Краевые задачи для разрывно-нагруженных параболических уравнений

Полный текст

Введение

Как известно, исследование математических моделей физико-биологических фрактальных процессов и связанных с ними задач, таких как задачи прогноза и регулирования уровня грунтовых вод, содержания влаги и соли в почвогрунтах на мелиорируемой территории и др., приводит к качественно новому классу дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, получивших название нагруженных уравнений. В связи с этим исследование этих уравнений представляет большой как теоретический, так и практический интерес.

В монографии А.М. Нахушева [?] приведена подробная библиография по нагруженным уравнениям, в том числе по различным применениям нагруженных уравнений, как методу исследования задач математической биологии, математической физики, математического моделирования нелокальных процессов и явлений, механики сплошных сред с памятью.

Данная работа посвящена исследованию краевых задач для разрывно-нагруженных параболических уравнений с дробной производной.

В полосе $H=\left\{\left(x,t\right):x\in ℝ,0<t<T\right\}$ евклидовой плоскости независимых переменных x и t рассмотрим разрывно-нагруженное уравнение

$Lu=\sum _{j=1}^{n_k}{a}_j^k\left(x,t\right)D_{0t}^{{\alpha }_j^k}{K}_j^k\left(x,t\right)u\left(x_j^k,t\right),T_k<t⩽T_{k+1},$ (1)

 где

$\begin{array}{l}k=\mathrm{0,1,}\dots ,N,0=T_0<T_1<\dots <T_N=T,\\ {\alpha }_{n_k}^k<{\alpha }_{n_{k-1}}^k<\dots <{\alpha }_1^k={\alpha }_k,0<x_1^k<x_2^k<\dots <x_{n_k}^k<l,\\ Lu=a\left(x,t\right)u_{xx}+b\left(x,t\right)u_x+c\left(x,t\right)u-u_t,\end{array}$

$D_{0t}^{{\alpha }_j}$ — оператор дробного интегродифференцирования порядка ${\alpha }_j$ [2].

Уравнение (1) относится к классу уравнений, предложенных в [3]. Работы [4; 5] посвящены локальным и нелокальным краевым задачам для нагруженных параболических уравнений. Нелокальные краевые задачи для линейных параболических уравнений рассматривались также в работах [6; 7]. В работе [8] методом функции Грина исследована смешанная краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности. Краевые задачи для уравнений в частных производных дробного порядка, включая диффузионно-волновые уравнения, рассмотрены в монографии [9]. В исследовании [10] получены решения краевых задач для нагруженного диффузионно-волнового уравнения с дробной производной. Среди более поздних отметим работу [11], в которой доказана однозначная разрешимость в пространстве Соболева нелокальной задачи с интегральными условиями для параболического уравнения, а также работы [12; 13], посвященные исследованию разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений, в том числе вырождающихся. Численному решению первой краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с переменными коэфициентами посвящены работы [14; 15].

1 Основные результаты

1.1 Задача Коши – Дирихле

Пусть $a\left(x,t\right)⩾\mu >0$, коэффициенты a, b, c, $a_j^k$, $K_j^k$ в области H ограничены, непрерывны; a, b, c удовлетворяют условиям Гельдера по переменной x, а $a\left(x\mathrm{,}t\right)$ и по переменной t. Пусть далее

$u\left(x\mathrm{,0}\right)=\phi \left(x\right),x\in ℝ.$ (2)

Решением задачи (1), (2) будем называть функцию $u(x,t)$, непрерывную и ограниченную в H, удовлетворяющую уравнению (1) и условию (2).

 Теорема 1.1. Пусть $\phi \left(x\right)$ — непрерывная и ограниченная во всем пространстве R функция и ${\alpha }^k<\frac{1}{2}$. Тогда в слое H существует единственное решение задачи Коши – Дирихле для уравнения (1) с начальным условием (2).

 Доказательство. Не нарушая общности, рассмотрим задачу для $N=2$. Введем обозначения:

 $H_1=\left\{\left(x,t\right):x\in ℝ,0<t<T_1\right\},$                                                     

$H_2=\left\{\left(x,t\right):x\in ℝ,T_1<t<T\right\}.$                                                      

Известно [16], что фундаментальное решение $Z(x,t;\xi ,\tau )$ уравнения $Lu=0$ имеет вид

$Z(x,t;\xi ,\tau )=W(x,t;\xi ,\tau )+$                                                        

$+\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}d{\tau }_1\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}W(x,t;{\xi }_1,{\tau }_1)\Phi ({\xi }_1,{\tau }_1;\xi ,\tau )d{\xi }_1,$                                                   

где

$W(x,t;\xi ,\tau )=\frac{1}{2\sqrt{\pi (t-\tau )a(\xi ,\tau )}}{e}^{-\frac{{(x-\xi )}^2}{4a(\xi ,\tau )(t-\tau )}}$                                                 

— фундаментальное решение, а $\Phi (x,t;\xi ,\tau )$ однозначно определяется из интегрального уравнения

$\Phi (x,t;\xi ,\tau )=L_{x,t}\left[W(x,t;\xi ,\tau )\right]+$                                                      

$+\underset{\tau }{\overset{t}{\int }}d{\tau }_1\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{L}_{x,t}\left[W\left(x,t;{\xi }_1,{\tau }_1\right)\right]\Phi \left({\xi }_1,{\tau }_1;\xi ,\tau \right)d{\xi }_1.$                                                 

Здесь

$L_{x,t}\left[W\left(x,t;{\xi }_1,{\tau }_1\right)\right]=\left[a(x,t)-a(\xi ,\tau )\right]\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+W(x,t;\xi ,\tau )+$                        

$+b(x,t)\frac{\partial }{\partial x}W(x,t;\xi ,\tau )+c(x,t)W(x,t;\xi ,\tau ).$

Пусть существует решение $u(x,t)$ задачи (1), (2), непрерывное, ограниченное и имеющее дробные производные порядка ${\alpha }^k<1/2$. Пусть далее $f_i^k\left(t\right)=u\left(x_i^k,t\right)$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,n_k$, $k=\mathrm{0,1}$. Будем искать решение задачи (1), (2) сначала в $H_1$.

Принимая во внимание свойства фундаментального решения $Z(x,t;\xi ,\tau )$ уравнения $Lu=0$, нетрудно заметить, что функция $u(x,t)$ связана с $f_i^0\left(t\right)$ $(i=\mathrm{1,2,}\dots ,n_0)$ и начальной функцией $\phi \left(x\right)$ следующим образом:

 

$u(x,t)=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)\sum _{i=1}^{n_0}{a}_i^0\left(\xi ,\tau \right)D_{0\tau }^{{\alpha }_i^0}{K}_i^0\left(\xi ,\tau \right)f_i\left(\tau \right)d\xi +$

$+\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}Z\left(x,t;\xi \mathrm{,0}\right)\phi \left(\xi \right)d\xi .$ (3)

Введем новую функцию $Z_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)$, определенную формулой

$Z_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)={(t-\tau )}^{1/2}Z\left(x,t;\xi ,\tau \right).$

Так как

$\left|Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|<c_1{\left(t-\tau \right)}^{-1/2}{e}^{-\frac{{\mu }_1{(x-\xi )}^2}{(t-\tau )}},$

где $c_1$ и ${\mu }_1$ — положительные постоянные, то $Z_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)$ — непрерывная функция.

Рассмотрим интеграл

$J=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{\left(t-\tau \right)}^{-1/2}{Z}_j^0\left(x,t;\xi ,\tau \right)D_{0\tau }^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0\left(\xi ,\tau \right)f_j^0\left(\tau \right)d\tau ,$

где

$Z_j^0\left(x,t;\xi ,\tau \right)=a_j^0(\xi ,\tau )Z_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)$

и по повторяющемуся индексу $j=\mathrm{1,2,}\dots ,n_0$ подразумевается суммирование.

При ${\alpha }_j^0<0$

$J=\frac{1}{\Gamma \left(-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{f}_j^0\left({\tau }_1\right)K_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right){\left(\tau -{\tau }_1\right)}^{-{\alpha }_j^0-1}d{\tau }_1\underset{t}{\overset{\tau }{\int }}{Z}_j^0\left(x,t;\xi ,\tau \right){\left(t-{\tau }_1\right)}^{-1/2}d\tau .$

Введем новую переменную y:

$\tau ={\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y.$           

Тогда

$d\tau =\left(t-{\tau }_1\right)dy,=\frac{\tau -{\tau }_1}{t-{\tau }_1},1-y=\frac{t-\tau }{t-{\tau }_1}.$

Учитывая последние соотношения при ${\alpha }_j^0<0$, имеем

$J=\frac{1}{\Gamma \left(-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)f_j\left({\tau }_1\right){\left(t-{\tau }_1\right)}^{-{\alpha }_j^0-1/2}d{\tau }_1\times$

 

$\times \underset{0}{\overset{1}{\int }}{Z}_i^0\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-1-{\alpha }_j^0}{\left(1-y\right)}^{-1/2}dy.$

Точно так же при $0<{\alpha }_j^0<\frac{1}{2}$

$J=-\frac{1}{\Gamma \left(1-{\alpha }_j\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)f_j\left({\tau }_1\right)d{\tau }_1\frac{d}{d{\tau }_1}{\left(t-{\tau }_1\right)}^{1/2-{\alpha }_j^0}d{\tau }_1\times$

$\times \underset{0}{\overset{1}{\int }}{Z}_i^0\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-{\alpha }_j^0}{\left(1-y\right)}^{-1/2}dy.$

Введем обозначения

$F^0\left(x,t\right)=-\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}Z\left(x,t;\xi \mathrm{,0}\right)\phi \left(\xi \right),$               

$N_j^0\left(x,t,\tau \right)=-\frac{1}{\Gamma \left(-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)d{\tau }_1\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}d\xi \times$

$\times \underset{0}{\overset{1}{\int }}Z\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-1-{\alpha }_j^0}{\left(1-y\right)}^{-1/2}dyпри{\alpha }_j^0<0$

и

$N_j^0\left(x,t,\tau \right)=\frac{1}{\Gamma \left(1-{\alpha }_j\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)d{\tau }_1\frac{d}{d{\tau }_1}{\left(t-{\tau }_1\right)}^{1/2-{\alpha }_j^0}\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}d\xi \times$

$\times \underset{0}{\overset{1}{\int }}{Z}_j\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-{\alpha }_j^0}{\left(1-y\right)}^{-1/2}dyпри{\alpha }_j^0>0.$

Пользуясь этими обозначениями, перепишем (3) в виде

$u\left(x,t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{N_j^0\left(x,t,\tau \right)}{{\left(t-\tau \right)}^{{\alpha }_j^0+1/2}}{f}_j^0\left(\tau \right)d\tau +F^0\left(x,t\right).$ (4)

 Из (4) при $x=x_i^0$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,n_0$ имеем

$f_i^0\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{N_j^0\left(x_i,t,\tau \right)}{{\left(t-\tau \right)}^{{\alpha }_j^0+1/2}}{f}_j^0\left(\tau \right)d\tau +F^0\left(x_i^0,t\right),$ (5)

 где по индексу i подразумевается суммирование от $1$ до $n_0$.

При ${\alpha }^0<\frac{1}{2}$ система (5) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, стало быть, она обусловлено и однозначно разрешима.

Таким образом, единственное решение задачи (1), (2) в $H_1$ задается формулой (4), где $f_1^0\mathrm{,}{f}_2^0\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{f}_{n_0}^0$ – решения системы (5). Это решение непрерывно и ограничено.

Учитывая, что $u\left(x,T_1\right)$ также непрерывна и ограничена во всем пространстве R, в слое $H_2$ имеем следующую связь $u\left(x,t\right)$ с $f_j^1\left(t\right)$ $\left(j=\mathrm{1,2,}\dots ,n_1\right)$ и $u\left(x,T_1\right)$:

$u\left(x,t\right)=-\underset{T_1}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)\sum _{j=1}^{n_1}{d}_j^1\left(\xi ,\tau \right)D_{0\tau }^{{\alpha }_j^1}\left(\xi ,\tau \right)f_j^1\left(t\right)d\xi +$

$+\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}Z\left(x,t;\xi ,T_1\right)u\left(\xi ,T_1\right)d\xi .$ (6)

Единственное ограниченное решение $u\left(x,t\right)$ в слое $H_2$ задачи (1), (2) определяется соотношением (6), где $f_j^1\left(t\right)$ находятся из системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода вида

$f_i^1\left(t\right)=\underset{T_1}{\overset{t}{\int }}\frac{N_j^1\left(x_i,t,\tau \right)}{{\left(t-\tau \right)}^{{\alpha }_j^1+1/2}}{f}_i^1\left(\tau \right)d\tau +F^1\left(x_1,t\right),$

где $N_j^1\left(x,t,\tau \right)$ и $F^1\left(x_1,t\right)$ — непрерывные функции, определяемые так же, как в слое $H_1$. Теорема доказана.

1.2 Первая краевая задача

Рассмотрим теперь для уравнения (1) в области $D=\left\{\left(x,t\right):0<x<l,0<t<T\right\}$ первую краевую задачу

$\begin{array}{ll}u\left(x\mathrm{,0}\right)=\phi \left(x\right)приx\in I,& \\ {\left.u\left(x,t\right)\right|}_{\Gamma }=\mathrm{0,}& \end{array}$ (7)

 где $I=\left(\mathrm{0,}l\right)$, $\Gamma =\left\{x=\mathrm{0,}0<t⩽T\right\}\cup \left\{x=l,0<t⩽T\right\}$.

Решением первой краевой задачи (1)–(7) будем называть функцию $u\left(x,t\right)$, непрерывную в D, регулярную в $D_i=\left\{\left(x,t\right):0<x<l,T_{i-1}<t<T_i\right\}$, $\left(i=\mathrm{1,2,}\dots ,N\right)$, удовлетворяющую условиям (7):

Пусть:

1. I) коэффициенты $a\left(x,t\right)$, $b\left(x,t\right)$, $c\left(x,t\right)$ в $\overline{D}$ удовлетворяют неравенствам:

$a\left(x,t\right)\ge {\lambda }_0>\mathrm{0,}$

$\left|a\left(x^{\text{'}},t\right)-a\left(x,t\right)\right|\le A{\left|x^{\text{'}}-x\right|}^{\lambda },$                    

$\left|b\left(x^{\text{'}},t\right)-b\left(x,t\right)\right|\le A{\left|x^{\text{'}}-x\right|}^{\lambda },$        

$\left|c\left(x^{\text{'}},t\right)-c\left(x,t\right)\right|\le A{\left|x^{\text{'}}-x\right|}^{\lambda },$            

$\left|a\left(x,t^{\text{'}}\right)-a\left(x,t\right)\right|\le A{\left|t^{\text{'}}-t\right|}^{\lambda },$          

где A, ${\lambda }_0$ и $\lambda$ — некоторые положительные постоянные.

1. II) $a_j^k\left(x,t\right)$, $j=\mathrm{1,2,}\dots ,n_k$, $k=\mathrm{0,1,}\dots ,N$ непрерывны в $\overline{D}$ по совокупности переменных x, t и удовлетворяют по условию Гельдера, a $K_j^k\left(x,t\right)$ непрерывны в $\overline{D}$.

III) $\phi \left(x\right)$ непрерывна и ограничена на I.

1. IV) ${\alpha }^k<1/2$.

 Теорема 1.2. Задача (1), (7) при предположениях I–IV однозначно разрешима.

 Доказательство. Рассмотрим задачу для $N=2$.

Известно [17], что функцией Грина краевой задачи (7) для уравнения $Lu=0$ называется функция $G\left(x,t;\xi ,\tau \right)$, которая определенна и непрерывна по всем аргументам при $\left(x,\xi \right)\in \left(\mathrm{0,}l\right)$, $0<\tau <t<T_1$ и имеет вид

$G\left(x,t;\xi ,\tau \right)=Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)-\Psi \left(x,t;\xi ,\tau \right),$

где $\Psi \left(x,t;\xi ,\tau \right)$ обладает следующими свойствами:

1. a) $L_{x,t}\left[\Psi \left(x,t;\xi ,\tau \right)\right]=0$ для $x,\xi \in I$, $0\le \tau <t\le T_1$;

б) $\Psi \left(x,t;\xi ,\tau \right)=Z\left(x,t;\xi ,\tau \right)$ для $\xi \in D$, $(x,t)\in \Gamma$, $0\le \tau <t\le T_1$;

в) $\underset{t\to \tau +0}{}\Psi \left(x,t;\xi ,\tau \right)=0$ для $(x,\xi )\in I$.

Для функции $G\left(x,t;\xi ,\tau \right)$ имеет место оценка [17]:

$\left|G\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|<C_2{(t-\tau )}^{-1/2}{e}^{-{\mu }_2\frac{(x-\xi )}{(t-\tau )}},$ (8)

 где ${\mu }_2$, $C_2$ — некоторые положительные постоянные.

Пусть существует решение $u(x,t)$ задачи (1), (2), непрерывное в $D_1$ и имеющее дробную производную порядка $\alpha <1/2$.

Пусть далее

$g_i^k\left(t\right)=u\left(x_i^k,t\right),i=\mathrm{1,2,}\dots ,n_k,k=\mathrm{0,1.}$      

Будем искать решение задачи (1), (2) сначала в $D_1$.

Как известно [17], решение первой краевой задачи (7) для уравнения

$Lu=f(x,t)$         

в ${\overline{D}}_1$ имеет вид

$u(x,t)=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{0}{\overset{l}{\int }}G\left(x,t;\xi ,\tau \right)f(\xi ,\tau )d\xi +\underset{0}{\overset{l}{\int }}G\left(x,t;\xi \mathrm{,0}\right)\phi \left(\xi \right)d\xi .$    

Следовательно, при наших предположениях, функция $u(x,t)$ связана с $g_i^{0}t$, $i=\mathrm{1,2,}\dots ,n_0$ и начальной функцией $\phi (x,t)$ следующим образом:

$u(x,t)=-\underset{0}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{0}{\overset{l}{\int }}G\left(x,t;\xi ,\tau \right)\sum _{j=1}^{n_0}{a}_j^0(\xi ,\tau )D_{0\tau }^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0(\xi ,\tau )u(x_j^0,\tau )d\xi +$

$+\underset{0}{\overset{l}{\int }}\phi \left(\xi \right)G\left(x,t;\xi ,\tau \right)d\xi .$ (9)

Введем новую функцию $G_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)$:

$G_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)={(t-\tau )}^{1/2}G\left(x,t;\xi ,\tau \right).$

Из (8) имеем

$\left|G_0\left(x,t;\xi ,\tau \right)\right|<C_2{e}^{-\frac{{\mu }_2{(x-\xi )}^2}{t-\tau }}.$        

Рассмотрим интеграл

$I=\underset{0}{\overset{t}{\int }}{(t-\tau )}^{-\frac{1}{2}}{G}_i^0\left(x,t;\xi ,\tau \right)D_{0\tau }^{{\alpha }_j^0}{K}_j^0(\xi ,\tau )g_j^0\left(\tau \right)d\tau ,$

где

$G_j^0\left(x,t;\xi ,\tau \right)=a_j^0(\xi ,\tau )G_0\left(x,t;\xi ,\tau \right),$

а по повторяющемуся индексу $j=\mathrm{1,2,}\dots$ подразумевается суммирование.

При ${\alpha }_j^0<0$ имеем

$I=\frac{1}{\Gamma \left(-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0(\xi ,{\tau }_1)g_j^0\left({\tau }_1\right){(t-{\tau }_1)}^{-{\alpha }_j^0-\frac{1}{2}}d{\tau }_1\times$

$\times \underset{0}{\overset{1}{\int }}{G}_i^0\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-1-{\alpha }_j^0}{(1-y)}^{-1/2}dy,$

а при $0<{\alpha }_j^0<\frac{1}{2}$ 

$I=\frac{1}{\Gamma \left(1-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)g_i\left({\tau }_1\right)d{\tau }_1\frac{d}{d{\tau }_1}{\left(t-{\tau }_1\right)}^{1/2-{\alpha }_j^0}\times$

$\times \underset{0}{\overset{1}{\int }}{G}_i^0\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-1-{\alpha }_j^0}{(1-y)}^{-1/2}dy.$

Введем обозначения:

$F^0(x,t)=\underset{0}{\overset{l}{\int }}\phi \left(\xi \right)G\left(x,t;\xi \mathrm{,0}\right)d\xi ,$

$N_j^0(x,t,\tau )=-\frac{1}{\Gamma \left(-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)d{\tau }_1\times$

$\times \underset{0}{\overset{l}{\int }}d\xi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{G}_j^0\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-1-{\alpha }_j^0}{(1-y)}^{-1/2}dyпри{\alpha }_j<0$

и

$N_j^0(x,t,\tau )=\frac{1}{\Gamma \left(1-{\alpha }_j^0\right)}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{K}_j^0\left(\xi ,{\tau }_1\right)d{\tau }_1{\left(t-{\tau }_1\right)}^{\frac{1}{2}-{\alpha }_j^0}\times$

$\times \underset{0}{\overset{l}{\int }}d\xi \underset{0}{\overset{1}{\int }}{G}_i\left[\left(x,t;\xi ,{\tau }_1+\left(t-{\tau }_1\right)y\right)\right]y^{-{\alpha }_j^0}{(1-y)}^{-1/2}dy.$

С учетом этих обозначений (9) принимает вид

$u(x,t)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{N_j(x,t,\tau )}{{(t-\tau )}^{{\alpha }_j^0+1/2}}{g}_j^0\left(\tau \right)d\tau +F^0(x,t).$ (10)

 Из (10) при $x=x_i^0$ $i=\mathrm{1,2,}\dots ,n_0$ имеем

$g_i^0\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{N_j(x_i,t,\tau )}{{(t-\tau )}^{{\alpha }_j^0+1/2}}{g}_j^0\left(\tau \right)d\tau +F^0(x_i^0,t).$ (11)

При ${\alpha }^0<\frac{1}{2}$ система (11) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, ядра которых имеют слабую особенность. Стало быть, она безусловно и однозначно разрешима.

Таким образом, единственное решение задачи (1), (7) в области $D_1$ задается формулой (10), где $g_1^0,g_2^0,\dots ,g_{n_0}^0$ — решение системы (11). Это решение непрерывно и регулярно. Учитывая, что $u\left(x,T_1\right)$ также непрерывна и ограничена на I, в $D_2$ имеем следующую связь:

$u(x,t)=-\underset{-T_1}{\overset{t}{\int }}d\tau \underset{0}{\overset{l}{\int }}G\left(x,t;\xi ,\tau \right)\sum _{i=1}^{n_1}{a}_j^1(\xi ,\tau )D_{0\tau }^{{\alpha }_j^1}(\xi ,\tau )\times$

$\times f_i^1\left(\tau \right)d\xi +\underset{0}{\overset{l}{\int }}G\left(x,t;\xi ,T_1\right)u\left(\xi ,T_1\right)d\xi ,t>T_1.$ (12)

Единственное решение $u(x,t)$ в области $D_2$ задачи (1), (7) определяется соотношением (12), где $g_i^1\left(t\right)$ находятся из системы интегральных уравнений

$f_i^1\left(t\right)=\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{N_j(x_i,t,\tau )}{{(t-\tau )}^{{\alpha }_j^0+1/2}}{f}_j^1\left(\tau \right)d\tau +F^1(x_i,t),$          

где $N_i^1\left(x_i,t,\tau \right)$ и $F^1\left(x_i,t\right)$ — непрерывные функции, определяемые так же, как области $D_1$.

Заключение

Таким образом, в данной работе доказана однозначная разрешимость задачи Коши – Дирихле, исследованы вопросы существования и единственности решения первой краевой задачи для разрывно-нагруженного параболического уравнения дробного порядка.

Полученные результаты важны для развития теории краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка, в том числе нагруженных уравнений параболического типа, а также математического моделирования различных процессов и систем с распределенными параметрами, имеющих фрактальную пространственно-временную структуру.

Об авторах

Мухамед Мацевич Кармоков

Кабардино-Балкарский государственный университет имени Х.М. Бербекова

Email: mkarmokov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5189-6538

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики

Россия, г. Нальчик

Фатима Мухамедовна Нахушева

Кабардино-Балкарский государственный университет имени Х.М. Бербекова

Email: fatima-nakhusheva@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3750-1445

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики

Россия, г. Нальчик

Сакинат Хасановна Геккиева

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: gekkieva_s@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2135-2115

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики

Россия, г. Нальчик

Список литературы

Дополнительные файлы