О существовании предела средней временной выгоды в вероятностных моделях сбора возобновляемого ресурса

Исследуются модели динамики популяций, заданные разностными уравнениями со случайными параметрами. При отсутствии промысла развитие популяции в моменты времени $k=1,2,\ldots$ описывается уравнением $X(k+1)=f\big(X(k)\big),$ где $X(k)$~--- количество возобновляемого ресурса, $f(x)$~--- вещественная дифференцируемая функция. Предполагается, что в моменты $k=1,2,\ldots$ происходит изъятие случайной доли популяции $\omega\in[0,1].$ Процесс эксплуатации прекращается, когда в момент $k$ доля собранного ресурса окажется больше некоторого значения $u(k)\in[0,1),$ чтобы сохранить часть популяции для воспроизводства и увеличения размера следующего сбора. При этом доля добываемого ресурса будет равна $\ell(k)=\min\big\{\omega(k),u(k)\big\}, k=1,2,\ldots.$ Тогда модель эксплуатируемой популяции имеет вид $X(k+1)=f\left(\right(1-l\left(k\right) \left)X\right(k) ),k=1,2,...,$ где $x(0)$ - начальная численность популяции, $X(1)=f\big(x(0)\big).$
Для стохастической модели популяции исследуется задача выбора управления $\overline{u}=(u(1),\ldots,u(k),\ldots),$ ограничивающего в каждый момент времени $k$ долю собираемого ресурса, при котором предел функции средней временной выгоды $H(\overline{l},x(0\left)\right)\doteq \underset{n\to \infty }{lim}\sum _{k=1}^{n}X\left(k\right)l\left(k\right), где \overline{l}\doteq \left(l\right(1),\dots ,l(k),\dots )$
существует и его можно оценить снизу с вероятностью единица по возможности наибольшим числом. Если уравнение $X(k+1)=f\big(X(k)\big)$ имеет решение вида $X(k)\equiv x^*,$\linebreak то это решение называется положением равновесия данного уравнения. Для любого\linebreak $k=1,2,\ldots$ вводятся в рассмотрение случайные величины $A(k+1,x)=f\bigl((1-\ell(k))A(k,x)\bigr),$ $B(k+1,x^*)=f\bigl((1-\ell(k))B(k,x^*)\bigr)$; здесь $A(1,x)=f(x),$  $B(1,x^*)=x^*.$
Показано, что при выполнении определенных условий существует управление $\overline{u},$ при котором справедлива оценка средней временной выгоды $\frac{1}{m}\sum _{k=1}^{m}M\left(A\right(k,x\left)l\right(k\left)\right)\le H(\overline{l},x(0\left)\right)\le \frac{1}{m}\sum _{k=1}^{m}M\left(B\right(k,x^{*}\left)l\right(k\left)\right),$ где через $M$ обозначено математическое ожидание.
Кроме того, получены условия существования управления $\overline{u},$ при котором с вероятностью единица существует положительный предел средней временной выгоды, равный 
$H(\overline{\ell},x(0)) =$
\lim\limits_{k\to\infty} MA(k,x)\ell(k) =
\lim\limits_{k\to\infty} MB(k,x^*)\ell(k).\vspace{-1ex}