Polymodal distribution of water discharge probability in river systems

Full Text

Введение

Бассейны рек представляют собой открытую динамическую систему вдоль их русел. Количество перемещенной воды вдоль русла определяется речным стоком. Сток воды измеряется объемом за единицу времени, а распределение его плотности вероятности (в дальнейшем, вероятность) имеет полимодальную форму, что подтверждено в [1].

Изучение форм статистических распределений вероятностей переменных характеристик элементов в различных открытых системах показало то, что полимодальная форма распределения универсальна. Она проявляется совершенно в различных открытых системах с внешним воздействием. Например, авторы статьи [2] исследовали распределения биомассы и размеры биообъектов из экосистем разного масштаба: фитопланктона в озере, метазоев в ручье, членистоногих в лесах. Полимодальное распределение размеров биоты нескольких видов, конкурирующих за одну и ту же нишу, обусловлено компромиссом между воспроизводством и использованием ресурсов, являющемся причиной внутреннего резонанса, который может породить несколько мод. Когда конкуренция становится стохастической, поскольку сила отбора уменьшается ниже определенного порога, возникают пики, и стационарное распределение становится полимодальным. Сочетание местной конкуренции и глобальной миграции занимает центральное место во многих экологических процессах. Стохастичность в конкуренции внешней биоты с внутренней в локальной экосистеме в определенных условиях (резонанса) приводит к образованию полимодального распределения размеров и масс биообъектов. В статье [3] приведены примеры полимодального распределения размеров улитки Heleobia, причиной данной формы распределения является негативное влияние паразитов на их репродукцию.

 В работе [4] вероятностные графики распределения по размерам зерен осадочной породы в системе «река–озеро» показали, что большинство выборок являются полимодальными, с тремя модами. Полимодальное распределение размеров зерен в черноземах Северо-Восточного Китая в большей степени обусловлено ветровой эрозией почв и в меньшей степени – процессами замерзания–испарения и антропогенным влиянием [5]. В статье [6] проведенные экспериментальные исследования динамических характеристик оборудования грануляции микрокристаллической целлюлозы и моногидрата α-лактозы показали, что степень грануляции и размеры гранул сильно зависят от отношения скорости подачи порошка (сырья) к скорости крутящего момента шнека. Увеличение мод в распределении размеров гранул происходит при уменьшении скорости подачи порошка.

Полимодальное распределение размеров частиц обусловлено созреванием многокомпонентных дисперсных систем с испарениями (фазовыми превращениями) внутри частиц [7]. Если внешнее давление сопоставимо (или несколько выше) с внутренним давлением насыщенного пара, то статистические распределения размеров капель нелетучих веществ полимодальны. В статье [8] проведенное исследование гранулометрического состава песка (на острове Фишер) выявило бимодальное распределение его размеров, а именно песчинок крупного и среднего диаметра. Размер песка определялся фациальными условиями осадконакопления.

В металлургии с увеличением времени измельчения и добавления в порошок карбида ванадия форма гранулометрического распределения размеров частиц измельченной инструментальной стали становится более полимодальной [9].

Но не только размеры элементов «неживых» систем имеют полимодальную форму распределения, но и масса тел эпипелагического нектона океанских особей распределяется полимодально [10]. По всей видимости, присутствие внешнего влияния на любую открытую систему приводит к формированию полимодального статистического распределения её преобразующихся элементов.

В свою очередь, автором представленной работы были изучены статистические распределения содержания бора в полимиктовой песчаной породе (в качестве индикатора палеофаций) [11]. Исследования показали, что причинами полимодального распределения содержания бора были палеосолёность и гидродинамика водной среды осадконакопления. Также вероятности образования вторичных минералов в песчаных породах литосферы в результате процессов наложенного эпигенеза (при поступлении в коллектор глубинных флюидов) всегда имеют форму полимодального распределения [12, 13].

Для каждой рассмотренной системы физико-химический механизм проявления полимодального распределения вероятности преобразования её элементов уникален. Например, исследуя причины влияния таких доминирующих факторов, как атмосферная температура (скорость испарения) и влагонасыщенность почв, на сток рек, на основе дифференциальных уравнений была построена физическая модель, адекватно отражающая особенности колебаний речного стока [14]. В качестве внешнего воздействия выбрана периодическая функция. В нелинейной системе «влагозапасы–сток» обнаружено явление динамического хаоса, приводящее к образованию странного аттрактора в фазовом пространстве. Даже незначительное внешнее влияние на управляющий параметр приводит к хаотизации и формированию нового аттрактора. В других открытых системах их физико-химические причины преобразования, естественно, будут иными.

Однако если унифицировать полимодальное статистическое распределение плотности вероятности, то каждая мода будет равна определенной константе, связанной с «золотой» пропорцией и соответствующей универсальному принципу состояния процесса преобразования систем [11–13].

Целью настоящей работы является подтверждение соответствия мод стока рек универсальным принципам преобразования при унификации полимодального статистического распределения вероятности расхода воды в речных системах. Каждая мода может ассоциироваться с аттрактором.

Методы исследования

Исследуем выборку плотности вероятности расхода воды (в количестве s>>30) стока рек, где русло реки с её притоками можно рассматривать в качестве открытой гидрографической системы. Пусть общее количество элементов (м³) воды на единице пространства системы: M=m+n, где m – количество непреобразованных элементов (регистрируемый расход воды), n – нерегистрируемое количество преобразованных элементов (фазовые превращения). В этом случае n всегда пропорциональна интенсивности преобразования. Следовательно, интенсивность процесса преобразования системы можно записать как отношение: I=n/M, а разность интенсивности: ΔI=1–I. Количество непреобразованных элементов будет соответствовать произведению: m=MΔI. При значительном количестве выборочных значений s предел среднего отношения: $\underset{s\to \infty }{\lim }⟨\frac{m}{M}⟩=\mathrm{0,5,}$ поэтому <n>=<m>. Определим среднее значение непреобразованных элементов систем в интервале [I₀; 1] по стандартной формуле:

         $<m>= <M \Delta I > =\frac{⟨M⟩}{1-I_0}\underset{I_0}{\overset{1}{\int }}\Delta IdI$   (1)

Решением уравнения (1) является следующая зависимость:

            I₀= ,$\frac{2⟨m⟩}{⟨M⟩}-1$                    (2)

где минимальный параметр интенсивности преобразования I₀ будет больше нуля только при условии отношения средних величин больше 0,5. Для реализации данного неравенства в уравнение (2) вместо коэффициента 2 введем коэффициент пропорциональности χ>2. Очевидно, что для каждого процесса, в зависимости от его природы, он будет различаться. В случае регистрации расхода воды речной системы физический смысл данного коэффициента определяется отношением нерегистрируемого к регистрируемому расходу. Чем он больше, тем значительней доля нерегистрируемого (внешнего) воздействия на расход речной воды.

На основании преобразованной формулы (2) и следующей замены: J=I₀+1, получаем уравнение:

            $\frac{⟨M⟩}{⟨m⟩}=\frac{\chi }{J}$.                  (3)

В левой части равенства (3) по параметру J в пределах математических ожиданий [I₀; 1] вычисляем определенный интеграл, а в правой части – неопределенный интеграл и извлекаем следующее равенство:

           $\frac{⟨M⟩}{⟨m⟩}\Delta I_0=\chi \ln (I_0+1)+C$ .          (4)

После проведения замен параметров: m₀=ΔI₀<M>; µ_mod=I₀ и преобразования уравнения (4) получаем универсальное уравнение мод унифицированных полимодальных распределений плотности вероятностей для процессов преобразования любых открытых систем [11, 13]:

${\mu }_{\mathrm{mod}}=\exp \left[\frac{G_{\mathrm{mod}}-C}{\chi }\right]-1$,                       (5)

где $G_{\mathrm{mod}}=\frac{m_{\mathrm{mod}}}{⟨m⟩}$, т. е. относительная величина измеряемых выборочных значений, соответствующих m_mod – моде регистрируемого расхода воды (м³/с); <m> – средневзвешенная величина выборки; константы равны: C=–3,5 и унифицирующий параметр χ в интервале 12–14. Для каждой генеральной выборки систем различной природы преобразования среды в гистограмме распределения измеряемого значения m, χ – унифицирующая константа в уравнении, (5) определяется в случае соответствия математического ожидания моды j=µ_ПС=0,3819 минимальной (первой) моде. В этом случае формула вычисления χ выглядит так:

          $\chi =\frac{G_{\mathrm{mod}}\left(1\right)+\mathrm{3,5}}{\mathrm{0,3235}}$  .            (6)

В качестве выборки статистических данных рассмотрим речную систему [1]. В стандарте «Росгидромет» имеются табличные данные (более100-летний период) сезонного расхода воды стока рек, которые были использованы для построения гистограмм и определения мод относительных параметров [15]. На основании выборочных значений стоков различных сезонных периодов, используя математический аппарат построения гистограмм Excel, формируются гистограммы стока рек полимодального типа. Затем на основе уравнений (5) и (6) вычисляются константы данных мод, и полученные результаты сопоставляются с уже известными теоретическими данными табл. 1.

В работе [13] дана теория образования дискретных состояний процессов преобразования различных открытых систем. Разрешенные состояния процессов и их дискретность обусловлены угловыми координатами устойчивых и стабильных состояний процессов преобразования в системе временных координат, а инвариантность мод вероятности распределения интенсивности процессов – числами «золотой пропорции» при вычислении углов устойчивых и стабильных состояний процессов преобразования. Временные координаты представляют собой внутреннее время преобразования элементов систем и внешнее время воздействия. Очевидно, что дискретные состояния процессов при структуризации систем могут представлять собой аттрактор – особенности местных типов атмосферной циркуляции определяют законы распределения годового стока рек [16]. В табл. 1 показаны аббревиатуры состояний процессов, угловые координаты, константы мод и универсальные принципы данных состояния.

Под состоянием процесса (не объекта) преобразования системы понимаются устойчивые и стабильные значения относительных переменных временных параметров (периодов) преобразования системы и воздействия внешних компонентов на элементы системы. Состояние процесса определяется в векторном пространстве независимых временных координат: внутреннего времени преобразования элементов и внешнего времени влияния на них [13]. Для всех открытых систем необходимость разделения времени на «внутреннее» и «внешнее» обосновано в работе [17]

Устойчивостью процесса преобразования систем называют свойство инвариантности некоторых параметров систем, характеризующих тип трансформации.

Пропорциональное состояние процесса – это такое устойчивое состояние, когда в двухпараметрической системе только один параметр может быть переменным (например, Δt –период воздействия внешнего фактора), а изменение интенсивности преобразования (I(Δt)) пропорционально изменению соответствующего параметра (Δτ/Δt~I(Δt)), причем второй параметр (Δτ – внутренний период преобразования элементов) остается постоянным (либо наоборот: Δt – постоянный, а Δτ – переменный).

Непропорциональное состояние процесса – это такое состояние, когда в двухпараметрической системе одновременно переменными являются два параметра. Осуществляется только при условии стабилизации состояния процесса преобразования.

Стабильным состоянием преобразования называют процесс, при котором сохраняются постоянными произведения внутреннего и внешнего временных периодов преобразования системы относительно произведения начальных временных параметров, т. е. выполняется условие стабилизации. Величина постоянной меняется в зависимости от типа преобразования.

Таблица 1. Математические ожидания и углы унифицированных дискретных состояний статистических распределений интенсивностей процессов преобразования систем [11–13]

Table 1. Mathematical expectations and angles of unified discrete state statistical distributions of intensities of system transformation [11–13]

ПС – пропорционально-стабильное состояние; ПМ – пропорционально-мобильное состояние; НС – непропорционально-стабильное состояние. * – состояние одномерного доминирующего фактора воздействия; индекс (d) в состоянии ПС обозначает доминирующий поток влияния, а индекс (a) – альтернативный поток влияния.

PS – proportional-stable state; PM – proportional-mobile state; NS – non-proportional-stable state. * – state of a one-dimensional dominant influence factor; index (d) in the PS state denotes the dominant influence flow, and index (a) denotes the alternative influence flow.

Мобильное состояние процесса преобразования – это такое состояние, когда не выполняются условия стабилизации, но в пропорциональном состоянии устойчивость системы в результате преобразования не нарушается.

Если постоянное, либо цикличное воздействие внешнего доминирующего (d) фактора на процесс преобразования элементов системы имеет некое пространственное анизотропное направление (направление реки), и в то же время может возникать некое переменное влияние на систему от другого источника (притоков), необходимо ввести еще одну независимую альтернативную переменную Δt_a – период времени внешних альтернативных элементов влияния (притоков). Следовательно, после введения еще одной ортогональной временной координаты t_a получаем трехмерную систему координат τt_dt_a. Если внешнее воздействие только доминирующее, то состояние процесса называется одномерным и обозначается «звездочкой».

Русла рек можно рассматривать как открытые гидрографические системы, где внешним потоком, повышающим расход воды, являются осадки: дождь, таяние снега. Питаются реки таловыми, дождевыми и грунтовыми водами. В свою очередь, испарение и увлажнение почв уменьшают расход и являются внутренним преобразующим процессом в зависимости от атмосферной температуры. Время испарения воды и увлажнения почв в единице объема – это внутренняя характеристика элементов системы относительно атмосферной температуры.

Результаты исследования

Используя табличные данные стандарта «Росгидромет» расхода воды были построены гистограммы их распределения по сезонам. Например, при построении гистограммы значения минимальных 30-ти суточных летних расходов воды (м³/с) реки Великая д. Пятоново Псковского района в период с 1935 по 2014 гг. в выборке из 81 значений, в пределах расхода от 10 до 61 м³/с, было получено трёхмодальное распределение (рис. 1). Математические ожидания мод, вычисленных согласно уравнению (5), при константе χ=13,42 оказались равны: µ₁=0,382; µ₂=0,416; µ₃=0,45. Они соответствуют состояниям процессов: ПС; НС^* и ПС(2)a.

В летний период кроме грунтовых вод река Великая питается только за счет дождей, поэтому состояние процесса изменения расхода воды будет одномерное: НС*. При увеличении осадков на территориях притоков реки, увеличение стока реки происходит за счет альтернативного влияния – её притоков, что соответствует состоянию ПС(2)а.

Проведенные изучения выборок расхода воды реки Оки г. Калуги для зимнего, весеннего и летне-осеннего сезонов позволили выявить сезонные различия в распределениях одной гидрографической системы. На основании данных расхода воды с 1883 по 1934 гг. и с 1961 по 1996 гг. была исследована выборка зимне-летне-осеннего сезона с расходом воды до 250 м³/с в количестве 158 значений и среднем 141 м³/с. Получена четырехмодальная гистограмма относительных величин (рис. 2), по которой определена константа χ=12,9 при первой моде 95,17 м³/с и вычислены математические ожидания: µ₁=0,382; µ₂=0,405; µ₃=0,43; µ₄=0,455, соответствующие состояниям процессов: ПС; ПМ; НС и ПС(2)a. На рис. 2 заметно, что крайние моды выражены слабо, зато средние – ПМ и НС – наиболее вероятны.

Рис. 1. Гистограмма распределения G-относительной величины расхода воды реки Великая в летний сезон

Fig. 1. Histogram of distribution of G-relative value of water discharge of the Velikaya River in summer season

Рис. 2. Гистограмма распределения G-относительной величины расхода воды реки Оки в зимне-летне-осенний сезон

Fig. 2. Histogram of distribution of G-relative value of water discharge of the Oka River in the winter-summer-fall season

Рис. 3. Гистограмма распределения G-относительной величины расхода воды реки Оки в летне-осенний сезон

Fig. 3. Histogram of distribution of G-relative value of water discharge of the Oka River in the summer-fall season

Более детальный анализ показал, что состояние ПМ проявляется зимой, а НС – летом-осенью (рис. 3). Данный факт объясняется тем, что увеличение расхода воды зимой происходит вследствие изменения только внешних t-параметров: увеличение атмосферной температуры, которая влечет за собой таяние льда, снега как вдоль реки, так и вдоль её притоков. Летом к внешним осадкам подключается интенсивное испарение влаги реки и её притоков, обуславливающее изменение внутреннего τ-параметра.

Форма статистического распределения весеннего расхода воды трехмодальна. Причем выборка состоит из 84 значений с данными расхода воды от 140 до 1290 м³/с, константа χ=12,6 при первой моде 383,17 м³/с, среднее значение – 655 м³/с, математические ожидания: µ₁=0,382; µ₂=0,42; µ₃=0,46, соответствующие состояниям процессов: ПС; НС* и ПС(2)a. Во время весеннего половодья доминирующим внешним фактором увеличения расхода воды рек является поступление воды за счет осадков и таяния снега. Поэтому в распределении проявляется одномерное состояние НС*. Состояние ПС(2)a контролируется дополнительным стоком реки за счет её притоков.

Форма статистического распределения расхода воды летне-осеннего сезона бимодальна (рис. 3). Выборка состоит из 85 значений с данными расхода воды от 66 до 257 м³/с, константа χ=13,13, средняя величина – 140,3 м³/с, математические ожидания: µ₁=0,382; µ₂=0,43, соответствующие состояниям процессов: ПС и НС.

Обсуждение результатов исследования

Полученные результаты статистического распределения вероятности расхода воды в речных системах для разных сезонов времени позволяют провести сопоставления эмпирических состояний процессов с их теоретическими принципами.

В табл. 2 показаны описания состояний процессов преобразования речных систем рек Великая и Оки в различные периоды времени, где эмпирически выделенные состояния интенсивностей данных процессов соответствуют теоретическим принципам.

Проведем сравнительный анализ связи стока реки в весенний период со средней температурой (апрель и май) и суммой осадков за три месяца двух состояний процессов НС* и ПС(2)а. На основании табличных данных сайта [18] получены средние месячные значения температуры воздуха и осадков города Орла (в различные годы), расположенного в верховьях реки Оки. Причем для состояния процесса ПС(2)а выявлены только температурные данные.

Таблица 2. Сравнительные описания общих принципов состояний процессов преобразования систем и принципов преобразования речной системы при регистрации её стока

Table 2. Comparative descriptions of general principles of states of systems transformation processes and principles of river system transformation when registering its flow

Рис. 4. Сопоставление среднего расхода воды реки Оки за весенний период (г. Калуга) со средней атмосферной температурой и 1/10 атмосферных осадков г. Орла для состояния процесса НС*

Fig. 4. Comparison of the average water discharge of the Oka River for the spring period (Kaluga city) with the average atmospheric temperature and 1/10 of the atmospheric precipitation of Orel city for the NS* process state

Анализ корреляционных связей в состоянии процесса НС* выявил следующие закономерности – с увеличением температуры воздуха в верховьях реки сток реки уменьшается, а с увеличением осадков расход воды повышается (рис. 4). Это объясняется следующим образом: положительная регрессия выборочных данных осадков со стоком весьма очевидна, а вот отрицательную связь расхода воды с температурой можно объяснить испарением, т. е. проявлением внутренней характеристики – фазовым переходом элементов водной системы. На рис. 4 видно, что значимость модуля влияния температуры (R= –0,64) на расход воды меньше, чем значимость осадков (R=+0,85). Причины изменения расхода воды не связаны с притоками (рассматривается доминантное влияние в верховьях реки, т. е. отсутствие альтернативного влияния) и проявление двухкомпонентного внутреннего и внешнего воздействия подтверждает заявленное одномерное состояние процесса преобразования НС*.

В то же время для состояния процесса ПС(2)а коэффициент корреляции между выборками температуры и стока реки равен 0,36, что подтверждает отсутствие регрессии, т. е. внутреннее время преобразования остается постоянной величиной. К сожалению, в нашем случае нет возможности проверить влияние осадков, а тем более степень действия притоков реки. Можно только предположить, что для состоянии ПС(2)а изменение стока реки происходит только в результате соответствующего изменения расхода воды её притоков.

В летне-осенний сезон формирование речного стока в основном происходит в бимодальном состоянии процессов ПС и НС (рис. 3). Очевидно, что в данном периоде времени сильное влияние атмосферных осадков, значительной разницы температур (лето–осень) и зависимости от приточного потока приводит ко второй моде – процессу преобразования НС.

Согласно полученной зависимости (3), существует вычисляемый (унифицирующий) параметр χ, который отражает степень влияния нерегистрируемых фазовых изменений речного потока. Величина данного параметра должна быть обратно пропорциональна расходу воды рек и отражать температурное влияние.

Рис. 5. Зависимость унифицирующего параметра от среднего сезонного расхода воды рек Оки и Великая

Fig. 5. Dependence of the unifying parameter on the average seasonal discharge of the Oka and Velikaya rivers

На рис. 5 этот факт хорошо проявился в степенном уравнении тренда, где отрицательная величина степени, характеризующая интенсивность фазовых трансформаций, равна –0,022. Чем больше данная величина по модулю, тем значительней интенсивность преобразования системы, т. е. усиливается температурное влияние.

Конечно, гидрографическую систему рек можно исследовать с точки зрения нелинейного динамического хаоса [19], приводящего к определению алгоритмов в условиях возмущения исходных данных, где сингулярные числа могут трансформироваться в полимодальную структуру [20]. Но в этом случае явная высокая неопределенность исходных данных значительно понижает вероятность точного предсказания направления эволюции речной системы.

Выводы

Интенсивности процессов контролируются временными параметрами – отношением внутреннего времени трансформации элементов, характеристик системы к внешнему времени воздействия на систему [13]. На основании двухпараметрической функции, в которой параметры могут быть переменными либо постоянными, при устойчивости и стабилизации процессов преобразования исследуемой системы определены три базовые состояния интенсивностей данных процессов: пропорционально-стабильное (ПС); пропорционально-мобильное (ПМ); непропорционально-стабильное (НС).

Рассматривая расход воды речных систем в качестве интенсивности непреобразованных элементов преобразующейся системы, можно использовать универсальное уравнение мод для унификации полимодальных распределений. Это позволяет привести в соответствие моды интенсивности полимодального статистического распределения с уже вычисленными семи константами-аттракторами универсальной кинематической теории преобразования открытых систем. Каждая константа, связанная с «золотой» пропорцией, отождествляется с универсальным принципом состояния процесса преобразования исследуемых систем и позволяет правильно интерпретировать состояние систем в настоящем времени.

По табличным данным (стандарта «Росгидромет») сезонного расхода воды рек Великая и Оки построены полимодальные распределения плотности вероятности их стока. После проведения унификации распределений величины мод стали полностью соответствовать константам универсальных принципов состояний процессов преобразования. В свою очередь, соответствующие интерпретации реальных процессов преобразования речной системы по существу совпадают с описанием универсальных принципов трансформации открытых систем.

Таким образом, на основании присутствия выборки расхода воды в речных системах, используя уравнение унификации полимодального распределения, можно определить состояние процесса преобразования речной системы в настоящем времени и, зная параметры внешнего воздействия, предсказать её будущее развитие.

About the authors

Igor А. Melnik

Author for correspondence.
Email: melnik@tpu.ru

Dr. Sc., Professor

References

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

2. Fig. 1. Histogram of distribution of G-relative value of water discharge of the Velikaya River in summer season

Download (78KB)

Indexing metadata

3. Fig. 2. Histogram of distribution of G-relative value of water discharge of the Oka River in the winter-summer-fall season

Download (88KB)

Indexing metadata

4. Fig. 3. Histogram of distribution of G-relative value of water discharge of the Oka River in the summer-fall season

Download (94KB)

Indexing metadata

5. Fig. 4. Comparison of the average water discharge of the Oka River for the spring period (Kaluga city) with the average atmospheric temperature and 1/10 of the atmospheric precipitation of Orel city for the NS* process state

Download (101KB)

Indexing metadata

6. Fig. 5. Dependence of the unifying parameter on the average seasonal discharge of the Oka and Velikaya rivers

Download (82KB)

Indexing metadata