Краевые задачи для разрывно-нагруженных параболических уравнений

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В статье рассматриваются краевые задачи для разрывно-нагруженного параболического уравнения с оператором дробного интегродифференцирования Римана – Лиувилля с переменными коэффициентами. Доказана однозначная разрешимость задачи Коши – Дирихле для разрывно-нагруженного параболического уравнения дробного порядка. В работе также исследуются вопросы существования и единственности решения первой краевой задачи для разрывно-нагруженного уравнения параболического типа. Методом функции Грина, используя свойства фундаментального решения соответствующего однородного уравнения, а также предполагая, что коэффициенты уравнения ограничены, непрерывны и удовлетворяют условию Гельдера, оставаясь неотрицательными, показано, что решение задачи сводится к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.

Полный текст

Введение

Как известно, исследование математических моделей физико-биологических фрактальных процессов и связанных с ними задач, таких как задачи прогноза и регулирования уровня грунтовых вод, содержания влаги и соли в почвогрунтах на мелиорируемой территории и др., приводит к качественно новому классу дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, получивших название нагруженных уравнений. В связи с этим исследование этих уравнений представляет большой как теоретический, так и практический интерес.

В монографии А.М. Нахушева [?] приведена подробная библиография по нагруженным уравнениям, в том числе по различным применениям нагруженных уравнений, как методу исследования задач математической биологии, математической физики, математического моделирования нелокальных процессов и явлений, механики сплошных сред с памятью.

Данная работа посвящена исследованию краевых задач для разрывно-нагруженных параболических уравнений с дробной производной.

В полосе H=x,t:x,0<t<T евклидовой плоскости независимых переменных x и t рассмотрим разрывно-нагруженное уравнение

Lu=j=1nkajkx,tD0tαjkKjkx,tuxjk,t,Tk<tTk+1, (1)

 где

k=0,1,,N,  0=T0<T1<<TN=T,αnkk<αnk1k<<α1k=αk,0<x1k<x2k<<xnkk<l,Lu=ax,tuxx+bx,tux+cx,tuut,

D0tαj — оператор дробного интегродифференцирования порядка αj [2].

Уравнение (1) относится к классу уравнений, предложенных в [3]. Работы [4; 5] посвящены локальным и нелокальным краевым задачам для нагруженных параболических уравнений. Нелокальные краевые задачи для линейных параболических уравнений рассматривались также в работах [6; 7]. В работе [8] методом функции Грина исследована смешанная краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности. Краевые задачи для уравнений в частных производных дробного порядка, включая диффузионно-волновые уравнения, рассмотрены в монографии [9]. В исследовании [10] получены решения краевых задач для нагруженного диффузионно-волнового уравнения с дробной производной. Среди более поздних отметим работу [11], в которой доказана однозначная разрешимость в пространстве Соболева нелокальной задачи с интегральными условиями для параболического уравнения, а также работы [12; 13], посвященные исследованию разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений, в том числе вырождающихся. Численному решению первой краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с переменными коэфициентами посвящены работы [14; 15].

1 Основные результаты

1.1 Задача Коши – Дирихле

Пусть ax,tμ>0, коэффициенты a, b, c, ajk, Kjk в области H ограничены, непрерывны; a, b, c удовлетворяют условиям Гельдера по переменной x, а ax,t и по переменной t. Пусть далее

ux,0=φx,  x. (2)

Решением задачи (1), (2) будем называть функцию u(x,t), непрерывную и ограниченную в H, удовлетворяющую уравнению (1) и условию (2).

 Теорема 1.1. Пусть φx — непрерывная и ограниченная во всем пространстве R функция и αk<12. Тогда в слое H существует единственное решение задачи Коши – Дирихле для уравнения (1) с начальным условием (2).

 Доказательство. Не нарушая общности, рассмотрим задачу для N=2. Введем обозначения:

 H1=x,t:x,0<t<T1,                                                     

H2=x,t:x,T1<t<T.                                                      

Известно [16], что фундаментальное решение Z(x,t;ξ,τ) уравнения Lu=0 имеет вид

Z(x,t;ξ,τ)=W(x,t;ξ,τ)+                                                        

+τtdτ1W(x,t;ξ1,τ1)Φ(ξ1,τ1;ξ,τ)dξ1,                                                   

где

W(x,t;ξ,τ)=12π(tτ)a(ξ,τ)e(xξ)24a(ξ,τ)(tτ)                                                 

— фундаментальное решение, а Φ(x,t;ξ,τ) однозначно определяется из интегрального уравнения

Φ(x,t;ξ,τ)=Lx,tW(x,t;ξ,τ)+                                                      

+τtdτ1Lx,tWx,t;ξ1,τ1Φξ1,τ1;ξ,τdξ1.                                                 

Здесь

Lx,tWx,t;ξ1,τ1=a(x,t)a(ξ,τ)2x2+W(x,t;ξ,τ)+                        

+b(x,t)xW(x,t;ξ,τ)+c(x,t)W(x,t;ξ,τ).

Пусть существует решение u(x,t) задачи (1), (2), непрерывное, ограниченное и имеющее дробные производные порядка αk<1/2. Пусть далее fik(t)=uxik,t, i=1,2,,nk, k=0,1. Будем искать решение задачи (1), (2) сначала в H1.

Принимая во внимание свойства фундаментального решения Z(x,t;ξ,τ) уравнения Lu=0, нетрудно заметить, что функция u(x,t) связана с fi0(t) (i=1,2,,n0) и начальной функцией φ(x) следующим образом:

 

u(x,t)=0tdτZx,t;ξ,τi=1n0ai0ξ,τD0ταi0Ki0ξ,τfiτdξ+

+Zx,t;ξ,0φξdξ. (3)

Введем новую функцию Z0x,t;ξ,τ, определенную формулой

Z0x,t;ξ,τ=(tτ)1/2Zx,t;ξ,τ.

Так как

Zx,t;ξ,τ<c1tτ1/2eμ1(xξ)2(tτ),

где c1 и μ1 — положительные постоянные, то Z0x,t;ξ,τ — непрерывная функция.

Рассмотрим интеграл

J=0ttτ1/2Zj0x,t;ξ,τD0ταj0Kj0ξ,τfj0τdτ,

где

Zj0x,t;ξ,τ=aj0(ξ,τ)Z0x,t;ξ,τ

и по повторяющемуся индексу j=1,2,,n0 подразумевается суммирование.

При αj0<0

J=1Γαj00tfj0τ1Kj0ξ,τ1ττ1αj01dτ1tτZj0x,t;ξ,τtτ11/2dτ.

Введем новую переменную y:

τ=τ1+t-τ1y.           

Тогда

dτ=tτ1dy,=ττ1tτ1,1y=tτtτ1.

Учитывая последние соотношения при αj0<0, имеем

J=1Γαj00tKj0ξ,τ1fjτ1tτ1αj01/2dτ1×

 

×01Zi0x,t;ξ,τ1+tτ1yy1αj01y1/2dy.

Точно так же при 0<αj0<12

J=1Γ1αj0tKj0ξ,τ1fjτ1dτ1ddτ1tτ11/2αj0dτ1×

×01Zi0x,t;ξ,τ1+tτ1yyαj01y1/2dy.

Введем обозначения

F0x,t=Zx,t;ξ,0φξ,               

Nj0x,t,τ=1Γαj00tKj0ξ,τ1dτ1dξ×

×01Zx,t;ξ,τ1+tτ1yy1αj01y1/2dy   при  αj0<0

и

Nj0x,t,τ=1Γ1αj0tKj0ξ,τ1dτ1ddτ1tτ11/2αj0dξ×

×01Zjx,t;ξ,τ1+tτ1yyαj01y1/2dy   при  αj0>0.

Пользуясь этими обозначениями, перепишем (3) в виде

ux,t=0tNj0x,t,τtταj0+1/2fj0τdτ+F0x,t. (4)

 Из (4) при x=xi0, i=1,2,,n0 имеем

fi0t=0tNj0xi,t,τtταj0+1/2fj0τdτ+F0xi0,t, (5)

 где по индексу i подразумевается суммирование от 1 до n0.

При α0<12 система (5) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, стало быть, она обусловлено и однозначно разрешима.

Таким образом, единственное решение задачи (1), (2) в H1 задается формулой (4), где f10,f20,,fn00 – решения системы (5). Это решение непрерывно и ограничено.

Учитывая, что ux,T1 также непрерывна и ограничена во всем пространстве R, в слое H2 имеем следующую связь ux,t с fj1t j=1,2,,n1 и ux,T1:

ux,t=T1tdτZx,t;ξ,τj=1n1dj1ξ,τD0ταj1ξ,τfj1tdξ+

+Zx,t;ξ,T1uξ,T1dξ. (6)

Единственное ограниченное решение ux,t в слое H2 задачи (1), (2) определяется соотношением (6), где fj1t находятся из системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода вида

fi1t=T1tNj1xi,t,τtταj1+1/2fi1τdτ+F1x1,t,

где Nj1x,t,τ и F1x1,t — непрерывные функции, определяемые так же, как в слое H1. Теорема доказана.

1.2 Первая краевая задача

Рассмотрим теперь для уравнения (1) в области D=x,t:0<x<l,0<t<T первую краевую задачу

ux,0=φx  при  xI,ux,tΓ=0, (7)

 где I=0,l, Γ=x=0,0<tTx=l,0<tT.

Решением первой краевой задачи (1)–(7) будем называть функцию ux,t, непрерывную в D, регулярную в Di=x,t:0<x<l,Ti1<t<Ti, i=1,2,,N, удовлетворяющую условиям (7):

Пусть:

  1. I) коэффициенты ax,t, bx,tcx,t в D¯ удовлетворяют неравенствам:

ax,tλ0>0,

ax',tax,tAx'xλ,                    

bx',tbx,tAx'xλ,        

cx',tcx,tAx'xλ,            

ax,t'ax,tAt'tλ,          

где A, λ0 и λ — некоторые положительные постоянные.

  1. II) ajkx,t, j=1,2,,nkk=0,1,,N непрерывны в D¯ по совокупности переменных x, t и удовлетворяют по условию Гельдера, a Kjkx,t непрерывны в D¯.

III) φx непрерывна и ограничена на I.

  1. IV) αk<1/2.

 Теорема 1.2. Задача (1), (7) при предположениях I–IV однозначно разрешима.

 Доказательство. Рассмотрим задачу для N=2.

Известно [17], что функцией Грина краевой задачи (7) для уравнения Lu=0 называется функция Gx,t;ξ,τ, которая определенна и непрерывна по всем аргументам при x,ξ0,l, 0<τ<t<T1 и имеет вид

Gx,t;ξ,τ=Zx,t;ξ,τΨx,t;ξ,τ,

где Ψx,t;ξ,τ обладает следующими свойствами:

  1. a) Lx,tΨx,t;ξ,τ=0 для x,ξI, 0τ<tT1;

б) Ψx,t;ξ,τ=Zx,t;ξ,τ для ξD, (x,t)Γ, 0τ<tT1;

в) tτ+0Ψx,t;ξ,τ=0 для (x,ξ)I.

Для функции Gx,t;ξ,τ имеет место оценка [17]:

Gx,t;ξ,τ<C2(tτ)1/2eμ2(xξ)(tτ), (8)

 где μ2, C2 — некоторые положительные постоянные.

Пусть существует решение u(x,t) задачи (1), (2), непрерывное в D1 и имеющее дробную производную порядка α<1/2.

Пусть далее

gik(t)=uxik,t,i=1,2,,nk,k=0,1.      

Будем искать решение задачи (1), (2) сначала в D1.

Как известно [17], решение первой краевой задачи (7) для уравнения

Lu=f(x,t)         

в D¯1 имеет вид

u(x,t)=0tdτ0lGx,t;ξ,τf(ξ,τ)dξ+0lGx,t;ξ,0φ(ξ)dξ.    

Следовательно, при наших предположениях, функция u(x,t) связана с gi0t, i=1,2,,n0 и начальной функцией φ(x,t) следующим образом:

u(x,t)=0tdτ0lGx,t;ξ,τj=1n0aj0(ξ,τ)D0ταj0Kj0(ξ,τ)u(xj0,τ)dξ+

+0lφ(ξ)Gx,t;ξ,τdξ. (9)

Введем новую функцию G0x,t;ξ,τ:

G0x,t;ξ,τ=(tτ)1/2Gx,t;ξ,τ.

Из (8) имеем

G0x,t;ξ,τ<C2eμ2(xξ)2tτ.        

Рассмотрим интеграл

I=0t(tτ)12Gi0x,t;ξ,τD0ταj0Kj0(ξ,τ)gj0(τ)dτ,

где

Gj0x,t;ξ,τ=aj0(ξ,τ)G0x,t;ξ,τ,

а по повторяющемуся индексу j=1,2, подразумевается суммирование.

При αj0<0 имеем

I=1Γαj00tKj0(ξ,τ1)gj0(τ1)(tτ1)αj012dτ1×

×01Gi0x,t;ξ,τ1+tτ1yy1αj0(1y)1/2dy,

а при 0<αj0<12 

I=1Γ1αj00tKj0ξ,τ1gi(τ1)dτ1ddτ1tτ11/2αj0×

×01Gi0x,t;ξ,τ1+tτ1yy1αj0(1y)1/2dy.

Введем обозначения:

F0(x,t)=0lφ(ξ)Gx,t;ξ,0dξ,

Nj0(x,t,τ)=1Γαj00tKj0ξ,τ1dτ1×

×0ldξ01Gj0x,t;ξ,τ1+tτ1yy1αj0(1y)1/2dy   при  αj<0

и

Nj0(x,t,τ)=1Γ1αj00tKj0ξ,τ1dτ1tτ112αj0×

×0ldξ01Gix,t;ξ,τ1+tτ1yyαj0(1y)1/2dy.

С учетом этих обозначений (9) принимает вид

u(x,t)=0tNj(x,t,τ)(tτ)αj0+1/2gj0(τ)dτ+F0(x,t). (10)

 Из (10) при x=xi0 i=1,2,,n0 имеем

gi0(t)=0tNj(xi,t,τ)(tτ)αj0+1/2gj0(τ)dτ+F0(xi0,t). (11)

При α0<12 система (11) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, ядра которых имеют слабую особенность. Стало быть, она безусловно и однозначно разрешима.

Таким образом, единственное решение задачи (1), (7) в области D1 задается формулой (10), где g10,g20,,gn00 — решение системы (11). Это решение непрерывно и регулярно. Учитывая, что ux,T1 также непрерывна и ограничена на I, в D2 имеем следующую связь:

u(x,t)=T1tdτ0lGx,t;ξ,τi=1n1aj1(ξ,τ)D0ταj1(ξ,τ)×

×fi1(τ)dξ+0lGx,t;ξ,T1uξ,T1dξ,t>T1. (12)

Единственное решение u(x,t) в области D2 задачи (1), (7) определяется соотношением (12), где gi1(t) находятся из системы интегральных уравнений

fi1(t)=0tNj(xi,t,τ)(tτ)αj0+1/2fj1(τ)dτ+F1(xi,t),          

где Ni1xi,t,τ и F1xi,t — непрерывные функции, определяемые так же, как области D1.

Заключение

Таким образом, в данной работе доказана однозначная разрешимость задачи Коши – Дирихле, исследованы вопросы существования и единственности решения первой краевой задачи для разрывно-нагруженного параболического уравнения дробного порядка.

Полученные результаты важны для развития теории краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка, в том числе нагруженных уравнений параболического типа, а также математического моделирования различных процессов и систем с распределенными параметрами, имеющих фрактальную пространственно-временную структуру.

×

Об авторах

Мухамед Мацевич Кармоков

Кабардино-Балкарский государственный университет имени Х.М. Бербекова

Email: mkarmokov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5189-6538

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики

Россия, г. Нальчик

Фатима Мухамедовна Нахушева

Кабардино-Балкарский государственный университет имени Х.М. Бербекова

Email: fatima-nakhusheva@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3750-1445

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики

Россия, г. Нальчик

Сакинат Хасановна Геккиева

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: gekkieva_s@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2135-2115

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики

Россия, г. Нальчик

Список литературы

  1. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. Москва: Наука, 2012. 232 с. URL: https://djvu.online/file/GKTM9Py0MW2jl; https://elibrary.ru/item.asp?id=20886619. EDN: https://elibrary.ru/rpbpqz.
  2. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. Москва: Высшая школа, 1995. 301 с. URL: https://djvu.online/file/vpPGn035lVZDw; https://elibrary.ru/item.asp?id=17961016. EDN: https://elibrary.ru/pdbbnb.
  3. Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1976. T. 12, № 1. С. 103–108. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=17962290. EDN: https://elibrary.ru/pdbujb.
  4. Кармоков М.М. Локальные и нелокальные краевые задачи для разрывно-нагруженных параболических уравнений: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 1991. 87 с.
  5. Кармоков М.М., Нахушева Ф.М., Абрегов М.Х. Краевая задача для нагруженного параболического уравнения дробного порядка // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2024. № 1 (117). С. 69–77. DOI: https://doi.org/10.35330/1991-6639-2024-26-1-69-77. EDN: https://elibrary.ru/mpqwls.
  6. Кожанов А.И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7, № 1 (17). С. 51–60. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=9484458. EDN: https://elibrary.ru/hzogql.
  7. Кожанов А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2004. № 30. С. 63–69. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=8819437. EDN: https://elibrary.ru/hkzxbd.
  8. Дикинов Х.Ж., Керефов А.А., Нахушев А.М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1976. T. 12, № 1. С. 177–179. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=17873091. EDN: https://elibrary.ru/pbdavt.
  9. Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. Москва: Наука, 2005. 199 с. URL: https://libcats.org/book/729565.
  10. Геккиева С.Х. Смешанные краевые задачи для нагруженного диффузионно-волнового уравнения // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. 2016. № 6 (227). Вып. 42. С. 32–35. URL: http://dspace.bsuedu.ru/handle/123456789/59383.
  11. Бейлин А.Б., Богатов А.В., Пулькина Л.С. Задача с нелокальными условиями для одномерного параболического уравнения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2022. Т. 26, № 2. С. 380–395. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1904. EDN: https://www.elibrary.ru/USPHOK.
  12. Кожанов А.И., Ашурова Г.Р. Параболические уравнения с вырождением и неизвестным коэффициентом // Математические заметки СВФУ. 2024. Т. 31, № 1. С. 56–69. DOI: https://doi.org/10.25587/2411-9326-2024-1-56-69. EDN: https://elibrary.ru/ndfvwu.
  13. Богатов А.В., Пулькина Л.С. Разрешимость обратной коэффициентной задачи с интегральным переопределением для одномерного параболического уравнения // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Т. 28, № 3–4. С. 7–17. DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2022-28-3-4-7-17.
  14. Нахушева Ф.М., Лафишева М.М., Кармоков М.М., Джанкулаева М.А. Численный метод решения краевой задачи для параболического уравнения с дробной производной по времени с сосредоточенной теплоемкостью // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2018. № 5 (85). С. 34–43. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=36394362. EDN: https://elibrary.ru/vlmusb.
  15. Бештоков М.Х., Водахова В.А., Исакова М.М. Приближенное решение первой краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2023. Т. 26, № 4. С. 5–17. DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2023.4.1. EDN: https://elibrary.ru/cosaev.
  16. Pogorzelski W. Etude de la solution fondamentale de l’equation parabolique // Ricerche di Matematica. 1956. Vol. 5. P. 25–57. URL: https://zbmath.org/0072.10301.
  17. Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи математических наук. 1962. Т. 17, № 3 (105). С. 31–46. URL: https://www.mathnet.ru/rus/rm6495.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML

© Кармоков М.М., Нахушева Ф.М., Геккиева С.Х., 2024

Creative Commons License
Эта статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».