Решение двухточечной задачи ЛОДУ второго порядка построением полной системы решений модифицированным методом Чебышевской коллокации

Обложка

Цитировать

Полный текст

Аннотация

В предыдущих работах мы разработали устойчивый быстрый численный алгоритм для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Метод, основанный на чебышевской коллокации, позволяет одинаково успешно решать как начальные задачи, так и с фиксированным условием в произвольной точке интервала. Алгоритм решения краевой задачи практически реализует однопроходный аналог традиционно применяющегося в таких случаях метода стрельбы (Shooting method). В настоящей работе мы расширяем разработанный алгоритм на класс линейных ОДУ второго порядка. Активное использование метода интегрирующих множителей и метода Даламбера позволяет свести метод решения уравнений второго порядка к последовательности решений пары уравнений первого порядка. Общее решение начальной или краевой задачи для неоднородного уравнения 2-го порядка представляется в виде суммы базисных решений с неизвестными постоянными коэффициентами. Такой подход позволяет обеспечить численную устойчивость, наглядность и простоту алгоритма.

Об авторах

К. П. Ловецкий

Российский университет дружбы народов

Email: lovetskiy-kp@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-3645-1060

Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

М. Д. Малых

Российский университет дружбы народов; Объединённый институт ядерных исследований

Email: malykh-md@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0001-6541-6603
Scopus Author ID: 6602318510
ResearcherId: P-8123-2016

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Head of the Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence of RUDN University

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация; ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, 141980, Российская Федерация

Л. А. Севастьянов

Российский университет дружбы народов; Объединённый институт ядерных исследований

Email: sevastianov-la@rudn.ru
ORCID iD: 0000-0002-1856-4643

Professor, Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Professor at the Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence of RUDN University, Leading Researcher of Bogoliubov Laboratory of Theoretical Physics, Joint Institute for Nuclear Research

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация; ул. Жолио-Кюри, д. 6, Дубна, 141980, Российская Федерация

С. В. Сергеев

Российский университет дружбы народов

Автор, ответственный за переписку.
Email: 1142220124@rudn.ru
ORCID iD: 0009-0004-1159-4745

PhD student of Department of Computational Mathematics and Artificial Intelligence

ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Российская Федерация

Список литературы

  1. Tenenbaum, M. & Pollard, H. Ordinary Differential Equations: An Elementary Textbook for Students of Mathematics, Engineering, and the Sciences (Dover, Mineola, New York, 1986).
  2. Yeomans, J. M. Complex Numbers and Differential Equations. Lecture Notes for the Oxford Physics course 2014.
  3. Binney, J. J. Complex Numbers and Ordinary Differential Equations. Lecture Notes for the Oxford Physics course 2002.
  4. Boyd, J. P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods 2nd. 665 pp. (Dover, Mineola, New York, 2000).
  5. Sevastianov, L. A., Lovetskiy, K. P. & Kulyabov, D. S. Multistage collocation pseudo-spectral method for the solution of the first order linear ODE Russian. in 2022 VIII International Conference on Information Technology and Nanotechnology (ITNT) (2022), 1-6. doi: 10.1109/ITNT55410.2022.9848731.
  6. Lovetskiy, K. P., Kulyabov, D. S., Sevastianov, L. A. & Sergeev, S. V. Multi-stage numerical method of collocations for solving second-order ODEs. Russian. Tomsk State University Journal of Control and Computer Science 2023, 45-52. doi: 10.17223/19988605/63/6 (2023).
  7. Lovetskiy, K. P., Kulyabov, D. S., Sevastianov, L. A. & Sergeev, S. V. Chebyshev collocation method for solving second order ODEs using integration matrices. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 31, 150-163. doi: 10.22363/2658-4670-2023-31-2-150-163 (2023).
  8. Lovetskiy, K. P., Sevastianov, L. A., Kulyabov, D. S. & Nikolaev, N. E. Regularized computation of oscillatory integrals with stationary points. Journal of Computational Science 26, 22-27. doi: 10.1016/j.jocs.2018.03.001 (2018).
  9. Lovetskiy, K. P., Sevastianov, L. A., Hnatič, M. & Kulyabov, D. S. Numerical Integration of Highly Oscillatory Functions with and without Stationary Points. Mathematics 12, 307. doi: 10.3390/math12020307 (2024).
  10. Zill, D. G. & Cullen, M. R. Differential Equations with Boundary-Value Problems. Cengage Learning 2008.
  11. Canuto, C., Hussaini, M. Y., Quarteroni, A. & Zang, T. A. Spectral Methods: Fundamentals in Single Domains (Springer Verlag, 2006).
  12. Mason, J. C. & Handscomb, D. C. Chebyshev polynomials doi: 10.1201/9781420036114 (Chapman and Hall/CRC Press, 2002).
  13. Lovetskiy, K. P., Sergeev, S. V., Kulyabov, D. S. & Sevastianov, L. A. Application of the Chebyshev collocation method tosolve boundary value problems of heat conduction. Discrete and Continuous Models and Applied Computational Science 32, 74-85. doi: 10.22363/2658-4670-2024-32-1-74-85 (2024).
  14. Fornberg, B. A Practical Guide to Pseudospectral Methods (Cambridge University Press, New York, 1996).
  15. Amiraslani, A., Corless, R. M. & Gunasingam, M. Differentiation matrices for univariate polynomials. Numerical Algorithms 83, 1-31. doi: 10.1007/s11075-019-00668-z (2023).
  16. Lebl, J. Notes on Diffy Qs: Differential Equations for Engineers 2024.
  17. Trench, W. F. Elementary Differential Equations with Boundary Value Problems 2013.
  18. Polyanin, A. D. & V.F. Zaitsev, V. F. Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems (CRC Press, Boca Raton-London, 2018).
  19. Schekochihin, A. A. Lectures on ordinary differential equations. Lectures for the Oxford 1st-year undergraduate physics course, paper CP3/4 2018.
  20. Tikhonov, A. N., Vasil’eva, A. B. & Sveshnikov, A. G. Differential Equations (Springer, Berlin, 1985).
  21. Sevastianov, L. A., Lovetskiy, K. P. & Kulyabov, D. S. A new approach to the formation of systems of linear algebraic equations for solving ordinary differential equations by the collocation method. Russian. Izvestiya of Saratov University. Mathematics. Mechanics. Informatics 23, 36-47. doi: 10.18500/1816-9791-2023-23-1-36-47 (2023).

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».