On the asymptotic behavior of solutions of nonautonomous differential inclusions with a set of several Lyapunov functions

Cover Page

Cite item

Full Text

Abstract

or non-autonomous differential inclusions, the issues of attraction and asymptotic behavior of solutions are considered. The basis of the research is the development of the method of limit differential equations in combination with the direct Lyapunov method with several Lyapunov functions. This makes it possible to more accurately localize and determine the structure of \( ω \)-limit sets of solutions. The main problems of the research are the absence of properties of the invariance type of \( ω \)-limit sets of non-autonomous systems and the construction of limit differential relations. They are solved using limit differential inclusions constructed using shifts (translations) of the main differential inclusions. The results have the form of generalizations of the LaSalle invariance principle and provide preliminary information on the limit behavior of solutions. A set of additional Lyapunov functions allows one to refine this behavior and to single out those points from the set of zeros of the derivative of the main Lyapunov function that obviously do not belong to the \( ω \)-limit sets. The results are illustrated by the example of a linear oscillator with dry friction.

About the authors

Ivan A. Finogenko

V.M. Matrosov Institute of System Dynamics and Control Theory SB RAS

Author for correspondence.
Email: fin@icc.ru
ORCID iD: 0000-0001-6821-3385

Doctor of Physics and Mathematics Sciences, Chief Researcher

Russian Federation, 134 Lermontov St., Irkutsk 664033, Russian Federation

References

  1. E.A. Barbashin, Lyapunov Functions, Nauka Publ., Moscow, 1975 (In Russian).
  2. J.P. LaSalle, “Stability theory for ordinary differential equations”, Journal of Differential Equations, 4:1 (1968), 57–65.
  3. G.R. Sell, “Nonautonomous differential equations and topological dynamics. I. The basic theory”, Trans. Amer. Math. Soc., 127 (1967), 241–262.
  4. G.R. Sell, “Nonautonomous differential equations and topological dynamics. II. Limiting equation”, Trans. Amer. Math. Soc., 127 (1967), 263–283.
  5. Z. Artstein, “Topological dynamics of an ordinary differential equation”, Journal of Differential Equations, 23:2 (1977), 216–223.
  6. I.A. Finogenko, “Limit differential inclusions and the principle of invariance of nonautonomous systems”, Siberian Mathematical Journal, 55:2 (2014), 372–386.
  7. I.A. Finogenko, “Invariance principle for non-autonomous differential equations with discontinuous right-hand sides”, Siberian Mathematical Journal, 57:4 (2016), 715–725.
  8. I.A. Finogenko, “Problems and methods of studying functional-differential equations with discontinuous right-hand side”, Reports of the Russian Academy of Sciences. Mathematics, Informatics, Control Processes, 522:2 (2025), In Russian (to appear).
  9. V.M. Matrosov, Method of Vector Lyapunov Functions: Analysis of Dynamic Properties of Systems, Fizmatlit Publ., Moscow, 2001 (In Russian).
  10. Yu. G. Borisovich, B.D. Gelman, A.D. Myshkis, V.V. Obukhovsky, Introduction to the Theory of Multivalued Mappings and Differential Inclusions, KomKniga Publ., Moscow, 2005 (In Russian).
  11. A.F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Right-Hand Side, Nauka Publ., Moscow, 1985 (In Russian).
  12. T. Yoshizawa, “Liapunov’s function and boundedness of solutions”, Funkcialaj Ekvacioj, 2 (1959), 95–142.
  13. K.S. Lapin, Poisson boundedness of solutions of systems of differential equations, Mordovian State Pedagogical University named after M.E. Evseviev, Saransk, 2022 (In Russian), 165 pp.
  14. V.M. Marrosov, I.A. Finogenko, “The invariance principle and attracting sets for autonomous systems”, Dokl. Math., 41:7 (1996), 313–315.
  15. I.A. Finogenko, “On the asymptotic behavior of mechanical systems with friction”, Siberian Mathematical Journal, 63:5 (2022), 974–982.

Supplementary files

Supplementary Files
Action
1. JATS XML
Download


Creative Commons License
This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

Согласие на обработку персональных данных с помощью сервиса «Яндекс.Метрика»

1. Я (далее – «Пользователь» или «Субъект персональных данных»), осуществляя использование сайта https://journals.rcsi.science/ (далее – «Сайт»), подтверждая свою полную дееспособность даю согласие на обработку персональных данных с использованием средств автоматизации Оператору - федеральному государственному бюджетному учреждению «Российский центр научной информации» (РЦНИ), далее – «Оператор», расположенному по адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А, со следующими условиями.

2. Категории обрабатываемых данных: файлы «cookies» (куки-файлы). Файлы «cookie» – это небольшой текстовый файл, который веб-сервер может хранить в браузере Пользователя. Данные файлы веб-сервер загружает на устройство Пользователя при посещении им Сайта. При каждом следующем посещении Пользователем Сайта «cookie» файлы отправляются на Сайт Оператора. Данные файлы позволяют Сайту распознавать устройство Пользователя. Содержимое такого файла может как относиться, так и не относиться к персональным данным, в зависимости от того, содержит ли такой файл персональные данные или содержит обезличенные технические данные.

3. Цель обработки персональных данных: анализ пользовательской активности с помощью сервиса «Яндекс.Метрика».

4. Категории субъектов персональных данных: все Пользователи Сайта, которые дали согласие на обработку файлов «cookie».

5. Способы обработки: сбор, запись, систематизация, накопление, хранение, уточнение (обновление, изменение), извлечение, использование, передача (доступ, предоставление), блокирование, удаление, уничтожение персональных данных.

6. Срок обработки и хранения: до получения от Субъекта персональных данных требования о прекращении обработки/отзыва согласия.

7. Способ отзыва: заявление об отзыве в письменном виде путём его направления на адрес электронной почты Оператора: info@rcsi.science или путем письменного обращения по юридическому адресу: 119991, г. Москва, Ленинский просп., д.32А

8. Субъект персональных данных вправе запретить своему оборудованию прием этих данных или ограничить прием этих данных. При отказе от получения таких данных или при ограничении приема данных некоторые функции Сайта могут работать некорректно. Субъект персональных данных обязуется сам настроить свое оборудование таким способом, чтобы оно обеспечивало адекватный его желаниям режим работы и уровень защиты данных файлов «cookie», Оператор не предоставляет технологических и правовых консультаций на темы подобного характера.

9. Порядок уничтожения персональных данных при достижении цели их обработки или при наступлении иных законных оснований определяется Оператором в соответствии с законодательством Российской Федерации.

10. Я согласен/согласна квалифицировать в качестве своей простой электронной подписи под настоящим Согласием и под Политикой обработки персональных данных выполнение мною следующего действия на сайте: https://journals.rcsi.science/ нажатие мною на интерфейсе с текстом: «Сайт использует сервис «Яндекс.Метрика» (который использует файлы «cookie») на элемент с текстом «Принять и продолжить».