Некоторые вспомогательные оценки решений для неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка

Полный текст

1. Предварительные сведения

Пусть в $n$-мерном евклидовом пространстве $E_n$ точек $x=(x_1,x_2\mathrm{,...,}{x}_n),n\ge 2$ расположена ограниченная область $\Omega$ с границей $\partial \Omega$, причем $0\in \partial \Omega$.

Рассмотрим в $\Omega$ эллиптическое уравнение

$Lu=\sum _{i,j=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}\left(a_{ij}\left(x\right)\frac{\partial u}{\partial x_j}\right)=0$ (1.1)

в предположении, что коэффициенты $a_{ij}\left(x\right)$ являются измеримыми функциями в $\Omega ,a_{ij}\left(x\right)=a_{ji}\left(x\right),i,j=\mathrm{1,2,...,}n$ и, кроме того, для $\xi \in E_n,x\in \Omega$

$\mu \sum _{i=1}^n{\lambda }_i\left(x\right){\xi }_i^2\le \sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\left(x\right){\xi }_i{\xi }_j\le {\mu }^{-1}\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\left(x\right){\xi }_i^2,$ (1.2)

здесь $\mu \in \left(\mathrm{0,1}\right]$ — некоторая константа и

${\lambda }_i\left(x\right)={\left({\left|x\right|}_{a^{-}}\right)}^{{\alpha }_i},{\left|x\right|}_{{\alpha }^{-}}=\sum _{i=1}^n{\left|x_i\right|}^{\frac{2}{2+{\alpha }_i}},{\alpha }_i\ge \mathrm{0,}i=\mathrm{1,2,...,}n.$ (1.3)

Отметим, что для равномерно эллиптических уравнений 2-го порядка дивергентной структуры доказательство оценки убывающего решения можно найти в [1; 2]. Настоящая статья тесно связано по тематике с работами [3–12].

Для равномерно эллиптических уравнений соответствующие результаты получены в работе [13]. Что касается неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений 2-го порядка, то отметим в этой связи работу [14].

Функция $u\left(x\right)\in {\stackrel{\circ }{W}}_{\mathrm{2,}\Lambda }^1\left(\Omega \right)$ называется слабым решением уравнения (1.1), если при всякой $\psi \left(x\right)\in {\stackrel{\circ }{W}}_{\mathrm{2,}\Lambda }^1\left(\Omega \right)$ выполнено интегральное тождество

${\int }_{\Omega }\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_j}\frac{\partial \psi }{\partial x_i}dx=0.$

Введем некоторые обозначения:

$S_r=\left\{x:\left|x\right|\le r\right\},C_r=S_r\cap \overline{\Omega },$

Пусть $\Gamma \left(x\right)$ — фундаментальное решение оператора $L$ в $R^n$ с особенностью в точке 0, $\rho \left(x\right)={\left[\Gamma \left(x\right)\right]}^{\frac{1}{2-n}}$, $T_r=\left\{x:\rho \left(x\right)\le r\right\}$. Как показано в [10; 11], существует такая зависящая только от $\mu$ и $n$ постоянная $\alpha$, что в $R^n$

$2\alpha \left|x\right|\le \rho \left(x\right)\le {\left(2\alpha \right)}^{-1}\left|x\right|,$ (1.4)

что эквивалентно включению $S_r\left(2\alpha \right)\subset T_r\subset S_r\left(\frac{1}{2\alpha }\right)$.

Положим

$\frac{1}{\sqrt{n}}{\left(2\alpha \right)}^{\frac{1+{\alpha }^{+}}{2}}=2{\lambda }_1.$

Введем еще обозначения:

$K_{r_1,r_2}=S_{r_1}\backslash S_{r_2},Q_{r_1,r_2}=T_{r_1}\backslash T_{r_2},{\alpha }^{+}=\max \left\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\mathrm{,...,}{\alpha }_n\right\},$

$M_r\left(u\right)=r^{-n}\underset{K_{{\alpha }^{-1}r,ar}}{\int }{u}^{2}dx,$

$cap\left(E\right)$ — гармоническая емкость множества $E$, $\gamma \left(r\right)=r^{2-n}cap\left(C_r\right)$ — относительная емкость $\overline{\Omega }$ в шаре $S_r$.

2. Основные вспомогательные леммы

В этом пункте через $u$ обозначим функцию из пространства $W_2^1\left(S_{\delta }\right)$ $(\delta =const>0),$ удовлетворяющую в $\Omega \cap S_{\delta }$ уравнению $Lu=0$ и равную нулю на $C_{\delta }.$

Лемма 1. Пусть

$J\left(r\right)\equiv \frac{1}{2-n}{\int }_{\partial T_r}{u}^2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}{n}_{j}d{S}_x,$ (2.1)

где $r<\delta$ и $\left\{n_j\right\}-$ проекции единичной внешней нормали к $\partial T_r$ на координатные оси. Тогда

$2r^{1-n}{\int }_{T_r}\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}dx=J^{\text{'}}\left(r\right).$ (2.2)

Доказательство. Положим $t=r^{2-n}$. Тогда

$\begin{array}{c}L{u}^2=\sum _{i,j=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}\left(a_{ij}\left(x\right)\frac{\partial u^2}{\partial x_j}\right)=2\sum _{i,j=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}\left(a_{ij}\left(x\right)u\frac{\partial u}{\partial x_j}\right)=\\ \\ =2\sum _{i,j=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}\left(a_{ij}\left(x\right)\frac{\partial u}{\partial x_j}\right)u+2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\left(x\right)\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}=2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\left(x\right)\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}.\end{array}$

С другой стороны,

${\int }_{\Omega }{(\Gamma -t)}_{+}L\left(u^2\right)dx=2{\int }_{\Omega }{(\Gamma -t)}_{+}\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\left(x\right)\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}dx,$

${\int }_{\Omega }{(\Gamma -t)}_{+}L\left(u^2\right)dx={\int }_{T_r}{(\Gamma -t)}_{+}L\left(u^2\right)dx.$

Пусть

$I={\int }_{T_r}(\Gamma -t)L\left(u^2\right)dx={\int }_{T_r}(\Gamma -t)\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial u^2}{\partial x_j}\right)dx.$

Обозначим

$w_i=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial u^2}{\partial x_j},i=\mathrm{1,2,...,}n.$

Тогда

$I=\sum _{i=1}^n{\int }_{T_r}\left(\Gamma -t\right)\frac{\partial }{\partial x_i}{w}_{i}dx=\sum _{i=1}^n{\int }_{T_r}\left[\left(\Gamma -t\right)\frac{\partial w_i}{\partial x_i}+\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}{w}_i\right]dx-$

$-\sum _{i=1}^n{\int }_{T_r}\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\left(\Gamma -t\right)w_i\right)dx.$

Обозначим через $\overline{w}=\left((\Gamma -t)w_1,(\Gamma -t)w_2\mathrm{,...,}(\Gamma -t)w_n\right)$. Тогда $i_1={\int }_{T_r}div\widehat{w}dx={\int }_{\partial T_r}(\widehat{w},\widehat{n})ds=\mathrm{0,}\widehat{w}/\partial T_r=0$ (т. к. $\Gamma -t=0$ на $\partial T_r$).

Тогда

$I=-\sum _{i=1}^n{\int }_{T_r}\frac{\partial }{\partial x_i}{w}_{i}dx=-\sum _{i,j=1}^n{\int }_{T_r}{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}\frac{\partial u^2}{\partial x_j}dx=$

$=-\sum _{j=1}^n{\int }_{T_r}\sum _{i=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}\frac{\partial u^2}{\partial x_j}dx.$

Обозначим $z_j={\sum }_{i=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i},j=\mathrm{1,2,....,}n$.

Тогда

$\begin{array}{c}I=-\sum _{j=1}^n{\int }_{T_r}{z}_j\frac{\partial u^2}{\partial x_j}dx=-\sum _{j=1}^n{\int }_{T_r}\left(\frac{\partial z_j}{\partial x_j}{u}^2+z_j\frac{\partial u^2}{\partial x_j}\right)dx+\\ +\sum _{j=1}^n{\int }_{T_r}\frac{\partial z_j}{\partial x_j}{u}^{2}dx=j_1+j_2\end{array}.$

Пусть $\widehat{z}=\left(u^2{z}_1,u^2{z}_2\mathrm{,...,}{u}^2{z}_n\right).$ Тогда

$j_1=-\sum _{j=1}^n{\int }_{T_r}\frac{\partial }{\partial x_j}\left(u^2{z}_j\right)dx=-{\int }_{T_r}div\widehat{z}dx=-{\int }_{\partial T_r}\left(\widehat{z},\widehat{n}\right)ds=$

$=-\sum _{j=1}^n{\int }_{\partial T_r}{u}^2{z}_j{n}_{j}ds=-\sum _{j=1}^n{\int }_{\partial T_r}{u}^2\sum _{i=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_j}{n}_{j}ds=-\sum _{i,j=1}^n{\int }_{\partial T_r}{u}^2{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}{n}_{j}ds,$ (2.3)

$j_2=\sum _{j=1}^n{\int }_{T_r}\frac{\partial z_j}{\partial x_j}{u}^{2}dx=\sum _{j=1}^n{\int }_{T_r}{u}^2\frac{\partial }{\partial x_j}\left(a_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}\right)dx=$

$={\int }_{T_r}{u}^2\sum _{i,j=1}^n\frac{\partial }{\partial x_j}\left(a_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}\right)dx={\int }_{T_r}{u}^{2}L\Gamma dx,$ (2.4)

где $\Gamma \left(x\right)$ — фундаментальное решение, т. е.

$L\Gamma \left(x\right)=-\delta \left(x\right).$

Другими словами,

${\int }_{T_r}\phi \left(x\right)L\Gamma \left(x\right)dx=-\phi \left(0\right),$

$j_2=-u^2\left(0\right)$ на $0\in \partial \Omega ,$ поэтому $j_2=0$ и из (2.4) заключаем

$I=-\sum _{i,j=1}^n{\int }_{\partial T_r}{u}^2{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}{n}_{j}ds,$

$\frac{2}{2-n}{\int }_{T_r}(\Gamma -t)\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}dx=-\frac{1}{2-n}{\int }_{\partial T_r}{u}^2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}{n}_{j}ds,$

$\frac{2}{2-n}{\int }_{T_r}(\Gamma -t)\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}dx=J\left(r\right),$

$J^{\text{'}}\left(r\right)=\frac{2}{n-2}\frac{\partial }{\partial r}{\int }_0^{r}dy{\int }_{\partial T_y}\left(\Gamma -r^{2-n}\right)\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}d{s}_y=$

$=2r^{1-n}{\int }_{T_r}\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}dx.$

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. При ${\lambda }_{1}r<\delta$ справедливо неравенство

$J\left(r\right)\le C{M}_r\left(u\right).$ (2.5)

Доказательство. Заметим, что на $\partial T_r$

$\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}{n}_j=-\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}{n}_i{n}_j\left|\nabla \Gamma \right|\le \mathrm{0,}$

${\int }_{T_r}L\Gamma dx={\int }_{\partial T_r}\frac{\partial \Gamma }{\partial \nu }ds(\frac{\partial }{\partial \nu }-производнаяпоконормали).$ (2.6)

Знаем, что $L\Gamma \left(x\right)=-\delta \left(x\right).$

По определению $\frac{\partial \Gamma }{\partial \nu }=\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}{n}_j$,

${\int }_{T_r}L\Gamma dx=-{\int }_{T_r}\delta \left(x\right)dx=-1.$

${\int }_{T_r}L\Gamma dx={\int }_{\partial T_r}\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}{n}_{j}ds=-1.$

Тогда

$J\left(r\right)=-\frac{1}{n-2}{\int }_{\partial T_r}{u}^2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}{n}_{j}ds.$

Из принципа максимума следует

$-\frac{1}{n-2}{\int }_{T_r}{u}^2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}{n}_{j}dS\le -\frac{1}{n-2}\underset{\partial T_r}{max}{u}^2{\int }_{\partial T_r}\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}{n}_{j}dS=$

$=\frac{1}{n-2}\underset{T_r}{max}{u}^2\le \frac{1}{n-2}\underset{S_r{\left(2{\lambda }_1\right)}^{-1}}{max}{u}^2=\frac{1}{n-2}\underset{\partial S_r{\left(2{\lambda }_1\right)}^{-1}}{max}{u}^2\le$

$\le \frac{1}{n-2}\underset{\partial S_r{\left(2{\lambda }_1\right)}^{-1}\cup \partial S_r\left(2{\lambda }_1\right)}{max}{u}^2=\frac{1}{n-2}\underset{K_r\left(\frac{1}{2{\lambda }_1}2{\lambda }_1\right)}{max}{u}^2\le \frac{C}{n-2}{M}_r\left(u\right).$

В результате получим

$\underset{K_r\left(\frac{1}{2{\lambda }_1}\mathrm{,2}{\lambda }_1\right)}{max}{u}^2\le C{M}_r\left(u\right).$ (2.7)

Неравенство (2.5) доказано.

Лемма 3. При $r<R<\delta$ справедливо неравенство

$J\left(r\right)\le CJ\left(R\right)\exp \left(-C{\int }_r^R\gamma \left(\tau \right)\frac{d\tau }{\tau }\right).$ (2.8)

Доказательство. В силу леммы 1, учитывая (1.4)

$J^{\text{'}}\left(r\right)\ge 2\mu r^{1-n}{\int }_{T_r}\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\left(x\right){\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)}^{2}dx\ge C{r}^{1-n}{\int }_{s_r\left({\lambda }_1\right)}\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\left(x\right){\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)}^{2}dx.$ (2.9)

Из леммы 2 и оценки (2.8) имеем

$J^{\text{'}}\left(r\right)\ge C{r}^{1-n}\frac{C_{1}ca{p}_{\lambda }\left(C_r\right({\lambda }_1^3\left)\right)}{r^n{\displaystyle \prod _{i=1}^n}{r}^{{\alpha }_{i/2}}}\underset{K_r\left({\lambda }_1{\lambda }_1^3\right)}{\int }{u}^{2}dx\ge C\frac{J\left({\alpha }^{2}r\right)}{r}\gamma \left({\alpha }^{3}r\right).$

С другой стороны,

$\frac{J^{\text{'}}\left(r\right)}{J\left({\alpha }^{2}r\right)}\ge C\frac{\gamma \left({\alpha }^{3}r\right)}{r}.$

Интегрируя от $r$ до $R$, получаем

$\ln \frac{J\left(R\right)}{J\left(r\right)}\ge C{\int }_r^R\frac{\gamma \left(\rho \right)}{\rho }d\rho .$

Отсюда, используя оценку $\gamma \left(\rho \right)\le 1$ и монотонность $J\left(r\right)$, получаем неравенство (2.7). Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть $R<\delta$ и $r\le {\alpha }^{2}R$, где $\alpha$ — постоянная из (1.4). Тогда справедливо неравенство

${\int }_{S_r\left(\alpha \right)}\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\left(x\right){\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)}^{2}dx\le CJ\left(R\right)r^{n-2}\exp \left(-C{\int }_r^R\gamma \left(\tau \right)\frac{d\tau }{\tau }\right).$ (2.10)

Доказательство. В силу леммы 1 и (1.4)

$J^{\text{'}}\left(r\right)\ge C{r}^{1-n}{\int }_{S_r\left(a\right)}\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\left(x\right){\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)}^{2}dx.$

Интегрируя от $\alpha r$ до $r$

${\int }_{a_r}^r{J}^{\text{'}}\left(\rho \right)d\rho \ge C{\int }_{{\alpha }_r}^r{\rho }^{1-n}{\int }_{S_{\rho }\left(\alpha \right)}\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\left(x\right){\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)}^{2}dxd\rho \ge$

$\ge C{r}^{2-n}{\int }_{S_r\left({\alpha }^2\right)}\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\left(x\right){\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)}^{2}dx,$

получим

$J\left(r\right)\ge C{r}^{2-n}{\int }_{S_r\left(a\right)}\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\left(x\right){\left(\frac{\partial u}{\partial x_i}\right)}^{2}dx.$

Теперь (2.10) следует из неравенства (2.8).

3. Оценки убывающего решения

Основной целью этого параграфа является доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Пусть функция $u\left(x\right)\in W_{\mathrm{2,}\Lambda }^1\left(S_{\delta }\right(k\left)\right)$ удовлетворяет уравнению $Lu=0$ в $\Omega \cap S_{\delta }\left(k\right)$ и равна нулю на $C_{\delta }\left(k\right)$. Тогда $R<\alpha \delta ,r<{\alpha }^{5}R$ и справедлива оценка

$\underset{S_r^{{\text{'}}^{\text{'}}}\left(\alpha \right)}{max}\left|u\right|\le C{M}_R^{1/2}\left(u\right)\exp \left(-C\underset{r}{\overset{R}{\int }}\gamma \left(\tau \right)\frac{d\tau }{\tau }\right).$ (3.1)

Доказательство. Применяя формулу А.С. Кронрода [11; 12], получим

${\int }_{\Omega }F\left(x\right)\left|\nabla u\right|dx={\int }_{-\infty }^{+\infty }dt{\int }_{u=t}F\left(x\right)d{S}_x,$

где $F\left(x\right)$ — измеримая по Борелю функция, а функция $u\left(x\right)$ удовлетворяет условию Липщица, получаем

$A={\int }_{Q_r\left(\frac{1}{{\alpha }^2},{\alpha }^2\right)}{u}^2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_j}dx={\int }_{-\infty }^{\infty }dt{\int }_{\Gamma \left(x\right)=t}{u}^2\left|\nabla \Gamma \right|\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_j}}{\left|\nabla \Gamma \right|\left|\nabla \Gamma \right|}d{S}_x=$

$=(2-n){\int }_{a^{2}r}^{a^{-2}r}{\tau }^{1-n}d\tau {\int }_{\partial T_r}{u}^2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}{n}_{j}d{S}_x,$

$A\equiv {\int }_{a^{2}r}^{a^{-2}r}J\left(\tau \right){\tau }^{1-n}d\tau .$

Применяя лемму 3, приходим к неравенству

$A\le CJ\left(R\right)r^{2-n}\exp \left(-C{\int }_r^R\gamma \left(\tau \right)\frac{d\tau }{\tau }\right).$

В силу леммы 4 та же оценка верна для интеграла

$B\equiv {\int }_{Q_r\left(\frac{1}{{\alpha }^2},{\alpha }^2\right)}{\left[\Gamma -{\left({\alpha }^{-2}r\right)}^{2-n}\right]}^2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}dx.$

Поэтому, полагая $v=u{\left[\Gamma -{\left({\alpha }^{-2}r\right)}^{2-n}\right]}_{+}$ и

$N\equiv {\int }_{C{T}_{a^2}}\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial v}{\partial x_i}\frac{\partial v}{\partial x_j}dx,$

$2u{\Gamma }_{+}\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_j}\le 2\sqrt{{\Gamma }_{+}^2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}}\sqrt{u^2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_j}}\le$

$\le {\Gamma }_{+}^2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}+u^2\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_i}\frac{\partial \Gamma }{\partial x_j},$

получим

$N\equiv {\int }_{C{T}_{{\alpha }^2}}\sum _{i,j=1}^n{a}_{ij}\frac{\partial v}{\partial x_i}\frac{\partial v}{\partial x_j}dx\le 2\left(A+B\right)\le C{r}^{2-n}J\left(R\right)\exp \left(-C{\int }_r^R\gamma \left(\tau \right)\frac{d\tau }{\tau }\right).$ (3.2)

С другой стороны, так как $v=0$ вне $S_r\left(\frac{1}{{\alpha }^3}\right)$, то

$N\ge C{\int }_{K_r\left(\frac{1}{{\alpha }^3},\alpha \right)}\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\left(x\right){\left(\frac{\partial v}{\partial x_i}\right)}^{2}dx\ge C{r}^{-2}{\int }_{K_r\left(\frac{1}{{\alpha }^3},\alpha \right)}{v}^{2}dx\ge C{r}^{2-n}{M}_r\left(u\right).$ (3.3)

В силу принципа максимума и неравенства (2.6) из (3.1) и (3.2) следует

$\underset{S_r\left(a\right)}{max}{u}^2\le \underset{\partial T_r}{max}{u}^2\le C{M}_r\left(u\right)\le CJ\left(R\right)\exp \left(-C{\int }_r^R\gamma \left(\tau \right)\frac{d\tau }{\tau }\right).$(3.4)

Заметим наконец, что в силу леммы 2 справедливо неравенство которое вместе с (3.3) и доказывает теорему.

Об авторах

Сарван Тахмаз оглы Гусейнов

Бакинский государственный университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: sarvanhuseynov@rambler.ru
ORCID iD: 0009-0001-7473-2269

доктор математических наук, доцент кафедры высшей математики

Азербайджан, 1148, Баку, ул. З. Халилова, 23

Мушфиг Джалал оглы Алиев

Бакинский государственный университет

Email: a.mushfiq@rambler.ru
ORCID iD: 0009-0007-9084-6251

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики

Азербайджан, 1148, Баку, ул. З. Халилова, 23

Список литературы

Дополнительные файлы