Том 67, № 1 (2021): Дифференциальные уравнения с частными производными
- Год: 2021
- Статей: 3
- URL: https://journal-vniispk.ru/2413-3639/issue/view/22161
- DOI: https://doi.org/10.22363/2413-3639-2021-67-1
Весь выпуск
Статьи
Отсутствие нетривиальных слабых решений некоторых нелинейных неравенств с градиентной нелинейностью
Аннотация
В этой статье мы модифицируем результаты, полученные Митидиери и Похожаевым о достаточных условиях отсутствия нетривиальных слабых решений нелинейных неравенств и систем с целыми степенями оператора Лапласа и с нелинейным слагаемым вида a(x)|∇(Δmu)|q+ b(x)|∇u|s. Мы получаем оптимальные априорные оценки, применяя метод нелинейной емкости с соответствующим выбором пробных функций. В итоге мы доказываем отсутствие нетривиальных слабых решений нелинейных неравенств и систем от противного.
1-13
Асимптотический анализ краевых задач для оператора Лапласа с частой сменой типа граничных условий
Аннотация
Настоящая работа, которую уместно рассматривать как небольшую монографию, посвящена исследованию двух- и трехмерных краевых задач на собственные значения для оператора Лапласа с частым чередованием типа граничных условий. Основной целью является построение асимптотических разложений собственных значений и собственных функций рассматриваемых задач. Асимптотические разложения строятся на основе оригинальных комбинаций методов асимптотического анализа: метода согласования асимптотических разложений, метода пограничного слоя и метода многих масштабов. Проводится анализ коэффициентов формально построенных асимптотических рядов. Для строго периодического и локально периодического чередования краевых условий описанный подход позволяет строить полные асимптотические разложения собственных значений и собственных функций. В случае непериодического чередования и усредненного третьего краевого условия получены достаточно слабые условия на структуру чередования, при которых удается построить первые поправки в асимптотиках для собственных значений и собственных функций; указанные условия включают в рассмотрение широкий класс различных случаев непериодического чередования. При дальнейшем, весьма серьезном ослаблении условий на структуру чередования удается получить двусторонние оценки скорости сходимости собственных значений возмущенной задачи; показано, что эти оценки неулучшаемы по порядку. Для соответствующих собственных функций также получены неулучшаемые по порядку оценки скорости сходимости.
14-129
Усреднение параболических уравнений высокого порядка с периодическими коэффициентами
Аннотация
В L2(Rd;Cn) рассматривается широкий класс матричных эллиптических операторов Aε порядка 2p (где p≥2) с периодическими быстро осциллирующими коэффициентами (зависящими от x/ε). Здесь ε > 0 - малый параметр. Изучается поведение операторной экспоненты e-Aετ при τ > 0 и малом ε. Показано, что при ε → 0 оператор e-Aετ сходится по операторной норме в L2(Rd;Cn) к экспоненте e-A0τ от эффективного оператора A0. Получена также аппроксимация операторной экспоненты e-Aετ по норме операторов, действующих из L2(Rd;Cn) в пространство Соболева Hp(Rd; Cn). Установлены оценки погрешностей найденных приближений, зависящие от двух параметров: ε и τ. При фиксированном τ > 0 погрешности имеют точный порядок O(ε). Результаты применяются к вопросу о поведении решения задачи Коши для параболического уравнения ∂τuε(x,τ)= -(Aε uε)(x,τ)+F(x,τ) в Rd.
130-191