NUMERICAL SOLUTION OF INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS OF THE THEORY OF VISCOELASTICITY WITH KERNELS OF EXPONENTIAL AND RABOTNOV TYPES

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

In differential equations describing the behavior of continuous media with creep, in accordance with Volterra’s linear theory, applicable to a wide range of materials with amorphous and heterogeneous structure, integral type operators are present. In these equations, the kernel of the integral operator is represented as a sum of exponentials, or as a weakly singular kernel (the Rabotnov function). Obtaining an analytical solution for the equations in question is problematic in some cases, hence the need to develop a numerical method and algorithm for solving such equations, taking into account the memory of the medium in question. To solve these equations, the paper uses the grid-characteristic method and the coordinate splitting method (for multidimensional problems). The approximation and stability of the proposed method are numerically investigated.

About the authors

I. B Petrov

Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)

Email: petrov@mipt.ru
Corresponding member of the RAS Moscow, Russia

D. A Prikazchikov

Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)

Email: prikazchikov.da@phystech.edu
Moscow, Russia

N. I Khokhlov

Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)

Email: k_h@inbox.ru
Moscow, Russia

References

  1. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М.: Наука, 1977. 384 с.
  2. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. 752 с.
  3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 4-е изд. Москва: Изд-во АН СССР, 1954.
  4. Локшин А.А., Суворова Ю.В. Математическая теория распространения волн в средах с памятью. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. 152 с.
  5. Локшин А.А., Сагомонян Е.А. Нелинейные волны в механике твердого тела: Метод факторизации. М.: Изд-во МГУ, 1989. 144 с.
  6. Суворова Ю.В., Ахундов М.Б. Длительное разрушение изотропной среды в условиях сложного напряженного состояния // Машиноведение. 1986. № 4. С. 40—45.
  7. Суворова Ю.В. О нелинейно-наследственном уравнении Ю.Н. Работнова и его приложениях // Механика твердого тела. 2004. № 1. С. 174-181.
  8. Иванов В.Б., Петров И.Б., Суворова Ю.В. Расчет волновых процессов в наследственных вязкоупругих средах // Механика композитных материалов. 1990. № 3. С. 447-450.
  9. Иванов В.Д., Петров И.Б. Суворова Ю.В. Численное решение двумерных динамических задач наследственной теории вязкоупругости // Механика композитных материалов. 1989. № 3. С. 419-424.
  10. Власов В.В., Раутиан Н.А., Корректная разрешимость и спектральный анализ абстрактных гиперболических интегродифференциальных уравнений, Тр. сем. им. И.Г. Петровского, 28, Изд-во Моск. ун-та, М., 2011, 75-113; J. Math. Sci. (N. Y.), 179:3 (2011), 390-414.
  11. Власов В.В., Раутиан Н.А. Исследование интегродифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости // Известия вузов. Математика. 2012. № 6. С. 56-60.
  12. Власов В.В., Раутиан Н.А. Корректная разрешимость и спектральный анализ интегродифференциальных уравнений наследственной механики // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2012. № 8. С. 1367-1376.
  13. Alikhanov A.A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation // Journal of Computational Physics. 2014. Р. 424-438.
  14. Zhang Z.Z., Sun Z.Z., Liao H.L. Finite differences methods for the time fractional diffusion equation on non-uniform meshs // J. Comput. Phys. 2014. Р. 195-210.
  15. Малиева Ф.Ф., Бейбалаев В.Д. О сходимости разностного метода решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения с оператором дробного дифференцирования Римана-Лиувилля // Известия вузов. Северокавказский регион. 2018. № 2. С. 30-34.
  16. Учайкин В.В. Метод дробных производных. Ульяновск: Издательство “Артишок”, 2008. 512 с.
  17. Ghoreishi F., Ghaffari R., Saad N. Fractional Order Runge-Kutta methods // Fractal and Fractional. 2023. № 7. Р. 245-269.
  18. Diethelm K., Ford N.J., Alan D. Freed Detailed error analysis for a fractional Adams method // Numerical algorithms. 2004.
  19. Савченко А.О. Численный метод решения интегральных уравнений Вольтерра со слабой сингулярностью // Сиб. журн. вычисл. матем. 2003. № 6. С. 181-195.
  20. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
  21. Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва “Наука”, 1977. 656 с.
  22. Leveque R.J. Finite-Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge: Cambridge university press, 2004. 580 р.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».