^{\mathrm{2,}i}\right),i=\overline{\mathrm{1,}{n}_2}.$ Определяются наработки до отказа систем во втором режиме работы ${\theta }_2^i=\max \left({\xi }_1^{\mathrm{2,}i}\mathrm{,...,}{\xi }_{m_2}^{\mathrm{2,}i}\right).$
4. Задается глубина цензурирования испытаний $\Lambda$, $0<\Lambda <1$, равная доле числа отказавших систем в обоих режимах от общего количества систем. Определяется число r такое, что $\frac{r}{n_1+n_2}\le \Lambda <\frac{r+1}{n_1+n_2}$. Наработки $\left({\theta }_1^1\mathrm{,...,}{\theta }_1^{n_1}\right),\left({\theta }_2^1\mathrm{,...,}{\theta }_2^{n_2}\right)$ располагаются в порядке возрастания. Пусть ${\gamma }_1<{\gamma }_2<\mathrm{...}<{\gamma }_{n_1+n_{\text{}2}}$ — объединенный вариационный ряд из этих наработок. По вариационному ряду и числу r определяется наработка ${\gamma }_r=\tau$, а также $r_1$ и $r_2$ — число отказов систем в режимах ${\epsilon }_1$ и ${\epsilon }_2$ до момента ${\gamma }_r$ соответственно. Определяются две выборки ${\Theta }_1=\left({\theta }_1^1\mathrm{,...,}{\theta }_1^{r_1}\right),{\Theta }_2=\left({\theta }_2^1\mathrm{,...,}{\theta }_2^{r_2}\right)$ из наблюдаемых до момента ${\gamma }_r$ наработок.
5. Для заданного значения $\tilde{k},1\le \tilde{k}\le K$ вычисляется текущая глубина цензурирования

${\tilde{\Lambda }}_k={\left(\frac{r_1}{n_1}\right)}^{\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$m_1$}\right.}\cdot \frac{n_1}{n_1+n_2}+{\left(\frac{r_2}{n_2}\right)}^{\raisebox{1ex}{$\tilde{k}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$m_2$}\right.}\cdot \frac{n_2}{n_1+n_2}={\stackrel{⌢}{F}}_0\left({\gamma }_r\right).$

Параметр Реньи в статистике (3) полагается равным глубине цензурирования $\lambda \left(\tilde{k}\right)=1-{\stackrel{⌢}{F}}_0\left({\gamma }_r\right)$. Для этого $\lambda \left(\tilde{k}\right)$ вычисляется значение статистики (3).

6. Определяется оценка $\stackrel{⌢}{k}$, которая даёт минимальное значение статистики $R_{\lambda }\left(\tilde{k}\right)$, т. е.

$\underset{1\le \tilde{k}\le K}{\stackrel{⌢}{k}=\mathrm{argmin}{R}_{\lambda }\left(\tilde{k}\right)}.$

В качестве примера для расчёта в качестве $G_0\left(t\right)$ использовались экспоненциальное распределение с параметром $\beta =0.001$ и распределение Вейбулла с параметрами $\beta =\mathrm{0.001,}p=1.5$. На рис. 2 изображены гистограммы оценок $\stackrel{⌢}{k}$ для $m_1=\mathrm{2,}{m}_2=\mathrm{3,}{n}_1=n_2=100$. Количество испытаний $N=500$, действительное значение параметра Лемана $k=3$.

 

Рис. 2. Гистограммы оценок $\stackrel{⌢}{k}$ при $\Lambda =\mathrm{0,8}$: Экспоненциальное распределение распределение Вейбулла $M\stackrel{⌢}{k}=\text{3.1198},\sigma =\text{0.7745}$ (а), $M\stackrel{⌢}{k}=\text{3.1522},\sigma =\text{0.7670}$ (б).

 

Заключение

В работе представлена новая статистика типа Реньи для проверки степенной гипотезы Лемана для функций распределения наработок до отказа элементов при испытаниях, составленных из них систем, ограниченных во времени. Получены асимптотическое и точные распределения статистики типа Реньи для случая проверки основной гипотезы. Показано, что асимптотическое распределение статистики предложенного авторами критерия совпадает с предельным распределением Реньи. Проведено статистическое моделирование с целью анализа точности минимаксной оценки степенного параметра гипотезы Лемана.

About the authors

V. I. Timonin

Bauman Moscow State Technical University

Author for correspondence.
Email: timonin@bmstu.ru

д.ф.-м.н., доцент

Russian Federation, Moscow

N. D. Tyannikova

Bauman Moscow State Technical University

Email: tiannikova@bmstu.ru

к.ф.-м. н., доцент

Russian Federation, Moscow

References

Supplementary files