Отправить статью по E-mail 
О суммировании рядов Фурье в конечном виде
- Авторы: Малых М.Д.1,2, Малышев К.Ю.1,3
-
Учреждения:
- Российский университет дружбы народов
- Объединённый институт ядерных исследований
- Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
- Выпуск: Том 32, № 4 (2024)
- Страницы: 406-413
- Раздел: Математическое моделирование
- URL: https://journal-vniispk.ru/2658-4670/article/view/316822
- DOI: https://doi.org/10.22363/2658-4670-2024-32-4-406-413
- EDN: https://elibrary.ru/ERLZZM
- ID: 316822
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Задача о суммировании рядов Фурье в конечном виде сформулирована в слабом смысле, что позволяет единообразно рассматривать эту задачу как для сходящихся в классическом смысле рядов, так и для расходящихся. Для рядов c полиномиальными коэффициентами Фурье \(a_n\), \(b_n \in
\mathbb{R}[n]\) доказано, что сумма ряда Фурье может быть представлена как линейная комбинация \(1\), \(\delta(x)\), \(\cot \tfrac{x}{2}\) и их производных. Показано, что это представление может быть найдено за конечное число действий. Для рядов c рациональными коэффициентами Фурье \(a_n\), \(b_n \in
\mathbb{R}(n)\) показано, что сумма такого ряда всегда является решением линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, правая часть которого является линейной комбинацией \(1\), \(\delta(x)\), \(\cot \tfrac{x}{2}\) и их производных. Тем самым вопрос о суммировании рядов Фурье с рациональными коэффициентами сведен к классическому вопросу теории интегрирования в элементарных функциях.
Ключевые слова
Об авторах
М. Д. Малых
Российский университет дружбы народов; Объединённый институт ядерных исследований
Email: malykh_md@pfur.ru
ORCID iD: 0000-0001-6541-6603
Scopus Author ID: 6602318510
ResearcherId: P-8123-2016
Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the department of Mathematical Modeling and Artificial Intelligence of RUDN University, research fellow of MLIT JINR
ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация; ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, 141980, Российская ФедерацияК. Ю. Малышев
Российский университет дружбы народов; Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Автор, ответственный за переписку.
Email: kmalyshev08102@mail.ru
ORCID iD: 0000-0001-8823-9136
Scopus Author ID: 57221615001
PhD student of the chair of Mathematical Modeling and Artificial Intelligence of RUDN University, engineer of Skobeltsyn Institute of Nuclear Physics, Lomonosov Moscow State University
ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация; ул. Ленинские горы, д. 1, стр. 2, Москва, 119991, Российская ФедерацияСписок литературы
- Courant, R. & Hilbert, D. Methods of mathematical physics (Interscience Publishers, New York, 1953).
- Titchmarsh, E. C. Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations (Clarendon press, Oxford, 1962).
- Tikhonov, A. N. & A., S. A. Equations of Mathematical Physics (Dover Publications, inc., New York, 2013).
- Naydyuk F.O.; Pryadiev, V. & Sitnik, S. Laguerre Polynomials in the Forward and Backward Wave Profile Description for the Wave Equation on an Interval with the Robin Condition or the Attached Mass Condition. Math. Notes 115, 789-799 (2024).
- Rykhlov, V. S. Generalized solution of the initial-boundary-value problem for the wave equation with a mixed derivative and a general potential. Russian. Itogi Nauki i Tekhniki. Sovrem. Mat. Pril. Temat. Obz. 232, 99-121 (2024).
- Khromov, A. P. Divergent series and generalized mixed problem for wave equation. Russian. Izv. Saratov Univ. Math. Mech. Inform. 24, 351-358 (2024).
- Dolya, P. G. Solution to the homogeneous boundary value problems of free vibrations of a finite string. Zh. Mat. Fiz. Anal. Geom. 4, 237-251 (2008).
- Lomov, I. Generalized d’Alembert formula for the telegraph equation. Itogi Nauki Tekh. Sovrem. Mat. Pril. Tematich. Obzory 199, 66-79 (2021).
- Krylov, A. N. On some differential equations of mathematical physics (GITTL, Moscow-Leningrad, 1950).
- Khromov, A. P. & Burlutskaya, M. S. Classical solution by the Fourier method of mixed problems with minimum requirements on the initial data. Izv. Saratov Univ. Math. Mech. Inform. 14, 171- 198 (2014).
- Nersessian, A., Poghosyan, A. & Barkhudaryan, R. Convergence acceleration for Fourier series. Izvestiya Natsionalnoi Akademii Nauk Armenii. Matematika 41, 39-51 (2006).
- Nersessian, A. & Poghosyan, A. Accelerating the convergence of trigonometric series. Central European Journal of Mathematics 3, 435-448 (2006).
- Kozlov, V. Euler and mathematical methods in mechanics (on the 300th anniversary of the birth of Leonhard Euler). Russian Math. Surveys 62, 639-661 (2007).
- Reed, M. C. & Simon, B. Methods of Modern Mathematical Physics IV: Analysis of Operators (Academic Press, New York, San Francisko, London, 1978).
- Schwartz, L. Mathematics for the physical sciences (Hermann, Paris, 1966).
- Gelfand, I. M. & Shilov, G. E. Generalized Functions (Academic Press, New-York, London, 1964).
- Bronstein, M. Symbolic Integration I: Transcendental Functions (Springer, Berlin, Heidelberg, 1997).
- Moses, J. Symbolic Integration: The Stormy Decade. Communications of the ACM 14, 548-560 (1971).
- Malyshev, K. & Malykh, M. D. Implementation of A.N. Krylov Series Convergence Acceleration in the CAS Sage. International Conference Polynomial Computer Algebra’2023, 78-79 (2023).
- Malyshev, K. Divergent Fourier Series and Summation in Finite Terms Using the Krylov Method in CAS. International Conference Polynomial Computer Algebra’2024, 100-102 (2024).
Дополнительные файлы
