Tensor linearity of two-dimensional isotropic functions in the plane problem of nonlinear theory of elasticity

Full Text

1. Рассмотрим в двумерном пространстве нелинейную изотропную тензор-функцию b(a), представленную в виде степенного ряда по своему единственному аргументу

$b\left(x\right)={\tilde{A}}_0{I}^{\left\{2\right\}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\tilde{A}}_n{a}^n\left(x\right),x\in R^2,$ (1)

где a(x) и b(x) — симметричные тензорные поля второго ранга, I^{2} — двумерный единичный тензор второго ранга, ${\tilde{A}}_0\mathrm{,}{\tilde{A}}_1\mathrm{,}\dots$ — скалярные функции двух независимых инвариантов [1] тензора a. В их качестве выберем I_a1 и I_a2:

$I_{an}=\sqrt[n]{tr{a}^n},n=\mathrm{1,2,}\dots$ (2)

Инварианты I_an, n ≥ 3, алгебраически выражаются через I_a1 и I_a2. Например, для n = 3, 4 имеем

$I_{a3}^3=\frac{1}{2}{I}_{a1}(3I_{a2}^2-I_{a1}^2),I_{a4}^4=\frac{1}{2}(I_{a2}^4+2I_{a1}{I}_{a2}-I_{a1}^4).$ (3)

Выражения (3) следуют из формулы Гамильтона–Кели

$a^2=\frac{1}{2}(I_{a2}^2-I_{a1}^2)I^{\left\{2\right\}}+I_{a1}a,$ (4)

записанной для случая двумерного пространства.

Обозначим через $K_{a0}^n$ и $K_{a1}^n$ коэффициенты в двучленном разложении

Согласно (4) запишем

$a^{n+1}=K_{a0}^{\left(n\right)}a+K_{a1}^{\left(n\right)}\left[\frac{1}{2}(I_{a2}^2-I_{a1}^2)I^{\left\{2\right\}}+I_{a1}a\right].$

Это приводит к рекуррентной связи

$K_{a0}^{(n+1)}=\frac{1}{2}(I_{a2}^2-I_{a1}^2)K_{a1}^{\left(n\right)},K_{a1}^{(n+1)}=K_{a0}^{\left(n\right)}+I_{a1}{K}_{a1}^{\left(n\right)},$

представимой в матричной форме

$\left(\begin{array}{c}{K}_{a0}^{(n+1)}\\ K_{a1}^{(n+1)}\end{array}\right)=Q_a\cdot \left(\begin{array}{c}{K}_{a0}^{\left(n\right)}\\ K_{a1}^{\left(n\right)}\end{array}\right),Q_a=\left(\begin{array}{cc}0& (I_{a2}^2-I_{a1}^2)/2\\ 1& I_{a1}\end{array}\right).$  (5)

Следовательно,

$\left(\begin{array}{c}{K}_{a0}^{\left(n\right)}\\ K_{a1}^{\left(n\right)}\end{array}\right)={Q_a}^n\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),n=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots ,$

т.е. пара коэффициентов $(K_{a0}^{\left(n\right)},K_{a1}^{\left(n\right)})$ является первым столбцом матрицы ${Q_a}^n$ (5).

Таким образом, степенной тензорный ряд (1) в двумерном пространстве всегда можно представить в виде тензорно линейной связи

$b={\tilde{C}}_0{I}^{\left\{2\right\}}+{\tilde{C}}_{1}a$ (6)

с двумя скалярными функциями инвариантов I_a1 и I_a2:

${\tilde{C}}_0=\sum _{n=0}^{\infty }{\tilde{A}}_n{K}_{a0}^{\left(n\right)},{\tilde{C}}_1=\sum _{n=1}^{\infty }{\tilde{A}}_n{K}_{a1}^{\left(n\right)}.$

2. Пусть ряд (1) обратим:

$a\left(x\right)={\tilde{B}}_0{I}^{\left\{2\right\}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\tilde{B}}_n{b}^n\left(x\right),x\in R^2,$ (7)

где ${\tilde{B}}_0,{\tilde{B}}_1,\dots$ — скалярные функции инвариантов I_b1 и I_b2 тензора b, определенных аналогично (2). Проделывая изложенную ранее процедуру для тензорного ряда (7), получим, что он эквивалентен тензорно линейному соотношению

$a={\tilde{D}}_0{I}^{\left\{2\right\}}+{\tilde{D}}_{1}b,$ (8)

где

${\tilde{D}}_0=\sum _{n=0}^{\infty }{\tilde{B}}_n{K}_{b0}^{\left(n\right)},{\tilde{D}}_1=\sum _{n=1}^{\infty }{\tilde{B}}_n{K}_{b1}^{\left(n\right)},$

$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}{K}_{b0}^{\left(n\right)}\\ K_{b1}^{\left(n\right)}\end{array}\right)={Q_b}^n\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),n=\mathrm{0,}\mathrm{1,}\mathrm{2,}\dots ,\\ Q_b=\left(\begin{array}{cc}0& (I_{b2}^2-I_{b1}^2)/2\\ 1& I_{b1}\end{array}\right).\end{array}$

Пары инвариантов (I_a1, I_a2) и (I_b1, I_b2) связаны между собой следующим образом:

$I_{b1}=2{\tilde{C}}_0+I_{a1}{\tilde{C}}_1,I_{b2}^2=2{\tilde{C}}_0^2+2I_{a1}{\tilde{C}}_0{\tilde{C}}_1+I_{a2}^2{\tilde{C}}_1^2,$

а функции ${\tilde{C}}_0(I_{a1},I_{a2})$, ${\tilde{C}}_1{I}_{a1}\mathrm{,}{I}_{a2}$ выражаются через ${\tilde{D}}_0{I}_{b1}\mathrm{,}{I}_{b2}$, ${\tilde{D}}_1{I}_{b1}\mathrm{,}{I}_{b2}$:

Тензор-функции (6) и (8) обладают скалярными потенциалами W(I_a1, I_a2) и w(I_b1, I_b2) такими, что

$b=\frac{\partial W}{\partial I_{a1}}\frac{\partial I_{a1}}{\partial a}+\frac{\partial W}{\partial I_{a2}}\frac{\partial I_{a2}}{\partial a},a=\frac{\partial w}{\partial I_{b1}}\frac{\partial I_{b1}}{\partial b}+\frac{\partial w}{\partial I_{b2}}\frac{\partial I_{b2}}{\partial b},$

если выполняются по одному условию потенциальности для каждой из пар ${\tilde{C}}_0\mathrm{,}{\tilde{C}}_1$ и ${\tilde{D}}_0\mathrm{,}{\tilde{D}}_1$:

$\frac{\partial {\tilde{C}}_0}{\partial I_{a2}}=I_{a2}\frac{\partial {\tilde{C}}_1}{\partial I_{a1}},\frac{\partial {\tilde{D}}_0}{\partial I_{b2}}=I_{b2}\frac{\partial {\tilde{D}}_1}{\partial I_{b1}}.$

3. Рассмотрим теперь нелинейную изотропную тензор-функцию σ(ε) в трехмерном пространстве:

$\begin{array}{c}\sigma \left(x\right)=A_0{I}^{\left\{3\right\}}+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_n{\epsilon }^n\left(x\right)\equiv C_0{I}^{\left\{3\right\}}+C_1\epsilon \left(x\right)+C_2{\epsilon }^2\left(x\right),\\ x\in R^3,\end{array}$  (9)

где $\sigma x$ и (x) — симметричные тензорные поля второго ранга, I^{3} — трехмерный единичный тензор второго ранга, C₀, C₁, C₂, A₀, A₁,... — скалярные функции трех независимых инвариантов I_ε1, I_ε2 и I_ε3 тензора ε, определенных аналогично (2). Выражения, связывающие тройку функций (C₀, C₁, C₂) с бесконечным набором A₀, A₁,..., приведены в [2]. Тензор-функция (9) моделирует определяющие соотношения между напряжениями и деформациями в трехмерной тензорно нелинейной теории упругости при малых деформациях [3–6].

Остановимся подробнее на плоском деформированном состоянии нелинейно упругой среды, когда в R³ существует такая декартова система координат с ортами e₁, e₂ и e₃, в которой

$\epsilon =a_{IJ}{e}_I\otimes e_J,или{\epsilon }_{IJ}=a_{IJ},{\epsilon }_{i3}\equiv 0.$ (10)

Большие латинские индексы здесь и далее пробегают значения 1 и 2, а малые латинские — 1, 2 и 3.

Исходя из формул (3) и (4) для тензоров вида (10) справедливы соотношения

$\begin{array}{c}{I}_{\epsilon 3}^3=\frac{1}{2}{I}_{\epsilon 1}(3I_{\epsilon 2}^2-I_{\epsilon 1}^2),{\epsilon }^2=\frac{1}{2}(I_{\epsilon 2}^2-I_{\epsilon 1}^2)I^{\left\{2\right\}}+I_{\epsilon 1}\epsilon ,\\ {\epsilon }^n={\left({\mathrm{a}}^{\mathrm{n}}\right)}_{\mathrm{IJ}}{e}_I\otimes e_J.\end{array}$(11)

Поскольку инвариант I_ε3 автоматически выражается через I_ε1 и I_ε2, все функции трех инвариантов в (9) становятся функциями только I_ε1 и I_ε2, например,

$C_0(I_{\epsilon 1},I_{\epsilon 2},\sqrt[3]{I_{\epsilon 1}(3I_{\epsilon 2}^2-I_{\epsilon 1}^2)/2)}\equiv {C^{\text{'}}}_0(I_{\epsilon 1},I_{\epsilon 2}).$ (12)

Аналогичные обозначения со штрихом введем и для других функций C₁, C₂, A₀, A₁,....

С учетом (11) и (12) связь σ(ε) (9) переписывается в виде

$\sigma ={C^{\text{'}}}_0{I}^{\left\{3\right\}}+\frac{1}{2}{C^{\text{'}}}_2(I_{\epsilon 2}^2-I_{\epsilon 1}^2)I^{\left\{2\right\}}+({C^{\text{'}}}_1+I_{\epsilon 1}{C^{\text{'}}}_2)\epsilon .$ (13)

Девиаторы напряжений s = σ − I_σ1I^{3} / 3 и деформаций e = ε − I_ε1I^{3} / 3 связаны между собой следующим образом:

$s=({C^{\text{'}}}_1+I_{\epsilon 1}{C^{\text{'}}}_2)e+{C^{\text{'}}}_2(I_{\epsilon 2}^2-I_{\epsilon 1}^2)\left(\frac{1}{2}{I}^{\left\{2\right\}}-\frac{1}{3}{I}^{\left\{3\right\}}\right).$

Видно, что если только Сʹ₂ тождественно не равно нулю, девиаторы непропорциональны, что эквивалентно [7, 8] тензорной нелинейности функции (13) в общем случае.

Однако для плоского деформированного состояния (10) напряжения, связанные с деформациями посредством (9), можно представить как

$\begin{array}{c}\sigma =b_{IJ}{e}_I\otimes e_J+{A^{\text{'}}}_0{e}_3\otimes e_3,\\ èëè{\sigma }_{IJ}=b_{IJ},{\sigma }_{i3}={A^{\text{'}}}_0{\delta }_{i3}.\end{array}$

При этом компонента ${\sigma }_{33}={A^{\text{'}}}_0(I_{\epsilon 1},I_{\epsilon 2})$ выражается через два инварианта I_b1 и I_b2 левого верхнего минора b тензора напряжений. Так, в классической плоской задаче теории упругости при плоской деформации, как известно, σ₃₃ = νI_b1, где ν — коэффициент Пуассона.

Таким образом, несмотря на тензорную нелинейность общей функции (13) связь миноров a и b представима тензорно линейной функцией (6). Сравнивая соотношения (6) и (13), установим связь пары функций ${\tilde{C}}_0$, ${\tilde{C}}_1$ с тройкой Сʹ₀ , Сʹ₁, Сʹ₂ :

${\tilde{C}}_0={C^{\text{'}}}_0+\frac{1}{2}{C^{\text{'}}}_2(I_{\epsilon 2}^2-I_{\epsilon 1}^2),{\tilde{C}}_1={C^{\text{'}}}_1+I_{\epsilon 1}{C^{\text{'}}}_2.$

Аналогичные рассуждения и выкладки можно провести для (обобщенного) плоского напряженного состояния и говорить о сводимости плоской задачи тензорно нелинейной теории упругости к тензорно линейной связи соответствующих миноров второго порядка напряжений и деформаций.

Источник финансирования

Работа поддержана Российским научным фондом (грант 24-21-20008).

About the authors

D. V. Georgievskii

Author for correspondence.
Email: georgiev@mech.math.msu.su
Russian Federation, Moscow; Moscow; Moscow

References

Supplementary files

Presented by Academician of the RAS V.V. Kozlov