Email this article 
THE REALITY OF SPECTRAL SHIFT FUNCTIONS FOR CONTRACTIONS AND DISSIPATIVE OPERATORS
- Authors: Malamud M.M.1, Neidhardt H.2, Peller V.V.1,3
-
Affiliations:
- St.Petersburg State University
- St.Petersburg Department Steklov Institute of Mathematics Russian Academy of Sciences
- Issue: Vol 519, No 1 (2024)
- Pages: 28-32
- Section: MATHEMATICS
- URL: https://journal-vniispk.ru/2686-9543/article/view/275215
- DOI: https://doi.org/10.31857/S2686954324050065
- EDN: https://elibrary.ru/XDYVZS
- ID: 275215
Cite item
Open Access
Access granted
Subscription Access
Abstract
Recently the authors of this note solved a famous problem that remained open during many years and proved that for arbitrary contractions on Hilbert space with trace class difference there exists an integrable spectral shift function, for which an analogue of the Lifshits—Krein trace formula holds. Similar results were also obtained for pairs of dissipative operators. It turns out that in contrast with the case of self-adjoint or unitary operators, it can happen that there is no real-valued integrable spectral shift function. In this note we state results that give sufficient conditions for the existence of a real-valued integrable spectral shift function for pairs of contractions and pairs of dissipative operators.
About the authors
M. M. Malamud
St.Petersburg State University
Email: malamud3m@gmail.com
St.Petersburg, Russia
H. Neidhardt
Berlin, Germany
V. V. Peller
St.Petersburg State University; St.Petersburg Department Steklov Institute of Mathematics Russian Academy of Sciences
Email: peller@math.msu.edu
St.Petersburg, Russia; St.Petersburg, Russia
References
- Adamjan V. M., Neidhardt H. On the summability of the spectral shift function for pair of contractions and dissipative operators, J. Operator Th. 24 (1990), 187–205.
- Александров А. Б., Пеллер В. В. Операторно липшицевы функции, УМН, 71:4 (2016), 3–106.
- Chattopadhyay A., Sinha K. B. Trace formula for contractions and its representation in 𝔻 J. Operator Theory 88 (2022), 275–288.
- Фарфоровская Ю. Б. Пример липшицевой функции от самосопряженных операторов. Зап. научн. сем. ЛОМИ, 30 (1972), 146–153.
- Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве. М.: Москва, 1965.
- Крейн М. Г. О формуле следов в теории возмущений. Матем. сб. 33:3 (1953), 597–626.
- Крейн М. Г. Об определителях возмущения и формуле следов для унитарных и самосопряженных операторов. Докл. АН СССР, 144:2 (1962), 268–271.
- Krein M.G. Perturbation determinants and a trace formula for some classes of pairs of operators. J. Operator Th., 17 (1987), 129–187.
- Langer H. Eine Erweiterung der Spurformel der Störungstheorie. Math. Nachr. 30 (1965), 123–135.
- Лифшиц И. М. Об одной задаче теории возмущений, связанной с квантовой статистикой. УМН, 7:1(47) (1952), 171–180.
- Malamud M., Neidhardt H. Trace formulas for additive and non-additive perturbations. Adv. Math. 274 (2015), 736–832.
- Маламуд М. М., Найдхардт Х., Пеллер В. В. Аналитические операторно липшицевы функции в круге и формула следов для функций от сжатий. Функцион. анализ и его прил. 51:3 (2017), 33–55.
- Malamud M.M., Neidhardt H., Peller V. V.. Absolute continuity of spectral shift. J. Funct. Anal. 276 (2019), 1575–1621.
- Peller V.V. The Lifshits–Krein trace formula and operator Lipschitz functions. Proc. Amer. Math. Soc. 144 (2016), 5207–5215.
- Рыбкин А. В. Функция спектрального сдвига для диссипативного и самосопряжённого операторов и формула следов для резонансов. Матем. сб., 125(167):3 (1984), 420–430.
- Рыбкин А. В. Функция спектрального сдвига, характеристическая функция сжатия и обобщённый интеграл. Матем. сб., 185:10 (1994), 91–144.
- Сёкефальфи-Надь Б., Фояш Ч. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1970.
Supplementary files
