Многопараметрические представления поля напряжений у вершины трещины антиплоского сдвига

Полный текст

Введение. Об асимптотическом представлении полей напряжений у вершины трещины

Уильямс [1] аналитически продемонстрировал существование особенностей в полях напряжений вокруг вершин трещин и углов из нескольких материалов, которые могут быть смоделированы как геометрические и/или материальные неоднородности клиньев из композитного материала. Асимптотическое решение поля напряжений в особой точке получается из основных дифференциальных уравнений упругости в частных производных с использованием метода разделения переменных (разложения по собственным функциям). Решение обычно записывается в виде ряда степенных функций в радиальной координате, исходящей из особой точки. Собственные значения, полученные в результате процедуры решения, определяют показатели степени. Собственные функции описывают угловое изменение напряжений. Собственные значения и функции асимптотического решения для композитного клина зависят от его геометрии и свойств материала. Получены многочисленные аналитические решения порядка сингулярности напряжений и полей напряжений для различных комбинаций материалов и геометрических форм.

В настоящее время в механике хрупкого разрушения сформировалось устойчивое понимание важности и необходимости учета слагаемых в асимптотических разложениях, описывающих поля напряжений, деформаций и перемещений вблизи вершины трещины [2–18].

Целью данной работы является определение коэффициентов сингулярного, Т напряжений и следующих слагаемых поля напряжений у вершины трещины антиплоского сдвига в линейно-упругом материале. Влияние членов более высокого порядка на поле напряжений в пластине с трещинами при антиплоском нагружении может быть важным в некоторых инженерных приложениях. Члены более высокого порядка особенно важны для сопоставления экспериментальных результатов, полученных с помощью цифровой корреляции изображений (DIC), с теоретическим ближним полем для определения коэффициентов интенсивности напряжений. Усеченный ряд Вильямса может быть спроецирован непосредственно на измеряемое поле для определения положения вершины трещины и коэффициентов интенсивности напряжений.

1 Методы теории функции комплексного переменного

Решение краевой задачи об антиплоском сдвиге простраства с полубесконечной трещиной продольного сдвига можно получить с помощью методов теории функции комплексного переменного. Перемещение, как хорошо известно [19], является вещественной частью функции

$u_3=\mathrm{Re}\left[\phi \right(z\left)\right].$ (1)

Напряжения в задаче антиплоского сдвига представляются соотношениями

${\sigma }_{13}-i{\sigma }_{23}=\mu {\phi }^{\text{'}}\left(z\right),$ (2)

где голоморфная функция ${\phi }^{\text{'}}\left(z\right)$ определяется равенством

$\mu {\phi }^{\text{'}}\left(z\right)=-\frac{i}{\pi \sqrt{z^2-a^2}}{\int }_{-a}^a\frac{\tau \left(x_1\right)}{z-x_1}\sqrt{a^2-x_1^2}d{x}_1.$ (3)

В случае действия постоянной нагрузки ${\tau }^{\infty }$ последнее соотношение принимает вид

$\mu {\phi }^{\text{'}}\left(z\right)=\frac{i{\tau }^{\infty }}{\sqrt{z^2-a^2}}\left\{\sqrt{z^2-a^2}-z\right\}=-\frac{iz{\tau }^{\infty }}{\sqrt{z^2-a^2}}+i{\tau }^{\infty }.$ (4)

 Разложим комплексный потенциал в ряд в окрестности правой вершины $z=a$:

$\mu {\phi }^{\text{'}}\left(z\right)=-\frac{i{\tau }^{\infty }}{\sqrt{z-a}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{(-1)}^{n+1}(2n+1)!}{2^{3n+1/2}(2n-1)n!a^{n-1/2}}{(z-a)}^n+i{\tau }^{\infty },$ (5)

 где было использовано разложение [2]:

$\frac{d^n}{d{z}^n}\left[\frac{z}{{(z+a)}^{1/2}}\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{(-1)}^{n+1}(2n+1)!}{2^{3n+1/2}(2n-1)n!a^{n-1/2}}.$ (6)

Следует отметить, что (4) – решение вспомогательной задачи о нагружении пластины с центральной трещиной (сдвиговое деформирование касательными напряжениями, приложенными на разрезе):

${\sigma }_{13}=\mathrm{0,}{\sigma }_{23}=-{\tau }^{\infty }приx_2=\mathrm{0,}\left|x_1\right|⩽a.$ (7)

 Поэтому решение исходной задачи о сдвиговом деформировании пластины со свободными краями разреза имеет вид

$\mu {\phi }^{\text{'}}\left(z\right)=-\frac{i{\tau }^{\infty }}{\sqrt{z-a}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\frac{{(-1)}^{n+1}(2n+1)!}{2^{3n+1/2}(2n-1){(n!)}^2{a}^{n-1/2}}{(z-a)}^n.$ (8)

Полагая в (8) $z-a=r{e}^{i\theta },$ с помощью соотношений (2) можно получить выражения для компонент тензора напряжений:

${\sigma }_{13}={\tau }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{r}^{n-1/2}\sin (n-1/2)\theta ,{\sigma }_{23}={\tau }^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{r}^{n-1/2}\cos (n-1/2)\theta ,$ (9)

 где приняты обозначения

$a_n=\frac{{(-1)}^{n+1}(2n+1)!}{2^{3n+1/2}(2n-1){(n!)}^2{a}^{n-1/2}}.$ (10)

2 Анализ вклада высших приближений в общее представление поля напряжений

На следующем этапе построим угловые распределения компонент тензора напряжений, определяемые различным числом слагаемых в рядах (9). На рис. 2.1–2.6 показаны угловые распределения напряжений у вершины трещины, полученные с удержанием различного числа слагаемых. Из графиков отчетливо видно, что высшие приближения играют существенную роль в описании поля напряжений в окрестности вершины трещины антиплоского сдвига.

Рис. 2.1. Угловые распределения напряжений (1 — различное число удерживаемых слагаемых, см. рис. здесь и далее) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Fig. 2.1. Angular dependences of the stress components (1): σ13 (left) и σ23 (right)

Рис. 2.2. Угловые распределения напряжений (2) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Fig. 2.2. Angular dependences of the stress components (2): σ13 (left) и σ23 (right)

Рис. 2.3. Угловые распределения напряжений (3) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Fig. 2.3. Angular dependences of the stress components (3): σ13 (left) и σ23 (right)

Рис. 2.4. Угловые распределения напряжений (4) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Fig. 2.4. Angular dependences of the stress components (4): σ13 (left) и σ23 (right)

Рис. 2.5. Угловые распределения напряжений (5) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Fig. 2.5. Angular dependences of the stress components (5): σ13 (left) и σ23 (right)

Рис. 2.6. Угловые распределения напряжений (6) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Fig. 2.6. Angular dependences of the stress components (6): σ13 (left) и σ23 (right)

Выводы

 В статье проведен асимптотический анализ вклада высших приближений в рядах, представляющих компоненты тензора напряжений у вершины трещины антиплоского сдвига. Показано, что высшие приближения необходимо учитывать в описании поля напряжений у вершины трещины антиплоского сдвига. Анализируя полученные представления, можно сделать вывод, что при удалении от вершины трещины необходимо удерживать большее количество слагаемых в разложении М. Уильямса. В задаче о трещине антиплоского сдвига для достижения заданного порядка точности требуется меньшее количество слагаемых по сравнению с трещинами нормального отрыва и поперечного сдвига. Так, для трещины антиплоского сдвига, точность ${10}^{-6}$ на расстоянии 0,25a достигается при удерживании 6 слагаемых, а на расстоянии 1,25a для достижения того же значения точности необходимо удерживать 22 слагаемых, в то же время для трещины нормального отрыва в тех же условиях требуется удерживать 8 и 29 слагаемых соответственно.

Об авторах

Юлия Николаевна Бахарева

Автор, ответственный за переписку.
Email: bakhareva.yun@ssau.ru
ORCID iD: 0000-0002-6482-504X

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического моделирования в механике

Список литературы

Дополнительные файлы

Доп. файлы

Действие

1. JATS XML

Скачать

2. Рис. 2.1. Угловые распределения напряжений (1 — различное число удерживаемых слагаемых, см. рис. здесь и далее) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Скачать (205KB)

Метаданные

3. Рис. 2.2. Угловые распределения напряжений (2) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Скачать (196KB)

Метаданные

4. Рис. 2.3. Угловые распределения напряжений (3) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Скачать (202KB)

Метаданные

5. Рис. 2.4. Угловые распределения напряжений (4) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Скачать (206KB)

Метаданные

6. Рис. 2.5. Угловые распределения напряжений (5) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Скачать (212KB)

Метаданные

7. Рис. 2.6. Угловые распределения напряжений (6) у вершины трещины: σ13 (слева) и σ23 (справа)

Скачать (238KB)

Метаданные