К теории диффузии инноваций, учитывающей вариации коэффициентов имитации и нелинейный характер насыщения общего объема рынка

Полный текст

Введение

Совершенствование методов прогнозирования освоения рыночного пространства инновационными товарами, обладающими принципиально новыми свойствами, представляет собой одну из наиболее актуальных проблем современной экономической теории.

В условиях динамично изменяющихся рынков и усиления конкуренции разработка точных и надежных инструментов для анализа и прогнозирования процессов диффузии инноваций становится ключевым фактором успешного управления инновационной деятельностью.

Создание новых экономико-математических моделей, способных адекватно отражать реальные процессы распространения инноваций, позволяет решать широкий спектр задач, связанных с оценкой скорости роста продаж инновационных товаров, анализом изменения потребительских предпочтений, учетом влияния расширения или сужения рыночного пространства, а также расчетом параметров захвата рынков новыми продуктами [1–6].

Такие модели являются важным инструментом для принятия стратегических решений в области маркетинга, управления производством и разработки инновационной политики.

В настоящее время широко используются классические модели диффузии инноваций, такие как модель Басса, которые предполагают, что коэффициенты имитации, описывающие рост числа потребителей-имитаторов, являются постоянными величинами.

Кроме того, в этих моделях процесс насыщения рынка часто рассматривается как линейный. Однако такие допущения не всегда соответствуют реальным условиям, особенно в случае товаров с принципиально новыми свойствами, где динамика потребительского поведения может быть нелинейной и зависеть от множества факторов, включая изменение числа потенциальных покупателей, влияние маркетинговых стратегий и внешних экономических условий [7–12].

Разработка новых математических моделей, в которых коэффициенты имитации зависят от числа потребителей-имитаторов, а процесс насыщения рынка описывается нелинейными функциями, позволяет более точно оценивать скорость роста продаж инновационных товаров, прогнозировать показатели захвата рынков, а также рассчитывать временные интервалы стагнации или снижения продаж.

Особенность предлагаемой модели заключается в учете изменения во времени следующих параметров:

• общего числа потенциальных покупателей —в отличие от классических моделей, где этот показатель считается фиксированным, в новой модели он может варьироваться в зависимости от внешних и внутренних факторов;
• числа покупателей-новаторов —потребителей, которые первыми приобретают инновационный товар;
• числа покупателей-имитаторов —потребителей, которые принимают решение о покупке под влиянием других покупателей.

Кроме того, модель способна описывать различные сценарии заполнения рынка инновационным товаром, включая случаи, когда рынок достигает насыщения, а также ситуации, когда наблюдается снижение спроса или стагнация продаж.

Целью данной работы является разработка новой экономико-математической модели диффузии инноваций, которая учитывает нестабильное поведение потребителей и позволяет более точно прогнозировать динамику продаж инновационных товаров.

Модель представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, что позволяет учитывать сложные взаимосвязи между параметрами рынка и поведением потребителей.

Основные преимущества модели:

1. Гибкость —модель позволяет учитывать изменение числа потенциальных покупателей, что делает ее применимой для анализа рынков с нестабильной динамикой.
2. Нелинейность —учет нелинейных процессов насыщения рынка позволяет более точно прогнозировать динамику продаж.
3. Адаптивность —модель может быть адаптирована для анализа различных типов инновационных товаров и рыночных условий.

Разработанная модель может быть использована для:

• прогнозирования динамики продаж инновационных товаров;
• оценки влияния маркетинговых стратегий на процесс диффузии инноваций;
• анализа факторов, влияющих на скорость захвата рынка новыми продуктами;
• принятия решений в области управления инновационной деятельностью и разработки стратегий вывода новых товаров на рынок.

Совершенствование методов прогнозирования освоения рыночного пространства инновационными товарами с принципиально новыми свойствами является важным направлением развития экономической теории.

Разработка новых экономико-математических моделей, учитывающих нелинейные процессы и нестабильное поведение потребителей, позволяет более точно анализировать и прогнозировать динамику продаж, что способствует повышению эффективности управления инновационной деятельностью и укреплению конкурентных позиций компаний на рынке.

Уравнения динамики диффузии инноваций с переменными коэффициентами имитации и нелинейным насыщением общего объема рынка

Пусть на некотором рынке товаров и услуг появляется и распространяется принципиально новый продукт, товар или услуга.

Обозначим общий объем рынка $U_{\infty }$ — общее число потенциальных покупателей рассматриваемого товара, $U\left(t\right)$ — число покупателей этого товара в текущий момент времени $t$.

Ограниченная функция $U\left(t\right)$

$\begin{array}{c}0⩽U\left(t\right)⩽U_{\infty }\end{array}$

непрерывного аргумента $t$ принимается непрерывной и непрерывно дифференцируемой на временном интервале $(0⩽t<\infty )$.

Для составления уравнения динамики диффузии инноваций рассмотрим приращение числа покупателей инновационного товара $\Delta U\left(t\right)=U(t+\Delta )-U\left(t\right)$ за некоторый промежуток времени $\Delta t$, которое можно представить в виде двух слагаемых

$\begin{array}{c}\Delta U\left(t\right)=\Delta U^N\left(t\right)+\Delta U^I\left(t\right) \end{array}$(1)

Здесь $\Delta U^N\left(t\right)$ — частичное приращение числа покупателей-новаторов, ориентирующихся на рекламу и средства массовой информации, за промежуток времени $\Delta t$; $\Delta U^I\left(t\right)$ — частичное приращение числа покупателей-имитаторов, полагающихся на отзывы уже совершивших приобретение людей, за промежуток времени $\Delta t$.

Величины $\Delta U^N\left(t\right)$, $\Delta U^I\left(t\right)$ можно представить в виде

$\left\{\begin{array}{l}\Delta U^N\left(t\right)=A\cdot F\left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)\cdot \Delta t\mathrm{,}\\ \Delta U^I\left(t\right)=B\left(U\left(t\right)\right)\cdot F\left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)\cdot \Delta t\mathrm{.}\end{array}\right.$ (2)

Здесь

$A=a\cdot U_{\infty }$ — фиксированная доля покупателей-новаторов общего числа потенциальных покупателей $U_{\infty }, a$ —постоянный коэффициент инновации;

$B=B\left(U\left(t\right)\right)$ — доля покупателей-имитаторов от числа покупателей уже совершивших покупку $U\left(t\right)$;

$F=F\left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)$ — безразмерная функция, описывающая нелинейный процесс насыщения рынка инновационным товаром.

Подставляя формулы (2) в соотношение (1), находим

$\begin{array}{c}\Delta U\left(t\right)=\left(A+B\left(U\left(t\right)\right)\right)\cdot F\left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)\cdot \Delta t\mathrm{.}\end{array}$ (3)

Переходя в соотношении (3) к пределу при $\Delta t\to 0$, находим нелинейное дифференциальное уравнение

$\begin{array}{c}\frac{dU\left(t\right)}{dt}=\left(A+B\left(U\left(t\right)\right)\right)\cdot F\left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)\mathrm{.}\end{array}$ (4)

Если доля покупателей-имитаторов возрастает пропорционально числу покупателей уже совершивших покупку, то функция $B=b\cdot U$ является линейной относительно переменной $U$, с постоянным коэффициентом имитации $b=const$.

Если процесс роста доли покупателей-имитаторов не является пропорциональным, то функция $B=B\left(U\right)$ будет отклоняться от линейной функции $B=b\cdot U$ либо в сторону увеличения, либо в сторону уменьшения.

Такие отклонения функции доли покупателей-имитаторов $B=B\left(U\right)$ можно описать с помощью величины её эластичности.

Безразмерная величина эластичности доля покупателей-имитаторов $E_B=E_B\left(U\right)$ показывают, на сколько процентов изменится функция $B=B\left(U\right)$, если число покупателей этого товара в текущий момент времени $U$ изменятся на один процент.

Таким образом, функция доли покупателей-имитаторов $B=B\left(U\right)$ удовлетворяет дифференциальному уравнению [5]

$\begin{array}{c}\frac{dB}{dU}\cdot \frac{U}{B}=E_B\left(U\right)\end{array}$ (5)

Начальным условием для уравнения (5) является условие пропорциональности функции $B=B\left(U\right)$ в бесконечно малой окрестности точки $U=0$

${\overline{)\frac{dB}{dU}}}_{U=0}=b$ (6)

Следует отметить, что линейная функция доли покупателей-имитаторов $B=B\left(U\right)$ является решением задачи Коши (5), (6) при единичной эластичности $E_B\left(U\right)\equiv 1$.

Отклонения функции доли покупателей-имитаторов $B=B\left(U\right)$ от линейной зависимости будет только в том случае, когда эластичность $E_B=E_B\left(U\right)$ при увеличении величины $U$ будет изменяться от единичного значения до некоторого постоянного значения $h/$

При значениях $h>1$ функция доли покупателей-имитаторов $B=B\left(U\right)$ будет отклоняться от линейной функции $B=b\cdot U$ в сторону увеличения, при значениях $1<h$ функция доли покупателей-имитаторов $B=B\left(U\right)$ будет отклоняться от линейной функции $B=b\cdot U$ в сторону уменьшения.

В качестве функции эластичности $E_B=E_B\left(U\right)$ примем дробно-линейную функцию

$\begin{array}{c}{E}_B=\frac{h\cdot U+U_H}{U+U_H}\mathrm{.}\end{array}$ (7)

Здесь $U_H$ — значение ресурса $U$, при котором эластичность $E_B=E_B\left(U\right)$ принимает среднее значение $E_B\left(U_H\right)=\frac{1+h}{2}$.

Решениями задач Коши (5), (6) с формулами для эластичности (7) будет функция

$\begin{array}{c}B\left(U\right)=b\cdot U\cdot {\left(\frac{1+U_H}{U+U_H}\right)}^{1-h}\mathrm{.}\end{array}$ (8)

На рис. 1 показаны варианты кривых функции доли покупателей-имитаторов (8) для различных значений параметра $h$.

 

Рис.1: Варианты кривых кривых функции доли покупателей-имитаторов (8) для различных значений параметра h. Штриховая линия соответствует значению параметра h=0.95; сплошная линия соответствует значению параметра h=1.0; штрихпунктирная линия соответствует значению параметра h=1.05.

 

Для пропорционального линейного процесса насыщения рынка инновационным товаром безразмерная функция $F=F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)$ имеет вид [5]

$\begin{array}{c}F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)=1-\frac{U}{U_{\infty }}\mathrm{.}\end{array}$

Следует отметить, что в этом случае при захвате половины рынка $\left(U=\frac{U_{\infty }}{2}\right)$ функция насыщения принимает значение $\left(F=\frac{1}{2}\right)$.

Для непропорционального нелинейного процесса насыщения рынка инновационным товаром безразмерная функция $F=F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)$ в точке $\left(U=\frac{U_{\infty }}{2}\right)$ будет отклоняться от значения $\left(F=\frac{1}{2}\right)$ на некоторую величину $\xi$.

В этом случае функцию $F=F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)$ целесообразно задавать в виде

$\begin{array}{c}F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)=p\cdot {\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)}^2+q\cdot \left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)+1.\end{array}$

Неопределенные коэффициенты $p$ и $q$ являются решениями системы уравнений

$\left\{\begin{array}{l}p+q+1=0,\\ \frac{p}{4}+\frac{q}{2}+1=\frac{1}{2}+\xi \mathrm{,}\end{array}\right.$

и имеют вид

$\left\{\begin{array}{l}p=-4·\xi ,\\ q=4\cdot \xi -1.\end{array}\right.$

Таким образом, безразмерная функция насыщения $F=F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)$ принимает вид

$\begin{array}{c}F\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)=1+\left(4\cdot \xi -1\right)\cdot \left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)-4\cdot \xi \cdot {\left(\frac{U}{U_{\infty }}\right)}^2\mathrm{.}\end{array}$ (9)

На рис.2 показаны варианты кривых безразмерной функции насыщения (9) для различных значений параметра $\xi$.

 

Рис.2: Варианты кривых безразмерной функции насыщения (9) для различных значений параметра ξ. Штриховая линия соответствует значению параметра ξ=-0.1; сплошная линия соответствует значению параметра ξ=1; штрихпунктирная линия соответствует значению параметра ξ=0.15.

 

Подставляя формулы (8) и (9) в уравнение (4), находим

$\begin{array}{c}\frac{dU\left(t\right)}{dt}=\left(a\cdot U_{\infty }+b\cdot U\left(t\right)\cdot {\left(\frac{1+U_H}{U\left(t\right)+U_H}\right)}^{1-h}\right)\times \left(1+\left(4\cdot \xi -1\right)\cdot \left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)-4\cdot \xi \cdot {\left(\frac{U\left(t\right)}{U_{\infty }}\right)}^2\right)\end{array}$ (10)

Начальное условие для уравнения (10) имеет вид

${\overline{)U}}_{t=0}=U\left(0\right)=U_0$ (11)

Очевидно, что если процесс диффузии инноваций наблюдается с самого начала, то $U_0=0$. В противном случае значение $U_0$ может отличаться от нуля.

В общем случае нелинейная задача Коши (10), (11) может быть решена только численно.

Следует отметить, что при $h=1$ и $\xi =0$ уравнение диффузии инноваций (10) совпадает с известным уравнением Ф. Басса [6].

На рис. 3 показаны варианты кривых функции $U=U\left(t\right)$, полученные в результате решения задачи Коши (10) с начальным условием (11) для различных значений параметров $\xi$ и $h$.

 

Рис.3: Варианты кривых кривых функции U=U(t), полученные в результате решения задачи Коши (10) с начальным условием (11) для различных значений параметров ξ и h. Штриховые линии соответствуют значениям параметров h=1, ξ=±0.07; штрихпунктирные линии соответствуют значениям параметров h=1±0.07, ξ=0; тонкие сплошные линии соответствует значениям параметров h=1±0.07, ξ=±0.07; жирная сплошная линия соответствует значениям параметров h=1, ξ=0.

 

Заключение

1. В публикуемой статье предложено обобщение математических моделей диффузии потребительских инноваций на случай переменных коэффициентов имитации и нелинейных вариантов насыщения общего объема рынка.
2. Построено дифференциальное уравнение диффузии потребительских инноваций, учитывающее вариации коэффициента имитации и нелинейность процесса насыщения общего объема рынка.
3. Рассмотрены возможные сценарии развития процесса диффузии инноваций, соответствующие различным комбинациям вариантов изменений переменных коэффициентов имитации с вариантами нелинейных способов насыщения общего объема рынка.
4. Численный анализ разработанной модели показал хорошее соответствие известным статистическим данным роста числа пользователей глобальной сети интернет в России.

 

 Конкурирующие интересы: Конкурирующих интересов нет.

Об авторах

Алёна Юрьевна Егорова

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева

Автор, ответственный за переписку.
Email: egorovaalena@inbox.ru
ORCID iD: 0000-0001-7374-3663

старший преподаватель кафедры математики и бизнес-информатики

Россия, 443086, Самара, Московское шоссе, 34

Леонид Александрович Сараев

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева

Email: saraev_leo@mail.ru
ORCID iD: 0000-0003-3625-5921

доктор физико-математических наук, профессор; профессор кафедры математики и бизнес-информатики

Россия, 443086, Самара, Московское шоссе, 34

Список литературы

Дополнительные файлы