Mathematical models and algorithms for designing main pipeline for transporting georesources

Full Text

Введение

В статье исследуются задачи оптимизации маршрутов прокладывания магистрального трубопровода для транспортировки георесурсов по критерию экономической целесообразности проектного решения, надежности их функционирования с учетом совместимости коммуникаций различных типов трубопроводного транспорта, прокладываемых в одном направлении. Представленные исследования являются логическим продолжением работы [1].

Задачи в области добычи и транспортировки георесурсов (газ, нефть, вода) связаны с освоением источников ресурсов, их добычей и первичной переработкой, определением требуемых объемов для потребителей, а также транспортировкой и распределением этих ресурсов между потребителями [2–8]. Таким образом, возникает многокритериальная задача, в которой ищется экстремум некоторой целевой функции при заданных ограничениях и требованиях. Подобная многокритериальная задача может быть сформулирована следующим образом: из множества вариантов необходимо выбрать проектное решение при заданных ограничениях, обеспечивающее минимум суммарных затрат, при условии, что проектируемая магистральная сеть должна удовлетворять заданному порогу надежности. Другая формулировка состоит в замене оптимизируемого критерия на надежность (естественно, с переходом от минимизации к максимизации целевой функции), а порогового показателя – на стоимость.

Подобные задачи являются NP-трудными, что было исследовано в [1]. В данной работе проанализированы показатели надежности элементов проектируемого магистрального трубопровода, который осуществляет доставки георесурсов между заданными множествами точек в трехмерном пространстве D$\subseteq$R³. Множества точек в трехмерном пространстве D могут являться фиксированными и интерпретируются как источники георесрусов, потребители и какие-либо промежуточные точки, такие как распределительные пункты, насосные станции, подстанции и т. п.

В зависимости от количества точек в пространстве D мы можем перейти к решению одной из следующих подзадач:

• прокладка линейного графа из точки А в точку В;
• прокладка звезды из точки А в точки B₁,B₂,…B_n, в котором А – источник георерсурса, B₁,B₂,…B_n – потребители (или наоборот – несколько потребителей, один источник);
• прокладка полного или неполного двудольного графа между источниками георесурсов A₁,A₂,…A_m и потребителей B₁,B₂,…B_n.

Ниже мы исследуем задачи прокладывания магистрального трубопровода в трехмерном пространстве по критерию экономической эффективности проектного решения, в котором будут учтены высотные и ситуационные ограничения, а также надежность его функционирования. В качестве меры надежности магистрального трубопровода в условиях возможных отказов элементов первичной сети проанализированы несколько альтернативных показатели надежностей, такие как: минимум среди вероятностей существования путей между заданными парами вершин, средняя парная надежность и вероятность существования путей между заданными парами вершин. При этом должны быть учтены особенности местности, по которой будет прокладываться магистральный трубопровод. Для этой цели рассматривается дискретный аналог области для прокладывания магистрального трубопровода в виде математической или цифровой модели местности. В дальнейшем будут поставлены задачи на языке теории гиперсетей, в которой структура проектируемого магистрального трубопровода моделируется в виде графа вторичной сети SN (secondary network), дискретный аналог области размещения – в виде графа первичной сети PN (primary network), а маршруты прокладывания (отображения) вторичной сети SN в первичную сеть PN моделируются в виде двухуровневой гиперстети HN (hypernet).

Гиперсетевая модель прокладывания магистрального трубопровода

Пусть структура магистрального трубопровода представлена графом SN=(Y,R), в котором Y – множество точек в пространстве, положения которых зафиксированы. Эти точки представляют источники георесурсов, потребителей, а также промежуточные узлы в виде распределительных пунктов, насосных станций, подстанций и т. п. Наличие ребра между ними означает необходимость соединить соответствующие объекты каналами связи.

Рассмотрим дискретный аналог пространства D$\subseteq$R³, в котором прокладывается магистральный трубопроводный транспорт (в данном контексте R – множество вещественных чисел). Для его представления будем использовать граф PN=(X,V), в котором X – это множества узлов, а V – множество ребер (будем называть их ветвями), связывающих соответствующие пары узлов из множества X. Наличие такого ребра предполагает возможность физически соединить соответствующие точки пространства.

Тогда прокладывание (отображение) магистрального трубопровода SN=(Y,R) по соответствующим маршрутам в графе PN=(X,V) задается двухуровневой гиперсетью, которая определяется следующим образом [9]:

Определение: Гиперсеть HN=(X,V,R P,W,F) – это иерархический математический объект, состоящий из:

• на уровне первичной сети:
• X=(x₁,x₂,…x_n) – множества вершин;
• V=(v₁,v₂,…v_g) – множества ветвей;
• P:V$\to$2^X – отображения, сопоставляющее каждому элементу v$\subseteq$V множество P(v)$\subseteq$X его вершин, определяющее граф первичной сети PN=(X,V;P);
• на уровне вторичной сети:
• Y=(y₁,y₂,…y_p) – множества узловых элементов магистрального трубопровода;
• R=(r₁,r₂,…r_m) – множества ребра (магистральные трубопроводы);
• W:r$\to$2^P(F(r)) отображение, сопоставляющее каждому элементу r$\in$R подмножество W(r)$\subseteq$P(F(r)) его вершин, где P(F(r)) – множество вершин PN, инцидентных ветвям F(r)$\subseteq$V, определяющее граф вторичной сети SN=(Y$\subseteq$X,R;W). В данном случае SN соответствует структуре проектируемой сети коммуникации.

Тогда отображение F:R$\to$2^V, сопоставляющее каждому ребру rÎR графа вторичной сети SN определенный маршрут из ветвей v$\in$V в графе первичной сети PN, определяет гиперсеть. Таким образом, взаимодействие магистрального трубопровода и трехмерной области определяется гиперграфом (hyper graph) HG=(V,R;F), т. е. ветвь v$\in$V графа PN инцидентна ребру r$\subseteq$R тогда и только тогда, когда ребро r проходит (реализовано) по соответствующей ветви v, а вложение графа SN в PN описывается гиперсетью HN, которая однозначно определяется тройкой (PN,SN;F).

Предполагается, что графы PN и SN неориентированные. На рис. 1 граф первичной сети PN представлен в виде решетки, а граф вторичной сети SN – в виде маршрутов в PN 𝑅={(1,4,5),(1,4,7),(7,8,9)}.

 

Рис. 1. Пример гиперсети

Fig. 1. Hypernet example

 

Отметим, что в зависимости от вида отображения (сюръективное, инъективное или биективное) ребер графа вторичной сети SN по соответствующим маршрутам графа первичной PN, т. е. в зависимости от F:R$\to$2^V, возникают различные прикладные задачи в области проектирования и строительства инженерных коммуникаций различного назначения.

Математические модели местности

Трехмерное пространство

Предположим, что область прокладывания магистрального трубопроводного транспорта рассматривается как трехмерное дискретное пространство D$\subseteq$R³, содержащее в себе существующие коммуникации и сети, а также природные и ситуационные ограничения.

В зависимости от расположения соединяемых пар точек (одна из которых всегда стартовая, а другая конечная), метрические характеристики между ними определяется следующим образом (рис. 2):

• r=(A,B)=l, если узлы A и B имеют одинаковые отметки;
• $\rho (A,C)=\sqrt{l^2+h_2^2}$, если узлы A и C имеют разные отметки;
• $\rho (B,J)=\sqrt{2l^2+{(h_2+h_3)}^2}$, если узлы B и J имеют разные отметки (диагональ с двумя ступенями);
• $\rho (D,F)=l\sqrt{2}$, если узлы D и F имеют одинаковые отметки (диагональ);
• $\rho (A,G)=\sqrt{2l^2+h_2^2}$, если узлы A и G имеют разные отметки (диагональ с одной ступенью).

 

Рис. 2. Дискретный аналог области прокладывания – граф PN=(X,Y)

Fig. 2. Discrete analog of the laying area is a graph PN=(X,Y)

 

Возможные наплавления перехода из точки A(x₁,y₁,z₁) в точку B(x₂,y₂,z₂)  в трехмерном пространстве можно представить как в непрерывной, так и в дискретной форме, в зависимости от специфики решаемой задачи [10, 11].

Если решается непрерывная задача, то точка A(x₁,y₁,z₁) совпадает с вершиной конуса, а одно из возможных положений точки B(x₂,y₂,z₂) – с его основанием (рис. 3, а).

 

Рис. 3. Связность пар вершин в трехмерном пространстве в непрерывном случае (слева) и дискретном случае (справа)

Fig. 3. Connectivity of pairs of vertices in three-dimensional space in a continuous case (left), and in a discrete case (right)

 

В дискретном случае связность пары вершин A(x₁,y₁,z₁) и  графа PN в трехмерном пространстве может быть определена по принципу четырехсвязности |x₁–x₂|+|y₁–y₂|+|z₁–z₂|≤1 (рис. 4, а) или восьмисвязности |x₁–x₂|≤1, |y₁–y₂|≤1 и |z₁–z₂|≤1 (рис. 4, б).

 

Рис. 4. Принципы связности точек в дискретном случае: четырехсвязность (слева) и восьмисвзяность (справа)

Fig. 4. Connectivity principles of points connectivity in the discrete case: the four-connectivity (left), and the eight-connectivity case (right)

 

В дискретном случае координаты точки B(x₂,y₂,z₂) могут находиться в одном из четырех или восьми положений, в зависимости от применяемого типа связности. В свою очередь, тип связности зависит от сложности пространства D$\subseteq$R³, в котором предполагается прокладывать магистральный трубопровод.

Постановка задачи

Непрерывная постановка

Ниже мы приводим общую постановку задачи прокладывания магистрального трубопровода между заданными множествами точек в трехмерном пространстве в непрерывной постановке.

Пусть:

• m(x,y,z) – произвольный маршрут между заданными парами точек A(x₁,y₁,z₁) и B(x₂,y₂,z₂);
• f(x,y,z) – функция удельных земляных работ (подготовка полосы, рытье траншеи, коллекторов, подземных туннелей и т. п.) в точках (x,y,z)  трехмерного пространства D$\subseteq$R³. Она может быть непрерывной, кусочно-непрерывной или дискретной в зависимости от области определения данной функции;
• g(x,y,z) – функция удельных строительных затрат магистрального трубопровода (приобретения и монтаж) в точках (x,y,z) трехмерного пространства D$\subseteq$R³. Она может меняться из точки в точку в зависимости от категории местности.

Согласно [12], длина пространственной кривой m_AB(x,y,z), заданной системой уравнений y=y(x), z=z(x) и проходящей через точки A(x₁,y₁,z₁) и B(x₂,y₂,z₂), равна

$l\left(\mu \right)=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}\sqrt{1+{\left[y_x^{\text{'}}\right(x\left)\right]}^2+{\left[z_x^{\text{'}}\right(x\left)\right]}^2}dx$. (1)

В нашем случае длина трехмерной кривой l(m) равна (тождественна) длине ветви v$\in$V графа первичной сети PN, т. е. l(m)$\equiv$l(v).

Подынтегральное уравнение в (1) обозначим как dl, т. е.

$dl=\sqrt{1+{\left[y_x^{\text{'}}\right(x\left)\right]}^2+{\left[z_x^{\text{'}}\right(x\left)\right]}^2}dx$.

Пуст m[x,y(x),z(x)] кривая, связывающая в пространстве D$\subseteq$R³ точки (x₁,y₁,z₁)ÎD, i=1,2. Тогда суммарная стомость на строительство этой трассы (транщея, коллектор и т. п.) определяется как

$C\left(\mu \right)=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}f[x,\text{}y(x),z(x\left)\right]dl$. (2)

Мы полагаем, что длина прокладываемого магистрального трубопровода (длина ребра r$\in$R) равна суммарному числу ветвей (трасс), инцидентных этому трубопроводу, т. е. $l\left(r\right)=\sum _{v\in F\left(r\right)}l\left(v\right)$. Так как рассматривается непрерывный случай, длина прокладываемого магистрального трубопровода равна длине непрерывной трассы, т. е. l(r)=l(v).

Стоимость проектируемого магистрального трубопровода, прокладываемого вдоль трассы m[x,y(x),z(x)], определяется следующим образом:

$D\left(\mu \right)=\underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}g[x,\text{}y(x),z(x\left)\right]dx$, (3)

где g(x,y,z) – функция удельной стоимости магистрального трубопровода, зависящая от координаты точек (x,y,z) в трехмерном простарнстве D$\subseteq$R³.

Тогда непрерывная задача может быть сформулирована следующим образом: пусть m(A,B) – множества всех возможных маршрутов прокладывания магистрального трубопровода из точки A в точку B, представляющие собой непрерывные кривые в трехмерном пространстве D$\subseteq$R³. Тогда задача заключается в поиске такой кривой m₀ среди всех трасс m(A,B) , вдоль которой суммарная стоимость (2) (стоимость подготовки и строителства линейных сооружений (трасс, опор и т. п.)) и (3) (стоимость приобретения и прокладывания магистрального трубопровода) принимает наименьшее значение, т. е.

$\underset{{\mu }_0\in \mu (A,B)}{\min }\left[C\right(\mu )+D(\mu \left)\right]=\underset{A}{\overset{B}{\int }}\left[f\right(x,y\left(x\right),z\left(x\right)+g(x,y(x),z(x\left)\right]dx$ (4)

при

$R\left(HN\right)\ge R_0$, (5)

где R(HN) – надежность гиперсети (показатели надежности изучаются в следующе пункте); R₀ – требуемый порог надежности.

Непрерывная задача в виде (4), (5), без учета условия порогового значения наежности, позволяет решить ее методами вариационного исчисления [13].

Дискретная постановка

Пусть заданы графы первичной PN (дискретный аналог трехмерного пространства) и вторичной сети SN (предполагаемая структура магистрального трубопровода) некоторой гиперсети HN. В дискретной постановке задача выбора трассы для прокладки коммуникаций из пункта A(x₁,y₁,z₁) в пункт B(x₂,y₂,z₂) заключается в выборе маршрута в трехмерном пространстве D$\subseteq$R³, имеющего минимальную стоимость m_AB  среди всех маршрутов  между заданными парами вершин  и  на графе первичной сети PN, и отображения ребер (магистрального трубопровода) r$\in$R графа вторичной сети SN по выбранным маршрутам в PN. То есть требуется найти

$F:R\to 2^V$,

для которого

$Q\left(HN\right)=\underset{\mu (A,B)}{\min }\left(\sum _{(i,j){\mu }_{AB}}\left(c_{ij}+d_{ij}\right)\cdot l\left(r\right)\right)$ (6)

при ограничении (5),

где $\mu (A, B)$ – множество всех возможных маршрутов из A в B; ${\mu }_{AB}$ – маршрут, обеспечивающий минимум стоимости перехода из A(x₁,y₁,z₁) в B(x₂,y₂,z₂); c_ij – стоимость перехода из пункта i  в пункт j , определяющих звено маршрута m_AB на графе первичной сети PN, т. е. (i,j)Îm_AB; d_ij – удельная стоимость ребер r$\in$R (магистрального трубопровода) графа вторичной сети SN из пункта i в j; l(r) – длина прокладываемого магистрального трубопровода (длина ребра r$\in$R) равна суммарному числу ветвей (трасс), инцидентных этому трубопроводу, т. е. $l\left(r\right)=\sum _{v\in F\left(r\right)}l\left(v\right)$.

Для различных вариаций задач (5), (6) предложены различные алгоритмы их решения. На рис. 5 представлены результаты расчётов этих алгоритмов: метод, основанный на построении самой надёжной струкутры (Max Prob); метод основанный на жадной стратегии, использующий также предыдущий алгоритм (Floyd Greedy Prob); метод, использующий алгоритм Йена для построения множества k-кратчайших путей (K-path), основанный на подходе муравьиной аколонии (AntColony), а также две их комбинации Greedy+K-path, AntColony+K-path [14].

 

Рис. 5. Результаты расчетов для решетки 10×10

Fig. 5. Numerical results for the 10×10 lattice

 

В качестве графа первичной сети PN была взята решетка 10×10. Стоимость ветвей первичной сети – случайные числа от 5 до 10 условных единиц. Стоимость ребер вторичной сети – случайные числа от 1 до 5. R₀=0,7 для |R|=5, 10; R₀=0,6 для |R|=30, 60; R₀=0,5 для |R|=80. В качестве надежности был рассмотрен такой показатель, как минимальное значение среди вероятностей связности ребер вторичной сети (пункт “Анализ надёжности гиперсетей”). На диаграмме по оси абсцисс показана стоимость полученной гиперсети, по оси ординат – число ребер |R|, которые нужно вложить в первичную сеть. Можно заметить, что целесообразно использование K-path как часть другого алгоритма для нахождения более дешевого решения, а также что для небольших значений |R| лучшее решение находит семейство алгоритмов AntColony, а для больших лучше работают жадные алгоритмы (Greedy).

Анализ надёжности гиперсетей

Задачи, связанные с анализом надёжного функционирования сетей различного назначения, активно изучались в [15–28] и продолжают изучаться в настоящее время. Как правило, для анализа надежность сетей применяют различные стохастические методы, такие как метод Монте-Карло, вероятностный анализ и другие [15–21], а в качестве математической модели выступает случайный граф [22]. Предполагается, что элементы графа, вершины и/или рёбра присутствуют в графе с заданными вероятностями, что описывает надёжность соответствующих элементов сети. Классический показатель надёжности сетей – вероятность её связности, то есть вероятность связности соответствующего случайного графа [9]. В более общем случае рассматривают заданное подмножество узлов K (полюсов), для которых необходимо обеспечить возможность установления соединения друг с другом. Вероятность связности этих узлов – это так называемая K-терминальная надёжность (K-terminal network reliability). Выделяют два важных случая: K=V, в таком случае получаем уже упомянутую вероятность связности (all-terminal network reliability); и K=2, что соответствует надёжности двухполюсной сети (2-terminal network reliability). Отметим, что для всех этих показателей точный их расчёт представляет собой NP-трудную задачу [23]. Несмотря на это, точные методы расчёта широко используются. Например, выделяется класс последовательно-параллельных сетей [24], для которых расчёт осуществляется за полиномиальное время. В общем случае возможно использование приближённых методов, например метода Монте Карло [25].

Понятие случайной гиперсети для анализа надёжности иерархических структур было впервые введено в работах [26, 27]. Соответствующий аппарат был далее развит в [28]. Как правило, рассматривается случай отказов в первичной сети, но также изучены некоторые варианты отказов элементов и во вторичной сети.

Для рассматриваемых задач – проектирование и структурная оптимизация сетей инженерных коммуникаций в условиях возможных отказов элементов, в том числе магистральных трубопроводов, подходит математическая модель, изложенная в [1]. Мы рассматривали возможность выхода из строя рёбер первичной сети (траншей, коллекторов, и т. д.), при котором все проходящие через это ребро ветви (линии связи вторичной сети) перестают функционировать. Например, при обвале штрека в шахте будут скорее всего повреждены кабели электропитания, связи, сети мониторинга, и другие. Вероятность выхода из строя рёбер может быть определена исходя из статистических данных, экспертных оценок или в результате моделирования, т. е. точно так же, как и для классических моделей сетей с ненадёжными элементами. Имея значения надёжности ветви первичной сети, надёжность ребра вторичной определяется естественным образом как произведение надёжностей ветвей, через которые она проходит. Таким образом, приходим к аналогу уже упомянутой двухполюсной надежности, определяемой как максимум из надёжностей всех рёбер, соединяющих два заданных узла вторичной сети. Методы оптимизации инженерных сетей, с учётом надёжности по этому показателю, представлены в [29]. Также в [30] мы обсуждали возможность использования других показателей.

В данной работе мы рассмотрим альтернативные показатели надёжности для проектирования и оптимизации сетей инженерных коммуникаций и магистральных трубопроводов и проиллюстрируем их использование. Приведём сначала определение упомянутого показателя надёжности.

Будем считать, что ветви V первичной r$\in$R PN=(X,V) сети подвержены случайным отказам, происходящим независимо друг от друга с заданными вероятностями p_i, 1$\le$i$\le$g.

Надежность ребра вторичной сети rÎR определим как

$R_r\left(HN\right)=\prod _{v\in F\left(r\right)}p\left(v\right)$. (7)

Если для ребра r$\in$R путь F(r) имеет конечные точки a и b, и если никакие другие рёбра не связывают эти точки, мы будем использовать обозначение R_ab(HN) вместо R_r(HN). Если для узлов a и b существует более одного такого ребра, это обозначение используется для того ребра, значение надежности которого максимально.

Надёжность R(HN) = гиперсети HN в целом, с учетом того, что в первичной сети происходят сбои, но при этом все потребители должны быть связаны с необходимыми им поставщиками, определялась как:

min$\left(R_{pair}\right)=\min \left\{R_{ab}\right(HN\left)\right\},a\in Y_{source},b\in Y_{consumer}$, (8)

где Y_source – источник георесурсов; Y_consumer – потребители.

Таким образом, R₁(HN) является минимумом среди всех двухтерминальных надежностей R_ab(HN), где а – это источник ресурса, b – потребитель. Если мы рассматриваем случай, когда подобные узлы не заданы, а необходимо просто проложить рёбра по первичной сети, то это будет минимум среди всех надёжностей рёбер.

Однако не во всех случаях адекватной мерой надёжности будет именно указанный показатель. Введём в рассмотрение показатель для описания надёжность сети в среднем:

$Av\left(R_{pair}\right)=\frac{1}{\Omega }\sum _1^{\Omega }{R}_{ab}\left(HN\right),a\in Y_{source},b\in Y_{consumer}$, (9)

где Ω – количество всех рассматриваемых пар источник–потребитель или всех рёбер, если эти пары в явном виде не заданы.

Рассмотрим также показатель, который необходим для описания надёжности в случае, когда нужно, чтобы все потребители и поставщики одновременно были связны с максимальной вероятностью. Определим его как вероятность существования путей между каждой парой источник–потребитель:

$R_{All\_Pairs}\left(HN\right)=probability(Exist\_a\_path\_betweena\in Y_{source},b\in Y_{consumer})$. (10)

Определение вероятностного пространства в этом случае делается по аналогии с, например, работой [17].

Возможны ситуации, когда при одних и тех же условиях разные конфигурации инженерной сети будут оптимальными с точки зрения введённых нами выше показателей (7)–(10).

Например, рассмотрим первичную сеть (рис. 6), представленную решёткой 4×8, где каждая ветвь присутствует с вероятностью p. Узлы, которые необходимо связать рёбрами, расположены сверху и снизу (выделены на рис. 6), т. е. каждое ребро связывает выделенный узел сверху и выделенный узел, изображённый непосредственно под ним.

Рассмотрим три способа соединения этих трёх пар узлов, изображённых на рис. 6–8.

 

Рис. 6. Решетка 4×8

Fig. 6. 4×8 grid

 

Рис. 7. Топология Т1: вариант прокладки вторичной сети с совместным использованием ветвей первичной

Fig. 7. Topology T1: the secondary network laying variant with the joint use of primary one branches

 

Рис. 8. Топология Т2: вариант прокладки вторичной сети без совместного использования ветвей первичной

Fig. 8. Topology T2: the secondary network laying without sharing the branches of the primary one

 

Значения надёжностей гиперсети для каждого из случаев приведены в таблице.

 

Таблица. Значения надёжности для разных показателей и разных вариантов прокладки вторичной сети

Table. Reliability values for different indicators and different options for laying the secondary network

Показатели Indicators	Топологии/Topologies
	T1	T2	T3
Min(RPair)	P8	p6	P8
Av(RPair)	$\frac{2p8 + p4}{3}$	p6	$\frac{2p4 + p8}{3}$
RAll_Pairs	p12	p18	p16

 

Обозначим варианты прокладки вторичной сети по ветвям первичной как № 1 (рис. 7), № 2 (рис. 8), № 3 (рис. 9). Из таблицы видно, что для разных показателей разные топологии будут оптимальными. Так, для первого (таблица) показателя лучшим будет вариант № 2. Надёжность для вариантов № 2 и 3 совпадает. Для третьего показателя лучшей будет топология № 1, средней – № 3, худшей – № 2. Для второго показателя подобный список будет зависеть от значения p. Для определённых значений лучшим будет и вариант № 3, который с точки зрения других показателей не является лучшим.

 

Рис. 9. Топология Т3: другой вариант прокладки вторичной сети без совместного использования ветвей первичной

Fig. 9. Topology T3: another secondary network laying without sharing the branches of the primary one

 

Заключение

Для проектирования и структурной оптимизации сетей доставки георесурсов с учётом их иерархичной вложенности сформулированы соответствующие математические задачи в виде непрерывной и дискретной постановок. Приводится математический и алгоритмический аппарат для решения подобных задач, который описан в рамках теории вариационного исчисления, теории графов и дискретной оптимизации. Рассмотрены различные показатели надежности проектируемой сети в условиях отказов первичной сети – траншей, штреков в шахте, и т. д. Выбор того или иного показателя при проектировании определяется задачами и условиями функционирования каждой конкретной сети инженерных коммуникаций. Показано, что при одних и тех же условиях разные конфигурации инженерной сети будут оптимальными с точки зрения разных показателей.

About the authors

Gulzhigit Y. Toktoshov

Ministry of Education and Sciences of the Kyrgyz Republic

Email: tgi_tok@rambler.ru
ORCID iD: 0000-0001-7697-7713

Cand. Sc., Associate Professor, Chief Specialist

Kyrgyzstan, Bishkek

Denis A. Migov

Institute of Computational Mathematics and Mathematical Geophysics of SB RAS

Author for correspondence.
Email: mdinka@rav.sscc.ru
ORCID iD: 0000-0003-3386-4641

Cand. Sc., Senior Researcher

Russian Federation, Novosibirsk

References

Supplementary files