Краевые задачи для разрывно-нагруженных параболических уравнений
- Авторы: Кармоков М.М.1, Нахушева Ф.М.1, Геккиева С.Х.2
-
Учреждения:
- Кабардино-Балкарский государственный университет имени Х.М. Бербекова
- Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН
- Выпуск: Том 30, № 4 (2024)
- Страницы: 7-17
- Раздел: Математика
- URL: https://journal-vniispk.ru/2541-7525/article/view/310459
- DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2024-30-5-7-17
- ID: 310459
Цитировать
Полный текст
Аннотация
В статье рассматриваются краевые задачи для разрывно-нагруженного параболического уравнения с оператором дробного интегродифференцирования Римана – Лиувилля с переменными коэффициентами. Доказана однозначная разрешимость задачи Коши – Дирихле для разрывно-нагруженного параболического уравнения дробного порядка. В работе также исследуются вопросы существования и единственности решения первой краевой задачи для разрывно-нагруженного уравнения параболического типа. Методом функции Грина, используя свойства фундаментального решения соответствующего однородного уравнения, а также предполагая, что коэффициенты уравнения ограничены, непрерывны и удовлетворяют условию Гельдера, оставаясь неотрицательными, показано, что решение задачи сводится к системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода.
Полный текст
Введение
Как известно, исследование математических моделей физико-биологических фрактальных процессов и связанных с ними задач, таких как задачи прогноза и регулирования уровня грунтовых вод, содержания влаги и соли в почвогрунтах на мелиорируемой территории и др., приводит к качественно новому классу дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, получивших название нагруженных уравнений. В связи с этим исследование этих уравнений представляет большой как теоретический, так и практический интерес.
В монографии А.М. Нахушева [?] приведена подробная библиография по нагруженным уравнениям, в том числе по различным применениям нагруженных уравнений, как методу исследования задач математической биологии, математической физики, математического моделирования нелокальных процессов и явлений, механики сплошных сред с памятью.
Данная работа посвящена исследованию краевых задач для разрывно-нагруженных параболических уравнений с дробной производной.
В полосе евклидовой плоскости независимых переменных x и t рассмотрим разрывно-нагруженное уравнение
(1)
где
— оператор дробного интегродифференцирования порядка [2].
Уравнение (1) относится к классу уравнений, предложенных в [3]. Работы [4; 5] посвящены локальным и нелокальным краевым задачам для нагруженных параболических уравнений. Нелокальные краевые задачи для линейных параболических уравнений рассматривались также в работах [6; 7]. В работе [8] методом функции Грина исследована смешанная краевая задача для нагруженного уравнения теплопроводности. Краевые задачи для уравнений в частных производных дробного порядка, включая диффузионно-волновые уравнения, рассмотрены в монографии [9]. В исследовании [10] получены решения краевых задач для нагруженного диффузионно-волнового уравнения с дробной производной. Среди более поздних отметим работу [11], в которой доказана однозначная разрешимость в пространстве Соболева нелокальной задачи с интегральными условиями для параболического уравнения, а также работы [12; 13], посвященные исследованию разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений, в том числе вырождающихся. Численному решению первой краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности с переменными коэфициентами посвящены работы [14; 15].
1 Основные результаты
1.1 Задача Коши – Дирихле
Пусть , коэффициенты a, b, c, , в области H ограничены, непрерывны; a, b, c удовлетворяют условиям Гельдера по переменной x, а и по переменной t. Пусть далее
(2)
Решением задачи (1), (2) будем называть функцию , непрерывную и ограниченную в H, удовлетворяющую уравнению (1) и условию (2).
Теорема 1.1. Пусть — непрерывная и ограниченная во всем пространстве R функция и . Тогда в слое H существует единственное решение задачи Коши – Дирихле для уравнения (1) с начальным условием (2).
Доказательство. Не нарушая общности, рассмотрим задачу для . Введем обозначения:
Известно [16], что фундаментальное решение уравнения имеет вид
где
— фундаментальное решение, а однозначно определяется из интегрального уравнения
Здесь
Пусть существует решение задачи (1), (2), непрерывное, ограниченное и имеющее дробные производные порядка . Пусть далее , , . Будем искать решение задачи (1), (2) сначала в .
Принимая во внимание свойства фундаментального решения уравнения , нетрудно заметить, что функция связана с и начальной функцией следующим образом:
(3)
Введем новую функцию , определенную формулой
Так как
где и — положительные постоянные, то — непрерывная функция.
Рассмотрим интеграл
где
и по повторяющемуся индексу подразумевается суммирование.
При
Введем новую переменную y:
Тогда
Учитывая последние соотношения при , имеем
Точно так же при
Введем обозначения
и
Пользуясь этими обозначениями, перепишем (3) в виде
(4)
Из (4) при , имеем
(5)
где по индексу i подразумевается суммирование от до .
При система (5) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, стало быть, она обусловлено и однозначно разрешима.
Таким образом, единственное решение задачи (1), (2) в задается формулой (4), где – решения системы (5). Это решение непрерывно и ограничено.
Учитывая, что также непрерывна и ограничена во всем пространстве R, в слое имеем следующую связь с и :
(6)
Единственное ограниченное решение в слое задачи (1), (2) определяется соотношением (6), где находятся из системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода вида
где и — непрерывные функции, определяемые так же, как в слое . Теорема доказана.
1.2 Первая краевая задача
Рассмотрим теперь для уравнения (1) в области первую краевую задачу
(7)
где , .
Решением первой краевой задачи (1)–(7) будем называть функцию , непрерывную в D, регулярную в , , удовлетворяющую условиям (7):
Пусть:
- I) коэффициенты , , в удовлетворяют неравенствам:
где A, и — некоторые положительные постоянные.
- II) , , непрерывны в по совокупности переменных x, t и удовлетворяют по условию Гельдера, a непрерывны в .
III) непрерывна и ограничена на I.
- IV) .
Теорема 1.2. Задача (1), (7) при предположениях I–IV однозначно разрешима.
Доказательство. Рассмотрим задачу для .
Известно [17], что функцией Грина краевой задачи (7) для уравнения называется функция , которая определенна и непрерывна по всем аргументам при , и имеет вид
где обладает следующими свойствами:
- a) для , ;
б) для , , ;
в) для .
Для функции имеет место оценка [17]:
(8)
где , — некоторые положительные постоянные.
Пусть существует решение задачи (1), (2), непрерывное в и имеющее дробную производную порядка .
Пусть далее
Будем искать решение задачи (1), (2) сначала в .
Как известно [17], решение первой краевой задачи (7) для уравнения
в имеет вид
Следовательно, при наших предположениях, функция связана с , и начальной функцией следующим образом:
(9)
Введем новую функцию :
Из (8) имеем
Рассмотрим интеграл
где
а по повторяющемуся индексу подразумевается суммирование.
При имеем
а при
Введем обозначения:
и
С учетом этих обозначений (9) принимает вид
(10)
Из (10) при имеем
(11)
При система (11) является системой интегральных уравнений Вольтерра второго рода, ядра которых имеют слабую особенность. Стало быть, она безусловно и однозначно разрешима.
Таким образом, единственное решение задачи (1), (7) в области задается формулой (10), где — решение системы (11). Это решение непрерывно и регулярно. Учитывая, что также непрерывна и ограничена на I, в имеем следующую связь:
(12)
Единственное решение в области задачи (1), (7) определяется соотношением (12), где находятся из системы интегральных уравнений
где и — непрерывные функции, определяемые так же, как области .
Заключение
Таким образом, в данной работе доказана однозначная разрешимость задачи Коши – Дирихле, исследованы вопросы существования и единственности решения первой краевой задачи для разрывно-нагруженного параболического уравнения дробного порядка.
Полученные результаты важны для развития теории краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка, в том числе нагруженных уравнений параболического типа, а также математического моделирования различных процессов и систем с распределенными параметрами, имеющих фрактальную пространственно-временную структуру.
Об авторах
Мухамед Мацевич Кармоков
Кабардино-Балкарский государственный университет имени Х.М. Бербекова
Email: mkarmokov@yandex.ru
ORCID iD: 0000-0001-5189-6538
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики
Россия, г. НальчикФатима Мухамедовна Нахушева
Кабардино-Балкарский государственный университет имени Х.М. Бербекова
Email: fatima-nakhusheva@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-3750-1445
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики
Россия, г. НальчикСакинат Хасановна Геккиева
Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН
Автор, ответственный за переписку.
Email: gekkieva_s@mail.ru
ORCID iD: 0000-0002-2135-2115
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики
Россия, г. НальчикСписок литературы
- Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. Москва: Наука, 2012. 232 с. URL: https://djvu.online/file/GKTM9Py0MW2jl; https://elibrary.ru/item.asp?id=20886619. EDN: https://elibrary.ru/rpbpqz.
- Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. Москва: Высшая школа, 1995. 301 с. URL: https://djvu.online/file/vpPGn035lVZDw; https://elibrary.ru/item.asp?id=17961016. EDN: https://elibrary.ru/pdbbnb.
- Нахушев А.М. О задаче Дарбу для одного вырождающегося нагруженного интегро-дифференциального уравнения второго порядка // Дифференц. уравнения. 1976. T. 12, № 1. С. 103–108. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=17962290. EDN: https://elibrary.ru/pdbujb.
- Кармоков М.М. Локальные и нелокальные краевые задачи для разрывно-нагруженных параболических уравнений: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 1991. 87 с.
- Кармоков М.М., Нахушева Ф.М., Абрегов М.Х. Краевая задача для нагруженного параболического уравнения дробного порядка // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2024. № 1 (117). С. 69–77. DOI: https://doi.org/10.35330/1991-6639-2024-26-1-69-77. EDN: https://elibrary.ru/mpqwls.
- Кожанов А.И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004. Т. 7, № 1 (17). С. 51–60. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=9484458. EDN: https://elibrary.ru/hzogql.
- Кожанов А.И. О разрешимости краевой задачи с нелокальным граничным условием для линейных параболических уравнений // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2004. № 30. С. 63–69. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=8819437. EDN: https://elibrary.ru/hkzxbd.
- Дикинов Х.Ж., Керефов А.А., Нахушев А.М. Об одной краевой задаче для нагруженного уравнения теплопроводности // Дифференц. уравнения. 1976. T. 12, № 1. С. 177–179. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=17873091. EDN: https://elibrary.ru/pbdavt.
- Псху А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. Москва: Наука, 2005. 199 с. URL: https://libcats.org/book/729565.
- Геккиева С.Х. Смешанные краевые задачи для нагруженного диффузионно-волнового уравнения // Научные ведомости БелГУ. Серия: Математика. Физика. 2016. № 6 (227). Вып. 42. С. 32–35. URL: http://dspace.bsuedu.ru/handle/123456789/59383.
- Бейлин А.Б., Богатов А.В., Пулькина Л.С. Задача с нелокальными условиями для одномерного параболического уравнения // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2022. Т. 26, № 2. С. 380–395. DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1904. EDN: https://www.elibrary.ru/USPHOK.
- Кожанов А.И., Ашурова Г.Р. Параболические уравнения с вырождением и неизвестным коэффициентом // Математические заметки СВФУ. 2024. Т. 31, № 1. С. 56–69. DOI: https://doi.org/10.25587/2411-9326-2024-1-56-69. EDN: https://elibrary.ru/ndfvwu.
- Богатов А.В., Пулькина Л.С. Разрешимость обратной коэффициентной задачи с интегральным переопределением для одномерного параболического уравнения // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2022. Т. 28, № 3–4. С. 7–17. DOI: https://doi.org/10.18287/2541-7525-2022-28-3-4-7-17.
- Нахушева Ф.М., Лафишева М.М., Кармоков М.М., Джанкулаева М.А. Численный метод решения краевой задачи для параболического уравнения с дробной производной по времени с сосредоточенной теплоемкостью // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2018. № 5 (85). С. 34–43. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=36394362. EDN: https://elibrary.ru/vlmusb.
- Бештоков М.Х., Водахова В.А., Исакова М.М. Приближенное решение первой краевой задачи для нагруженного уравнения теплопроводности // Математическая физика и компьютерное моделирование. 2023. Т. 26, № 4. С. 5–17. DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2023.4.1. EDN: https://elibrary.ru/cosaev.
- Pogorzelski W. Etude de la solution fondamentale de l’equation parabolique // Ricerche di Matematica. 1956. Vol. 5. P. 25–57. URL: https://zbmath.org/0072.10301.
- Ильин А.М., Калашников А.С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи математических наук. 1962. Т. 17, № 3 (105). С. 31–46. URL: https://www.mathnet.ru/rus/rm6495.
Дополнительные файлы
