EXACT SOLUTIONS AND REDUCTIONS OF THE NONLINEAR SCHRO¨ DINGER EQUATION OF THE GENERAL FORM

Cover Page

Cite item

Full Text

Open Access Open Access
Restricted Access Access granted
Restricted Access Subscription Access

Abstract

The nonlinear Schro¨dinger equation of a general form is investigated, in which the chromatic dispersion and the potential are given by two arbitrary functions. The equation under consideration is a natural generalization of a wide class of related nonlinear equations that are often encountered in various sections of theoretical physics, including nonlinear optics, superconductivity, and plasma physics. Exact solutions of the nonlinear Schro¨dinger equation of general form are found, which are expressed in quadratures. One-dimensional reductions are described, which reduce the studied partial differential equation to simpler ordinary differential equations or systems of such equations. The exact solutions obtained in this work can be used as test problems intended to assess the accuracy of numerical methods for integrating nonlinear equations of mathematical physics.

About the authors

A. D. Polyanin

Ishlinsky Institute for Problems in Mechanics, Russian Academy of Sciences

Email: polyanin@ipmnet.ru
Moscow, Russia

N. A. Kudryashov

National Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute)

Email: nakudryashov@mephi.ru
Moscow, Russia

References

  1. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М: Мир, 1996.
  2. Кившарь Ю.С., Агравал Г. Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам. М: Физматлит, 2005.
  3. Kodama Y., Hasegawa A. Nonlinear pulse propagation in a monomode dielectric guide // IEEE Journal of Quantum Electronics. 1987. V. 23. № 5. P. 510–524.
  4. Drazin P.G., Johnson R.S. Solitons: An Introduction. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.
  5. Ablowitz M.J., Clarkson P.A. Solitons Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.
  6. Kivshar Yu.S., Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems // Rev. Mod. Phys. 1989. V. 63. P. 763–915.
  7. Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов Р.В. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде // Успехи физических наук. 1967. Т. 93. № 1. С. 19–70.
  8. Hasegawa A., Tappert F. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. I. Anomalous dispersion // Appl. Phys. Letters. 1973. V. 23. № 3. P. 142–144.
  9. Hasegawa A., Tappert F. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. II. Normal dispersion // Appl. Phys. Letters. 1973. V. 23. № 4. P. 171–172.
  10. Tai K., Hasegawa A., Tomita A. Observation of modulational instability in optical fibers // Phys. Rev. Letters. 1986. V. 56. № 2. P. 135–138.
  11. Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial differential equations // J. Math. Phys. 1982. V. 24. № 3. P. 522–526.
  12. Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный: Изд. Дом «Интеллект», 2010.
  13. Conte R., Musette M. The Painleve´ Handbook, 2nd ed. Cham: Springer, 2020.
  14. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2012.
  15. Al Khawaja U., Al Sakkaf L. Handbook of Exact Solutions to the Nonlinear Schro¨dinger Equations. Bristol: Institute of Physics Publ., 2019.
  16. Polyanin A.D. Handbook of Exact Solutions to Mathematical Equations. Boca Raton: CRC Press–Chapman & Hall, 2025.
  17. Kudryashov N.A. Mathematical model of propagation pulse in optical fiber with power nonlinearities // Optik. 2020. V. 212. 164750.
  18. Kudryashov N.A. Solitary waves of the non-local Schro¨dinger equation with arbitrary refractive index // Optik. 2021. V. 231. 166443.
  19. Kudryashov N.A. Stationary solitons of the generalized nonlinear Schro¨dinger equation with nonlinear dispersion and arbitrary refractive insex // Appl. Math. Letters. 2022. V. 128. 107888.
  20. Yildirim Y. Optical solitons to Schro¨dinger– Hirota equation in DWDM system with modified simple equation integration architecture // Optik. 2019. V. 182. P. 694–701.
  21. Zhou Q., Xu M., Sun Y., Zhong Y., Mirzazadeh M. Generation and transformation of dark solitons, anti-dark solitons and dark doublehump solitons // Nonlinear Dynamics. 2022. V. 110. № 2. P. 1747–1752.
  22. Полянин А.Д., Кудряшов Н.А. Нелинейное уравнение Шредингера с дисперсией и потенциалом общего вида: Точные решения и редукции // Вестник НИЯУ МИФИ. 2024. Т. 13. № 6. С. 394–402.
  23. Galaktionov V.A., Svirshchevskii S.R. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2007.
  24. Polyanin A.D., Zhurov A.I. Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs. Boca Raton–London: CRC Press, 2022.
  25. Polyanin A.D., Sorokin V.G., Zhurov A.I. Delay Ordinary and Partial Differential Equations. Boca Raton–London: CRC Press, 2024.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML

Copyright (c) 2025 Russian Academy of Sciences

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».