Алгоритм Кленшоу в задаче интерполяции методом Чебышевской коллокации

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В статье описан метод вычисления интерполяционных коэффициентов разложения по полиномам Чебышева. Метод справедлив, когда искомое функция ограничена и имеет конечное число максимумов и минимумов в конечной области интерполирования. Суть метода состоит в том, что интерполируемая искомая функция может быть представлена в виде разложения по полиномам Чебышева; затем коэффициенты разложения определяются по методу коллокаций сведением задачи к решению хорошо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов. Использование известных полезных свойств полиномов Чебышева позволяет значительно упростить решение задачи интерполяции функций. Изложена методика использования алгоритма Кленшоу для суммирования рядов и определения коэффициентов разложения интерполируемой функции, основанная на дискретной ортогональности полиномов Чебышева 1-го рода.

Об авторах

К. П. Ловецкий

Российский университет дружбы народов

Email: lovetskiy-kp@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-3645-1060

Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

А. А. Тютюнник

Российский университет дружбы народов

Email: tyutyunnik-aa@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-4643-327X

Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

Феликс Жозе Ду Нашсименту Висенте

Российский университет дружбы народов

Email: 1032199092@rudn.ru
student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

Селмилтон Тейшейра Боа Морте

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: 1032199094@rudn.ru

student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

Список литературы

  1. Boyd, J. P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods: Second Revised Edition. Dover Books on Mathematics (Courier Corporation, 2013).
  2. Fornberg, B. A practical guide to pseudospectral methods doi: 10.1017/cbo9780511626357 (Cambridge University Press, 1996).
  3. Mason, J. C. & Handscomb, D. C. Chebyshev Polynomials in Chebyshev Polynomials (Chapman and Hall/CRC Press, 2002).
  4. Orszag, S. A. Comparison of Pseudospectral and Spectral Approximation. Studies in Applied Mathematics 51, 253-259. doi: 10.1002/sapm1972513253 (1972).
  5. Clenshaw, C. W. A note on the summation of Chebyshev series. Mathematics of Computation 9, 118-120. doi: 10.1090/S0025-5718-1955-0071856-0 (1955).
  6. Fox, L. & Parker, I. B. Chebyshev polynomials in numerical analysis (Oxford, 1968).
  7. Shen, Z. & Serkh, K. Is polynomial interpolation in the monomial basis unstable? 2023. doi:10. 48550/arXiv.2212.10519.
  8. Zhang, X. & Boyd, J. P. Asymptotic Coefficients and Errors for Chebyshev Polynomial Approximations with Weak Endpoint Singularities: Effects of Different Bases 2021. doi: 10.48550/arXiv.2103.11841.
  9. Lovetskiy, K. P., Sevastianov, L. A. & Nikolaev, N. E. Regularized Computation of Oscillatory Integrals with Stationary Points. Procedia Computer Science 108, 998-1007. doi: 10.1016/j.procs. 2017.05.028 (2017).
  10. Lovetskiy, K. P., Sevastianov, L. A., Kulyabov, D. S. & Nikolaev, N. E. Regularized computation of oscillatory integrals with stationary points. Journal of Computational Science 26, 22-27. doi:10. 1016/j.jocs.2018.03.001 (2018).
  11. Lovetskiy, K. P., Kulyabov, D. S. & Hissein, A. W. Multistage pseudo-spectral method (method of collocations) for the approximate solution of an ordinary differential equation of the first order. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 30, 127-138. doi: 10.22363/26584670-2022-30-2-127-138 (2022).
  12. Lovetskiy, K. P., Sevastianov, L. A., Hnatič, M. & Kulyabov, D. S. Numerical Integration of Highly Oscillatory Functions with and without Stationary Points. Mathematics 12, 307. doi: 10.3390/math12020307 (2024).
  13. Sevastianov, L. A., Lovetskiy, K. P. & Kulyabov, D. S. An Effective Stable Numerical Method for Integrating Highly Oscillating Functions with a Linear Phase in Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics) 12138 LNCS (2020), 29-43. doi: 10.1007/978-3-030-50417-5_3.
  14. Sevastianov, L. A., Lovetskiy, K. P. & Kulyabov, D. S. Numerical integrating of highly oscillating functions: effective stable algorithms in case of linear phase 2021. doi: 10.48550/arXiv.2104.03653.
  15. Sevastianov, L. A., Lovetskiy, K. P. & Kulyabov, D. S. A new approach to the formation of systems of linear algebraic equations for solving ordinary differential equations by the collocation method. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics 23, 36-47. doi:10. 18500/1816-9791-2023-23-1-36-47 (2023).
  16. Berrut, J. & Trefethen, L. N. Barycentric Lagrange Interpolation. SIAM Review 46, 501-517. doi: 10.1137/S0036144502417715 (2004).
  17. Epperson, J. F. On the Runge Example. The American Mathematical Monthly 94, 329. doi:10. 2307/2323093 (1987).
  18. Amiraslani, A., Corless, R. M. & Gunasingam, M. Differentiation matrices for univariate polynomials. Numerical Algorithms 83, 1-31. doi: 10.1007/s11075-019-00668-z (2020).
  19. Wang, Z. Interpolation using type i discrete cosine transform. Electronics Letters 26, 1170. doi: 10.1049/el:19900757 (1990).
  20. Wang, Z. Interpolation using the discrete cosine transform: reconsideration. Electronics Letters 29, 198. doi: 10.1049/el:19930133 (1993).

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».