Lefschetz formula for nonlocal elliptic problems associated with fibration

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

Elliptic operator complexes associated with fibration are considered. The Atiyah-Bott-Lefschetz formula for endomorphisms of such complexes is given. The proof is based on the stationary phase method. Wavefronts of distributions are used to estimate the remainder term.

About the authors

N. R. Orlova

Email: izvarinanat@gmail.com
Moscow, Russia

References

  1. Кордюков Ю. А., Павленко В. А. О формулах Лефшеца для потоков на многообразиях со слоением// Уфимск. мат. ж. - 2015. - 7, №2. - C. 73-108.
  2. Савин А. Ю., Стернин Б. Ю. Индекс нелокальных задач, ассоциированных с расслоением// Дифф. уравн. - 2014. - 50, № 8. - C. 1117-1127.
  3. Стернин Б. Ю. Относительная эллиптическая теория и проблема С. Л. Соболева// Докл. АН СССР. - 1976. - 230, № 2. - C. 287-290.
  4. Стернин Б. Ю., Шаталов В. Е. Расширение алгебры псевдодифференциальных операторов и некоторые нелокальные эллиптические задачи// Мат. сб. - 1994. - 185, № 3. - C. 117-159.
  5. Троицкий Е. В., Франк M. Числа Лефшеца и геометрия операторов в W ∗-модулях// Функц. анализ и его прил. - 1996. - 30, № 4. - C. 45-57.
  6. Федосов Б. В. Теоремы об индексе// Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направл. - 1991. - 65. - C. 165-268.
  7. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1: Теория распределений и анализ Фурье. - М.: Мир, 1986.
  8. Atiyah M. F., Bott R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. I// Ann. Math. - 1967. - 86, № 3. - C. 374-407.
  9. Atiyah M. F., Bott R. A Lefschetz fixed point formula for elliptic complexes. II. Applications// Ann. Math. - 1968. - 88, № 3. - C. 451-491.
  10. Bei F. The L2-Atiyah-Bott-Lefschetz theorem on manifolds with conical singularities: a heat kernel approach// Ann. Global Anal. Geom. - 2013. - 44, №4. - C. 565-605.
  11. Bismut M. The Atiyah-Singer theorems: a probabilistic approach. Part II: The Lefschetz fixed point formulas// J. Funct. Anal. - 1984. - 57, № 3. - C. 329-348.
  12. Bismut M. The infinitesimal Lefschetz formulas: A heat equation proof// J. Funct. Anal. - 1985. - 62.- C. 437-457.
  13. Brenner A. V., Shubin M. A. The Atiyah-Bott-Lefschetz formula for elliptic complexes on a manifold with boundary// J. Math. Sci. (N. Y.). - 1993. - 64, № 4. - C. 1069-1111.
  14. Duistermaat J. J. Fourier integral operators. - Boston-Basel-Berlin: Birkh¨auser, 1996.
  15. Gabor A. Remarks on the wave front of a distribution// Trans. Amer. Math. Soc. - 1972. - 170. - C. 239- 244.
  16. Gilkey P. B. Lefschetz fixed point formulas and the heat equations// Commun. Pure Appl. Math. - 1984. - 48, № 3. - C. 477-528.
  17. Inoue H. A proof of the holomorphic Lefschetz formula for higher dimensional fixed point sets by the heat equation method// J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. - 1982. - 29, № 2. - C. 267-285.
  18. Izvarina N. R., Savin A. Yu. An Atiyah-Bott-Lefschetz theorem for relative elliptic complexes// Lobachevskii J. Math. - 2022. - 43, № 10. - C. 2675-2684.
  19. Kotake T. The fixed point theorem of Atiyah-Bott via parabolic operator// Commun. Pure Appl. Math. - 1969. - 22, № 6. - C. 789-806.
  20. Lafferty J., Yu Y., Zhang W. A direct geometric proof of the Lefschetz fixed point formulas// Trans. Am. Math. Soc. - 1992. - 329, № 2. - C. 571-583.
  21. Lefschetz M. Intersections and transformations of complexes and manifolds// Trans. Am. Math. Soc. - 1926. - 28. - C. 1-49.
  22. Nazaikinskii V. E. Semiclassical Lefschetz formulas on smooth and singular manifolds// Russ. J. Math. Phys. - 1999. - 6. - C. 202-213.
  23. Nazaikinskii V., Savin A., Schulze B.-W., Sternin B. Elliptic theory on singular manifolds. - Boca Raton: CRC-Press, 2005.
  24. Nazaikinskii V. E., Schulze B.-W., Sternin B. Yu., Shatalov V. E. The Atiyah-Bott-Lefschetz theorem for manifold with conical singularities// Ann. Global Anal. Geom. - 1999. - 17. - C. 409-439.
  25. Nazaikinskii V., Sternin B. Lefschetz theory on manifolds with singularities// В сб.: «C∗-algebras and elliptic theory. Trends Math». - Basel: Birkh¨auser, 2006. - C. 157-186.
  26. Patodi V. Holomorphic Lefschetz fixed point formula// Bull. Amer. Math. Soc. - 1973. - 79. - C. 825-828.
  27. Rempel S., Schulze B.-W. Index theory of elliptic boundary problems. - Berlin: Akademie-Verlag, 1982.
  28. Seeley R. A proof of the Atiyah-Bott-Lefschetz fixed point formula// Ann. Acad. Brasil Ciennc. - 1969. - 41, № 4. - C. 493-501.
  29. Sternin B. Yu., Shatalov V. E. Lefschetz fixed point theorem for quantized symplectic transformations// Funct. Anal. Appl. - 1998. - 32. - C. 247-257.
  30. Toledo D. On the Atiyah-Bott formula for isolated fixed points// J. Differ. Geom. - 1973. - 8. - C. 401-436.
  31. Toledo D., Tong Y. L. Duality and intersection theory in complex manifolds. II: The holomorphic Lefschetz formula// Ann. Math. - 1975. - 108. - C. 519-538.
  32. Wintgen P. On the fixed point formula of Atiyah and Bott// Colloq. Math. (PRL). - 1982. - 47, № 2. - C. 295-301.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».