Modelling of plates made from bimodular material taking into account elastic-plastic deformations

Толық мәтін

Большинство материалов, например керамика, бетон, резина, графит и некоторые биомедицинские материалы, характеризуются существенным различием пределов прочности материала при действии растягивающих и сжимающих напряжений одинаковой величины. Материал, характеризующийся существенным расхождением значения модуля упругости и коэффициента Пуассона при растяжении и при сжатии, называется бимодульным материалом. В целом в теоретическом анализе инженерных профессий широко используются несколько моделей. Первая модель предложена Bert [1] и основана на критерии положительных/отрицательных знаков продольной деформации волокон. Модель Bert широко используется при анализе ортотропных материалов и слоистых композитов. Вторая модель – модель Амбарцумяна [2], созданная на основе критерия положительных/отрицательных знаков главных напряжений, применима к изотропным материалам. Модель Амбарцумяна имеет особое значение в структурном анализе, поскольку именно этот критерий определяет, является ли определенная точка конструкции растяжением или сжатием. Аналитические решения доступны в нескольких простых случаях, хотя они касаются только отдельных компонентов, например балок и пластинок [3–5]. Существует еще третья упрощенная модель, где определение сжатия и растяжения опирается на знак и величину интенсивности деформации в каждой точке исследуемого объекта. Данный подход реализуется с помощью метода переменных параметров упругости И.А. Биргера [6, 7], доказательство сходимости которого приведено в работе [8]. За счет изменения интенсивности деформации пересчитываются физические константы, такие как модуль Юнга и коэффициент Пуассона, определяющие дальнейшее поведение материала. В этой же работе предлагается учесть смещение нейтральной поверхности [9, 10]. Данные методы просты, но при этом позволяют показать влияние бимодульности и учета смещения нейтральной поверхности на поведение материала. Поэтому они будут рассмотрены в данной работе.

Для нахождения решения, как известно, используются численные и численноаналитические методы. В работе [11] представлен обширный обзор методов упрощения нелинейных дифференциальных уравнений в системы разрешимых уравнений с упором на их надежность, обоснованность, точность и вычислительную эффективность. В обзор включены различные методы, в том числе методы Фурье, методы типа Бубнова–Галёркина (МБГ), вариационные и другие. Количественная оценка и сравнение этих методов были проведены на основе модифицированного конечно-разностного уравнения Жермен–Лагранжа [12], статики пластинок и сопоставлены с точными результатами, полученными с помощью метода Навье. Обоснование вариационных итерационных методов для класса уравнений, описываемых положительно определенными операторами, приведено в работе [11].

В отличие от всех известных подходов в данной работе исследуется влияние бимодульности материала и учета смещения нейтральной поверхности при анализе упругопластических деформаций пластинки под действием равномерно распределенных нагрузок. Задача решается методом вариационных итераций (МВИ) – расширенным методом Канторовича.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим изотропную прямоугольную в плане пластинку с размерами a, b, 2h₀ вдоль осей x, y, z соответственно. Начало координат расположено в левом верхнем углу пластинки в ее срединной поверхности, оси x, y параллельны сторонам пластинки, ось z направлена вниз (рис. 1).

 

Рис. 1. Расчетная схема.

 

В указанной системе координат пластинка как трехмерная область Ω определяется $\Omega =\left\{x,y,z\text{/}(x,y,z)\in \left[\mathrm{0,}a\right]\times \left[\mathrm{0,}b\right]\times [-h_0,h_0]\right\}.$ Срединная поверхность при этом обозначена как $\Gamma =\left\{x,y\text{/}(x,y)\in \left[\mathrm{0,}a\right]\times \left[\mathrm{0,}b\right]\right\}$. В основу построенной математической модели положены следующие гипотезы:

1. Кинематическая модель первого приближения Кирхгофа.
2. Материал, из которого изготовлена пластинка, считается изотропным, но неоднородным; физические константы: модуль Юнга $E(x,y,z,{\epsilon }_0,e_i)$, модуль сдвига $G(x,y,z,{\epsilon }_0,e_i)$, коэффициент объемной деформации $K(x,y,z,{\epsilon }_0,e_i)$, коэффициент Пуассона $\nu (x,y,z,{\epsilon }_0,e_i)$, ${\sigma }_s(x,y,z,{\epsilon }_0,e_i)$, $e_s(x,y,z,{\epsilon }_0,e_i)$– зависят от пространственных координат, интенсивности деформации и объемной деформации.
3. Используется критерий пластичности Мизеса.
4. Учитывается степень свободы перехода от растяжений к сжатию, т.е. учитывается смещение нейтральной поверхности Г.

Из вариации энергии деформации и энергии внешних сил получено уравнение упругопластической пластинки:

$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}{M}_x+2\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}H+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}{M}_y=q\left(x,y\right),$ (1)

где $D_j(x,y)=\underset{-h_0}{\overset{h_0}{\int }}E\left(\frac{z^2{\nu }^{j-1}}{1-{\nu }^2}\right)dz,i=\mathrm{1,2}$,

$D_{20}(x,y)=\underset{-h_0}{\overset{h_0}{\int }}\frac{E}{1+\nu }{z}^{2}dz$, $H=D_{20}\left(x,y\right)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}$,

$M_x=D_1\left(x,y\right)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+D_2\left(x,y\right)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}$,

$M_y=D_2\left(x,y\right)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+D_1\left(x,y\right)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}$.

Полученное уравнение является обобщением уравнения Жермен–Лагранжа.

С помощью безразмерных параметров

$\overline{x}=\frac{x}{a}\text{,}$ $\overline{y}=\frac{y}{b}\text{,}$ $\overline{\text{z}}=\frac{z}{2h_0}\text{,}$ $\overline{w}=\frac{w}{2h_0}\text{,}$ ${\lambda }_1=\frac{a}{2h_0}\text{,}$ ${\lambda }_{\text{2}}=\frac{b}{2h_0}\text{,}$ $\lambda =\frac{a}{b}\text{,}$ $q(x,y)=\frac{G_0}{{\lambda }_1^2{\lambda }_2^2}\text{,}$

${\epsilon }_{xx}={\lambda }_1^{-2}\overline{{\epsilon }_{xx}}\text{,}$ ${\epsilon }_{yy}={\lambda }_2^{-2}\overline{{\epsilon }_{yy}}\text{,}$ ${\epsilon }_{xy}=\lambda {\lambda }_1^{-2}\overline{{\epsilon }_{xy}}\text{,}$ $e_i={\lambda }_1^{-2}\overline{e_i}\text{,}$ $\overline{{\sigma }_{si}}={\sigma }_{si}{G}_0^{-1}{\lambda }_1^{-2}\text{,}$$e_{si}={\lambda }_1^{-2}\overline{e_{si}}\text{,}$

$G=G_0\overline{G}\text{,}$ $K=G_0\overline{K}\text{,}$ $E=G_0\overline{E}\text{,}$ $D_i=G_{0}8h_0^3\overline{D_i}\text{,}$ $D_{20}=G_{0}8h_0^3\overline{D_{20}}$                                   

уравнение (1) записано в безразмерном виде:

$\begin{array}{c}{\lambda }^{-2}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}\left[D_1\left(x,y\right)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+{\lambda }^2{D}_2\left(x,y\right)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}\right]+\\ +{\lambda }^2\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}\left[{\lambda }^{-2}{D}_2\left(x,y\right)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x^2}+D_1\left(x,y\right)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial y^2}\right]+\\ +2\frac{{\partial }^2}{\partial x\partial y}\left[D_{20}\left(x,y\right)\frac{{\partial }^{2}w}{\partial x\partial y}\right]=q\left(x,y\right).\end{array}$ (2)

К уравнению (2) следует присоединить одно из краевых условий: 1) защемление по контуру ${\left.w\right|}_{\Gamma }={\left.\partial w\text{/}\partial n\right|}_{\Gamma }=0$; 2) шарнирное опирание по контуру ${\left.w\right|}_{\Gamma }={\left.{\partial }^{2}w\text{/}\partial n^2\right|}_{\Gamma }=0.$ Возможны другие краевые условия, как однородные, так и неоднородные.

ПРОЦЕДУРА ВЫЧИСЛЕНИЯ

Для решения системы нелинейных уравнений в частных производных (2) применялся МВИ. Эффективность этого метода описана и обсуждена в работах [13–16]. Этот метод является обобщением метода Канторовича–Власова.

Основное внимание исследователей направлено на сравнение и учет смещения нейтральной поверхности и ее искривления [3–5]. С этой целью применялось изменение границ интегрирования в (2) для каждой точки пластинки по x и y. Верхний (h_p) и нижний (h_n) пределы интегрирования определены по формулам

$h_p=\frac{\sqrt{E_n}}{\sqrt{E_n}+\sqrt{E_p}}2h_0,h_n=\frac{\sqrt{E_p}}{\sqrt{E_n}+\sqrt{E_p}}2h_0,$

где 2h₀ – толщина пластины.

При решении уравнения пластинки как трехмерного тела пространство пластинки разбивалось на трехмерную сетку. В узлах сетки определялся модуль Юнга. Модуль Юнга индивидуален в каждой точке пространства за счет пересчета физических параметров с опорой на значения интенсивности деформации, получаемые при решении. После применения МВИ и пересчета физических параметров модуль Юнга не являлся константой по толщине пластинки. В этом случае находился Е_p – среднеарифметический модуль Юнга по толщине в точках, где интенсивность деформации принимала положительные значения. Соответственно, Е_n – модуль, в котором принимались отрицательные значения. Так как h_p + h_n = 2h₀, нахождение новых пределов задавало смещение нейтральной поверхности Г, что для всех точек пластинки по x и y индивидуально, т.е. Г(x, y) – функция от x и y и она является поверхностью. После смены пределов интегрирования пересчитывались E, ν, G.

На рис. 2 представлены графики нагрузка–прогиб в центре пластинки под действием равномерно распределенной нагрузки.

 

Рис. 2. Зависимость q[w(0.5, 0.5)] для пластинки, полученная методами МВИ и МБГ в различных приближениях.

 

Задача решалась двумя методами: методом Бубнова–Галёркина (МБГ) во втором (N = 2), третьем (N = 3) и шестом (N = 6) приближениях и МВИ во втором приближении, тем самым снималась гипотеза Фурье о разделении переменных. Приближение N для МБГ указывает на количество членов ряда N², которые определяют найденное решение. Можно видеть, что решение МБГ при увеличении количества членов ряда сходится к решению найденного МВИ. Также сравнение методов показало, что для расчета поведения пластинки под действием больших нагрузок МБГ сильно уступает в затратах по времени. Например, для нагрузки q = 200 решение МБГ (N = 6) потребовало 147 с, а для МВИ – 20 с. Для дополнительного подтверждения значимости данного метода ранее был представлен ряд сравнений МВИ с другими численными методами [11].

ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Численное исследование проведено для пластинки из серого железа, шарнирно опертой по контуру, при действии равномерно распределенной нагрузки q(x, y) = q. Для моделирования упругопластического изгиба применялись диаграммы ${\sigma }_i\left(e_i\right)$ для бимодульного материала, где e_i – интенсивность деформации. На рис. 3 изображены две аппроксимации зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформации ${\sigma }_i\left(e_i\right)$ для серого железа. Модель 2 взята из работы [17], она построена по точкам с использованием кубической интерполяции. Модель 1 представляет собой аппроксимацию модели 2 в виде ломаных линий, описывающие физические данные аппроксимации представлены в табл. 1. Красными точками обозначен переход от линейной задачи к физически нелинейной (предел деформаций  ${e_{si}^{+}}_{}$– при растяжении, ${e_{si}^{-}}_{}$ – при сжатии).

 

Рис. 3. Зависимость для серого железа для аппроксимации моделей 1 и 2.

 

Таблица 1. Физические константы для аппроксимации зависимости напряжения от деформаций модели 1 [17]

Серое железо	E, МПа	v+	G, МПа	G1, МПа	esi
+ (растяжение)	114000	0.29	44186	4364	3.21×10–3
– (сжатие)	114000	0.29	44186	2181	1.636×10–3

 

На рис. 4 представлены результаты численного эксперимента в виде графиков нагрузка – прогиб в центре. Тип кривой (сплошная линия – модель 1, штриховая – модель 2) определяет используемый тип аппроксимации, соответствующий рис. 3.

 

Рис. 4. Зависимость q[w(0.5, 0.5)] для пластинки из одномодульного и бимодульного материалов и смещения нейтральной поверхности.

 

На рис. 4 цвет кривой указывает учет типа бимодульности. Синий цвет соответствует решению задачи для пластинки из одномодульного материала, красный и зеленый цвета – решению для пластинки из бимодульного материала без учета смещения нейтральной поверхности и с учетом соответственно. Решение задачи для пластинки из одномодульного материала значительно отличается от решений задачи для пластинки из бимодульного материала. Также видно, что присутствует влияние учета смещения нейтральной поверхности. В табл. 2 представлены данные для нагрузки 120, показывающие это влияние.

 

Таблица 2. Сравнение значений w(0.5, 0.5) между различными аппроксимациями с учетом и без учета смещения нейтральной поверхности при q = 120

Сравниваемые величины	Модель 1		Модель 2
	С учетом смещения нейтральной поверхности	Без учета смещения нейтральной поверхности	С учетом смещения нейтральной поверхности	Без учета смещения нейтральной поверхности
w(0.5, 0.5)	0.108840	0.115695	0.129583	0.139040
%	0	6.29	0	7.29
ei(0, 0.5, 1)	7.52627975	7.88271314	8.71190737	9.14242645
%	0	4.73	0	4.94
ei(0, 0.5, –1)	–7.20807024	–8.28402154	–8.34977758	–9.57423535
%	0	14.92	0	14.66
ei(0.5, 0.5, 1)	2.23155298	2.27738092	2.83854833	2.91208290
%	0	2.05%	0	2.59
ei(0, 0.5, –1)	–2.32552900	–2.68600785	–2.86449363	–3.33031129
%	0	15.5	0	16.26

 

С увеличением нагрузки учет физической нелинейности приводит к смещению нейтральной поверхности.

На рис. 5–8 представлены распределения интенсивности деформации e_i по всей пластинке для значения нагрузки q = 120, указанного на рис. 4. На всех рисунках слева изображена пластинка с аппроксимацией, соответствующей сплошной линии графика, а справа – соответствующей штриховой. На рис. 5 представлены распределения e_i в пластинке из одномодульного материала, а на рис. 6–8 показаны распределения e_i в пластинке из бимодульного материала. На рис. 7 и 8 показаны распределения e_i в пластинке из бимодульного материала и с учетом смещения нейтральной поверхности в разной проекции.

 

Рис. 5. Распределение ei в пластинке из одномодульного материала при q = 120 для аппроксимации моделей 1 и 2.

 

Рис. 6. Распределение ei в пластинке из бимодульного материала при q = 120 для аппроксимации моделей 1 и 2.

 

Рис. 7. Распределение ei в пластинке при q = 120 с учетом бимодульности и смещения нейтральной поверхности для аппроксимации моделей 1 и 2.

 

Рис. 8. Смещение нейтральной поверхности.

 

Для визуализации представлены 4 цвета интенсивности деформации e_i, указывающие на величину деформации, превышающую или не превышающую предел деформации. Коричневый цвет обозначает превышение предела прочности при растяжении, оранжевый – интенсивность деформации ниже предела прочности. Для синего и голубого цветов обозначения аналогичны, но только для сжатия. Красная линия обозначает нейтральную поверхность пластинки.

На рис. 8 показано смещение нейтральной поверхности и всех линий интенсивности деформации. За счет физической нелинейности нейтральная поверхность здесь является криволинейной.

ВЫВОДЫ

В работе построена математическая модель напряженно-деформированного состояния пластинок из бимодульного материала с учетом упругопластических деформаций по деформационной теории пластичности.

Предложена общая итерационная процедура решения указанных задач, основанная на МВИ, методе переменных параметров упругости И.А. Биргера, методе Ньютона–Рафсона. Итерационные процедуры вложены одна в другую, для каждой из которых доказана их сходимость. Это дает возможность утверждать, что получены решения, близкие к точным.

Предложенная методология является эффективной с точки зрения точности и быстродействия расчета прямоугольных в плане пластинок при действии поперечной нагрузки.

Выявлено, что нейтральная плоскость является поверхностью разделения зон сжатия и растяжения для прямоугольных в плане пластинок при действии равномерно распределенной нагрузки.

ИСТОЧНИКИ ФИНАНСИРОВАНИЯ

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ (№ 22-71-10083, https://rscf.ru/prjcard_int?22-71-10083/) в части построения математической модели, методологии, визуализации полученных результатов (Т.В. Яковлева), в части создания программного обеспечения и валидации результатов (А.Д. Тебякин), в рамках госзадания ФИЦ КазНЦ РАН в части концепции исследования, анализа и визуализации полученных результатов (Д.А. Губайдуллин), в части подхода к исследованию, анализа полученных результатов, написания оригинального текста (А.В. Крысько) и при поддержке Саратовского государственного технического университета в части концепции итерационной процедуры, методологии, анализа полученных результатов (В.А. Крысько).

Авторлар туралы

D. Gubaidullin

Саратовский государственный технический университет имени Ю.А. Гагарина

Хат алмасуға жауапты Автор.
Email: gubaidullin@imm.knc.ru

Corresponding Member of the RAS

Ресей, Саратов

A. Krysko

Institute of Mechanics and Engineering, FRC “Kazan Scientific Center, Russian Academy of Sciences”

Email: kryskoav@sstu.ru
Ресей, Kazan

А. Tebyakin

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Email: gubaidullin@imm.knc.ru
Ресей, Saratov

T. Yakovleva

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Email: gubaidullin@imm.knc.ru
Ресей, Saratov

V. Krysko

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Email: tak@san.ru
Ресей, Saratov

Әдебиет тізімі

Қосымша файлдар