Об одном методе исследования самосогласованнойнелинейной краевой задачи на собственные значенияс растущими потенциалами

Один из распространённых методов исследования многочастичных задач в рамках вариационного подхода - переход к нелинейной одночастичной задаче путём введения самосогласованного поля, зависящего от состояний этих частиц. В работе рассматривается нелинейная краевая задача на собственные значения для уравнения Шрёдингера с растущим потенциалом, включающим зависимость от волновой функции и степенную зависимость от координаты , = 1,2,3. . .. При = 2 краевая задача для уравнения Шрёдингера (линейная задача) имеет точное решение. Для чётных степеней n показано,что решения такой задачи можно выразить через решения соответствующей линейной задачи, причём при= 2 решение удаётся получить в явном виде. Получаемый для= 2 набор решений характеризуется эквидистантностью расстояний между соседними собственными значениями. Показано, что решение нелинейной задачи отличается от решения линейной сдвигом собственных значений. В случае потенциала выше квадратичного, появляются новые растущие потенциалы меньшей степени. Для случая нечётных значений обсуждается переход от интегро-дифференциальной формулировки задачи к системе дифференциальных уравнений, которая может быть решена численно на основе метода последовательных приближений, подтвердивший свою эффективность при исследовании модели полярона.