Some auxiliary estimates for solutions to non-uniformly degenerate second-order elliptic equations

Sarvan T. Huseynov; Гусейнов Сарван Тахмаз оглы; Mushfig J. Aliyev; Алиев Мушфиг Джалал оглы

doi:10.18287/2541-7525-2024-30-1-23-30

Some auxiliary estimates for solutions to non-uniformly degenerate second-order elliptic equations

作者: Huseynov S.T.¹, Aliyev M.J.¹
隶属关系:
1. Baku State University
期: 卷 30, 编号 1 (2024)
页面: 23-30
栏目: Mathematics
URL: https://journal-vniispk.ru/2541-7525/article/view/310435
DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2024-30-1-23-30
ID: 310435

如何引用文章

全文:

详细
全文:
作者简介
参考
补充文件
统计

详细

We consider a class of second order elliptic equations in divergence form with non-uniform exponential degeneracy. The method used is based on the fact that the degeneracy rates of the eigenvalues of the matrix $| | a_{i j} (x) | |$ (function $λ_{i} (x)$ ) are not the functions of unusual norm $| x |$ , but of some anisotropic distance $| x |_{a^{-}}$ . We assume that the Dirichlet problem for such equations is solvable in the classical sense for every continuous boundary function in any normal domain $Ω$ .

Estimates for the weak solutions of Dirichlet problem near the boundary point are obtained, and Green’s functions for second order non-uniformly degenerate elliptic equations are constructed.

关键词

uniform ellipticity, non-uniform degeneration spaces, fundamental solution

全文:

1. Предварительные сведения

Пусть в $n$ -мерном евклидовом пространстве $E_{n}$ точек $x = (x_{1}, x_{2},..., x_{n}), n \geq 2$ расположена ограниченная область $Ω$ с границей $\partial Ω$ , причем $0 \in \partial Ω$ .

Рассмотрим в $Ω$ эллиптическое уравнение

$L u = \sum_{i, j = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (a_{i j} (x) \frac{\partial u}{\partial x_{j}}) = 0$ (1.1)

в предположении, что коэффициенты $a_{i j} (x)$ являются измеримыми функциями в $Ω, a_{i j} (x) = a_{j i} (x), i, j = 1,2,..., n$ и, кроме того, для $ξ \in E_{n}, x \in Ω$

$μ \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} (x) ξ_{i}^{2} \leq \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} (x) ξ_{i} ξ_{j} \leq μ^{- 1} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} (x) ξ_{i}^{2},$ (1.2)

здесь $μ \in (0,1]$ — некоторая константа и

$λ_{i} (x) = {({|x|}_{a^{-}})}^{α_{i}}, {|x|}_{α^{-}} = \sum_{i = 1}^{n} {|x_{i}|}^{\frac{2}{2 + α_{i}}}, α_{i} \geq 0, i = 1,2,..., n .$ (1.3)

Отметим, что для равномерно эллиптических уравнений 2-го порядка дивергентной структуры доказательство оценки убывающего решения можно найти в [1; 2]. Настоящая статья тесно связано по тематике с работами [3–12].

Для равномерно эллиптических уравнений соответствующие результаты получены в работе [13]. Что касается неравномерно вырождающихся эллиптических уравнений 2-го порядка, то отметим в этой связи работу [14].

Функция $u (x) \in {\overset{\circ}{W}}_{2, Λ}^{1} (Ω)$ называется слабым решением уравнения (1.1), если при всякой $ψ (x) \in {\overset{\circ}{W}}_{2, Λ}^{1} (Ω)$ выполнено интегральное тождество

$\int_{Ω} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{j}} \frac{\partial ψ}{\partial x_{i}} d x = 0.$

Введем некоторые обозначения:

$S_{r} = \{x : |x| \leq r\}, C_{r} = S_{r} \cap \bar{Ω},$

Пусть $Γ (x)$ — фундаментальное решение оператора $L$ в $R^{n}$ с особенностью в точке 0, $ρ (x) = {[Γ (x)]}^{\frac{1}{2 - n}}$ , $T_{r} = \{x : ρ (x) \leq r\}$ . Как показано в [10; 11], существует такая зависящая только от $μ$ и $n$ постоянная $α$ , что в $R^{n}$

$2 α |x| \leq ρ (x) \leq {(2 α)}^{- 1} |x|,$ (1.4)

что эквивалентно включению $S_{r} (2 α) \subset T_{r} \subset S_{r} (\frac{1}{2 α})$ .

Положим

$\frac{1}{\sqrt{n}} {(2 α)}^{\frac{1 + α^{+}}{2}} = 2 λ_{1} .$

Введем еще обозначения:

$K_{r_{1}, r_{2}} = S_{r_{1}} \ S_{r_{2}}, Q_{r_{1}, r_{2}} = T_{r_{1}} \ T_{r_{2}}, α^{+} = \max \{α_{1}, α_{2},..., α_{n}\},$

$M_{r} (u) = r^{- n} \int_{K_{α^{- 1} r, a r}} u^{2} d x,$

$c a p (E)$ — гармоническая емкость множества $E$ , $γ (r) = r^{2 - n} c a p (C_{r})$ — относительная емкость $\bar{Ω}$ в шаре $S_{r}$ .

2. Основные вспомогательные леммы

В этом пункте через $u$ обозначим функцию из пространства $W_{2}^{1} (S_{δ})$ $(δ = c o n s t > 0),$ удовлетворяющую в $Ω \cap S_{δ}$ уравнению $L u = 0$ и равную нулю на $C_{δ} .$

Лемма 1. Пусть

$J (r) \equiv \frac{1}{2 - n} \int_{\partial T_{r}} u^{2} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} n_{j} d S_{x},$ (2.1)

где $r < δ$ и $\{n_{j}\} -$ проекции единичной внешней нормали к $\partial T_{r}$ на координатные оси. Тогда

$2 r^{1 - n} \int_{T_{r}} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{j}} d x = J^{'} (r) .$ (2.2)

Доказательство. Положим $t = r^{2 - n}$ . Тогда

$\begin{matrix} L u^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (a_{i j} (x) \frac{\partial u^{2}}{\partial x_{j}}) = 2 \sum_{i, j = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (a_{i j} (x) u \frac{\partial u}{\partial x_{j}}) = \\ = 2 \sum_{i, j = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (a_{i j} (x) \frac{\partial u}{\partial x_{j}}) u + 2 \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} (x) \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{j}} = 2 \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} (x) \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{j}} . \end{matrix}$

С другой стороны,

$\int_{Ω} {(Γ - t)}_{+} L (u^{2}) d x = 2 \int_{Ω} {(Γ - t)}_{+} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} (x) \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{j}} d x,$

$\int_{Ω} {(Γ - t)}_{+} L (u^{2}) d x = \int_{T_{r}} {(Γ - t)}_{+} L (u^{2}) d x .$

Пусть

$I = \int_{T_{r}} (Γ - t) L (u^{2}) d x = \int_{T_{r}} (Γ - t) \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{i}} (\sum_{j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial u^{2}}{\partial x_{j}}) d x .$

Обозначим

$w_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial u^{2}}{\partial x_{j}}, i = 1,2,..., n .$

Тогда

$I = \sum_{i = 1}^{n} \int_{T_{r}} (Γ - t) \frac{\partial}{\partial x_{i}} w_{i} d x = \sum_{i = 1}^{n} \int_{T_{r}} [(Γ - t) \frac{\partial w_{i}}{\partial x_{i}} + \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} w_{i}] d x -$

$- \sum_{i = 1}^{n} \int_{T_{r}} \frac{\partial}{\partial x_{i}} ((Γ - t) w_{i}) d x .$

Обозначим через $\bar{w} = ((Γ - t) w_{1}, (Γ - t) w_{2},..., (Γ - t) w_{n})$ . Тогда $i_{1} = \int_{T_{r}} d i v \hat{w} d x = \int_{\partial T_{r}} (\hat{w}, \hat{n}) d s = 0, \hat{w} / \partial T_{r} = 0$ (т. к. $Γ - t = 0$ на $\partial T_{r}$ ).

Тогда

$I = - \sum_{i = 1}^{n} \int_{T_{r}} \frac{\partial}{\partial x_{i}} w_{i} d x = - \sum_{i, j = 1}^{n} \int_{T_{r}} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} \frac{\partial u^{2}}{\partial x_{j}} d x =$

$= - \sum_{j = 1}^{n} \int_{T_{r}} \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} \frac{\partial u^{2}}{\partial x_{j}} d x .$

Обозначим $z_{j} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}}, j = 1,2,...., n$ .

Тогда

$\begin{matrix} I = - \sum_{j = 1}^{n} \int_{T_{r}} z_{j} \frac{\partial u^{2}}{\partial x_{j}} d x = - \sum_{j = 1}^{n} \int_{T_{r}} (\frac{\partial z_{j}}{\partial x_{j}} u^{2} + z_{j} \frac{\partial u^{2}}{\partial x_{j}}) d x + \\ + \sum_{j = 1}^{n} \int_{T_{r}} \frac{\partial z_{j}}{\partial x_{j}} u^{2} d x = j_{1} + j_{2} \end{matrix} .$

Пусть $\hat{z} = (u^{2} z_{1}, u^{2} z_{2},..., u^{2} z_{n}) .$ Тогда

$j_{1} = - \sum_{j = 1}^{n} \int_{T_{r}} \frac{\partial}{\partial x_{j}} (u^{2} z_{j}) d x = - \int_{T_{r}} d i v \hat{z} d x = - \int_{\partial T_{r}} (\hat{z}, \hat{n}) d s =$

$= - \sum_{j = 1}^{n} \int_{\partial T_{r}} u^{2} z_{j} n_{j} d s = - \sum_{j = 1}^{n} \int_{\partial T_{r}} u^{2} \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{j}} n_{j} d s = - \sum_{i, j = 1}^{n} \int_{\partial T_{r}} u^{2} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} n_{j} d s,$ (2.3)

$j_{2} = \sum_{j = 1}^{n} \int_{T_{r}} \frac{\partial z_{j}}{\partial x_{j}} u^{2} d x = \sum_{j = 1}^{n} \int_{T_{r}} u^{2} \frac{\partial}{\partial x_{j}} (a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}}) d x =$

$= \int_{T_{r}} u^{2} \sum_{i, j = 1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_{j}} (a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}}) d x = \int_{T_{r}} u^{2} L Γ d x,$ (2.4)

где $Γ (x)$ — фундаментальное решение, т. е.

$L Γ (x) = - δ (x) .$

Другими словами,

$\int_{T_{r}} φ (x) L Γ (x) d x = - φ (0),$

$j_{2} = - u^{2} (0)$ на $0 \in \partial Ω,$ поэтому $j_{2} = 0$ и из (2.4) заключаем

$I = - \sum_{i, j = 1}^{n} \int_{\partial T_{r}} u^{2} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} n_{j} d s,$

$\frac{2}{2 - n} \int_{T_{r}} (Γ - t) \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{j}} d x = - \frac{1}{2 - n} \int_{\partial T_{r}} u^{2} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} n_{j} d s,$

$\frac{2}{2 - n} \int_{T_{r}} (Γ - t) \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{j}} d x = J (r),$

$J^{'} (r) = \frac{2}{n - 2} \frac{\partial}{\partial r} \int_{0}^{r} d y \int_{\partial T_{y}} (Γ - r^{2 - n}) \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{j}} d s_{y} =$

$= 2 r^{1 - n} \int_{T_{r}} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{j}} d x .$

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. При $λ_{1} r < δ$ справедливо неравенство

$J (r) \leq C M_{r} (u) .$ (2.5)

Доказательство. Заметим, что на $\partial T_{r}$

$\sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} n_{j} = - \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} n_{i} n_{j} |\nabla Γ| \leq 0,$

$\int_{T_{r}} L Γ d x = \int_{\partial T_{r}} \frac{\partial Γ}{\partial ν} d s (\frac{\partial}{\partial ν} - п р о и з в о д н а я п о к о н о р м а л и) .$ (2.6)

Знаем, что $L Γ (x) = - δ (x) .$

По определению $\frac{\partial Γ}{\partial ν} = \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} n_{j}$ ,

$\int_{T_{r}} L Γ d x = - \int_{T_{r}} δ (x) d x = - 1.$

$\int_{T_{r}} L Γ d x = \int_{\partial T_{r}} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} n_{j} d s = - 1.$

Тогда

$J (r) = - \frac{1}{n - 2} \int_{\partial T_{r}} u^{2} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} n_{j} d s .$

Из принципа максимума следует

$- \frac{1}{n - 2} \int_{T_{r}} u^{2} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} n_{j} d S \leq - \frac{1}{n - 2} \underset{\partial T_{r}}{m a x} u^{2} \int_{\partial T_{r}} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} n_{j} d S =$

$= \frac{1}{n - 2} \underset{T_{r}}{m a x} u^{2} \leq \frac{1}{n - 2} \underset{S_{r} {(2 λ_{1})}^{- 1}}{m a x} u^{2} = \frac{1}{n - 2} \underset{\partial S_{r} {(2 λ_{1})}^{- 1}}{m a x} u^{2} \leq$

$\leq \frac{1}{n - 2} \underset{\partial S_{r} {(2 λ_{1})}^{- 1} \cup \partial S_{r} (2 λ_{1})}{m a x} u^{2} = \frac{1}{n - 2} \underset{K_{r} (\frac{1}{2 λ_{1}} 2 λ_{1})}{m a x} u^{2} \leq \frac{C}{n - 2} M_{r} (u) .$

В результате получим

$\underset{K_{r} (\frac{1}{2 λ_{1}},2 λ_{1})}{m a x} u^{2} \leq C M_{r} (u) .$ (2.7)

Неравенство (2.5) доказано.

Лемма 3. При $r < R < δ$ справедливо неравенство

$J (r) \leq C J (R) \exp (- C \int_{r}^{R} γ (τ) \frac{d τ}{τ}) .$ (2.8)

Доказательство. В силу леммы 1, учитывая (1.4)

$J^{'} (r) \geq 2 μ r^{1 - n} \int_{T_{r}} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} (x) {(\frac{\partial u}{\partial x_{i}})}^{2} d x \geq C r^{1 - n} \int_{s_{r} (λ_{1})} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} (x) {(\frac{\partial u}{\partial x_{i}})}^{2} d x .$ (2.9)

Из леммы 2 и оценки (2.8) имеем

$J^{'} (r) \geq C r^{1 - n} \frac{C_{1} c a p_{λ} (C_{r} (λ_{1}^{3}))}{r^{n} \prod_{i = 1}^{n} r^{α_{i / 2}}} \int_{K_{r} (λ_{1} λ_{1}^{3})} u^{2} d x \geq C \frac{J (α^{2} r)}{r} γ (α^{3} r) .$

С другой стороны,

$\frac{J^{'} (r)}{J (α^{2} r)} \geq C \frac{γ (α^{3} r)}{r} .$

Интегрируя от $r$ до $R$ , получаем

$\ln \frac{J (R)}{J (r)} \geq C \int_{r}^{R} \frac{γ (ρ)}{ρ} d ρ .$

Отсюда, используя оценку $γ (ρ) \leq 1$ и монотонность $J (r)$ , получаем неравенство (2.7). Лемма доказана.

Лемма 4. Пусть $R < δ$ и $r \leq α^{2} R$ , где $α$ — постоянная из (1.4). Тогда справедливо неравенство

$\int_{S_{r} (α)} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} (x) {(\frac{\partial u}{\partial x_{i}})}^{2} d x \leq C J (R) r^{n - 2} \exp (- C \int_{r}^{R} γ (τ) \frac{d τ}{τ}) .$ (2.10)

Доказательство. В силу леммы 1 и (1.4)

$J^{'} (r) \geq C r^{1 - n} \int_{S_{r} (a)} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} (x) {(\frac{\partial u}{\partial x_{i}})}^{2} d x .$

Интегрируя от $α r$ до $r$

$\int_{a_{r}}^{r} J^{'} (ρ) d ρ \geq C \int_{α_{r}}^{r} ρ^{1 - n} \int_{S_{ρ} (α)} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} (x) {(\frac{\partial u}{\partial x_{i}})}^{2} d x d ρ \geq$

$\geq C r^{2 - n} \int_{S_{r} (α^{2})} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} (x) {(\frac{\partial u}{\partial x_{i}})}^{2} d x,$

получим

$J (r) \geq C r^{2 - n} \int_{S_{r} (a)} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} (x) {(\frac{\partial u}{\partial x_{i}})}^{2} d x .$

Теперь (2.10) следует из неравенства (2.8).

3. Оценки убывающего решения

Основной целью этого параграфа является доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Пусть функция $u (x) \in W_{2, Λ}^{1} (S_{δ} (k))$ удовлетворяет уравнению $L u = 0$ в $Ω \cap S_{δ} (k)$ и равна нулю на $C_{δ} (k)$ . Тогда $R < α δ, r < α^{5} R$ и справедлива оценка

$\underset{S_{r}^{'^{'}} (α)}{m a x} |u| \leq C M_{R}^{1 / 2} (u) \exp (- C \int_{r}^{R} γ (τ) \frac{d τ}{τ}) .$ (3.1)

Доказательство. Применяя формулу А.С. Кронрода [11; 12], получим

$\int_{Ω} F (x) |\nabla u| d x = \int_{- \infty}^{+ \infty} d t \int_{u = t} F (x) d S_{x},$

где $F (x)$ — измеримая по Борелю функция, а функция $u (x)$ удовлетворяет условию Липщица, получаем

$A = \int_{Q_{r} (\frac{1}{α^{2}}, α^{2})} u^{2} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} \frac{\partial Γ}{\partial x_{j}} d x = \int_{- \infty}^{\infty} d t \int_{Γ (x) = t} u^{2} |\nabla Γ| \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} \frac{\partial Γ}{\partial x_{j}}}{|\nabla Γ| |\nabla Γ|} d S_{x} =$

$= (2 - n) \int_{a^{2} r}^{a^{- 2} r} τ^{1 - n} d τ \int_{\partial T_{r}} u^{2} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} n_{j} d S_{x},$

$A \equiv \int_{a^{2} r}^{a^{- 2} r} J (τ) τ^{1 - n} d τ .$

Применяя лемму 3, приходим к неравенству

$A \leq C J (R) r^{2 - n} \exp (- C \int_{r}^{R} γ (τ) \frac{d τ}{τ}) .$

В силу леммы 4 та же оценка верна для интеграла

$B \equiv \int_{Q_{r} (\frac{1}{α^{2}}, α^{2})} {[Γ - {(α^{- 2} r)}^{2 - n}]}^{2} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{j}} d x .$

Поэтому, полагая $v = u {[Γ - {(α^{- 2} r)}^{2 - n}]}_{+}$ и

$N \equiv \int_{C T_{a^{2}}} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial v}{\partial x_{i}} \frac{\partial v}{\partial x_{j}} d x,$

$2 u Γ_{+} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial Γ}{\partial x_{j}} \leq 2 \sqrt{Γ_{+}^{2} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{j}}} \sqrt{u^{2} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} \frac{\partial Γ}{\partial x_{j}}} \leq$

$\leq Γ_{+}^{2} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial u}{\partial x_{i}} \frac{\partial u}{\partial x_{j}} + u^{2} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial Γ}{\partial x_{i}} \frac{\partial Γ}{\partial x_{j}},$

получим

$N \equiv \int_{C T_{α^{2}}} \sum_{i, j = 1}^{n} a_{i j} \frac{\partial v}{\partial x_{i}} \frac{\partial v}{\partial x_{j}} d x \leq 2 (A + B) \leq C r^{2 - n} J (R) \exp (- C \int_{r}^{R} γ (τ) \frac{d τ}{τ}) .$ (3.2)

С другой стороны, так как $v = 0$ вне $S_{r} (\frac{1}{α^{3}})$ , то

$N \geq C \int_{K_{r} (\frac{1}{α^{3}}, α)} \sum_{i = 1}^{n} λ_{i} (x) {(\frac{\partial v}{\partial x_{i}})}^{2} d x \geq C r^{- 2} \int_{K_{r} (\frac{1}{α^{3}}, α)} v^{2} d x \geq C r^{2 - n} M_{r} (u) .$ (3.3)

В силу принципа максимума и неравенства (2.6) из (3.1) и (3.2) следует

$\underset{S_{r} (a)}{m a x} u^{2} \leq \underset{\partial T_{r}}{m a x} u^{2} \leq C M_{r} (u) \leq C J (R) \exp (- C \int_{r}^{R} γ (τ) \frac{d τ}{τ}) .$ (3.4)

Заметим наконец, что в силу леммы 2 справедливо неравенство которое вместе с (3.3) и доказывает теорему.

作者简介

Sarvan Huseynov

Baku State University

编辑信件的主要联系方式.
Email: sarvanhuseynov@rambler.ru
ORCID iD: 0009-0001-7473-2269

Doctor of Mathematical Sciences, associate professor at the Department of Higher Mathematics

阿塞拜疆, 23, Khalilov Street, Baku, AZ 1148

Mushfig Aliyev

Baku State University

Email: a.mushfiq@rambler.ru
ORCID iD: 0009-0007-9084-6251

Candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor at the Department of Higher Mathematics

阿塞拜疆, 23, Khalilov Street, Baku, AZ 1148

参考

Mazya V.G. Regularity at the boundary of solutions of elliptic equations and conformal mapping. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1963, vol. 152, number 6, pp. 1297–1300. Available at: https://www.mathnet.ru/rus/dan28720. (In Russ.)
Mazya V.G. On modulus of continuity of the solution to the Dirichlet problem near regular boundary // Problems of Mathematical Analysis. Leningrad, 1966, pp. 45–58. (In Russ.)
De Giorgi E. Sulla differenziabilita e l’analiticita delle estremali degli intergrali multipli regolari. Mem. Acad. Sci. Torino, 1957. vol. 3, no. 1, pp. 25–43. Available at: https://zbmath.org/0084.31901. (In Italian)
Nash J. Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations. American Journal of Mathematics, 1958, vol. 80, no. 4, pp. 931–954. DOI: https://doi.org/10.2307/2372841.
Morrey C.B. Second order elliptic equations in several variables and Holder continuity. Mathematische Zeitschrift, 1959, vol. 72, pp. 146–164. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01162944.
Uraltseva N.N. On regularity of solutions of multidimensional elliptic equations and variational problems. Doklady Akademii Nauk SSSR, 1960, vol. 130, no. 6, pp. 1206–1209. (In Russ.)
Stampacchia G. Problemi al contorno ellittici, con dati discontinui, dotati di soluzioni holderiane. Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1960, vol. 51, pp. 1–37. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02410941.
Moser J. A new proof of De Giorgi’s theorem concerning the regularity problem for elliptic differential equations. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1960, vol. 13, issue 3, pp. 457–468. DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160130308.
Moser J. On Harnack’s theorem for elliptic differential equations. Communications on Pure and Applied Mathematics, 1961, vol. 14, issue 3, pp. 577–591. DOI: https://doi.org/10.1002/cpa.3160140329.
Litman W., Stampacchia G., Weinberger H.F. Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa — Classe de Scienze, 1963, serie 3, vol. 17, no. 1–2, pp. 43–77. DOI: http://www.numdam.org/item/ASNSP_1963_3_17_1-2_43_0.
Royden H. The growth of a fundamental solution of an elliptic divergence structure equation. Studies in Mathematical Analysis and Related Topics, 1962, pp. 333–340. URL: https://zbmath.org/0152.31101.
Alkhutov Yu.A. Regularity of boundary points relative to the Dirichlet problem for second-order elliptic equations. Mathematical Notes, 1981, vol. 30, issue 3, pp. 333–342. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01141620. (In English; original in Russian)
Maz’ya V.G. Behavior, near the boundary, of solutions of the Dirichlet problem for a second order elliptic equations in divergent form. Mathematical Notes, 1967, vol. 2, issue 2, pp. 610–617. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01094255. (In English; original in Russian)
Guseynov S.T. The regularity test of boundary point for non-uniformly degenerating second order elliptic equations. Proceedings of IMM of Azerbaijan AS, 1999, vol. XI, pp. 65–77. Available at: https://www.imm.az/journals/RMI_eserleri/cild11_N19_1999/meqaleler/65-77.pdf.

补充文件

附件文件

动作

1. JATS XML

下载

用户名
密码
记住我

忘记您的密码?	注册

用户名
密码
记住我

忘记您的密码?	注册