Начальная задача для интегро-дифференциального уравнения с разностными ядрами и неоднородностью в линейной части

Полный текст

1. Введение. Решение многих задач гидроаэродинамики, теории упругости, популяционной генетики и других приводит к нелинейным интегральным и интегро-дифференциальным уравнениям вольтерровского типа с разностными ядрами. При этом с теоретической и прикладной точек зрения особый интерес представляют неотрицательные решения таких уравнений (см., например, [1, 4]). В отличие от соответствующих линейных однородных уравнений нелинейные уравнения кроме тривиального решения могут иметь и нетривиальные решения, и в этом состоит принципиальное отличие нелинейных однородных уравнений от соответствующих линейных уравнений.

В данной работе рассматривается начальная задача вида

$u^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\alpha \mathrm{<mo>></mo>1,}$ (1)

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (2)

где ядра $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и неоднородность $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяют следующим условиям:

$h\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\text{h(x)}\text{не}\text{убывает}\text{на}\text{[0}\text{,}\infty \text{)}\mathrm{,}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (3)

$k\in C^1[0,\infty ),\mathit{\text{k}}\text{'(x)\hspace{0.17em}}\text{не}\text{убывает}\text{на}\text{[0}\text{,}\infty \text{)}\mathrm{,}k\left(0\right)=0,k^{\text{'}}\left(0\right)>0,$ (4)

$f\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\text{f(x) не}\text{убывает}\text{на [0}\text{,}\infty \text{)}\mathrm{,}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$ (5)

Решения начальной задачи (1)$–$(2) разыскиваются в классе

$Q_0^1\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}u\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}\text{при}x\mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>.}$

Наряду с задачей (1)$–$(2) рассматривается тесно связанное с ней интегральное уравнение типа свертки

$u^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\alpha \mathrm{<mo>></mo>1,}$ (6)

где $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+k^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Из условий (3) и (4) вытекает, что ядро $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ уравнения (6) удовлетворяет условию

$H\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\text{H(x) не убывает на [0}\text{,}\infty \text{)}\mathrm{,}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0.}$ (7)

Решения уравнения (6) разыскиваются в классе

$Q_0\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}u\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}\text{при }x\mathrm{<mo>></mo>0<mo>\}</mo>.}$

Уравнения вида (6) возникают в теории инфильтрации жидкости из цилиндрического резервуара в изотропную однородную пористую среду (см. [9]), при описании процесса распространения ударных волн в трубах, наполненных газом (см. [7, 11]), при решении задачи о нагревании полубесконечного тела при нелинейном теплопередаточном процессе, в моделях популяционной генетики и других (подробнее см. в [1, 6, 10]). В частности, к уравнению вида (6) при $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>2}$ сводится известное уравнение Буссинеска. Важно отметить, что в связи с указанными и другими приложениями особый интерес представляют непрерывные положительные при $x\mathrm{<mo>></mo>0}$ решения интегрального уравнения (6), т.е. решения принадлежащие классу $Q_0$.

На основе полученных точных нижней и верхней априорных оценок решения уравнения (6) мы строим весовое полное метрическое пространство $P_b$ и, применяя аналог метода Белицкого (см., например, [5, гл. 3, п. 3.1.3], доказываем глобальную теорему о существовании и единственности решения уравнения (6) как в пространстве $P_b$, так и во всем классе непрерывных положительных при $x\mathrm{<mo>></mo>0}$ функций. Показано, что решение уравнения (6) может быть найдено в $P_b$ методом последовательных приближений пикаровского типа. Для последовательных приближений получены оценки скорости их сходимости к точному решению в терминах весовой метрики пространства $P_b$. Установлено, что любое решение интегрального уравнения (6) из конуса $Q_0$ является решением задачи (1)$–$(2) в конусе $Q_0^1$ и обратно, любое решение задачи (1)$–$(2) является решением интегрального уравнения (6). Тем самым доказана глобальная теорема о существовании, единственности и способе нахождения решения задачи (1)$–$(2) как в пространстве $P_b$, так и во всем классе непрерывных положительных при $x\mathrm{<mo>></mo>0}$ функций. Приведены также простые примеры, иллюстрирующие основные результаты.

2. Свойства неотрицательных решений

Лемма 1 Пусть выполнены условия (5) и (7). Если $u\in Q_0$ является решением интегрального уравнения (6), то функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не убывает и непрерывно дифференцируема на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т.е. $u\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Доказательство. Пусть $u\in Q_0$ является решением уравнения (6) и $x_1\mathrm{,}{x}_2\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ любые числа, $x_1\mathrm{<mo><</mo>}{x}_2$. Так как $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не убывают на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то

$u^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x_1}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle \underset{x_1}{\overset{x_2}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0.$

Значит, $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $x_2\mathrm{<mo>></mo>}{x}_1$, т.е. $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не убывает на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Докажем теперь, что решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ есть непрерывно дифференцируемая на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функция. Так как по условию $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не убывает на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то по теореме Лебега (см., например, [1, теорема 17.7]) почти всюду на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ существует производная $H^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая, по теореме об интегрировании производной (см. [1, теорема 17.8]), локально суммируема. Следовательно, правая часть тождества (6) дифференцируема, причем в силу свойства коммутативности свертки (см. [1, §17])

$\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}{H}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}{H}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (8)

 Поскольку функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не убывает, функция $f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ непрерывна, а функция $H^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ локально суммируема на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ то, в силу леммы о непрерывности свертки (см. [3, лемма 1], [8, лемма 1]), производная (8) правой части тождества (6) непрерывна на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Но тогда существует и непрерывна производная левой части тождества (6), что влечет за собой существование и непрерывность первой производной $u^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $x\mathrm{<mo>></mo>0}$, так как

$u^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\alpha }^{-1}{u}^{1-\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}{H}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{.}$

Следующая лемма устанавливает связь между задачей (1)$–$(2) и интегральным уравнением (6).

Лемма 2 Пусть выполнены условия (3), (4) и (5). Если функция $u\in Q_0^1$ является решением задачи (1)$–$(2), то $u\in Q_0$ и $u$ является решением интегрального уравнения (6). Обратно, если уравнение (6) имеет решение $u\in Q_0$, то $u\in Q_0^1$ и $u$ является решением задачи (1)$–$(2).

Доказательство. Пусть $u\in Q_0^1$ $—$ решение задачи (1)$–$(2). Тогда $u\in Q_0$. Так как $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, интегрируя по частям тождество (1) и учитывая, что $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+k^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, имеем

$u^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}du\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{k}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (9)

т.е. $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является решением уравнения (6) в конусе $Q_0$.

Обратно, пусть $u\in Q_0$ является решением уравнения (6). Тогда, согласно лемме 1, $u\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и, следовательно, $u\in Q_0^1$. Поэтому, используя свойство коммутативности свертки, формулу интегрирования по частям и равенства $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+k^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, из тождества (6) имеем

$u^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

т.е. $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является решением задачи (1)$–$(2) в конусе $Q_0^1$.

Из леммы 2 вытекает, что для доказательства существования и единственности в классе $Q_0^1$ решения задачи (1)$–$(2) достаточно доказать существование и единственность в классе $Q_0$ решения интегрального уравнения (6).

Доказательства основных результатов данной статьи основаны на априорных оценках снизу и сверху решений уравнения (6). При доказательстве верхней априорной оценки решения уравнения (6) нам понадобится следующее интегральное неравенство Чебышева (см., например, [1, лемма 17.1]):

${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{,}x\mathrm{<mo>></mo>0,}$ (10)

справедливое для любых неубывающих на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функций $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Лемма 3 Пусть выполнены условия (5) и (7). Если $u\in Q_0$ является решением интегрального уравнения (6), то $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет неравенствам

${\left[\frac{\alpha -1}{\alpha }H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot x\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\left[\frac{\alpha -1}{\alpha }{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$ (11)

Доказательство. Пусть $u\in Q_0$ $—$ решение уравнения (6). Так как пpи $x\mathrm{<mo>=</mo>0}$ неравенства (11) обращаются в очевидные равенства, то будем считать далее, что $x\mathrm{<mo>></mo>0}$.

Докажем сначала первое неравенство из (11). Так как $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0$ и $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не убывает на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то из тождества (6), имеем

$u^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge {\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\ge H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot {\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\forall x\mathrm{<mo>></mo>0,}$

или

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge {\left[H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\forall x\mathrm{<mo>></mo>0,}$ (12)

или, что то же самое,

${\left[H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds\right]}^{-\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall t\mathrm{<mo>></mo>0.}$

Интегрируя последнее неравенство в пределах от $0$ до $x$, получим

${\left[H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right]}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\ge \frac{\alpha -1}{\alpha }H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot x\forall x\mathrm{<mo>></mo>0,}$

откуда

${\left[H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\ge {\left[\frac{\alpha -1}{\alpha }H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot x\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\forall x\mathrm{<mo>></mo>0.}$ (13)

Таким образом, первое неравенство из (11) непосредственно вытекает из неравенств (12) и (13).

Докажем теперь второе неравенство из (11). Так как, в силу условия (7) и леммы 1, функции $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не убывают на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то, используя неравенство Чебышева (10), из тождества (6) получаем

$u^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall x\mathrm{<mo>></mo>0,}$

или

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\forall x\mathrm{<mo>></mo>0,}$ (14)

или

$H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }+f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\forall t\mathrm{<mo>></mo>0,}$

откуда

${\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{-\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\left[H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\le$

$\le H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{-\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\forall t\mathrm{<mo>></mo>0,}$ (15)

где

$I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{-\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{.}$

Докажем, что

${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\le \frac{\alpha }{\alpha -1}{f}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\text{для любого x>0}\mathrm{.}$ (16)

В силу условия (5) возможны только три случая: либо $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ при $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, либо существует такое число $x_0\mathrm{<mo>></mo>0}$, что $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ при $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ при $x\mathrm{<mo>></mo>}{x}_0$, либо $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ при всех $x\mathrm{<mo>></mo>0}$.

Если $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ при $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то неравенство (16) очевидно и обращается в тождество, так как при $x\mathrm{<mo>></mo>0}$ выполняются соотношения $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$, $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ и $f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$.

Если же существует такое $x_0\mathrm{<mo>></mo>0}$, что $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv 0$ при $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ при $x\mathrm{<mo>></mo>}{x}_0$, то

${\displaystyle {\int }_0^x}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>0}\text{при любом x}\in \text{[0}{\text{,x}}_{\text{0}}\text{]}$

и, значит, неравенство (16) выполняется при $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, обращаясь в тождество, а при $x\mathrm{<mo>></mo>}{x}_0$, с учетом того, что $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и что функция $f^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не убывает, имеем

${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\le {\displaystyle \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}}{f}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{f}^{-\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\alpha }{\alpha -1}{\displaystyle \underset{x_0}{\overset{x}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{f}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{]}^{\prime }dt\le \frac{\alpha }{\alpha -1}{f}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

в силу [1, теорема 17.8], т.е. неравенство (16) выполняется и при любом $x\mathrm{<mo>></mo>}{x}_0$

Если, наконец, $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$ при всех $x\mathrm{<mo>></mo>0}$, то аналогично получаем

${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}{f}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{f}^{-\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{\alpha }{\alpha -1}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{f}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{]}^{\prime }dt\le \frac{\alpha }{\alpha -1}{f}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Итак, неравенство (16) доказано во всех трёх случаях.

Интегрируя неравенство (15) в пределах от $0$ до $x$, с учётом неравенства (16) имеем

${\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\le \frac{\alpha -1}{\alpha }\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+\frac{\alpha }{\alpha -1}{f}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\forall x\mathrm{<mo>></mo>0,}$

откуда

${\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\le {\left[\frac{\alpha -1}{\alpha }{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -1}\forall x\mathrm{<mo>></mo>0.}$ (17)

Итак, второе неравенство из (11) непосредственно вытекает из неравенств (14) и (17).

Из леммы 3 следует, что решения интегрального уравнения (6) естественно разыскивать в классе

$P\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}u\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>,}$

где

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\left[\frac{\alpha -1}{\alpha }H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot x\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\left[\frac{\alpha -1}{\alpha }\cdot {\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$ (18)

а функции $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяют условиям (7) и (5), соответственно.

В силу леммы 2, утверждения леммы 3 справедливы и для задачи (1)$–$(6).

Пример 1 При $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>2}$, $h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>3}x$, $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}^2$ задача (1)$–$(6) и уравнение (6) имеют одно и то же решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}x$, при этом априорные оценки (11) принимают вид: $\mathrm{1,5}x\le 2x\le \mathrm{2,5}x$.

3. Теоремы существования и единственности

Рассмотрим нелинейный интегральный оператор свертки $T$:

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tu\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{,}x\mathrm{<mo>></mo>0,}\alpha \mathrm{<mo>></mo>1.}$

Теорема 1 Пусть выполнены условия (5) и (7). Тогда класс $P$ инваpиантен относительно нелинейного опеpатоpа $T$, т.е. $T\mathrm{<mo>:</mo>}P\to P$.

Доказательство. Пусть $u\in P$. Нужно доказать, что тогда и $Tu\in P$, т.е. $Tu\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tu\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

1.     Так как $H\mathrm{,}u\mathrm{,}f\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\alpha \mathrm{<mo>></mo>1}$, то очевидно, что $Tu\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

2.     Покажем, что $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tu\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Так как $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Tu\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{\alpha }\ge {\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\ge {\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\ge H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{\alpha }\mathrm{,}$

т.е. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tu\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

3.     Покажем, наконец, что $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tu\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Так как $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и функции $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не убывают на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то в силу неpавенства Чебышева (10) получаем

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Tu\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le$

$\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}{f}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left[H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{f^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right]dt\le$

$\le {\left(\frac{\alpha -1}{\alpha }\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}{\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+\frac{\alpha }{\alpha -1}{f}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left[H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f^{-\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{f}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\frac{\alpha -1}{\alpha }\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\frac{\alpha -1}{\alpha }{\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+\frac{\alpha }{\alpha -1}{f}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\alpha \mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left[G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\alpha }\mathrm{,}$

т.е. $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}Tu\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le G_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что и тpебовалось доказать.

Исследование интегрального уравнения (6) будет основано на методе весовых метрик, и для его применения нам нужно будет построить полное метрическое пространство. Введем в связи с этим следующий класс функций:

$P_b\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}u\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>,}$

где функции $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определены в (18), а $b\mathrm{<mo>></mo>0}$ $—$ произвольное число.

В силу вольтерровости оператора $T$ из теоремы 1 непосредственно вытекает следующее утверждение.

Следствие 1 Если выполнены условия (5) и (7), то класс $P_b$ инвариантен относительно интегрального оператора $T$.

Далее будем предполагать, что неоднородность $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ наряду с условием (5) удовлетворяет дополнительному условию:

$C\mathrm{<mo>=</mo>}\underset{\mathrm{0<mo><</mo>}x\le b}{{\displaystyle \sup }}\frac{f^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{.}$ (19)

Заметим, что функция $f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{x}^2$, рассмотренная в примере 1, в котором $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>2}$, удовлетворяет условию (19) и при этом $C\mathrm{<mo>=</mo>1}$.

Введем во множестве функций $P_b$ расстояние по формуле

${\rho }_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_1\mathrm{,}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\underset{\mathrm{0<mo><</mo>}x\le b}{{\displaystyle \sup }}\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}{x^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}^{\beta x}}\mathrm{,}\beta \mathrm{<mo>></mo>0.}$ (20)

Поскольку $e^{\beta x}\ge 1$ и $\mathrm{<mo>|</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для любых $u_1\mathrm{,}{u}_2\in P_b$, то с учетом неравенства

$k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\le H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot x\forall x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$

получим:

$\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}{x^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}^{\beta x}}\le \frac{G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\le$

$\le {\left[\frac{\alpha -1}{\alpha }\cdot H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{f^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-{\left[\frac{\alpha -1}{\alpha }\cdot H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Следовательно, в силу условия (19), для всех $u_1\mathrm{,}{u}_2\in P_b$ 

${\rho }_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_1\mathrm{,}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\left[\frac{\alpha -1}{\alpha }\cdot H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+C\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-{\left[\frac{\alpha -1}{\alpha }\cdot H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo><</mo>}\infty \mathrm{,}$

т.е. pасстояние ${\rho }_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_1\mathrm{,}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ опpеделено коppектно.

Лемма 4 Множество $P_b$ с метpикой ${\rho }_b$ обpазует полное метрическое пространство.

Доказательство. Выполнимость аксиом метpики очевидна. Докажем полноту метpического пpостpанства $P_b$. Пусть $\mathrm{<mo>\{</mo>}{u}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ $—$ произвольная фундаментальная последовательность из $P_b$. Тогда для любого $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$ найдется такое $N\mathrm{<mo>=</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$, что при всех $m\mathrm{,}n\ge N$ выполняется неpавенство ${\rho }_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_m\mathrm{,}{u}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}\epsilon \mathrm{,}$ т.е.

$\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}{u}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}{x^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}^{\beta x}}\mathrm{<mo><</mo>}\epsilon \forall m\mathrm{,}n\ge N\mathrm{,}q\forall x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$  (21)

Так как $x^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\cdot e^{\beta x}\le b^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\cdot e^{\beta b}\equiv M$, то

$\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}{u}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}{x^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}^{\beta x}}\ge \frac{1}{M}\cdot \mathrm{<mo>|</mo>}{u}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>.}$

Поэтому из (21), имеем

$\mathrm{<mo>|</mo>}{u}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le M\cdot \epsilon \mathrm{,}\forall m\mathrm{,}n\ge N\mathrm{,}\forall x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$

(здесь учли, что $u_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, поскольку $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ ), т.е. $\mathrm{<mo>\{</mo>}{u}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}$ является фундаментальной последовательностью в $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. В силу полноты метрического пространства $C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ существует такая функция $u\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, что

$\underset{n\to \infty }{{\displaystyle \lim }}{u}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (22)

Покажем, что $u\in P_b\mathrm{.}$ Так как $\mathrm{<mo>\{</mo>}{u}_n\mathrm{<mo>\}</mo>}\in P_b$, то для любых $n$ и $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ имеем

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\left[\frac{\alpha -1}{\alpha }H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}x\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\le u_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le {\left[\frac{\alpha -1}{\alpha }{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\equiv G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Переходя в последнем неравенстве к пределу при $n\to \infty$, с учетом равенства (22) получаем $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le G\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, т.е. $u\in P_b$.

Осталось доказать сходимость последовательности $\mathrm{<mo>\{</mo>}{u}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>}$ к $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по метрике ${\rho }_b$. Переходя в неравенстве (21) к пределу при $m\to \infty$, имеем

$\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}{x^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}^{\beta x}}\mathrm{<mo><</mo>}\epsilon \forall n\ge N\mathrm{,}x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$

т.е. ${\rho }_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_n\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}\epsilon$ для любого $n\ge N$, что и требовалось.

Итак, выше мы доказали, что если во множестве функций $P_b$ ввести метpику (20), то класс $P_b$ пpевpащается полное метрическое пространство. Кpоме того, мы показали (см. следствие 1), что нелинейный опеpатоp свеpтки $T$ действует из $P_b$ в $P_b$.

Выберем теперь достаточно малое число $c\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ такое, что выполняется неравенство

$H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo><</mo>}\alpha \cdot H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (23)

Очевидно, что такое число $c$ всегда существует, так как $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$, $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ непрерывна и $\alpha \mathrm{<mo>></mo>1}$. Положим

$\beta \mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\underset{c\le x\le b}{{\displaystyle \sup }}\frac{H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}\mathrm{.}$ (24)

Справедлива следующая лемма (ср. [8]).

Лемма 5 Пусть ядро $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет условию (7). Тогда для любого $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ справедливо неравенство

$H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot e^{-\beta x}\le H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (25)

где числа $c$ и $\beta$ определяются из условия (23) и формулы (24) соответственно.

Доказательство. Рассмотрим отдельно два случая.

1. Пусть $0\le x\le c$. Учитывая, что $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ не убывает и $\beta \mathrm{<mo>></mo>0}$, имеем $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\beta x}\le H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что и требовалось.

2. В случае $c\le x\le b$ имеем

$H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot x\cdot \frac{1}{H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\cdot \frac{H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x}\le H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1}+x\cdot \beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\le H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot e^{\beta x}\mathrm{.}$

Следовательно, $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{\beta x}\le H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{\beta x}\mathrm{,}$ откуда получаем, что $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\beta x}\le H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и для любого $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}c\mathrm{,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Теорема 2 Пусть выполнены условия (5), (7) и (19). Тогда оператор $T\mathrm{<mo>:</mo>}{P}_b\to P_b$ является сжимающим, при этом неравенство

${\rho }_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{u}_2\mathrm{,}T{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \frac{H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\alpha \cdot H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\rho }_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_2\mathrm{,}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (26)

выполняется для всех $u_1\mathrm{,}{u}_2\in P_b$, где число $c$ определяется из условия (23).

Доказательство. Тот факт, что оператор $T$ действует из $P_b$ в $P_b$, вытекает из следствия 1. Докажем неравенство (26), т.е. факт, что оператор $T$, в силу неравенства (23), является сжимающим. Пусть $u_1\mathrm{,}{u}_2\in P_b$ и $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. По теореме Лагранжа, для любых $z_1\mathrm{,}{z}_2\mathrm{<mo>></mo>0}$ имеем

$z_1^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }-z_2^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{\alpha }{\Theta }^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha -1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{z}_1-z_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $\Theta$ лежит между $z_1$ и $z_2$. Поэтому, если $z_1\ge z_0$ и $z_2\ge z_0$, где $z_0\ge 0$, то $\Theta \mathrm{<mo>></mo>}{z}_0$ и, значит,

$\left|z_1^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }-z_2^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\right|\le \frac{1}{\alpha }\cdot \frac{\mathrm{<mo>|</mo>}{z}_1-z_2\mathrm{<mo>|</mo>}}{{\mathrm{<mo>\{</mo>}{z}_0\mathrm{<mo>\}</mo>}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }}\mathrm{.}$

Используя это неравенство и неравенства

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$

имеем

$\left|\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\left|{\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }-{\left({\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>}\alpha }\right|\le$

$\le \frac{1}{\alpha }\cdot \frac{1}{{\left\{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{F}^{\alpha }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo>}\right\}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\alpha }}\left|{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt-{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right|\le$

$\le \frac{1}{\alpha }\cdot \frac{1}{\frac{\alpha -1}{\alpha }\cdot H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot x}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot \mathrm{<mo>|</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}dt\mathrm{.}$

Итак,

$\mathrm{<mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}T{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \frac{1}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot x}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot \mathrm{<mo>|</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}dt\mathrm{.}$ (27)

Так как

$\mathrm{<mo>|</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>}{x}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}^{\beta x}\frac{\mathrm{<mo>|</mo>}{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}{x^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}^{\beta x}}\le x^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}^{\beta x}\cdot {\rho }_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_2\mathrm{,}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

то из (27), с учетом леммы 2, получим

$\left|\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le \frac{1}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot x}\cdot {\rho }_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_2\mathrm{,}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{t}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{e}^{\beta t}dt\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot x}\cdot {\rho }_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_2\mathrm{,}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{\beta x}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{e}^{-\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{t}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}dt\le$

$\le \frac{H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot x}\cdot e^{\beta x}\cdot {\rho }_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_2\mathrm{,}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdot \frac{\alpha -1}{\alpha }\cdot x^{\alpha \mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Следовательно,

$\frac{\left|\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{u}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}{x^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\cdot e^{\beta x}}\le \frac{H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\alpha \cdot H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\cdot {\rho }_b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_2\mathrm{,}{u}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\forall x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$

что pавносильно неpавенству (26). Поскольку, в силу неравенства (23), коэффицент в неравенстве (26) удовлетворяет условию $H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}c\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\left[\alpha H\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{<mo><</mo>1}$, то оператор $T$ является сжимающим.

Теорема 3 Если выполнены условия (5), (7) и (19), то интегральное уравнение (6) имеет в $Q_0$ (и в $P_b$ при любом $b\mathrm{<mo>></mo>0}$ ) единственное решение. Это решение может быть найдено методом последовательных приближений, которые сходятся к нему по метрике (20) при любом $b\mathrm{<mo><</mo>}\infty$.

Доказательство. Запишем уравнение (6) в операторном виде: $u\mathrm{<mo>=</mo>}Tu$. Из леммы 1 и теоремы 2 следует, что выполнены все требования принципа сжимающих отображений, из которого непосредственно вытекает, что уравнение (6) имеет единственное решение в пространстве $P_b$ при любом $b\mathrm{<mo>></mo>0}$ и это решение может быть найдено методом последовательных приближений, которые сходятся к нему по метрике (20) при любом $b\mathrm{<mo><</mo>}\infty$.

Осталось показать, что уравнение (6) имеет единственное решение во всем классе $Q_0$ (ср. [2]). Положим $P_{\infty }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{b\mathrm{<mo>></mo>0}}{\cup }}{P}_b$, т.е. $P_{\infty }$ есть множество функций, определенных на полуоси $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, сужения которых на отрезок $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ принадлежат $P_b$. Так как уравнение (6) имеет единственное решение в $P_b$ при любом $b\mathrm{<mo>></mo>0}$ и коэффициент сжатия в (26) не зависит от $b$, то уравнение (6) имеет единственное решение $u^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в $P_{\infty }$. Поскольку всякое решение уравнения (6) из $Q_0$ удовлетворяет оценкам (11), то это решение $u^{\mathrm{<mo>*</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ будет единственным решением уравнения (6) и в $Q_0$.