Modeling of heat transfer under continuous extrusion

Texto integral

Введение. В металлургической промышленности техника и технология производства пресс-изделий из цветных металлов и сплавов совершенствуется в направлении создания непрерывных процессов. Непрерывное прессование позволяет снизить затраты на трудовые ресурсы, уменьшить отходы материала и оптимизировать производственные процессы. Наибольшее предпочтение отдается совмещенным непрерывным процессам, которые позволяют повысить качество продукции, улучшить ее характеристики, увеличить производительность и снизить затраты на производство. Непрерывность процессов обеспечивает стабильность свойств изделий и возможность полной автоматизации технологического процесса от передачи расплава в кристаллизатор до упаковки готовой продукции. Такие процессы широко используются для создания различных изделий из металлических сплавов. В целом, метод прессования Конформ является гибким и эффективным решением для массового производства высококачественных изделий из различных металлов, обеспечивает высокую производительность и эффективность производства, благодаря непрерывности процесса, точность формирования и качество получаемой продукции. Благодаря ряду достоинств, широкое промышленное внедрение получили процессы непрерывного прессования, в которых сила трения между заготовкой и контейнером используется как рабочее усилие прессования.

При непрерывном прессовании способом Конформ металл подаётся в контейнер, состоящий из подвижной и неподвижной частей, деформируется и выдавливается в матрицу. В целом непрерывность прессования зависит от конструктивных и энергосиловых параметров устройства, напряженно-деформированного состояния металла с инструментом и температурно-скоростных режимов технологического процесса [1-4]. Пластическая деформация всегда сопровождается выделением тепла, поэтому отслеживание градиента температуры и скорости течения металла на входе в контейнер и выходе из матрицы способствует равномерности свойств и удовлетворительному качеству поверхности пресс-изделия [5]. В работе [6] рассматривалась математическая модель для расчета температуры в деформационной зоне при непрерывном прессовании способом Конформ.

В настоящей работе, в отличие от [6], предложена уточненная модель теплообмена в полярных координатах с учетом технологических и энергосиловых параметров, и влияния теплообмена в инструменте, что позволяет использовать точное описание геометрии очага деформации, провести математическое и компьютерное моделирование распределения температуры металла при непрерывном прессовании способом Конформ [7, 8].

1. Постановка задачи. Целесообразность перехода к полярным координатам х = r×cos (φ), y = r×sin (φ) объясняется тем, что геометрическая форма очага деформации при непрерывном прессовании способом Конформ представляет собой сектор кольца (рис.1).

 

Рис. 1. Геометрическая модель очага деформации

 

Комментарии к рис. 1. S₁ – внутренняя поверхность колеса, S₂ – линия скольжения вдоль мертвой зоны, S₃ –внутренняя поверхность кольцевой вставки, образующей контейнер, S₄ – внутренняя поверхность входного сечения контейнера, S₅ – внутренняя поверхность упора колеса, S₆ – отверстие в матрице.

Уравнение теплообмена в полярных координатах имеет вид:

$c\text{ρ}\left(\frac{\partial \text{θ}}{\partial r}{\nu }_r+\frac{\partial \text{θ}}{\partial \varphi }{\nu }_{\varphi }\right)=\text{χ}\left(\frac{\partial \text{θ}}{\partial r}\frac{1}{r}+\frac{{\partial }^2\text{θ}}{\partial r^2}+\frac{{\partial }^2\text{θ}}{\partial {\varphi }^2}\frac{1}{r^2}\right)+\left(2\text{μ}+\frac{{\text{τ}}_S}{\left|\tilde{D}\right|}\right){\left|\tilde{D}\right|}^2,$(1)

где $\text{θ}$ – температура металла, $с$ – коэффициент теплоемкости металла, $\rho$ – плотность металла, ${\text{τ}}_S$– предел текучести,  $\text{μ}$ – вязкость металла, $\chi$ – коэффициент теплопроводности металла, $\nu =\left({\nu }_r,{\nu }_{\varphi }\right)$ – скорость течения металла, $\left|\tilde{D}\right|$ – модуль тензора скорости деформации, вычисляемый по формуле:

$\left|\tilde{D}\right|={\left({\left(\frac{\partial {\nu }_r}{\partial r}\right)}^2+\frac{(r^2+1)}{4r^2}{\left(\frac{\partial {\nu }_r}{\partial \varphi }-{\nu }_{\varphi }+r\frac{\partial {\nu }_{\varphi }}{\partial r}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\nu }_{\varphi }}{\partial \varphi }+{\nu }_r\right)}^2\right)}^{1/2}$

К уравнению (1) необходимо добавить краевые условия:

$-\text{χ}{\left.\frac{\partial \text{θ}}{\partial r}\right|}_{S_1}={\left.k(\text{θ}-T)\right|}_{S_1},$ $\text{χ}{\left.\frac{\partial \theta }{\partial r}\right|}_{S_3}={\left.k(\text{θ}-T)\right|}_{S_3},$ ${\left.\frac{\partial \text{θ}}{\partial \varphi }\right|}_{S_4}=\mathrm{0,}$

$\text{χ}{\left.\frac{\partial \theta }{\partial \varphi }\right|}_{S_5}={\left.k(\text{θ}-T)\right|}_{S_5},$ $-{\left.\frac{\partial \theta }{\partial r}\frac{{\varphi }_B}{\sqrt{{\left(R_3-R_2\right)}^2+{\varphi }_B^2}}+\frac{\partial \text{θ}}{\partial \varphi }\frac{R_3-R_2}{\sqrt{{\left(R_3-R_2\right)}^2+{\varphi }_B^2}}\right|}_{S_6}=0.$   (2)

где k – коэффициент теплообмена между металлом и инструментом, T – температура инструмента, φ_{В =} (R₁ – R₂) ctgα.

Необходимый температурный режим в очаге деформации поддерживается системой охлаждения устройства путем отъема тепла, образующегося за счет работы сил пластической деформации. Основной поток тепла через стенку контейнера и колесо направлен по радиальной составляющей r, поэтому теплопереносом вдоль тангенциальной составляющей φ можно пренебречь и считать, что распределение температуры в колесе и контейнере зависит только от r. Теплообмен в упоре контейнера удобнее моделировать в декартовых координатах. Аналогично можно считать, что распределение температуры в упоре контейнера зависит только от у.

2. Математическая модель. Теплообмен инструмента с системой охлаждения в полярных координатах при непрерывном прессовании моделируется следующим образом. Распределение температуры в контейнере Т₁ и колесе Т₂ описывается уравнением:

$\frac{{\text{χ}}_1}{c_1{\text{ρ}}_1}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial T_i}{\partial r}+\frac{{\partial }^2{T}_i}{\partial r^2}\right)=\mathrm{0,}i=\mathrm{1,2.}$

Краевые условия для Т₁ задаются на поверхности контакта контейнера с хладоагентом:

${\left.T_1\right|}_{r=R_4}=C_1,$ $\frac{{\text{χ}}_1}{c_1{\text{ρ}}_1}{\left.\frac{\partial T_1}{\partial r}\right|}_{r=R_4}={\alpha }_1\left(C_1-T_{охл}\right).$

Решая эту задачу, получаем, что:

${Т}_1\left(r\right)=\frac{{\text{α}}_2{c}_1{\rho }_1\left(C_1-T_{охл}\right)R_4}{{\chi }_1}\ln \frac{R_4}{r}+C_1.$

Краевые условия для Т₂ задаются на поверхности контакта колеса с хладоагентом:

${\left.T_2\right|}_{r=R_0}=C_2$, $-\frac{{\chi }_1}{c_1{\rho }_1}{\left.\frac{\partial T_2}{\partial r}\right|}_{r=R_0}={\alpha }_1\left(C_2-T_{охл}\right).$

Решение задачи теплообмена с этими краевыми условиями имеет вид:

${Т}_2\left(r\right)=\frac{{\alpha }_1{c}_1{\rho }_1\left(C_2-T_{охл}\right)R_0}{{\chi }_1}\ln \frac{r}{R_0}+C_2.$

Распределение температуры Т₃ в упоре контейнера является решением задачи для уравнения:

$\frac{{\chi }_1}{c_1{\rho }_1}\frac{{\partial }^2{T}_3}{\partial y^2}=0$

с краевыми условиями:

${\left.T_3\right|}_{y=y_1}=C_3$, $\frac{{\chi }_1}{c_1{\rho }_1}{\left.\frac{\partial T_3}{\partial y}\right|}_{y=y_1}={\alpha }_1\left(C_3-T_{охл}\right)$

и описывается формулой:

${Т}_3\left(y\right)=\frac{{\alpha }_1{c}_1{\rho }_1\left(C_3-T_{охл}\right)}{{\chi }_1}\left(y_1-y\right)+C_3.$

Здесь ${с}_1$ – коэффициент теплоемкости материала, из которого сделан инструмент; α₁ – коэффициент теплообмена между хладоагентом и инструментом;  ${\rho }_1$– плотность материала, из которого сделан инструмент; ${\chi }_1$ – коэффициент теплопроводности материала, из которого сделан инструмент; $C_1$, $C_2$, $C_3$ – температура поверхности инструмента со стороны системы охлаждения; $T_{\text{охл}}$– температура хладоагента; $R_4$ – величина, равная сумме радиуса колеса, высоты башмака и толщины башмака; $R_0$ – величина, равная разности радиуса колеса и расстояния до системы охлаждения в колесе; $y_1$ – ширина упора кольцевой вставки (контейнера).

3. Численная реализация. При решении задачи (1), (2) использовалась неравномерная сетка, состоящая из четырёх частей, что вызвано геометрическими особенностями области. Для численного решения задачи применялся метод конечных элементов. Выбор метода обусловлен тем, что градиент скорости течения металла может быть разрывен на некоторых линиях скольжения.

Температура определялась в виде линейной комбинации базисных функций $N_{ij}(\varphi ,r)$ с неизвестными коэффициентами θ_ij, фактически равными значениям температуры в узле сетки с индексами i и j.

$\theta (\varphi ,r)=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M{\theta }_{ij}\cdot N_{ij}(\varphi ,r),$ (3)

Компоненты скорости так же представляются в виде линейных комбинаций базисных функций с известными коэффициентами $a_{ij}$ и $b_{ij}$ [9, 10].

$v_{\varphi }=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M{a}_{ij}\cdot N_{ij}(\varphi ,r),$ $v_r=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^M{b}_{ij}\cdot N_{ij}(\varphi ,r),$ (4)

где ${\theta }_{ij},a_{ij},b_{ij}$ – узловые значения $\theta ,v_{\varphi },v_r$ соответственно, а $N_{ij}(\varphi ,r)$ – базисные функции.

В качестве базисных функций были выбраны линейные прямоугольные функции формы, которые строились на восьми узлах соседних по отношению к текущему узлу ij. График такой функции внутри прямоугольника представляет собой пирамиду. Вне прямоугольника $N_{ij}(\varphi ,r)=0$. Задача сводится к нахождению значений qi,j в узлах сетки из системы линейных алгебраических уравнений:

$\left\{\begin{array}{l}{d}_{i-\mathrm{1,}j}{\theta }_{i-\mathrm{1,}j}+d_{i+\mathrm{1,}j}{\theta }_{i+\mathrm{1,}j}+d_{i,j}{\theta }_{i,j}+d_{i,j-1}{\theta }_{i,j-1}+d_{i,j+1}{\theta }_{i,j+1}=E_{i,j},\\ i=\mathrm{1,...,2}N-\mathrm{1,}j=\mathrm{1,...,2}N-\mathrm{1,}i+j<3N;\\ c_{\mathrm{1,}j}{\theta }_{\mathrm{1,}j}+c_{\mathrm{0,}j}{\theta }_{\mathrm{0,}j}=\mathrm{0,}j=\mathrm{0,...,2}N;\\ c_{2N,j}{\theta }_{2N,j}+c_{2N-\mathrm{1,}j}{\theta }_{2N-\mathrm{1,}j}=H_{2N,j},j=\mathrm{1,...,}N-1;\\ c_{i\mathrm{,1}}{\theta }_{i\mathrm{,1}}+c_{i\mathrm{,0}}{\theta }_{i\mathrm{,0}}=H_{i\mathrm{,0}},i=\mathrm{1,...,2}N;\\ c_{i\mathrm{,2}N}{\theta }_{i\mathrm{,2}N}+c_{i\mathrm{,2}N-1}{\theta }_{i\mathrm{,2}N-1}=H_{i\mathrm{,2}N},i=\mathrm{1,...,}N;\\ c_{3N-i-\mathrm{1,}i}{\theta }_{3N-i-\mathrm{1,}i}+c_{3N-i,i}{\theta }_{3N-i,i}+c_{3N-i,i-1}{\theta }_{3N-i,i-1}=\mathrm{0,}i=N+\mathrm{1,...,2}N;\end{array}\right.$

где $E_{i,j}$ зависит от компонент скорости течения металла а_ij и b_ij. Система включает в себя уравнения, полученные после подстановки выражений (3), (4) для температуры и компонент скорости в уравнение теплообмена (1) и краевые условия (2). Система уравнений (5) решалась методом прогонки.

4. Информационные технологии. Для компьютерного моделирования распределения температуры в очаге деформации было создано программное приложение Conform_T [11], созданное на языке С++ в среде программирования Borland C++ Builder. Данная среда программирования является мощным средством для быстрой и качественной разработки программ. Имеющаяся библиотека визуальных компонентов позволяет создать интерфейс за считанные минуты, а компонентный принцип позволяет создавать полноценные Windows приложения, написав минимальное количество строк кода.

Программа Conform_T включает в себя три основных модуля:

• главный модуль, содержащий интерфейс программы, процедуры ввода исходных данных, расчета температуры в очаге деформации и сохранения полученных результатов в текстовый файл;
• модуль отображения результатов вычислений, включающий графическое изображение распределения температуры в зоне деформации и вывод значений температуры в узлах сетки;
• модуль справки.

В ходе работы был проведён ряд численных экспериментов для алюминиевого сплава при реальных технологических данных (рис. 2).

 

Рис. 2. Исходные конструктивные и реологические параметры

 

Распределение температурных параметров в очаге деформации, рассчитанных на сетке 21×21 при одинаковом расположении матрицы под углом α=25° и воздушном охлаждении, представлено на рис. 3.

 

Рис. 3. Распределение температуры

 

Распределение скорости было рассчитано ранее в работе [9, 10] (рис. 4).

 

Рис. 4. Распределение радиальной составляющей скорости

 

Заключение. Таким образом, из результатов расчета температуры видно, что распределение зон самой высокой и самой низкой температуры соответствует распределению скорости течения металла, что свидетельствует об адекватности полученного распределения температуры в очаге деформации реальному процессу.

В дальнейшем разработанная модель будет применяться для построения системы автоматизация управления процессом непрерывного прессования методом Конформ.

Sobre autores

Irina Solopko

Siberian federal university

Autor responsável pela correspondência
Email: isolopko@sfu-kras.ru

Assistant professor of the Department of automation systems, automated control and design

Rússia, Krasnoyarsk

Anna Lubanova

Siberian federal university

Email: ALyubanova@sfu-kras.ru

Docent, candidate of physical and mathematical science, associate professor, associate professor of the Department of automation systems, automated control and design

Rússia, Krasnoyarsk

Denis Kapulin

Siberian federal university

Email: dKapulin@sfu-kras.ru

Candidate of technical science, associate professor, associate professor of the Basic department of information technologies in radioelectronic production

Rússia, Krasnoyarsk

Bibliografia

Arquivos suplementares