Тензорная линейность двумерных изотропных функций в плоской задаче нелинейной теории упругости
- Авторы: Георгиевский Д.В.1,2,3
-
Учреждения:
- Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
- Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук
- Московский центр фундаментальной и прикладной математики
- Выпуск: Том 516, № 1 (2024)
- Страницы: 47-50
- Раздел: МЕХАНИКА
- URL: https://journal-vniispk.ru/2686-7400/article/view/272098
- DOI: https://doi.org/10.31857/S2686740024030072
- EDN: https://elibrary.ru/JZWZCE
- ID: 272098
Цитировать
Полный текст
Аннотация
Показывается, что нелинейная изотропная тензор-функция второго ранга в двумерном пространстве, являющаяся степенным рядом по своему тензорному аргументу, представима конечным двучленным тензорно линейным соотношением. Приводятся выражения двух коэффициентов этого соотношения через бесконечный набор коэффициентов исходного ряда и два независимые инварианта тензорного аргумента. Применительно к механике сплошной среды устанавливается сводимость определяющих соотношений в плоской задаче тензорно нелинейной теории упругости к тензорно линейной связи соответствующих миноров второго порядка напряжений и деформаций.
Ключевые слова
Полный текст
- Рассмотрим в двумерном пространстве нелинейную изотропную тензор-функцию b(a), представленную в виде степенного ряда по своему единственному аргументу
(1)
где a(x) и b(x) — симметричные тензорные поля второго ранга, I{2} — двумерный единичный тензор второго ранга, — скалярные функции двух независимых инвариантов [1] тензора a. В их качестве выберем Ia1 и Ia2:
(2)
Инварианты Ian, n ≥ 3, алгебраически выражаются через Ia1 и Ia2. Например, для n = 3, 4 имеем
(3)
Выражения (3) следуют из формулы Гамильтона–Кели
(4)
записанной для случая двумерного пространства.
Обозначим через и коэффициенты в двучленном разложении
Согласно (4) запишем
Это приводит к рекуррентной связи
представимой в матричной форме
(5)
Следовательно,
т.е. пара коэффициентов является первым столбцом матрицы (5).
Таким образом, степенной тензорный ряд (1) в двумерном пространстве всегда можно представить в виде тензорно линейной связи
(6)
с двумя скалярными функциями инвариантов Ia1 и Ia2:
- Пусть ряд (1) обратим:
(7)
где — скалярные функции инвариантов Ib1 и Ib2 тензора b, определенных аналогично (2). Проделывая изложенную ранее процедуру для тензорного ряда (7), получим, что он эквивалентен тензорно линейному соотношению
(8)
где
Пары инвариантов (Ia1, Ia2) и (Ib1, Ib2) связаны между собой следующим образом:
а функции , выражаются через , :
Тензор-функции (6) и (8) обладают скалярными потенциалами W(Ia1, Ia2) и w(Ib1, Ib2) такими, что
если выполняются по одному условию потенциальности для каждой из пар и :
- Рассмотрим теперь нелинейную изотропную тензор-функцию σ(ε) в трехмерном пространстве:
(9)
где и (x) — симметричные тензорные поля второго ранга, I{3} — трехмерный единичный тензор второго ранга, C0, C1, C2, A0, A1,... — скалярные функции трех независимых инвариантов Iε1, Iε2 и Iε3 тензора ε, определенных аналогично (2). Выражения, связывающие тройку функций (C0, C1, C2) с бесконечным набором A0, A1,..., приведены в [2]. Тензор-функция (9) моделирует определяющие соотношения между напряжениями и деформациями в трехмерной тензорно нелинейной теории упругости при малых деформациях [3–6].
Остановимся подробнее на плоском деформированном состоянии нелинейно упругой среды, когда в R3 существует такая декартова система координат с ортами e1, e2 и e3, в которой
(10)
Большие латинские индексы здесь и далее пробегают значения 1 и 2, а малые латинские — 1, 2 и 3.
Исходя из формул (3) и (4) для тензоров вида (10) справедливы соотношения
(11)
Поскольку инвариант Iε3 автоматически выражается через Iε1 и Iε2, все функции трех инвариантов в (9) становятся функциями только Iε1 и Iε2, например,
(12)
Аналогичные обозначения со штрихом введем и для других функций C1, C2, A0, A1,....
С учетом (11) и (12) связь σ(ε) (9) переписывается в виде
(13)
Девиаторы напряжений s = σ − Iσ1I{3} / 3 и деформаций e = ε − Iε1I{3} / 3 связаны между собой следующим образом:
Видно, что если только Сʹ2 тождественно не равно нулю, девиаторы непропорциональны, что эквивалентно [7, 8] тензорной нелинейности функции (13) в общем случае.
Однако для плоского деформированного состояния (10) напряжения, связанные с деформациями посредством (9), можно представить как
При этом компонента выражается через два инварианта Ib1 и Ib2 левого верхнего минора b тензора напряжений. Так, в классической плоской задаче теории упругости при плоской деформации, как известно, σ33 = νIb1, где ν — коэффициент Пуассона.
Таким образом, несмотря на тензорную нелинейность общей функции (13) связь миноров a и b представима тензорно линейной функцией (6). Сравнивая соотношения (6) и (13), установим связь пары функций , с тройкой Сʹ0 , Сʹ1, Сʹ2 :
Аналогичные рассуждения и выкладки можно провести для (обобщенного) плоского напряженного состояния и говорить о сводимости плоской задачи тензорно нелинейной теории упругости к тензорно линейной связи соответствующих миноров второго порядка напряжений и деформаций.
Источник финансирования
Работа поддержана Российским научным фондом (грант 24-21-20008).
Об авторах
Д. В. Георгиевский
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова; Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского Российской академии наук; Московский центр фундаментальной и прикладной математики
Автор, ответственный за переписку.
Email: georgiev@mech.math.msu.su
Россия, Москва; Москва; Москва
Список литературы
- Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974. 156 с.
- Георгиевский Д.В. Трехчленные представления степенных тензорных рядов в теории определяющих соотношений // Доклады РАН. Физика, технические науки. 2023. Т. 508. С. 27–29.
- Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: ЛЕНАНД, 2014. 320 с.
- Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 264 с.
- Димитриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. М.: Физматлит, 2009. 624 с.
- Бровко Г.Л. Определяющие соотношения механики сплошной среды. М.: Наука, 2017. 432 с.
- Георгиевский Д.В. Тензорно нелинейные эффекты при изотермическом деформировании сплошных сред // Успехи механики. 2002. Т. 1. № 2. С. 150–176.
- Георгиевский Д.В. Порядок малости эффекта Пойнтинга с позиций аппарата тензорно нелинейных функций // Известия РАН. МТТ. 2018. № 4. С. 29–33.
Дополнительные файлы

Примечание
Представлено академиком РАН В.В.Козловым 28.09.2023 г.