On the rate of absorption of inviscid liquid into the soil

封面

如何引用文章

全文:

详细

The absorption of an inviscid liquid into a porous soil is considered. It is shown that even in the case of zero viscosity, the porous medium exerts some resistance to liquid absorption, that is, the absorption time of the inviscid liquid into the porous soil turns out to be non-zero in contradiction with Darcy’s theory. Nevertheless, in most practically important cases, the absorption time of an inviscid liquid turns out to be negligible in comparison with Darcy’s theory. The conclusion is made about the applicability of Darcy’s theory for calculating the absorption of liquid into the soil.

全文:

Одним из важных и до сих пор недостаточно хорошо изученных источников загрязнения окружающей среды является фильтрация загрязненной воды и иных жидких загрязнений с поверхности грунта в его объем [1‒5]. Речь идет не только о впитывании жидкости, уже разлитой по поверхности грунта, но и о впитывании жидкости, падающей на грунт с некоторой высоты.

Общеизвестной теоретической основой для изучения фильтрации жидкостей в пористой среде является уравнение Дарси [6, 7], одним из недостатков которого является игнорирование инертности жидкости. В рамках этого уравнения предполагается, что в каждый момент времени имеет место равновесие между градиентом давления, силой тяжести и силой вязкого трения, действующей со стороны пористого грунта на просачивающуюся в пористом грунте жидкость. По существу, уравнение Дарси можно рассматривать как приближение вязкой безынерционной жидкости.

Ограниченность уравнения Дарси легко понять, рассмотрев в рамках этого уравнения фильтрацию жидкости с нулевой вязкостью. Для такой жидкости коэффициент фильтрации [6, 7C=kρgμ (k ‒ коэффициент проницаемости грунта, ρ и µ ‒ плотность и вязкость жидкости, g ‒ ускорение свободного падения) обращается в бесконечность и любая фильтрация (в том числе и инфильтрация жидкости в грунт) должна происходить мгновенно. Ясно, что этого не происходит.

Для выяснения вопроса о том, оказывает ли пористый грунт какое-либо сопротивление инфильтрации жидкости, не связанное с ее вязкостью, можно рассмотреть вопрос об инфильтрации невязкой жидкости в пористый грунт. Разумеется, любая реальная жидкость имеет и инертность, и вязкость. Тем не менее предварительное рассмотрение идеализированного случая жидкости с нулевой вязкостью является необходимой предварительной стадией для изучения общего случая вязкой и одновременно инертной жидкости.

В данной работе рассмотрена одномерная задача об инфильтрации в пористый грунт плоского слоя падающей на грунт невязкой жидкости.

Пусть на слой грунта с пористостью m с высоты hпад падает слой жидкости толщиной h0 (рис. 1). Очевидно, в момент контакта с грунтом (t = 0) его скорость будет равна u0=2ghпад и начнется инфильтрация в грунт. Обозначим h(t) ‒ толщину слоя жидкости на грунте, l(t) ‒ толщину слоя насыщенного жидкостью грунта, u(t)=dh(t)dt ‒ скорость движения верхней границы жидкости на грунте (она же – скорость фильтрации жидкости в грунте) в момент времени t (рис. 2). Из уравнения непрерывности очевидно, что

h(t)+ml(t)=h0 (1)

и что скорость движения жидкости в грунте равна u(t) / m.

 

Рис. 1. Геометрия задачи

Fig. 1. Geometry of the problem

 

Рис. 2. Зависимость нормированного времени впитывания невязкой жидкости τвп(xпадm) от нормированной высоты падения слоя жидкости xпад при различных значениях пористости среды m. Сплошной линией показаны результаты численного счета по формуле (6), штриховой – результаты приближенной аналитической формулы (7)

Fig. 2. Dependence of the normalized absorption time τвп(xпадm) of an inviscid liquid on the normalized drop height of the liquid layer at different porosity values m of the medium. The solid line shows the results of the numerical calculation according to the formula (6), the dashed line shows the results of the approximate analytical formula (7)

 

Поскольку мы рассматриваем случай невязкой жидкости, суммарная (кинетическая +потенциальная) энергия слоя жидкости на грунте и в грунте постоянна и равна начальной энергии слоя жидкости. С ходом времени жидкость опускается, ее потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается. Поэтому «в среднем» скорость жидкости возрастает. Тем не менее, как будет показано ниже, пористая среда оказывает даже на невязкую жидкость некоторое тормозящее влияние. Действительно, с использованием закона сохранения энергии для скорости движения жидкости на грунте имеем

u(t)=g2hпад+h0h0gh2(h0h)2mh+h0hm2(1)

При h(t) → 0 (момент окончательного впитывания слоя)

uu1=mg2hпад+h0+gh0/m (2)

Нетрудно заметить, что эта скорость меньше (при пористости среды меньше 1) той скорости, которую имела бы жидкость в случае свободного падения (при 100 %-й пористости среды). С другой стороны, в тот же самый момент времени скорость жидкости в порах среды

u1/m=g2hпад+h0+gh0/m(3)

напротив, больше скорости свободно падающей жидкости.

Учитывая, что u(t)=dh(t)dt , нетрудно записать дифференциальное уравнение для временной зависимости толщины слоя жидкости на грунте

dhdt=g2hпад+h0h0gh2(h0h)2mh+h0hm2 (4)

Учитывая, что в момент впитывания (tвпh(t) = 0, для времени впитывания из (4) имеем

tвп=0h0h+h0hm2g2hпад+h0h0gh2(h0h)2mdh(5)

Введя безразмерное время впитывания τвп=tвпg/2h0 и безразмерную толщину слоя жидкости x = h / h0, окончательно имеем

τвп(xпад,m)=01x+1xm24xпад+22x2(1x)2mdx (6)

Графики зависимости функции τвп(xпадm) от нормированной высоты падения xпад при m = 0,1; 0,2; 0,4; 0,8; приведены на рис. 2. Видно, что с ростом высоты падения жидкости время впитывания плавно снижается.

В предельном случае большой высоты падения (xпад >> 1) вместо (6) можно использовать приближенную формулу

τвп(xпад,m)=13xпад+121+1m+m2 (7)

Сравнение формулы (7) с результатами численного счета по формуле (6) также проведено на рис. 2. Видно, что при xпад > 2 приближенную формулу (7) можно использовать для оценок. Для ненормированного времени впитывания при xпад >> 1 из (7) следует

tвп(hпад,m)=h032ghпад1+1m+m2 (8)

т. е. время впитывания прямо пропорционально исходной толщине слоя жидкости и обратно пропорционально квадратному корню высоты падения жидкости.

Для времени впитывания слоя жидкости, в начальный момент лежащего на грунте τвп(0, m), из (6) имеем

τвп(0,m)=01x+1xm222x2(1x)2mdx (9)

График функции τвп(0, m) в зависимости от пористости жидкости m приведен на рис. 3.

 

Рис. 3. Зависимость нормированного времени впитывания невязкой жидкости τвп(0, m) от пористости среды m . Сплошной линией показаны результаты численного счета по формуле (9), штриховой – результаты приближенной аналитической формулы (10)

Fig. 3. Dependence of the normalized absorption time τвп(0, m) of an inviscid liquid on the porosity m of the medium. The solid line shows the results of the numerical calculation according to the formula (9), the dashed line shows the results of the approximate analytical formula (10)

 

В предельном случае  0 имеем

τвп(0,m)2/m (10)

Из рис. 3 видно, что для грубых оценок асимптотическая формула (10) может использоваться при любом значении пористости грунта.

Отметим, что функция τвп(0, m) зависит только от пористости грунта m и не зависит от толщины слоя жидкости. Поэтому время впитывания

tвп=τвп(0,m)2h0/g (11)

зависит от исходной толщины слоя жидкости по закону квадратного корня, в отличие от линейной зависимости времени впитывания от глубины лужи в рамках закона Дарси [8, 9]:

tвп=(h0/C)11m1+mlnm1m (12)

где С ‒ коэффициент фильтрации или любых его «квазистационарных» обобщений (типа закона фильтрации Форхгеймера [6, 7]). Поэтому при достаточно малой исходной толщине слоя жидкости время впитывания в основном должно контролироваться динамическими эффектами, а при достаточно большой – вязкостью.

В таблице приведены расчеты времени впитывания 10-сантиметрового слоя воды в различные типы грунтов в соответствии с теорией Дарси [8, 9] и в соответствии с формулами (9),(11) для жидкости с нулевой вязкостью. Нетрудно заметить, что время впитывания невязкой жидкости гораздо меньше, чем время впитывания по теории Дарси.

 

Время впитывания в грунт воды из «стандартной лужи» глубиной 10 см

Time of water absorption into the ground from a “standard puddle” 10 cm deep

Тип грунта

Коэффициент фильтрации

Пористость

Время впитывания по теории Дарси

Время впитывания невязкой жидкости, с

Щебень гранитный 40×70 мм

0,01

0,46

6 с

0,19

Щебень гранитный 20×40 мм

0,004

0,452

16 с

0,19

Щебень гранитный 5×20 мм

1,80E-03

0,448

35 с

0,19

Кварцевый песок 2–3 мм

1,00E-03

0,3

1 мин 9 с

0,23

Речной песок 1 мм

5,10E-04

0,15

2 мин 33 с

0,35

Супесь

4,00E-06

0,6

4 ч 4 мин

0,17

Суглинок

2,20E-06

0,75

6 ч 55 мин

0,16

Глина

2,30E-08

0,5

741 ч

0,18

 

Выводы: 1. Пористая среда с пористостью менее 100 % оказывает некоторое сопротивление впитыванию жидкости даже в том случае, когда вязкость жидкости равна 0 и по теории Дарси впитывание должно осуществляться мгновенно.

2. Для большинства практически важных грунтов основная часть сопротивления грунта впитыванию жидкости все-таки связана с ее вязкостью и потому может приближенно рассчитываться по теории Дарси.

×

作者简介

Nikolay Bukhman

Samara State Technical University

编辑信件的主要联系方式.
Email: nik3141rambler@rambler.ru

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Professor of the Physics Chair, Professor of the Structural Mechanics, Engineering Geology, Foundations and Foundations Chair

俄罗斯联邦, 443100, Samara, Molodogvardeiskaya st., 244

Lyubov Bukhman

Samara State Technical University

Email: liubov1967@list.ru

Senior Lecturer of the Structural Mechanics, Engineering Geology, Foundations and Foundations Chair, College Teacher SamSTU

俄罗斯联邦, 443100, Samara, Molodogvardeiskaya st., 244

参考

  1. Strelkov A.K., Teplykh S.Yu., Gorshkalev P.A., Sargsyan A.M. Environmental assessment of the technical right-of-way. Put’ i putevoe hozjajstvo [Track and Track Facilities], 2014, no. 3, pp. 31‒34. (in Russian)
  2. Strelkov A.K., Teplykh S.Yu., Gorshkalev P.A., Sargsyan A.M. Environmental aspects of the impact of surface wastewater from railway stations. Gradostroitel’stvo i arhitektura [Urban Planning and Architecture], 2013, no. S4(13), pp. 83‒88. (in Russian)
  3. Strelkov A.K., Teplykh S.Yu., Bukhman N.S., Sargsyan A.M. Analysis and characteristics of surface runoff filtration in the ballast prism of the railway track. Vodosnabzhenie i sanitarnaja tehnika [Water Supply and Sanitary Equipment], 2015, no. 12, pp. 63‒72. (in Russian)
  4. Strelkov A.K., Teplykh S.Yu., Gorshkalev P.A. Influence of economic activity on the qualitative composition of surface watercourses. Vodosnabzhenie i sanitarnaja tehnika [Water Supply and Sanitary Equipment], 2014, no. 8, pp. 21–26. (in Russian)
  5. Strelkov A.K., Teplykh S.Yu., Gorshkalev P.A., Sargsyan A.M. The current state of the issue of collecting and cleaning surface runoff from the railway. Nauchnoe obozrenie [Scientific Review], 2014, no. 4, pp. 123–129. (in Russian)
  6. Leontiev N.E. Osnovy teorii fil’tracii [Fundamentals of filtration theory]. Moscow, Publishing house of the Center of applied researches at the MSU Faculty of Mechanics and Mathematics, 2009. 88 p.
  7. Masket M. Techenie odnorodnyh zhidkostej v poristoj srede. Institut komp’juternyh issledovanij [Flow of homogeneous liquids in a porous medium. Institute for Computer Studies]. Moscow-Izhevsk: SIC «Regular and chaotic dynamics», 2004. 628 p.
  8. Bukhman N.S., Teplykh S.Yu., Bukhman L.M. Dynamics of absorption of liquid contaminants into porous soil. Problemy sbora, podgotovki i transporta nefti i nefteproduktov [Problems of collection, treatment and transportation of oil and petroleum products], 2021, no. 4(132), pp. 51‒59. (in Russian)
  9. Bukhman N.S., Teplykh S.Yu., Bukhman L.M. on the linear dependence of the time of fluid accumulation absorption on the height of its layer on the soil surface. Privolzhskij nauchnyj zhurnal [Volga Scientific Journal], 2022, no. 4(64), pp. 73‒78. (in Russian)

补充文件

附件文件
动作
1. JATS XML
2. Fig. 1. Geometry of the problem

下载 (109KB)
3. Fig. 2. Dependence of the normalized absorption time τвп(xпад, m) of an inviscid liquid on the normalized drop height of the liquid layer at different porosity values m of the medium. The solid line shows the results of the numerical calculation according to the formula (6), the dashed line shows the results of the approximate analytical formula (7)

下载 (79KB)
4. Fig. 3. Dependence of the normalized absorption time τвп(0, m) of an inviscid liquid on the porosity m of the medium. The solid line shows the results of the numerical calculation according to the formula (9), the dashed line shows the results of the approximate analytical formula (10)

下载 (61KB)

版权所有 © Bukhman N.S., Bukhman L.M., 2025

Creative Commons License
此作品已接受知识共享署名-非商业性使用-禁止演绎 4.0国际许可协议的许可。

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».