О реализации явных схем Рунге-Кутты с сохранением квадратичных инвариантов динамических систем

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

Авторами реализовано несколько явных схем Рунге-Кутты, которые сохраняют квадратичные инварианты автономных динамических систем в Sage. В статье представлен пакет ex.sage и результаты численных экспериментов. В пакете функции rrk_solve, idt_solve и project_1 построены для случая, когда только один заданный квадратичный инвариант будет сохранён точно. Функция phi_solve_1 позволяет сохранить одновременно два указанных квадратичных инварианта. Для решения уравнений относительно параметров, определяемых законом сохранения, использована методика исключения на основе базисов Грёбнера, реализованная в Sage. В качестве тестового примера представленного пакета используется эллиптический осциллятор. Эта динамическая система имеет два квадратичных инварианта. Представлены численные результаты сравнения стандартного явного метода Рунге-Кутты RK(4,4) с rrk_solve. Кроме того, для функций rrk_solve и idt_solve, сохраняющих только один инвариант, исследовано изменение второго квадратичного инварианта эллиптического осциллятора. В заключение рассматриваются недостатки использования этих схем.

Об авторах

Юй Ин

Университет Кайли

Автор, ответственный за переписку.
Email: yingy6165@gmail.com

Assistant Professor of Department of Algebra and Geometry

Кайли, 556011, Китай

М. Д. Малых

Российский университет дружбы народов

Email: malykh_md@pfur.ru

doctor of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor of Department of Applied Probability and Informatics

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

Список литературы

  1. A. Goriely, Integrability and nonintegrability of dynamical systems. Singapore; River Edge, NJ: World Scientific, 2001. doi: 10.1142/3846.
  2. J. C. Butcher, “On Runge-Kutta processes of high order,” Journal of the Australian Mathematical Society, vol. 4, no. 2, pp. 179-194, 1964. doi: 10.1017/S1446788700023387.
  3. E. Hairer, G. Wanner, and S. P. Nørsett, Solving ordinary differential equations I: Nonstiff Problems, 3rd ed. New York: Springer, 1993, vol. 1. doi: 10.1007/978-3-540-78862-1.
  4. K. Burrage and J. C. Butcher, “Stability criteria for implicit Runge- Kutta methods,” SIAM Journal on Numerical Analysis, vol. 16, no. 1, pp. 46-57, 1979. doi: 10.1137/0716004.
  5. G. Cooper, “Stability of Runge-Kutta methods for trajectory problems,” IMA journal of numerical analysis, vol. 7, no. 1, pp. 1-13, 1987. doi: 10.1093/imanum/7.1.1.
  6. E. Hairer, G. Wanner, and C. Lubich, Geometric numerical integration. Structure-preserving algorithms for ordinary differential equations. Berlin Heidelberg New York: Springer, 2000.
  7. J.-M. Sanz-Serna and M.-P. Calvo, Numerical hamiltonian problems. Courier Dover Publications, 2018.
  8. H. Zhang, X. Qian, J. Yan, and S. Song, “Highly efficient invariantconserving explicit Runge-Kutta schemes for nonlinear Hamiltonian differential equations,” Journal of Computational Physics, p. 109 598, 2020.
  9. W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, et al., Numerical recipes. Cambridge University Press Cambridge, 1989.
  10. N. Del Buono and C. Mastroserio, “Explicit methods based on a class of four stage fourth order Runge-Kutta methods for preserving quadratic laws,” Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 140, pp. 231-243, 2002. doi: 10.1016/S0377-0427(01)00398-3.
  11. M. Calvo, D. Hernández-Abreu, J. I. Montijano, and L. Rández, “On the preservation of invariants by explicit Runge-Kutta methods,” SIAM Journal on Scientific Computing, vol. 28, no. 3, pp. 868-885, 2006. doi: 10.1137/04061979X.
  12. Y. Ying. (2020). “Package ex.sage,” [Online]. Available: https://malykhmd.neocities.org.
  13. Y. S. Sikorsky, Elements of the theory of elliptic functions with applications to mechanics [Elementy teoriy ellipticheskikh funktsiy s prilozheniyami v mekhanike]. Moscow-Leningrad: ONTI, 1936, In Russian.
  14. D. Cox, J. Little, D. O’Shea, and M. Sweedler, “Ideals, varieties, and algorithms,” American Mathematical Monthly, vol. 101, no. 6, pp. 582- 586, 1994.
  15. The Sage Developers, Sagemath, the Sage Mathematics Software System (Version 7.4), https://www.sagemath.org, 2016.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».