Энтропия по Больцману и Пуанкаре, экстремали Больцмана и метод Гамильтона-Якоби в негамильтоновой ситуации

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В работе доказывается H-теорема для обобщений уравнений химической кинетики. Рассматриваются важные физические примеры такого обобщения: дискретные модели квантовых кинетических уравнений (уравнений Улинга-Уленбека) и квантовый марковский процесс (квантовое случайное блуждание). Доказывается совпадение временных средних с экстремалями по Больцману для всех таких уравнений, а также для уравнения Лиувилля. Это служит основой для выбора переменных действие-угол в методе Гамильтона-Якоби в негамильтоновой ситуации. Предлагается простейший вывод уравнения Гамильтона-Якоби из уравнений Лиувилля в конечномерном случае.

Об авторах

Виктор Валентинович Веденяпин

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Email: vicveden@yahoo.com
125047, г. Москва, Миусская пл., д. 4

Сергей Загирович Аджиев

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Email: sergeyadzhiev@yandex.ru
119992, г. Москва, Воробьевы горы

Владлена Владимировна Казанцева

Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН

Email: vladastar@inbox.ru
125047, г. Москва, Миусская пл., д. 4

Список литературы

  1. Аджиев С. З., Веденяпин В. В. Временные средние и экстремали Больцмана для марковских цепей, дискретного уравнения Лиувилля и круговой модели Марка Каца// Журн. выч. мат. и мат. физ. - 2011. - 51, № 11. - С. 2063-2074.
  2. Аджиев С., Веденяпин В. Энтропия по Больцману и Пуанкаре// Усп. мат. наук. - 2014. - 69, № 6. - С. 45-80.
  3. Аржаных И. С. Поле импульсов. - Ташкент: Наука, 1965.
  4. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. - М.: Наука, 1989.
  5. Батищева Я. Г., Веденяпин В. В. II-й закон термодинамики для химической кинетики// Мат. модел. - 2005. - 17, № 8. - С. 106-110.
  6. Больцман Л. Дальнейшие исследования теплового равновесия между молекулами газа// В сб.: «Избранные труды». - М.: Наука, 1984. - С. 125-189.
  7. Больцман Л. О связи между вторым началом механической теории теплоты и теорией вероятностей в теоремах о тепловом равновесии// В сб.: «Избранные труды». - М.: Наука, 1984. - С. 190-235.
  8. Брюно А. Д. Ограниченная задача трех тел. - М.: Наука, 1990.
  9. Веденяпин В. В. Дифференциальные формы в пространствах без нормы. Теорема о единственности H-функции Больцмана// Усп. мат. наук. - 1988. - 43, № 1. - С. 159-179.
  10. Веденяпин В. В. Кинетическая теория по Максвеллу, Больцману и Власову. Конспект лекций. - М.: МГОУ, 2005.
  11. Веденяпин В. В. Временные средние и экстремали по Больцману// Докл. РАН. - 2008. - 422, № 2. - С. 161-163.
  12. Веденяпин В. В., Мингалев И. В., Мингалев О. В. О дискретных моделях квантового уравнения Больцмана// Мат. сб. - 1993. - 184, № 11. - С. 21-38.
  13. Веденяпин В. В., Негматов М. А. О топологии стационарных решений гидродинамических и вихревых следствий уравнения Власова и метод Гамильтона-Якоби// Докл. РАН. - 2013. - 449, № 5. - С. 521- 526.
  14. Веденяпин В. В., Негматов М. А., Фимин Н. Н. Уравнения типа Власова и Лиувилля, их макроскопические, энергетические и гидродинамические следствия// Изв. РАН. Сер. Мат. - 2017. - 81, № 3. - С. 45-82.
  15. Веденяпин В. В., Орлов Ю. Н. О законах сохранения для полиномиальных гамильтонианов и для дискретных моделей уравнения Больцмана// Теор. мат. физ. - 1999. - 121, № 2. - С. 307-315.
  16. Веденяпин В. В., Фимин Н. Н. Метод Гамильтона-Якоби для негамильтоновых систем// Нелин. динамика. - 2015. - 11, № 2. - С. 279-286.
  17. Веденяпин В. В., Фимин Н. Н. Метод Гамильтона-Якоби в негамильтоновой ситуации и гидродинамическая подстановка// Докл. РАН. - 2015. - 461, № 2. - С. 136-139.
  18. Вершик А. М., Корнфельд И. П., Синай Я. Г. Общая эргодическая теория групп преобразований с инвариантной мерой. I// Соврем. пробл. мат. Фундам. направл. - 1985. - 2. - С. 5-111.
  19. Вольперт А. И., Худяев С. И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. - М.: Наука, 1975.
  20. Гасников А. В. (ред.) Введение в математическое моделирование транспортных потоков. - М.: МЦНМО, 2013.
  21. Годунов С. К., Султангазин У. М. О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана// Усп. мат. наук. - 1971. - 26, № 3. - С. 3-51.
  22. Гуревич Б. М., Темпельман А. А. О множествах временных и пространственных средних для непрерывных функций на пространстве конфигураций// Усп. мат. наук. - 2003. - 58, № 2. - С. 161-162.
  23. Долматов К. И. Поле импульсов аналитической динамики// Дисс. канд. физ.-мат. наук. - Ташкент, 1950.
  24. Карлеман Т. Математические вопросы теории газов. - М.: ИЛ, 1960.
  25. Козлов В. В. Гидродинамика гамильтоновых систем// Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Мат. Мех. - 1983. - 6. - С. 10-22.
  26. Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике. - Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 1995.
  27. Козлов В. В. Тепловое равновесие по Гиббсу и Пуанкаре. - М.-Ижевск: Ин-т комп. иссл., 2002.
  28. Козлов В. В. Общая теория вихрей. - М.-Ижевск: Ин-т комп. иссл., 2013.
  29. Козлов В. В., Трещев Д. В. Слабая сходимость решений уравнения Лиувилля для нелинейных гамильтоновых систем// Теор. мат. физ. - 2003. - 134, № 3. - С. 388-400.
  30. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Квантовая механика. Краткий курс теоретической физики. Кн. 2. - М.: Наука, 1972.
  31. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. Т. 1. - М.: Наука, 1988.
  32. Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П. Теоретическая физика. Т. X. Физическая кинетика. - М.: Наука, 1979.
  33. Малышев В. А., Пирогов С. А. Обратимость и необратимость в стохастической химической кинетике// Усп. мат. наук. - 2008. - 63, №1. - С. 3-36.
  34. Маслов В. П. Комплексные марковские цепи и континуальный интеграл Фейнмана (для нелинейных уравнений). - М.: Наука, 1976.
  35. Маслов В. П., Федорюк М. В. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. - М.: Наука, 1976.
  36. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. - М.: Мир, 1973.
  37. Пуанкаре А. Замечания о кинетической теории газов// В сб.: «Пуанкаре А. Избранные труды». - М., 1974. - 3.
  38. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. - М.: Мир, 1979.
  39. Санов Н. Н. О вероятностях больших отклонений случайных величин// Мат. сб. - 1957. - 42, № 1. - С. 11-44.
  40. Синай Я. Г. Современные проблемы эргодической теории. - М.: Физматлит, 1995.
  41. Халмош П. Р. Теория меры. - М.: ИЛ, 1953.
  42. Ченцов Н. Н. Несимметричное расстояние между распределениями вероятностей, энтропия и теорема Пифагора// Мат. заметки. - 1968. - 4, № 3. - С. 323-332.
  43. Ball J. M., Carr J. Asymptotic behavior of solutions to the Becker-Doring equations for arbitrary initial data// Proc. Royal Soc. Edinburgh. - 1988. - 108A. - С. 109-116.
  44. Boltzmann L. Weitere Studien u¨ ber das Wa¨rmegleichgewicht unter Gasmoleku¨ len// Wien. Ber. - 1872. - 66. - С. 275-370.
  45. Boltzmann L. Uber die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der Mechanischen Warmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung, respektive den Satzen uber das Warmegleichgewicht// Wien. Ber. - 1878. - 76. - С. 373-435.
  46. Carr J. Asymptotic behavior of solutions to the coagulation-fragmentation equations. I. The strong fragmentation case// Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A. - 1992. - 121A. - С. 231-244.
  47. Carr J., da Costa F. P. Asymptotic behavior of solutions to the coagulation-fragmentation equations. I. Weak fragmentation// J. Stat. Phys. - 1994. - 77, № 1/2. - С. 89-123.
  48. Csiszar I. Eine informationstheoretische Ungleichung und ihre Anwendung auf den Beweis der Ergodizitat von Markoffschen Ketten// Magyar. Tud. Akad. Mat. Kutato Int. Kozl. - 1963. - 8. - С. 85-108.
  49. Kullback S., Leibler R. A. On information and sufficiency// Ann. Math. Stat. - 1951. - 22, № 1. - С. 79- 86.
  50. Morimoto T. Markov processes and the H-theorem// J. Phys. Soc. Jpn. - 1963. - 18, № 3. - С. 328-331.
  51. Vedenyapin V. V. Differential forms in spaces without a norm. A theorem on the uniqueness of Boltzmann’s H-function// Russ. Math. Surv. - 1988. - 43, № 1. - С. 193-219.
  52. Vedenyapin V. V., Fimin N. N. The Hamilton-Jacobi method in the non-Hamiltonian situation and the hydrodynamic substitution// Dokl. Math. - 2015. - 91, № 2. - С. 154-157.
  53. von Neumann J. Zur Operatorenmethode in der Klassischen Mechanik// Ann. Math. (2). - 1932. - 33.- С. 587-642.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных

 

Используя сайт https://journals.rcsi.science, я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных») даю согласие на обработку персональных данных на этом сайте (текст Согласия) и на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика» (текст Согласия).