On the rate of absorption of inviscid liquid into the soil

全文:

Одним из важных и до сих пор недостаточно хорошо изученных источников загрязнения окружающей среды является фильтрация загрязненной воды и иных жидких загрязнений с поверхности грунта в его объем [1‒5]. Речь идет не только о впитывании жидкости, уже разлитой по поверхности грунта, но и о впитывании жидкости, падающей на грунт с некоторой высоты.

Общеизвестной теоретической основой для изучения фильтрации жидкостей в пористой среде является уравнение Дарси [6, 7], одним из недостатков которого является игнорирование инертности жидкости. В рамках этого уравнения предполагается, что в каждый момент времени имеет место равновесие между градиентом давления, силой тяжести и силой вязкого трения, действующей со стороны пористого грунта на просачивающуюся в пористом грунте жидкость. По существу, уравнение Дарси можно рассматривать как приближение вязкой безынерционной жидкости.

Ограниченность уравнения Дарси легко понять, рассмотрев в рамках этого уравнения фильтрацию жидкости с нулевой вязкостью. Для такой жидкости коэффициент фильтрации [6, 7] $C=\frac{k\rho g}{\mu }$ (k ‒ коэффициент проницаемости грунта, ρ и µ ‒ плотность и вязкость жидкости, g ‒ ускорение свободного падения) обращается в бесконечность и любая фильтрация (в том числе и инфильтрация жидкости в грунт) должна происходить мгновенно. Ясно, что этого не происходит.

Для выяснения вопроса о том, оказывает ли пористый грунт какое-либо сопротивление инфильтрации жидкости, не связанное с ее вязкостью, можно рассмотреть вопрос об инфильтрации невязкой жидкости в пористый грунт. Разумеется, любая реальная жидкость имеет и инертность, и вязкость. Тем не менее предварительное рассмотрение идеализированного случая жидкости с нулевой вязкостью является необходимой предварительной стадией для изучения общего случая вязкой и одновременно инертной жидкости.

В данной работе рассмотрена одномерная задача об инфильтрации в пористый грунт плоского слоя падающей на грунт невязкой жидкости.

Пусть на слой грунта с пористостью m с высоты h_пад падает слой жидкости толщиной h₀ (рис. 1). Очевидно, в момент контакта с грунтом (t = 0) его скорость будет равна $u_0=\sqrt{2g{h}_{пад}}$ и начнется инфильтрация в грунт. Обозначим h(t) ‒ толщину слоя жидкости на грунте, l(t) ‒ толщину слоя насыщенного жидкостью грунта, $u\left(t\right)=-\frac{dh\left(t\right)}{dt}$ ‒ скорость движения верхней границы жидкости на грунте (она же – скорость фильтрации жидкости в грунте) в момент времени t (рис. 2). Из уравнения непрерывности очевидно, что

$h\left(t\right)+ml\left(t\right)=h_0$ (1)

и что скорость движения жидкости в грунте равна u(t) / m.

 

Рис. 1. Геометрия задачи

Fig. 1. Geometry of the problem

 

Рис. 2. Зависимость нормированного времени впитывания невязкой жидкости τ_вп(x_пад, m) от нормированной высоты падения слоя жидкости x_пад при различных значениях пористости среды m. Сплошной линией показаны результаты численного счета по формуле (6), штриховой – результаты приближенной аналитической формулы (7)

Fig. 2. Dependence of the normalized absorption time τ_вп(x_пад, m) of an inviscid liquid on the normalized drop height of the liquid layer at different porosity values m of the medium. The solid line shows the results of the numerical calculation according to the formula (6), the dashed line shows the results of the approximate analytical formula (7)

 

Поскольку мы рассматриваем случай невязкой жидкости, суммарная (кинетическая +потенциальная) энергия слоя жидкости на грунте и в грунте постоянна и равна начальной энергии слоя жидкости. С ходом времени жидкость опускается, ее потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается. Поэтому «в среднем» скорость жидкости возрастает. Тем не менее, как будет показано ниже, пористая среда оказывает даже на невязкую жидкость некоторое тормозящее влияние. Действительно, с использованием закона сохранения энергии для скорости движения жидкости на грунте имеем

$u\left(t\right)=-\sqrt{\frac{g\left(2h_{пад}+h_0\right)h_0-g\left(h^2-\frac{{(h_0-h)}^2}{m}\right)}{h+\frac{h_0-h}{m^2}}}$(1)

При h(t) → 0 (момент окончательного впитывания слоя)

$u\equiv u_1=m\sqrt{g\left(2h_{пад}+h_0\right)+g{h}_0/m}$ (2)

Нетрудно заметить, что эта скорость меньше (при пористости среды меньше 1) той скорости, которую имела бы жидкость в случае свободного падения (при 100 %-й пористости среды). С другой стороны, в тот же самый момент времени скорость жидкости в порах среды

$u_1/m=\sqrt{g\left(2h_{пад}+h_0\right)+g{h}_0/m}$(3)

напротив, больше скорости свободно падающей жидкости.

Учитывая, что $u\left(t\right)=-\frac{dh\left(t\right)}{dt}$ , нетрудно записать дифференциальное уравнение для временной зависимости толщины слоя жидкости на грунте

$\frac{dh}{dt}=-\sqrt{\frac{g\left(2h_{пад}+h_0\right)h_0-g\left(h^2-\frac{{(h_0-h)}^2}{m}\right)}{h+\frac{h_0-h}{m^2}}}$ (4)

Учитывая, что в момент впитывания (t_вп) h(t) = 0, для времени впитывания из (4) имеем

$t_{вп}=\underset{0}{\overset{h_0}{\int }}\sqrt{\frac{h+\frac{h_0-h}{m^2}}{g\left(2h_{пад}+h_0\right)h_0-g\left(h^2-\frac{{(h_0-h)}^2}{m}\right)}}dh$(5)

Введя безразмерное время впитывания ${\tau }_{вп}=t_{вп}\sqrt{g/2h_0}$ и безразмерную толщину слоя жидкости x = h / h₀, окончательно имеем

${\tau }_{вп}(x_{пад},m)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\frac{x+\frac{1-x}{m^2}}{\left(4x_{пад}+2\right)-2\left(x^2-\frac{{(1-x)}^2}{m}\right)}}dx$ (6)

Графики зависимости функции τ_вп(x_пад, m) от нормированной высоты падения x_пад при m = 0,1; 0,2; 0,4; 0,8; приведены на рис. 2. Видно, что с ростом высоты падения жидкости время впитывания плавно снижается.

В предельном случае большой высоты падения (x_пад >> 1) вместо (6) можно использовать приближенную формулу

${\tau }_{вп}(x_{пад},m)=\frac{1}{3\sqrt{x_{пад}+\frac{1}{2}}}\left(1+\frac{1}{m+m^2}\right)$ (7)

Сравнение формулы (7) с результатами численного счета по формуле (6) также проведено на рис. 2. Видно, что при x_пад > 2 приближенную формулу (7) можно использовать для оценок. Для ненормированного времени впитывания при x_пад >> 1 из (7) следует

$t_{вп}(h_{пад},m)=\frac{h_0}{3}\sqrt{\frac{2}{g{h}_{пад}}}\left(1+\frac{1}{m+m^2}\right)$ (8)

т. е. время впитывания прямо пропорционально исходной толщине слоя жидкости и обратно пропорционально квадратному корню высоты падения жидкости.

Для времени впитывания слоя жидкости, в начальный момент лежащего на грунте τ_вп(0, m), из (6) имеем

${\tau }_{вп}\left(\mathrm{0,}m\right)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{\frac{x+\frac{1-x}{m^2}}{2-2\left(x^2-\frac{{(1-x)}^2}{m}\right)}}dx$ (9)

График функции τ_вп(0, m) в зависимости от пористости жидкости m приведен на рис. 3.

 

Рис. 3. Зависимость нормированного времени впитывания невязкой жидкости τ_вп(0, m) от пористости среды m . Сплошной линией показаны результаты численного счета по формуле (9), штриховой – результаты приближенной аналитической формулы (10)

Fig. 3. Dependence of the normalized absorption time τ_вп(0, m) of an inviscid liquid on the porosity m of the medium. The solid line shows the results of the numerical calculation according to the formula (9), the dashed line shows the results of the approximate analytical formula (10)

 

В предельном случае m → 0 имеем

${\tau }_{вп}\left(\mathrm{0,}m\right)\to \sqrt{2/m}\to \infty$ (10)

Из рис. 3 видно, что для грубых оценок асимптотическая формула (10) может использоваться при любом значении пористости грунта.

Отметим, что функция τ_вп(0, m) зависит только от пористости грунта m и не зависит от толщины слоя жидкости. Поэтому время впитывания

$t_{вп}={\tau }_{вп}\left(\mathrm{0,}m\right)\sqrt{2h_0/g}$ (11)

зависит от исходной толщины слоя жидкости по закону квадратного корня, в отличие от линейной зависимости времени впитывания от глубины лужи в рамках закона Дарси [8, 9]:

$t_{вп}=(h_0/C)\frac{1}{1-m}\left(1+\frac{m\ln m}{1-m}\right)$ (12)

где С ‒ коэффициент фильтрации или любых его «квазистационарных» обобщений (типа закона фильтрации Форхгеймера [6, 7]). Поэтому при достаточно малой исходной толщине слоя жидкости время впитывания в основном должно контролироваться динамическими эффектами, а при достаточно большой – вязкостью.

В таблице приведены расчеты времени впитывания 10-сантиметрового слоя воды в различные типы грунтов в соответствии с теорией Дарси [8, 9] и в соответствии с формулами (9),(11) для жидкости с нулевой вязкостью. Нетрудно заметить, что время впитывания невязкой жидкости гораздо меньше, чем время впитывания по теории Дарси.

 

Время впитывания в грунт воды из «стандартной лужи» глубиной 10 см

Time of water absorption into the ground from a “standard puddle” 10 cm deep

Тип грунта	Коэффициент фильтрации	Пористость	Время впитывания по теории Дарси	Время впитывания невязкой жидкости, с
Щебень гранитный 40×70 мм	0,01	0,46	6 с	0,19
Щебень гранитный 20×40 мм	0,004	0,452	16 с	0,19
Щебень гранитный 5×20 мм	1,80E-03	0,448	35 с	0,19
Кварцевый песок 2–3 мм	1,00E-03	0,3	1 мин 9 с	0,23
Речной песок 1 мм	5,10E-04	0,15	2 мин 33 с	0,35
Супесь	4,00E-06	0,6	4 ч 4 мин	0,17
Суглинок	2,20E-06	0,75	6 ч 55 мин	0,16
Глина	2,30E-08	0,5	741 ч	0,18

 

Выводы: 1. Пористая среда с пористостью менее 100 % оказывает некоторое сопротивление впитыванию жидкости даже в том случае, когда вязкость жидкости равна 0 и по теории Дарси впитывание должно осуществляться мгновенно.

2. Для большинства практически важных грунтов основная часть сопротивления грунта впитыванию жидкости все-таки связана с ее вязкостью и потому может приближенно рассчитываться по теории Дарси.

作者简介

Nikolay Bukhman

Samara State Technical University

编辑信件的主要联系方式.
Email: nik3141rambler@rambler.ru

Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Professor of the Physics Chair, Professor of the Structural Mechanics, Engineering Geology, Foundations and Foundations Chair

俄罗斯联邦, 443100, Samara, Molodogvardeiskaya st., 244

Lyubov Bukhman

Samara State Technical University

Email: liubov1967@list.ru

Senior Lecturer of the Structural Mechanics, Engineering Geology, Foundations and Foundations Chair, College Teacher SamSTU

俄罗斯联邦, 443100, Samara, Molodogvardeiskaya st., 244

参考

补充文件