On the local extension of the group of parallel translations  of four-dimensional space

V. A. Kyrov; Кыров Владимир Александрович

doi:10.36535/0233-6723-2023-225-87-107

On the local extension of the group of parallel translations of four-dimensional space

Authors: Kyrov V.A.¹
Affiliations:
1. Горно-Алтайский государственный университет
Issue: Vol 225 (2023)
Pages: 87-107
Section: Статьи
URL: https://journal-vniispk.ru/2782-4438/article/view/261914
DOI: https://doi.org/10.36535/0233-6723-2023-225-87-107
ID: 261914

Cite item

Full Text

Abstract
Full Text
About the authors
References
Supplementary files
Statistics

Abstract

The problem of the search for all locally boundedly exactly doubly transitive extensions of the group of parallel translations of a four-dimensional space is reduced to the calculation of the Lie algebras of locally boundedly exactly doubly transitive extensions of the group of parallel translations. Some locally boundedly exactly doubly transitive transformation Lie groups with decomposable Lie algebras are found.

Keywords

transitive transformation group, group of parallel translations, Lie algebra, Jordan form

Full Text

1. Введение. В работе В. В. Горбацевича [3] приводится определение расширения транзитивной группы Ли $G$ , действующей в многообразии $M$ : расширением транзитивной группы Ли $G$ называется группа Ли $G_{1}$ , содержащая $G$ в виде подгруппы Ли и также транзитивная на $M$ , причем ограничение этого транзитивного действия на $G$ дает исходное транзитивное действие группы Ли $G$ . Примером расширения группы параллельных переносов пространства $R^{3}$ является группа аффинных преобразований этого пространства.

Согласно [6, 10] можно говорить, что локально точно транзитивная группа Ли преобразований пространства $R^{4}$ задает феноменологически симметричную геометрию двух множеств ранга $(2,2)$ , а локально ограниченно точно дважды транзитивная группа Ли преобразований пространства $R^{4}$ задает феноменологически симметричную геометрию двух множеств ранга $(3,2)$ . Отметим, что первым множеством является пространство $R^{4}$ , а вторым множеством является транзитивно действующая группа Ли $G$

В данной работе ставится задача о нахождении всех локальных ограниченно точно дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов пространства $R^{4}$ . Результаты исследований изложены в [7, 9] на примере классификации локальных ограниченно точно дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов плоскости $R^{2}$ , а также в [5, 8] на примере классификации локальных ограниченно точно дважды транзитивных расширений группы параллельных переносов прострнаства $R^{3}$ .

2. Основные определения. Следуя [1, 6], определим локальное действие класса $C^{2}$ группы Ли $G$ , $\dim G = n$ , в пространстве $R^{4}$ .

Определение 1 Дифференцируемое отображение $π : R^{4} \times G \to R^{4}$ класса $C^{2}$ называется эффективным локальным действием, если выполняются следующие свойства:

$π (a, e)= a$ для всех $a \in W$ , где $W$ $—$ область в $R^{4}$ , $e \in G$ " $—$ единица;
$π (π (a, h_{1}), h_{2})= π (a, h_{1} h_{2})$ для всех $a \in W$ , где $h_{1}, h_{2} \in G$ ;
$π (a, h)= a$ для всех $a \in W$ , где $h \in G$ , тогда и только тогда, когда $h = e$ ;
$π_{h} : R^{4} \to R^{4}$ " $—$ локальный диффеоморфизм для всякого $h \in G$ .

Тройка $(R^{4}, G, π)$ называется локальной группой Ли преобразований многообразия $R^{4}$ .

Обозначим через $L$ алгебру Ли данной группы преобразований. Базис этой алгебры Ли состоит из операторов

$Z_{i} = Z_{i}^{1} \partial_{x} + Z_{i}^{2} \partial_{y} + Z_{i}^{3} \partial_{z} + Z_{i}^{4} \partial_{w}, i =1, \dots, n$ (2.1)

Определение 2 Эффективное локальное действие $π : R^{4} \times G \to R^{4}$ называется локально ограниченно точно дважды транзитивным, если дополнительно выполняются следующие свойства:

1. $n =8$
матрица

$V = (\begin{matrix} Z_{1}^{1} (a) & Z_{1}^{2} (a) & Z_{1}^{3} (a) & Z_{1}^{4} (a) & Z_{1}^{1} (b) & Z_{1}^{2} (b) & Z_{1}^{3} (b) & Z_{1}^{4} (b) \\ Z_{2}^{1} (a) & Z_{2}^{2} (a) & Z_{2}^{3} (a) & Z_{2}^{4} (a) & Z_{2}^{1} (b) & Z_{2}^{2} (b) & Z_{2}^{3} (b) & Z_{2}^{4} (b) \\ Z_{3}^{1} (a) & Z_{3}^{2} (a) & Z_{3}^{3} (a) & Z_{3}^{4} (a) & Z_{3}^{1} (b) & Z_{3}^{2} (b) & Z_{3}^{3} (b) & Z_{1}^{4} (b) \\ Z_{4}^{1} (a) & Z_{4}^{2} (a) & Z_{4}^{3} (a) & Z_{4}^{4} (a) & Z_{4}^{1} (b) & Z_{4}^{2} (b) & Z_{4}^{3} (b) & Z_{4}^{4} (b) \\ Z_{5}^{1} (a) & Z_{5}^{2} (a) & Z_{5}^{3} (a) & Z_{5}^{4} (a) & Z_{5}^{1} (b) & Z_{5}^{2} (b) & Z_{5}^{3} (b) & Z_{5}^{4} (b) \\ Z_{6}^{1} (a) & Z_{6}^{2} (a) & Z_{6}^{3} (a) & Z_{6}^{4} (a) & Z_{6}^{1} (b) & Z_{6}^{2} (b) & Z_{6}^{3} (b) & Z_{6}^{4} (b) \\ Z_{7}^{1} (a) & Z_{7}^{2} (a) & Z_{7}^{3} (a) & Z_{7}^{4} (a) & Z_{7}^{1} (b) & Z_{7}^{2} (b) & Z_{7}^{3} (b) & Z_{7}^{4} (b) \\ Z_{8}^{1} (a) & Z_{8}^{2} (a) & Z_{8}^{3} (a) & Z_{8}^{4} (a) & Z_{8}^{1} (b) & Z_{8}^{2} (b) & Z_{8}^{3} (b) & Z_{8}^{4} (b) \end{matrix}),$ (2.2)

составленная из коэффициентов операторовЁ(0.2.1)б невырождена для любых точек некоторых окрестностей $U (a^{'}), U (b^{'}) \subset W$ .

Свойства (v) и (vi) равносильны тому, что действие $π \times π$ в $R^{4} \times R^{4}$ локально точно транзитивно.

Определение 3 Будем говорить, что локально ограниченно точно дважды транзитивное действие $π : R^{4} \times G \to R^{4}$ является локальным расширением группы параллельных переносов, если базис его алгебры Ли $L$ состоит из операторов

$X_{1} = \partial_{x}, X_{2} = \partial_{y}, X_{3} = \partial_{z}, X_{4} = \partial_{w}, Y_{i} = A_{i} \partial_{x} + B_{i} \partial_{y} + C_{i} \partial_{z} + D_{i} \partial_{w},$ (2.3)

причём $A_{i} = A_{i} (x, y, z, w)$ , $B_{i} = B_{i} (x, y, z, w)$ , $C_{i} = C_{i} (x, y, z, w)$ , $D_{i} = D_{i} (x, y, z, w)$ , $i =1,2,3,4$ , $—$ дифференцируемые функции класса гладкости $C^{1}$ .

В таком случае в алгебре Ли $L$ выделяется коммутативная трехмерная подалгебра $J$ , образованная операторами $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ и $X_{4}$ . Произвольный оператор $Y$ является линейной комбинацией с постоянными коэффициентами базисных операторов.

Теорема 1 Локальное действие $π : R^{4} \times G \to R^{4}$ с операторами ее алгебры Ли (2.3) локально ограниченно точно дважды транзитивно тогда и только тогда, когда матрица $K (b) - K (a)$ невырождена, где

$K (a)= (\begin{matrix} A_{1} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) & B_{1} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) & C_{1} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) & D_{1} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) \\ A_{2} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) & B_{2} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) & C_{2} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) & D_{2} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) \\ A_{3} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) & B_{3} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) & C_{3} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) & D_{3} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) \\ A_{4} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) & B_{4} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) & C_{4} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) & D_{4} (x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) \end{matrix}),$

причем $a =(x_{a}, y_{a}, z_{a}, w_{a}) \in U (a^{'}) \subset W \subset R^{4}$ .

Доказательство. Матрица (2.2) для действия $π : R^{4} \times G \to R^{4}$ с операторами ее алгебры Ли (2.3) принимает следующий вид:

$V = (\begin{matrix} E & E \\ K (a) & K (b) \end{matrix}),$

где $E$ $—$ единичная $(4 \times 4)$ =матрица. Согласно формуле Шура (см. [2, с.~59]) $| V |=| K (b) - K (a)|$ . Если действие $π : R^{4} \times G \to R^{4}$ локально ограниченно точно дважды транзитивно, то $| V | \neq 0$ и поэтому $| K (b) - K (a)| \neq 0$ . Справедливо и обратное.

Следствие Локальное действие $π : R^{4} \times G \to R^{4}$ с операторами алгебры Ли вида

$X_{1} = \partial_{x}, X_{2} = \partial_{y}, X_{3} = \partial_{z}, X_{4} = \partial_{w},$

$Y_{i} = A_{i} (x, y, z, w) \partial_{x} + B_{i} (x, y, z, w) \partial_{y} + C_{i} (x, y, z, w) \partial_{z}, i =1,2,3,4$

не является локально ограниченно точно дважды транзитивным.

3. Системы линейных уравнений. Из свойства замкнутости относительно операции коммутирования, следует, что и коммутаторы $[X_{j}, Y_{k}]$ , $j, k =1,2,3,4$ , принадлежат этой же алгебре Ли (см. [12]). ВЁкоординатной записи, с учетом (2.3), это свойство приводит к системе дифференциальных уравнений на коэффициенты $A_{i}$ , $B_{i}$ , $C_{i}$ , $D_{i}$ :

$\begin{array}{l} {\overset{\leftarrow}{A}}_{x} = T_{1} \overset{\leftarrow}{A} + {\overset{\leftarrow}{G}}^{1}, {\overset{\leftarrow}{A}}_{y} = T_{2} \overset{\leftarrow}{A} + {\overset{\leftarrow}{P}}^{1}, {\overset{\leftarrow}{A}}_{z} = T_{3} \overset{\leftarrow}{A} + {\overset{\leftarrow}{Q}}^{1}, {\overset{\leftarrow}{A}}_{w} = T_{4} \overset{\leftarrow}{A} + {\overset{\leftarrow}{R}}^{1}, \\ {\overset{\leftarrow}{B}}_{x} = T_{1} \overset{\leftarrow}{B} + {\overset{\leftarrow}{G}}^{2}, {\overset{\leftarrow}{B}}_{y} = T_{2} \overset{\leftarrow}{B} + {\overset{\leftarrow}{P}}^{2}, {\overset{\leftarrow}{B}}_{z} = T_{3} \overset{\leftarrow}{B} + {\overset{\leftarrow}{Q}}^{2}, {\overset{\leftarrow}{B}}_{w} = T_{4} \overset{\leftarrow}{B} + {\overset{\leftarrow}{R}}^{2}, \\ {\overset{\leftarrow}{C}}_{x} = T_{1} \overset{\leftarrow}{C} + {\overset{\leftarrow}{G}}^{3}, {\overset{\leftarrow}{C}}_{y} = T_{2} \overset{\leftarrow}{C} + {\overset{\leftarrow}{P}}^{3}, {\overset{\leftarrow}{C}}_{z} = T_{3} \overset{\leftarrow}{C} + {\overset{\leftarrow}{Q}}^{3}, {\overset{\leftarrow}{C}}_{w} = T_{4} \overset{\leftarrow}{C} + {\overset{\leftarrow}{R}}^{3}, \\ {\overset{\leftarrow}{D}}_{x} = T_{1} \overset{\leftarrow}{D} + {\overset{\leftarrow}{G}}^{4}, {\overset{\leftarrow}{D}}_{y} = T_{2} \overset{\leftarrow}{D} + {\overset{\leftarrow}{P}}^{4}, {\overset{\leftarrow}{D}}_{z} = T_{3} \overset{\leftarrow}{D} + {\overset{\leftarrow}{Q}}^{4}, {\overset{\leftarrow}{D}}_{w} = T_{4} \overset{\leftarrow}{D} + {\overset{\leftarrow}{R}}^{4}, \end{array}$ (3.1)

где введены матричные обозначения:

$T_{1} = (\begin{matrix} a_{1}^{1} & a_{1}^{2} & a_{1}^{3} & a_{1}^{4} \\ a_{2}^{1} & a_{2}^{2} & a_{2}^{3} & a_{2}^{4} \\ a_{3}^{1} & a_{3}^{2} & a_{3}^{3} & a_{3}^{4} \\ a_{4}^{1} & a_{4}^{2} & a_{4}^{3} & a_{4}^{4} \end{matrix}), T_{2} = (\begin{matrix} b_{1}^{1} & b_{1}^{2} & b_{1}^{3} & b_{1}^{4} \\ b_{2}^{1} & b_{2}^{2} & b_{2}^{3} & b_{2}^{4} \\ b_{3}^{1} & b_{3}^{2} & b_{3}^{3} & b_{3}^{4} \\ b_{4}^{1} & b_{4}^{2} & b_{4}^{3} & b_{4}^{4} \end{matrix}), T_{3} = (\begin{matrix} c_{1}^{1} & c_{1}^{2} & c_{1}^{3} & c_{1}^{4} \\ c_{2}^{1} & c_{2}^{2} & c_{2}^{3} & c_{2}^{4} \\ c_{3}^{1} & c_{3}^{2} & c_{3}^{3} & c_{3}^{4} \\ c_{4}^{1} & c_{4}^{2} & c_{4}^{3} & c_{4}^{4} \end{matrix}),$

$T_{4} = (\begin{matrix} d_{1}^{1} & d_{1}^{2} & d_{1}^{3} & d_{1}^{4} \\ d_{2}^{1} & d_{2}^{2} & d_{2}^{3} & d_{2}^{4} \\ d_{3}^{1} & d_{3}^{2} & d_{3}^{3} & d_{3}^{4} \\ d_{4}^{1} & d_{4}^{2} & d_{4}^{3} & d_{4}^{4} \end{matrix}), \overset{\leftarrow}{A} = (\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \\ A_{3} \\ A_{4} \end{matrix}), \overset{\leftarrow}{B} = (\begin{matrix} B_{1} \\ B_{2} \\ B_{3} \\ B_{4} \end{matrix}), \overset{\leftarrow}{C} = (\begin{matrix} C_{1} \\ C_{2} \\ C_{3} \\ C_{4} \end{matrix}), \overset{\leftarrow}{D} = (\begin{matrix} D_{1} \\ D_{2} \\ D_{3} \\ D_{4} \end{matrix}),$

${\overset{\leftarrow}{G}}^{j} = (\begin{matrix} g_{1}^{j} \\ g_{2}^{j} \\ g_{3}^{j} \\ g_{4}^{j} \end{matrix}), {\overset{\leftarrow}{Q}}^{j} = (\begin{matrix} q_{1}^{j} \\ q_{2}^{j} \\ q_{3}^{j} \\ q_{4}^{j} \end{matrix}), \overset{\leftarrow}{P^{j}} = (\begin{matrix} p_{1}^{j} \\ p_{2}^{j} \\ p_{3}^{j} \\ p_{4}^{j} \end{matrix}), \overset{\leftarrow}{R^{j}} = (\begin{matrix} r_{1}^{j} \\ r_{2}^{j} \\ r_{3}^{j} \\ r_{4}^{j} \end{matrix}),$

причем $a_{i}^{j}$ , $b_{i}^{j}$ , $c_{i}^{j}$ , $d_{i}^{j}$ , $g_{i}^{j}$ , $q_{i}^{j}$ , $p_{i}^{j}$ , $r_{i}^{j} = c o n s t$ , $i, j =1,2,3,4$ .

Из свойства независимости частных производных относительно порядка дифференцирования вытекают соотношения:

$\begin{array}{l} (T_{i} T_{j} - T_{j} T_{i}) \overset{\leftarrow}{A} = \overset{\leftarrow}{c o n s t}, (T_{i} T_{j} - T_{j} T_{i}) \overset{\leftarrow}{B} = \overset{\leftarrow}{c o n s t}, \\ (T_{i} T_{j} - T_{j} T_{i}) \overset{\leftarrow}{C} = \overset{\leftarrow}{c o n s t}, (T_{i} T_{j} - T_{j} T_{i}) \overset{\leftarrow}{D} = \overset{\leftarrow}{c o n s t}, \end{array}$ (3.2)

где $i < j =1,2,3,4$ . Линейные системы (0.3.1), очевидно, совместны.

Теорема 2 Подалгебра Ли $J$ алгебры Ли $L$ является идеалом тогда и только тогда, когда векторы ${\overset{\leftarrow}{A}}_{x}$ , ${\overset{\leftarrow}{B}}_{x}$ , ${\overset{\leftarrow}{C}}_{x}$ , ${\overset{\leftarrow}{D}}_{x}$ , ${\overset{\leftarrow}{A}}_{y}$ , ${\overset{\leftarrow}{B}}_{y}$ , ${\overset{\leftarrow}{C}}_{y}$ , ${\overset{\leftarrow}{D}}_{y}$ , ${\overset{\leftarrow}{A}}_{z}$ , ${\overset{\leftarrow}{B}}_{z}$ , ${\overset{\leftarrow}{C}}_{z}$ , ${\overset{\leftarrow}{D}}_{z},$ ${\overset{\leftarrow}{A}}_{w}$ , ${\overset{\leftarrow}{B}}_{w}$ , ${\overset{\leftarrow}{C}}_{w}$ , ${\overset{\leftarrow}{D}}_{w}$ постоянные.

Доказательство. Пусть сначала $J$ $—$ идеал в $L$ . Заметим, что $J$ является идеалом тогда и только тогда, когда

$[X_{i}, Y_{k}]= μ_{1} X_{1} + μ_{2} X_{2} + μ_{3} X_{3} + μ_{4} X_{4},$

причем $μ_{1}, μ_{2}, μ_{3}, μ_{4} = c o n s t$ , $i, k =1,2,3,4$ . Тогда векторы ${\overset{\leftarrow}{A}}_{x}$ , ${\overset{\leftarrow}{B}}_{x}$ , ${\overset{\leftarrow}{C}}_{x}$ , ${\overset{\leftarrow}{D}}_{x}$ , ${\overset{\leftarrow}{A}}_{y}$ , ${\overset{\leftarrow}{B}}_{y}$ , ${\overset{\leftarrow}{C}}_{y}$ , ${\overset{\leftarrow}{D}}_{y}$ , ${\overset{\leftarrow}{A}}_{z}$ , ${\overset{\leftarrow}{B}}_{z}$ , ${\overset{\leftarrow}{C}}_{z}$ , ${\overset{\leftarrow}{D}}_{z},$ ${\overset{\leftarrow}{A}}_{w}$ , ${\overset{\leftarrow}{B}}_{w}$ , ${\overset{\leftarrow}{C}}_{w}$ , ${\overset{\leftarrow}{D}}_{w}$ постоянные.

Обратно, пусть производные коэффициентов операторов $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ и $Y_{4}$ постоянны; тогда коммутаторы $[X_{i}, Y_{k}]$ будут линейно выражаться через операторы $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ и $X_{4}$ , поэтому $J$ $—$ идеал в $L$ .

Следствие $T_{1} = T_{2} = T_{3} = T_{4} =0$ тогда и только тогда, когда $J$ $—$ идеал в $L$ .

Доказательство. Если $T_{1} = T_{2} = T_{3} = T_{4} =0$ , то из системы (3.1) получаем, что производные векторов $\overset{\leftarrow}{A}$ , $\overset{\leftarrow}{B}$ , $\overset{\leftarrow}{C}$ , $\overset{\leftarrow}{D}$ по переменным $x$ , $y$ , $z$ , $w$ постоянны, и поэтому $J$ $—$ идеал в $L$ (теорема 2).

Пусть $J$ $—$ идеал в $L$ . Предположим для определенности, что $T_{1} \neq 0$ . Тогда согласно системе (3.2) хотя бы одна из производных ${\overset{\leftarrow}{A}}_{x}$ , ${\overset{\leftarrow}{B}}_{x}$ , ${\overset{\leftarrow}{C}}_{x}$ , ${\overset{\leftarrow}{D}}_{x}$ не постоянна. Поэтому согласно теореме 2 получаем, что $J$ не является идеалом в $L$ . Противоречие.

Теорема 3 Матрицы коэффициентов системы (3.1) взаимно коммутативны, т.е.

$T_{i} T_{j} - T_{j} T_{i} =0, i < j =1,2,3,4.$

Доказательство. Пусть одна из пар матриц коэффициентов системы (3.1) некоммутативна, т.е. $T_{1} T_{2} - T_{2} T_{1} \neq 0$ . В таком случае ранг матрицы $T_{1} T_{2} - T_{2} T_{1}$ равен либо $4$ , либо $3$ , либо $2$ , либо $1$ . Эквивалентными преобразованиями добьемся упрощения систем линейных уравнений

$(T_{1} T_{2} - T_{2} T_{1}) \overset{\leftarrow}{A} = {\overset{\leftarrow}{R}}_{1}, (T_{1} T_{2} - T_{2} T_{1}) \overset{\leftarrow}{B} = {\overset{\leftarrow}{R}}_{2}, (T_{1} T_{2} - T_{2} T_{1}) \overset{\leftarrow}{C} = {\overset{\leftarrow}{R}}_{3}, (T_{1} T_{2} - T_{2} T_{1}) \overset{\leftarrow}{D} = {\overset{\leftarrow}{R}}_{4} .$

Тогда в эквивалентных системах матрица коэффициентов $T_{1} T_{2} - T_{2} T_{1}$ принимает один из следующих видов:

$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{matrix}), (\begin{matrix} \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{matrix}), (\begin{matrix} \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots \end{matrix}), (\begin{matrix} \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}) .$

Значит, $A_{1} = c o n s t$ , $B_{1} = c o n s t$ , $C_{1} = c o n s t$ , $D_{1} = c o n s t$ , или $A_{2} = c o n s t$ , $B_{2} = c o n s t$ , $C_{2} = c o n s t$ , $D 2= c o n s t$ , или $A_{3} = c o n s t$ , $B_{3} = c o n s t$ , $C_{3} = c o n s t$ , $D_{3} = c o n s t$ , или $A_{4} = c o n s t$ , $B_{4} = c o n s t$ , $C_{4} = c o n s t$ , $D_{4} = c o n s t$ . Поэтому, соответственно, оператор $Y_{1}$ , или $Y_{2}$ , или $Y_{3}$ , или $Y_{4}$ из системы (2.3) линейно выражается через операторы $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ и $X_{4}$ , что противоречит линейной независимости базисных операторов (2.3). Аналогичная проверка проводится и относительно систем из (3.2) с матрицами коэффициентов $T_{i} T_{j} - T_{j} T_{i} =0$ , $i < j =1,2,3,4$ .

Теорема 4 Для алгебры Ли локально ограниченно точно дважды транзитивного действия $π : R^{4} \times G \to R^{4}$ в подходящем базисе матрица $T_{1}$ принимает следующий вид:

$\begin{array}{l} 1) & J_{1, λ_{1}} ∔ J_{1, λ_{2}} ∔ J_{1, λ_{3}} ∔ J_{1, λ_{4}}; \\ 2) & J_{2, λ_{5}} ∔ J_{1, λ_{6}} ∔ J_{1, λ_{7}}; \\ 3) & J_{2, λ_{5}} ∔ J_{2, λ_{8}}; \\ 4) & J_{3, λ_{9}} ∔ J_{1, λ_{10}}; \\ 5) & J_{4, λ}, \end{array}$ (3.3)

где $J_{m, μ}$ $—$ жорданова клетка порядка $m$ , соответствующая собственному значению $μ$ .

Доказательство. Базис алгебры Ли локально ограниченно точно дважды транзитивного действия $π : R^{4} \times G \to R^{4}$ задается операторами (2.3). Перейдем к новому базису

${X^{'}}_{i} = X_{i}, {Y^{'}}_{i} = \sum_{j =1}^{4} χ_{i}^{j} Y_{j}$

при помощи невырожденной матрицы коэффициентов $χ =(χ_{i}^{j})$ . Тогда выражения (2.3) принимают следующий вид:

$X_{1} = \partial_{x}, X_{2} = \partial_{y}, X_{3} = \partial_{z}, X_{4} = \partial_{w}, {Y^{'}}_{i} = {A^{'}}_{i} \partial_{x} + {B^{'}}_{i} \partial_{y} + {C^{'}}_{i} \partial_{z} + {D^{'}}_{i} \partial_{w},$

причем

$\overset{\leftarrow}{A^{'}} = χ \overset{\leftarrow}{A}, \overset{\leftarrow}{B^{'}} = χ \overset{\leftarrow}{B}, \overset{\leftarrow}{C^{'}} = χ \overset{\leftarrow}{C}, \overset{\leftarrow}{D^{'}} = χ \overset{\leftarrow}{D} .$ (0.3.4)

Вычисляя коммутаторы $[X_{i}, {Y^{'}}_{j}]$ , учитывая их замкнутость и сравнивая коэффициенты при $\partial_{x}$ , $\partial_{y}$ , $\partial_{z}$ и $\partial_{w}$ , получаем векторные уравнения

$\{\begin{array}{l} {\overset{\leftarrow}{A^{'}}}_{x} = {T^{'}}_{1} \overset{\leftarrow}{A^{'}} + {\overset{\leftarrow}{G^{'}}}^{1}, & {\overset{\leftarrow}{A^{'}}}_{y} = {T^{'}}_{2} \overset{\leftarrow}{A^{'}} + {\overset{\leftarrow}{P^{'}}}^{1}, & {\overset{\leftarrow}{A^{'}}}_{z} = {T^{'}}_{3} \overset{\leftarrow}{A^{'}} + {\overset{\leftarrow}{Q^{'}}}^{1}, & {\overset{\leftarrow}{A^{'}}}_{w} = {T^{'}}_{4} \overset{\leftarrow}{A^{'}} + {\overset{\leftarrow}{R^{'}}}^{1}, \\ {\overset{\leftarrow}{B^{'}}}_{x} = {T^{'}}_{1} \overset{\leftarrow}{B^{'}} + {\overset{\leftarrow}{G^{'}}}^{2}, & {\overset{\leftarrow}{B^{'}}}_{y} = {T^{'}}_{2} \overset{\leftarrow}{B^{'}} + {\overset{\leftarrow}{P^{'}}}^{2}, & {\overset{\leftarrow}{B^{'}}}_{z} = {T^{'}}_{3} \overset{\leftarrow}{B^{'}} + {\overset{\leftarrow}{Q^{'}}}^{2}, & {\overset{\leftarrow}{B^{'}}}_{w} = {T^{'}}_{4} \overset{\leftarrow}{B^{'}} + {\overset{\leftarrow}{R^{'}}}^{2}, \\ {\overset{\leftarrow}{C^{'}}}_{x} = {T^{'}}_{1} \overset{\leftarrow}{C^{'}} + {\overset{\leftarrow}{G^{'}}}^{3}, & {\overset{\leftarrow}{C^{'}}}_{y} = {T^{'}}_{2} \overset{\leftarrow}{C^{'}} + {\overset{\leftarrow}{P^{'}}}^{3}, & {\overset{\leftarrow}{C^{'}}}_{z} = {T^{'}}_{3} \overset{\leftarrow}{C^{'}} + {\overset{\leftarrow}{Q^{'}}}^{3}, & {\overset{\leftarrow}{C^{'}}}_{w} = {T^{'}}_{4} \overset{\leftarrow}{C^{'}} + {\overset{\leftarrow}{R^{'}}}^{3}, \\ {\overset{\leftarrow}{D^{'}}}_{x} = {T^{'}}_{1} \overset{\leftarrow}{D^{'}} + {\overset{\leftarrow}{G^{'}}}^{4}, & {\overset{\leftarrow}{D^{'}}}_{y} = {T^{'}}_{2} \overset{\leftarrow}{D^{'}} + {\overset{\leftarrow}{P^{'}}}^{4}, & {\overset{\leftarrow}{D^{'}}}_{z} = {T^{'}}_{3} \overset{\leftarrow}{D^{'}} + {\overset{\leftarrow}{Q^{'}}}^{4}, & {\overset{\leftarrow}{D^{'}}}_{w} = {T^{'}}_{4} \overset{\leftarrow}{D^{'}} + {\overset{\leftarrow}{R^{'}}}^{4} . \end{array}$

Подставляя в последнюю систему выражения (3.4) и сравнивая с (3.1), находим

$T_{1} = χ^{- 1} {T^{'}}_{1} χ, T_{2} = χ^{- 1} {T^{'}}_{2} χ, T_{3} = χ^{- 1} {T^{'}}_{3} χ, T_{4} = χ^{- 1} {T^{'}}_{4} χ .$

Поскольку матрицу $T_{1}$ можно привести к жордановому виду при помощи надлежащего выбора невырожденной матрицы $χ$ (см. [4, с.~482]), приходим к утверждению теоремы.

Отметим, что в теореме 4 собственные значения матриц могут быть как вещественными, так и комплексно сопряженными, поэтому в явном виде эти матрицы, с учетом вещественных форм, принимают следующий вид:

null (3.5)

причём $β_{1} \neq 0$ , $β_{2} \neq 0$ , $β_{3} \neq 0$ , $β_{4} \neq 0$ . Заметим, что в этих матрицах все элементы $—$ вещественные числа.

Теорема 5 Пусть $T_{1}$ $—$ вещественная форма (3.5) жордановой матрицы из (3.3). Справедливы следующие утверждения. [ 1.]

1. Для матрицы $T$ , коммутирующей с матрицей $T_{1}$ вида 1 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможны соответственно четыре различных случая:

$\begin{array}{l} (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ a_{5} & a_{6} & a_{7} & a_{8} \\ a_{9} & a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16} \end{matrix}), λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = λ_{4}; & (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & 0 \\ a_{5} & a_{6} & a_{7} & 0 \\ a_{9} & a_{10} & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{16} \end{matrix}), λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} \neq λ_{4}; \\ (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & 0 & 0 \\ a_{5} & a_{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{16} \end{matrix}), \begin{array}{l} λ_{1} = λ_{2} \neq λ_{3} \neq λ_{4}, \\ λ_{1} = λ_{2} \neq λ_{4}; \end{array} & (\begin{matrix} a_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{16} \end{matrix}) \begin{array}{l} дляпопарнораз - \\ личных λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}, λ_{4} . \end{array} \end{array}$ (3.6)

2. Для матрицы $T$ , коммутирующей с матрицей $T_{1}$ вида 2 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможны соответственно два различных случая:

$(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & 0 & 0 \\ a_{5} & a_{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & - a_{12} \\ 0 & 0 & a_{12} & a_{11} \end{matrix}), λ_{1} = λ_{2}; (\begin{matrix} a_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{6} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & - a_{12} \\ 0 & 0 & a_{12} & a_{11} \end{matrix}), λ_{1} \neq λ_{2} .$ (3.7)

3. Для матрицы $T$ , коммутирующей с матрицей $T_{1}$ вида 3 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможен случай

$(\begin{matrix} a_{1} & - a_{2} & 0 & 0 \\ a_{2} & a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & - a_{12} \\ 0 & 0 & a_{12} & a_{11} \end{matrix}) .$ (3.8)

4. Для матрицы $T$ , коммутирующей с матрицей $T_{1}$ вида 4 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможны четыре различных случая:

$\begin{array}{l} (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ 0 & a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{14} & a_{15} & a_{16} \end{matrix}), λ_{5} = λ_{6} = λ_{7}; & (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & 0 \\ 0 & a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & a_{10} & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{16} \end{matrix}), λ_{5} = λ_{6} \neq λ_{7}; \\ (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & 0 & 0 \\ 0 & a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & a_{12} \\ 0 & 0 & a_{15} & a_{16} \end{matrix}), λ_{5} \neq λ_{6} = λ_{7}; & (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & 0 & 0 \\ 0 & a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{16} \end{matrix}), \begin{array}{l} λ_{5} \neq λ_{6}, \\ λ_{5} \neq λ_{7}, \\ λ_{6} \neq λ_{7} . \end{array} \end{array}$ (3.9)

5. Для матрицы $T$ , коммутирующей с матрицей $T_{1}$ вида 5 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможен случай

$(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & 0 & 0 \\ 0 & a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & - a_{12} \\ 0 & 0 & a_{12} & a_{11} \end{matrix}) .$ (3.10)

6. Для матрицы $T$ , коммутирующей с матрицей $T_{1}$ вида 6 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможны два различных случая:

$(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ 0 & a_{1} & 0 & a_{3} \\ a_{9} & a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ 0 & a_{9} & 0 & a_{11} \end{matrix}), λ_{5} = λ_{8}; (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & 0 & 0 \\ 0 & a_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_{11} & a_{12} \\ 0 & 0 & 0 & a_{11} \end{matrix}), λ_{5} \neq λ_{8} .$ (3.11)

7. Для матрицы $T$ , коммутирующей с матрицей $T_{1}$ вида 7 из (3.5), с точностью до перестановки строк и столбцов, возможны соответственно два различных случая:

$(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ 0 & a_{1} & a_{2} & 0 \\ 0 & 0 & a_{1} & 0 \\ 0 & 0 & a_{15} & a_{16} \end{matrix}), λ_{9} = λ_{10}; (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & 0 \\ 0 & a_{1} & a_{2} & 0 \\ 0 & 0 & a_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{16} \end{matrix}), λ_{9} \neq λ_{10} .$ (3.12)

8. Матрица $T$ , коммутирующая с матрицей $T_{1}$ вида 8 из (3.5), имеет вид

$(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ 0 & a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & 0 & a_{1} & a_{2} \\ 0 & 0 & 0 & a_{1} \end{matrix}) .$ (3.13)

Доказательство. данной теоремы сводится к вычислению матричных коммутаторов и приравниванию их к нулевой матрице: $T_{1} T - T T_{1} =0$ . Проиллюстрируем это для последнего случая, когда матрица $T_{1}$ имеет вид 8) из (3.5) и

$T = (\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4} \\ a_{5} & a_{6} & a_{7} & a_{8} \\ a_{9} & a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{13} & a_{14} & a_{15} & a_{16} \end{matrix}) .$

Получаем

$T_{1} T - T T_{1} = (\begin{matrix} - a_{5} & a_{1} - a_{6} & a_{2} - a_{7} & a_{3} - a_{8} \\ - a_{9} & a_{5} - a_{10} & a_{6} - a_{11} & a_{7} - a_{12} \\ - a_{13} & a_{9} - a_{14} & a_{10} - a_{15} & a_{11} - a_{16} \\ 0 & a_{15} & a_{14} & a_{15} \end{matrix}) =0.$

Видно, что

$a_{5} = a_{9} = a_{10} = a_{13} = a_{14} = a_{15} =0, a_{1} = a_{6} = a_{11} = a_{16}, a_{7} = a_{2} = a_{12}, a_{3} = a_{b} .$

В результате матрица $T$ принимает вид (3.13). Аналогично получаем (3.6) $-$ (3.12).

Теоремы 3 $-$ 5 дают существенные ограничения на матрицы коэффициентов $T_{2}$ , $T_{3}$ и $T_{4}$ из системы (3.1). Несложно установить, что матрицы $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ и $T_{4}$ могут принимать следующие неупорядоченные четвёрки значений:

$1. (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} μ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & μ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & μ_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & μ_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} ν_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & ν_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ν_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ν_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} ρ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & ρ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ρ_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ρ_{4} \end{matrix});$

$2. (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} & - λ_{4} \\ 0 & 0 & λ_{4} & λ_{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} μ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & μ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & μ_{3} & - μ_{4} \\ 0 & 0 & μ_{4} & μ_{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} ν_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & ν_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ν_{3} & - ν_{4} \\ 0 & 0 & ν_{4} & ν_{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} ρ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & ρ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ρ_{3} & - ρ_{4} \\ 0 & 0 & ρ_{4} & ρ_{3} \end{matrix}),$

$λ_{4} \neq 0;$

$3. (\begin{matrix} λ_{1} & - λ_{2} & 0 & 0 \\ λ_{2} & λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} & - λ_{4} \\ 0 & 0 & λ_{4} & λ_{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} μ_{1} & - μ_{2} & 0 & 0 \\ μ_{2} & μ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & μ_{3} & - μ_{4} \\ 0 & 0 & μ_{4} & μ_{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} ν_{1} & - ν_{2} & 0 & 0 \\ ν_{2} & ν_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ν_{3} & - ν_{4} \\ 0 & 0 & ν_{4} & ν_{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} ρ_{1} & - ρ_{2} & 0 & 0 \\ ρ_{2} & ρ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ρ_{3} & - ρ_{4} \\ 0 & 0 & ρ_{4} & ρ_{3} \end{matrix}),$ $λ_{2} \neq 0, λ_{4} \neq 0;$

$4. (\begin{matrix} λ_{1} & λ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} μ_{1} & μ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & μ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & μ_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & μ_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} ν_{1} & ν_{2} & 0 & 0 \\ 0 & ν_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ν_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ν_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} ρ_{1} & ρ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & ρ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ρ_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ρ_{4} \end{matrix}),$

$λ_{2}^{2} + μ_{2}^{2} + ν_{2}^{2} + ρ_{2}^{2} \neq 0;$

$5. (\begin{matrix} λ_{1} & λ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} & - λ_{4} \\ 0 & 0 & λ_{4} & λ_{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} μ_{1} & μ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & μ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & μ_{3} & - μ_{4} \\ 0 & 0 & μ_{4} & μ_{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} ν_{1} & ν_{2} & 0 & 0 \\ 0 & ν_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ν_{3} & - ν_{4} \\ 0 & 0 & ν_{4} & ν_{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} ρ_{1} & ρ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & ρ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ρ_{3} & - ρ_{4} \\ 0 & 0 & ρ_{4} & ρ_{3} \end{matrix}),$

$λ_{4} \neq 0;$

$6. (\begin{matrix} λ_{1} & λ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} & λ_{4} \\ 0 & 0 & 0 & λ_{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} μ_{1} & μ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & μ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & μ_{3} & μ_{4} \\ 0 & 0 & 0 & μ_{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} ν_{1} & ν_{2} & 0 & 0 \\ 0 & ν_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ν_{3} & ν_{4} \\ 0 & 0 & 0 & ν_{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} ρ_{1} & ρ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & ρ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ρ_{3} & ρ_{4} \\ 0 & 0 & 0 & ρ_{3} \end{matrix}),$

$λ_{2}^{2} + μ_{2}^{2} + ν_{2}^{2} + ρ_{2}^{2} \neq 0, λ_{4}^{2} + μ_{4}^{2} + ν_{4}^{2} + ρ_{4}^{2} \neq 0;$

$7. (\begin{matrix} λ_{1} & λ_{2} & λ_{3} & 0 \\ 0 & λ_{1} & λ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} μ_{1} & μ_{2} & μ_{3} & 0 \\ 0 & μ_{1} & μ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & μ_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & μ_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} ν_{1} & ν_{2} & ν_{3} & 0 \\ 0 & ν_{1} & ν_{2} & 0 \\ 0 & 0 & ν_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ν_{4} \end{matrix}), (\begin{matrix} ρ_{1} & ρ_{2} & ρ_{3} & 0 \\ 0 & ρ_{1} & ρ_{2} & 0 \\ 0 & 0 & ρ_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ρ_{4} \end{matrix}),$

$λ_{2}^{2} + μ_{2}^{2} + ν_{2}^{2} + ρ_{2}^{2} \neq 0;$

$8. (\begin{matrix} λ_{1} & λ_{2} & λ_{3} & λ_{4} \\ 0 & λ_{1} & λ_{2} & λ_{3} \\ 0 & 0 & λ_{1} & λ_{2} \\ 0 & 0 & 0 & λ_{1} \end{matrix}), (\begin{matrix} μ_{1} & μ_{2} & μ_{3} & μ_{4} \\ 0 & μ_{1} & μ_{2} & μ_{3} \\ 0 & 0 & μ_{1} & μ_{2} \\ 0 & 0 & 0 & μ_{1} \end{matrix}), (\begin{matrix} ν_{1} & ν_{2} & ν_{3} & ν_{4} \\ 0 & ν_{1} & ν_{2} & ν_{3} \\ 0 & 0 & ν_{1} & ν_{2} \\ 0 & 0 & 0 & ν_{1} \end{matrix}), (\begin{matrix} ρ_{1} & ρ_{2} & ρ_{3} & ρ_{4} \\ 0 & ρ_{1} & ρ_{2} & ρ_{3} \\ 0 & 0 & ρ_{1} & ρ_{2} \\ 0 & 0 & 0 & ρ_{1} \end{matrix}),$

$λ_{2}^{2} + μ_{2}^{2} + ν_{2}^{2} + ρ_{2}^{2} \neq 0.$

4. Разложимая алгебра Ли

Решение системы дифференциальных уравнений (3.1) с нулевыми матрицами $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ и $T_{4}$ в подходящем базисе принимает следующий вид:

$\overset{\leftarrow}{A} = U^{1} (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) + C^{1}, \overset{\leftarrow}{B} = U^{2} (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) + C^{2}, \overset{\leftarrow}{C} = U^{3} (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) + C^{3}, \overset{\leftarrow}{D} = U^{4} (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) + C^{4},$

где

$U^{i} = (\begin{matrix} g_{1}^{i} & p_{1}^{i} & q_{1}^{i} & r_{1}^{i} \\ g_{2}^{i} & p_{2}^{i} & q_{2}^{i} & r_{2}^{i} \\ g_{3}^{i} & p_{3}^{i} & q_{3}^{i} & r_{3}^{i} \\ g_{4}^{i} & p_{4}^{i} & q_{4}^{i} & r_{4}^{i} \end{matrix}), C^{i} = (\begin{matrix} c_{1}^{i} \\ c_{2}^{i} \\ c_{3}^{i} \\ c_{4}^{i} \end{matrix}), i =1,2,3,4,$

$—$ постоянные матрицы. По найденным решениям запишем базисные операторы (2.3) восьмимерных линейных пространств, добиваясь при этом исключения свободных членов выбором линейных комбинаций с постоянными коэффициентами операторов $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ и $Y_{4}$ с операторами $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ и $X_{4}$ :

$X_{1} = \partial_{x}, X_{2} = \partial_{y}, X_{3} = \partial_{z}, X_{4} = \partial_{w}, Y_{i} = ⟨U_{i} (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩,$ (4.1)

где

\ $U_{i} = (\begin{matrix} g_{i}^{1} & p_{i}^{1} & q_{i}^{1} & r_{i}^{1} \\ g_{i}^{2} & p_{i}^{2} & q_{i}^{2} & r_{i}^{2} \\ g_{i}^{3} & p_{i}^{3} & q_{i}^{3} & r_{i}^{3} \\ g_{i}^{4} & p_{i}^{4} & q_{i}^{4} & r_{i}^{4} \end{matrix}), i =1,2,3,4,$

и $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ $—$ скалярное произведение векторов. Несложно вычислить коммутатор:

$[Y_{i}, Y_{j}]= ⟨(U_{j} U_{i} - U_{i} U_{j}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩ = - ⟨[U_{i}, U_{j}] (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩,$ (4.2)

где $[U_{i}, U_{j}]= U_{i} U_{j} - U_{j} U_{i}$ $—$ коммутатор матриц $U_{i}$ и $U_{j}$ , $i, j =1,2,3,4$ .

Тождество Якоби в нашем случае это свойство выполняется автоматически, поскольку $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ , $X_{4}$ , $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ , $Y_{4}$ $—$ векторные поля (см. [12, с. 88]).

Далее выясним, при каких условиях на коэффициенты операторы (0.3.1) становятся базисными операторами восьмимерных алгебр Ли. Очевидно, алгебра Ли $L = J ⋉ I$ разложима, так как является полупрямой суммой коммутативного трехмерного идеала $J$ , образованного операторами $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ , $X_{4}$ , и четырёхмерной подалгебры Ли $I$ , образованной операторами $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ , $Y_{4}$ . Следуя классификации абстрактных четырехмерных вещественных алгебр Ли (см. [11, с.138]), приведем полный список (с точностью до изоморфизма) подалгебр Ли $I$ :

[Y1, Y2]	[Y1, Y3]	[Y2, Y3]	[Y1, Y4]	[Y2, Y4]	[Y3, Y4]	№
0	0	0	εY1	kY2	lY3	1.
0	0	0	kY1 + Y2	−Y1 + kY2	lY3	2.
0	0	0	kY1 + Y2	kY2	εY3	3.
0	0	0	kY1 + Y2	kY2 + Y3	εY3	4.
0	0	Y1	cY1	Y2	(c − 1)Y3	5.
0	0	Y1	2Y1	Y2	Y2 + Y3	6.
0	0	Y1	qY1	Y3	−Y2 + qY3	7.
0	Y1	0	0	Y	0	8.
0	Y1	Y2	Y2	−Y1	0	9.
Y3	−Y2	Y1	0	0	0	10.
Y3	−Y2	−Y1	0	0	0	11.

(4.3)

где $ε =0,1$ ; $k, l, c, q = c o n s t$ и $- 2< q <2$ .

Теорема 6 Для локальной ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований с разложимой алгеброй Ли $L = J ⋉ I$ , базис которой задается операторами (3.1), матрица коэффициентов $K$ операторов $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ , $Y_{4}$ невырождена.

Доказательство. Согласно теореме 1 матрица, составленная по коэффициентам операторов, невырождена; значит

$|\begin{matrix} E & E \\ K (u) & K (v) \end{matrix}| =| K (v) - K (u)| \neq 0.$

Тогда матрица

$K (v) - K (u)=$

null

$= (\begin{matrix} ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{1}^{1}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ & ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{1}^{2}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ & ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{1}^{3}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ & ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{1}^{4}, \overset{\leftarrow}{v} ⟩ \\ ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{2}^{1}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ & ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{2}^{2}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ & ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{2}^{3}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ & ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{2}^{4}, \overset{\leftarrow}{v} ⟩ \\ ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{3}^{1}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ & ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{3}^{2}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ & ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{3}^{3}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ & ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{3}^{4}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ \\ ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{4}^{1}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ & ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{4}^{2}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ & ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{4}^{3}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ & ⟨ {\overset{\leftarrow}{g}}_{4}^{4}, \overset{\leftarrow}{v u} ⟩ \end{matrix})$

невырождена; здесь

$\overset{\leftarrow}{u} =(x_{u}, y_{u}, z_{u}, w_{u}), \overset{\leftarrow}{v} =(x_{v}, y_{v}, z_{v}, w_{v}), \overset{\leftarrow}{v u} =(x_{v u}, y_{v u}, z_{v u}, w_{v u}), {\overset{\leftarrow}{g}}_{i}^{j} =(g_{i}^{j}, p_{i}^{j}, q_{i}^{j}, r_{i}^{j}),$

$i, j =1,2,3,4$ . Точки $u =(x_{u}, y_{u}, z_{u}, w_{u})$ и $v =(x_{v}, y_{v}, z_{v}, w_{v})$ выбираются произвольно, поэтому матрица $K$ невырождена.

5. Вычисление алгебр Ли. Здесь и ниже рассматривается случай, когда для матрицы $U_{1}$ из (4.1) характеристический многочлен и минимальный многочлен совпадают, а её собственные значения различны и вещественны. В данном разделе из линейных пространств с базисными операторами вида (4.1) необходимо выделить алгебры Ли. Для этого пользуемся возможностью перехода к новому базису, заменой координат, а также замкнутостью коммутаторов базисных операторов. Последнее означает, что сам коммутатор должен принадлежать этой же алгебре Ли (см. [12, §13]). Также учитывается теорема 6.

Теорема 7 Из системы (4.1), для которой матрица $U_{1}$ оператора $Y_{1}$ имеет различные вещественные собственные значения, причём её характеристический многочлен совпадает с минимальным, с точностью до линейной замены координат, выделяются операторы $X_{1} = \partial_{x}$ , $X_{2} = \partial_{y}$ , $X_{3} = \partial_{z}$ , $X_{4} = \partial_{w}$ , $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ , $Y_{4}$ , образующие базисы восьмимерных линейных пространств; при этом операторы $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ , $Y_{4}$ образуют подпространство, являющееся алгеброй Ли, из списка (4.3):

для алгебры Ли 1:

$\begin{matrix} Y_{1} = λ_{1} x \partial_{x} + λ_{2} y \partial_{y} + λ_{3} z \partial_{z} + λ_{4} w \partial_{w}, Y_{2} = b_{1} x \partial_{x} + b_{2} y \partial_{y} + b_{3} z \partial_{z} + b_{4} w \partial_{w}, \\ Y_{3} = c_{1} x \partial_{x} + c_{2} y \partial_{y} + c_{3} z \partial_{z} + c_{4} w \partial_{w}, Y_{4} = d_{1} x \partial_{x} + d_{2} y \partial_{y} + d_{3} z \partial_{z} + d_{4} w \partial_{w}, \\ λ_{1} \neq λ_{2}, λ_{1} \neq λ_{3}, λ_{1} \neq λ_{4}, λ_{2} \neq λ_{3}, λ_{2} \neq λ_{4}, λ_{3} \neq λ_{4}; \end{matrix}$ (5.1)

$\begin{matrix} Y_{1} =(λ_{5} x + y) \partial_{x} + λ_{5} y \partial_{y} + λ_{6} z \partial_{z} + λ_{7} w \partial_{w}, \\ Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y) \partial_{x} + b_{1} y \partial_{y} + b_{11} z \partial_{z} + b_{16} w \partial_{w}, \\ Y_{3} =(c_{1} x + c_{2} y) \partial_{x} + c_{1} y \partial_{y} + c_{11} z \partial_{z} + c_{16} w \partial_{w}, \\ Y_{4} =(d_{1} x + d_{2} y) \partial_{x} + d_{1} y \partial_{y} + d_{11} z \partial_{z} + d_{16} w \partial_{w}, \\ λ_{5} \neq λ_{6}, λ_{5} \neq λ_{7}, λ_{6} \neq λ_{7}; \end{matrix}$ (5.2)

$\begin{matrix} Y_{1} =(λ_{5} x + y) \partial_{x} + λ_{5} y \partial_{y} + (λ_{8} z + w) \partial_{z} + λ_{8} w \partial_{w}, \\ Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y) \partial_{x} + b_{1} y \partial_{y} + (b_{11} z + b_{12} w) \partial_{z} + b_{11} w \partial_{w}, \\ Y_{3} =(c_{1} x + c_{2} y) \partial_{x} + c_{1} y \partial_{y} + (c_{11} z + c_{12} w) \partial_{z} + c_{11} w \partial_{w}, \\ Y_{4} =(d_{1} x + d_{2} y) \partial_{x} + d_{1} y \partial_{y} + (d_{11} z + d_{12} w) \partial_{z} + d_{11} w \partial_{w}, λ_{5} \neq λ_{8}; \end{matrix}$ (5.3)

$\begin{matrix} Y_{1} =(λ_{9} x + y) \partial_{x} + (λ_{9} y + z) \partial_{y} + λ_{9} z \partial_{z} + λ_{10} w \partial_{w}, \\ Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z) \partial_{x} + (b_{1} y + b_{2} z) \partial_{y} + b_{1} z \partial_{z} + b_{16} w \partial_{w}, \\ Y_{3} =(c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z) \partial_{x} + (c_{1} y + c_{2} z) \partial_{y} + c_{1} z \partial_{z} + c_{16} w \partial_{w}, \\ Y_{4} =(d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z) \partial_{x} + (d_{1} y + d_{2} z) \partial_{y} + d_{1} z \partial_{z} + d_{16} w \partial_{w}, λ_{9} \neq λ_{10}; \end{matrix}$ (5.4)

$\begin{matrix} Y_{1} =(λ_{9} x + y) \partial_{x} + (λ_{9} y + z) \partial_{y} + (λ_{9} z + w) \partial_{z} + λ_{9} w \partial_{w}, \\ Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z + b_{4} w) \partial_{x} + (b_{1} y + b_{2} z + b_{3} w) \partial_{y} + (b_{1} z + b_{2} w) \partial_{z} + b_{1} w \partial_{w}, \\ Y_{3} =(c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z + c_{4} w) \partial_{x} + (c_{1} y + c_{2} z + c_{3} w) \partial_{y} + (c_{1} z + c_{2} w) \partial_{z} + c_{1} w \partial_{w}, \\ Y_{4} =(d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z + d_{4} w) \partial_{x} + (d_{1} y + d_{2} z + d_{3} w) \partial_{y} + (d_{1} z + d_{2} w) \partial_{z} + d_{1} w \partial_{w}; \end{matrix}$ (5.5)

$\begin{matrix} Y_{1} = y \partial_{x} + z \partial_{y} + w \partial_{z}, Y_{2} = x \partial_{x} + y \partial_{y} + z \partial_{z} + w \partial_{w}, Y_{3} = z \partial_{x} + w \partial_{y}, \\ Y_{4} =(d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z + d_{4} w) \partial_{x} + (d_{1} y - y + d_{2} z + d_{3} w) \partial_{y} + \\ + (d_{1} z - 2 z + d_{2} w) \partial_{z} + (d_{1} w - 3 w) \partial_{w}; \end{matrix}$ (5.6)

$\begin{matrix} Y_{1} = y \partial_{x} + z \partial_{y} + w \partial_{z}, Y_{2} = x \partial_{x} + y \partial_{y} + z \partial_{z} + w \partial_{w}, Y_{3} = w \partial_{x}, \\ Y_{4} =(d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z + d_{4} w) \partial_{x} + (d_{1} y - y + d_{2} z + d_{3} w) \partial_{y} + \\ + (d_{1} z - 2 z + d_{2} w) \partial_{z} + (d_{1} w - 3 w) \partial_{w}; \end{matrix}$ (5.7)

$\begin{matrix} Y_{1} = y \partial_{x} + z \partial_{y} + w \partial_{z}, Y_{2} = z \partial_{x} + w \partial_{y}, Y_{3} = w \partial_{x}, \\ Y_{4} =(d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z + d_{4} w) \partial_{x} + (d_{1} y - y + d_{2} z + d_{3} w) \partial_{y} + \\ + (d_{1} z - 2 z + d_{2} w) \partial_{z} + (d_{1} w - 3 w) \partial_{w}; \end{matrix}$ (5.8)

для алгебры Ли 3:

$\begin{matrix} Y_{1} =(λ_{9} x + y) \partial_{x} + (λ_{9} y + z) \partial_{y} + λ_{9} z \partial_{z} + λ_{10} w \partial_{w}, Y_{2} =(d_{2} - d_{7}) z \partial_{x}, \\ Y_{3} =(c_{1} x + c_{3} z) \partial_{x} + c_{1} y \partial_{y} + c_{1} z \partial_{z} + c_{16} w \partial_{w}, \\ Y_{4} =(d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z) \partial_{x} + (d_{1} y + d_{7} z) \partial_{y} + d_{1} z \partial_{z} + d_{16} w \partial_{w}, λ_{9} \neq λ_{10}; \end{matrix}$ (5.9)

$\begin{matrix} Y_{1} =(λ_{9} x + y) \partial_{x} + (λ_{9} y + z) \partial_{y} + (λ_{9} z + w) \partial_{z} + λ_{9} w \partial_{w}, \\ Y_{2} = b_{4} w \partial_{x}, Y_{3} =(c_{1} x + c_{3} z + c_{4} w) \partial_{x} + (c_{1} y + c_{3} w) \partial_{y} + c_{1} z \partial_{z} + c_{1} w \partial_{w}, \\ Y_{4} =(d_{1} x + d_{7} y + d_{3} z + d_{4} w) \partial_{x} + (d_{1} y + d_{7} z + (d_{3} - b_{4}) w) \partial_{y} + (d_{1} z + d_{7} w) \partial_{z} + d_{1} w \partial_{w}; \end{matrix}$ (5.10)

для алгебры Ли 4:

$\begin{matrix} Y_{1} =(λ_{9} x + y) \partial_{x} + (λ_{9} y + z) \partial_{y} + (λ_{9} z + w) \partial_{z} + λ_{9} w \partial_{w}, \\ Y_{2} =(b_{3} z + b_{4} w) \partial_{x} + b_{3} w \partial_{y}, Y_{3} =2 b_{3}^{2} w \partial_{x}, \\ Y_{4} =(d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z + d_{4} w) \partial_{x} + (d_{1} y + (d_{2} - b_{3}) z + (d_{3} - b_{4}) w) \partial_{y} + \\ + (d_{1} z + (d_{2} - 2 b_{3}) w) \partial_{z} + d_{1} w \partial_{w}, \end{matrix}$ (5.11)

причем все коэффициенты перед переменными $—$ постоянные.

Остальные алгебры не реализуются.

Операторы $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ и $Y_{4}$ , приведенные в формулировке теоремы 7, линейнонезависимы и ненулевые. При доказательстве этой теоремы допускается линейная замена координат, линейная комбинация операторов и применение условия замкнутости коммутаторов базисных операторов.

Доказательство. В операторах (0.4.1) произведем линейную замену координат

${(x^{'} y^{'} z^{'} w^{'})}^{T} = A {(x y z w)}^{T},$

где $A$ $—$ произвольная невырожденная матрица четвёртого порядка с постоянными элементами, $^{T}$ $—$ знак транспонирования. Тогда для операторов дифференцирования относительно старых и новых координат получим связь

${(\partial_{x} \partial_{y} \partial_{z} \partial_{w})}^{T} = A^{T} {(\partial_{x^{'}} \partial_{y^{'}} \partial_{z^{'}} \partial_{w^{'}})}^{T} .$

В новых координатах операторы $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ , $X_{4}$ , $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ и $Y_{4}$ принимают следующий вид:

$(\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ X_{3} \\ X_{4} \end{matrix}) = A^{T} (\begin{matrix} {X^{'}}_{1} \\ {X^{'}}_{2} \\ {X^{'}}_{3} \\ {X^{'}}_{4} \end{matrix}), Y_{i} = ⟨A U_{i} A^{- 1} (\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \\ w^{'} \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x^{'}} \\ \partial_{y^{'}} \\ \partial_{z^{'}} \\ \partial_{w^{'}} \end{matrix})⟩, i =1,2,3,4.$

Линейной комбинацией переходим от операторов $X_{1}$ , $X_{2}$ , $X_{3}$ , $X_{4}$ к операторам ${X^{'}}_{1} = \partial_{x^{'}}$ , ${X^{'}}_{2} = \partial_{y^{'}}$ , ${X^{'}}_{3} = \partial_{z^{'}}$ , ${X^{'}}_{4} = \partial_{w^{'}}$ . Возвращаясь к прежним обозначениям координат и базисных операторов, получим:

$X_{1} = \partial_{x}, X_{2} = \partial_{y}, X_{3} = \partial_{z}, X_{4} = \partial_{w}, Y_{i} = ⟨{U^{'}}_{i} (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩,$

где введены обозначения

${U^{'}}_{i} = A U_{i} A^{- 1}, i =1,2,3,4.$

Известно, что матрица $U_{1^{'}}$ приводится к канонической вещественной форме (см. [12]). Возможны следующие варианты:

$I . (\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{4} \end{matrix}), II . (\begin{matrix} , λ_{5} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{6} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{7} \end{matrix}), III . (\begin{matrix} , λ_{5} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{8} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{8} \end{matrix}),$

$IV . (\begin{matrix} λ_{9} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{9} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{10} \end{matrix}), V . (\begin{matrix} λ_{4} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{4} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{4} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{4} \end{matrix}),$

причем все элементы в данных матрицах вещественны,

$λ_{1} \neq λ_{2}, λ_{1} \neq λ_{3}, λ_{1} \neq λ_{4}, λ_{2} \neq λ_{3}, λ_{2} \neq λ_{4}, λ_{3} \neq λ_{4},$

$λ_{5} \neq λ_{6}, λ_{5} \neq λ_{7}, λ_{6} \neq λ_{7}, λ_{7} \neq λ_{8}, λ_{9} \neq λ_{10} .$

В таком случае ненулевой оператор $Y_{1}$ приводится к одному из четырех видов:

$\begin{matrix} Y_{1} = λ_{1} x \partial_{x} + λ_{2} y \partial_{y} + λ_{3} z \partial_{z} + λ_{4} w \partial_{w}, \\ λ_{1} \neq λ_{2}, λ_{1} \neq λ_{3}, λ_{1} \neq λ_{4}, λ_{2} \neq λ_{3}, λ_{2} \neq λ_{4}, λ_{3} \neq λ_{4}; \end{matrix}$ (5.12)

$Y_{1} =(λ_{5} x + y) \partial_{x} + λ_{5} y \partial_{y} + λ_{6} z \partial_{z} + λ_{7} w \partial_{w}, λ_{5} \neq λ_{6}, λ_{5} \neq λ_{7}, λ_{6} \neq λ_{7};$ (5.13)

$Y_{1} =(λ_{5} x + y) \partial_{x} + λ_{5} y \partial_{y} + (λ_{8} z + w) \partial_{z} + λ_{8} w \partial_{w}, λ_{7} \neq λ_{8};$ (5.14)

$Y_{1} =(λ_{9} x + y) \partial_{x} + (λ_{9} y + z) \partial_{y} + λ_{9} z \partial_{z} + λ_{10} w \partial_{w}, λ_{9} \neq λ_{10};$ (5.15)

$Y_{1} =(λ_{9} x + y) \partial_{x} + (λ_{9} y + z) \partial_{y} + (λ_{9} z + w) \partial_{z} + λ_{9} w \partial_{w} .$ (5.16)

Докажем вспомогательные утверждения.

Лемма 1 Пусть ненулевые операторы $Y_{1}$ , принимающий один из видов (5.12) $-$ (5.16), и

$Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z + b_{4} w) \partial_{x} + (b_{5} x + b_{6} y + b_{7} z + b_{8} w) \partial_{y} +$

$+ (b_{9} x + b_{10} y + b_{11} z + b_{12} w) \partial_{z} + (b_{13} x + b_{14} y + b_{15} z + b_{16} w) \partial_{w},$

удовлетворяют коммутационному соотношению $[Y_{1}, Y_{2}]=0$ . Тогда, с точностью до линейной замены координат, возможны следующие варианты для этих операторов:

$\begin{matrix} Y_{1} = λ_{1} x \partial_{x} + λ_{2} y \partial_{y} + λ_{3} z \partial_{z} + λ_{4} w \partial_{w}, Y_{2} = b_{1} x \partial_{x} + b_{2} y \partial_{y} + b_{3} z \partial_{z} + b_{4} w \partial_{w}, \\ λ_{1} \neq λ_{2}, λ_{1} \neq λ_{3}, λ_{1} \neq λ_{4}, λ_{2} \neq λ_{3}, λ_{2} \neq λ_{4}, λ_{3} \neq λ_{4}; \end{matrix}$ (5.17)

Доказательство. Вычислим коммутатор $[Y_{1}, Y_{2}]$ при помощи формулы (4.2) и приравняем его к нулю. Подробно рассмотрим случай, когда оператор $Y_{1}$ принимает вид (5.12). Используем матричные обозначения:

$Y_{1} = ⟨(\begin{matrix} λ_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{4} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩, Y_{2} = ⟨(\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{4} \\ b_{5} & b_{6} & b_{7} & b_{8} \\ b_{9} & b_{10} & b_{11} & b_{12} \\ b_{13} & b_{14} & b_{15} & b_{16} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩,$

$[Y_{1}, Y_{2}]= - ⟨(\begin{matrix} 0 & (λ_{1} - λ_{2}) b_{2} & (λ_{1} - λ_{3}) b_{3} & (λ_{1} - λ_{4}) b_{4} \\ (λ_{2} - λ_{1}) b_{5} & 0 & (λ_{2} - λ_{3}) b_{7} & (λ_{2} - λ_{4}) b_{8} \\ (λ_{3} - λ_{1}) b_{9} & (λ_{3} - λ_{2}) b_{10} & 0 & (λ_{3} - λ_{4}) b_{12} \\ (λ_{2} - λ_{1}) b_{13} & (λ_{4} - λ_{2}) b_{14} & (λ_{4} - λ_{3}) b_{15} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩ =0.$

Поскольку элементы $λ$ попарно различны, имеем систему (5.17). Доказательство для (5.18) $-$ (5.21) аналогично.

Лемма 2 Пусть ненулевые операторы $Y_{1}$ , принимающий один из видов (5.12) $-$ (5.16), и

$Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z + b_{4} w) \partial_{x} + (b_{5} x + b_{6} y + b_{7} z + b_{8} w) \partial_{y} +$

$+ (b_{9} x + b_{10} y + b_{11} z + b_{12} w) \partial_{z} + (b_{13} x + b_{14} y + b_{15} z + b_{16} w) \partial_{w},$

удовлетворяют коммутационному соотношению $[Y_{1}, Y_{2}]= Y_{1}$ . Тогда, с точностью до линейной замены координат, возможен единственный варианты для этих операторов:

$\begin{array}{l} Y_{1} = y \partial_{x} + z \partial_{y} + w \partial_{z}, \\ Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z + b_{4} w) \partial_{x} + (b_{1} y - y + b_{2} z + b_{3} w) \partial_{y} + \\ + (b_{1} z - 2 z + b_{2} w) \partial_{z} + (b_{1} w - 3 w) \partial_{w} . \end{array}$ (5.22)

Доказательство. Вычислим коммутатор $[Y_{1}, Y_{2}]$ и приравняем его к нулю. При вычислении этого коммутатора используем формулу (0.4.2),

$Y_{2} = ⟨(\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{4} \\ b_{5} & b_{6} & b_{7} & b_{8} \\ b_{9} & b_{10} & b_{11} & b_{12} \\ b_{13} & b_{14} & b_{15} & b_{16} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩ .$

Подробно рассмотрим случай, когда оператор $Y_{1}$ принимает вид (5.12). Используем матричные обозначения:

$= - ⟨(\begin{matrix} 0 & (λ_{1} - λ_{2}) b_{2} & (λ_{1} - λ_{3}) b_{3} & (λ_{1} - λ_{4}) b_{4} \\ (λ_{2} - λ_{1}) b_{5} & 0 & (λ_{2} - λ_{3}) b_{7} & (λ_{2} - λ_{4}) b_{8} \\ (λ_{3} - λ_{1}) b_{9} & (λ_{3} - λ_{2}) b_{10} & 0 & (λ_{3} - λ_{4}) b_{12} \\ (λ_{2} - λ_{1}) b_{13} & (λ_{4} - λ_{2}) b_{14} & (λ_{4} - λ_{3}) b_{15} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩ = Y_{1} .$

Тогда $Y_{1} =0$ , что недопустимо.

Пусть оператор $Y_{1}$ принимает вид (5.13); тогда

$Y_{1} = ⟨(\begin{matrix} λ_{1} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{4} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩, [Y_{1}, Y_{2}]= ⟨V (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩ = Y_{1} .$

где

$V = (\begin{matrix} - b_{5} & b_{1} - b_{6} & (λ_{3} - λ_{1}) b_{3} - b_{7} & (λ_{4} - λ_{1}) b_{4} - b_{8} \\ 0 & b_{5} & (λ_{3} - λ_{1}) b_{7} & (λ_{4} - λ_{1}) b_{8} \\ (λ_{1} - λ_{3}) b_{9} & (λ_{1} - λ_{3}) b_{10} + b_{9} & 0 & (λ_{4} - λ_{3}) b_{12} \\ (λ_{1} - λ_{4}) b_{13} & (λ_{1} - λ_{4}) b_{14} + b_{13} & (λ_{3} - λ_{4}) b_{15} & 0 \end{matrix}) .$

Тогда $λ_{6} = λ_{7} =0$ , что недопустимо.

Если оператор $Y_{1}$ имеет вид (5.14), то

$Y_{1} = ⟨(\begin{matrix} λ_{5} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{5} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{8} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{8} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩, [Y_{1}, Y_{2}]= - ⟨V (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩ = Y_{1},$

где

$V = (\begin{matrix} b_{5} & - b_{1} + b_{6} & (λ_{5} - λ_{8}) b_{3} + b_{7} & - b_{3} + (λ_{5} - λ_{8}) b_{4} + b_{8} \\ 0 & - b_{5} & (λ_{5} - λ_{8}) b_{7} & - b_{7} + (λ_{5} - λ_{8}) b_{8} \\ b_{13} + (λ_{8} - λ_{5}) b_{9} & (λ_{8} - λ_{5}) b_{10} + b_{14} - b_{9} & b_{15} & - b_{11} + b_{16} \\ (λ_{8} - λ_{5}) b_{13} & - b_{13} + (λ_{8} - λ_{5}) b_{14} & 0 & - b_{15} \end{matrix}) .$

Тогда $λ_{5} = λ_{8} =0$ , что также недопустимо.

Если оператор $Y_{1}$ имеет вид (5.15), то

$Y_{1} = ⟨(\begin{matrix} λ_{9} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{9} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{10} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩, [Y_{1}, Y_{2}]= - ⟨V (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩ = Y_{1},$

где

$V = (\begin{matrix} b_{5} & - b_{1} + b_{6} & - b_{2} + b_{7} & - (λ_{10} - λ_{9}) b_{4} + b_{8} \\ b_{9} & b_{10} - b_{5} & b_{11} - b_{6} & b_{12} - (λ_{10} - λ_{9}) b_{8} \\ 0 & - b_{9} & - b_{10} & - (λ_{10} - λ_{9}) b_{12} \\ (λ_{10} - λ_{9}) b_{13} & - b_{13} + (λ_{10} - λ_{9}) b_{14} & - b_{14} + (λ_{10} - λ_{9}) b_{15} & 0 \end{matrix}) .$

Тогда $λ_{9} = λ_{10} =0$ , что недопустимо.

Если оператор $Y_{1}$ имеет вид (5.16), то

$Y_{1} = ⟨(\begin{matrix} λ_{9} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & λ_{9} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & λ_{9} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & λ_{9} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩,$

$= - ⟨(\begin{matrix} b_{5} & - b_{1} + b_{6} & - b_{2} + b_{7} & - b_{3} + b_{8} \\ b_{9} & b_{10} - b_{5} & b_{11} - b_{6} & b_{12} - b_{7} \\ b_{13} & b_{14} - b_{9} & - b_{10} + b_{15} & - b_{11} + b_{16} \\ 0 & - b_{13} & - b_{14} & - b_{15} \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}), (\begin{matrix} \partial_{x} \\ \partial_{y} \\ \partial_{z} \\ \partial_{w} \end{matrix})⟩ = Y_{1} .$

Тогда допустимое решение получаем при $λ_{9} =0$ . В итоге имеем операторы (5.22).

Лемма 3 Пусть ненулевые операторы: $Y_{1}$ , принимающий один из видов (5.12) $-$ (5.16),

$Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z + b_{4} w) \partial_{x} + (b_{5} x + b_{6} y + b_{7} z + b_{8} w) \partial_{y} +$

$+ (b_{9} x + b_{10} y + b_{11} z + b_{12} w) \partial_{z} + (b_{13} x + b_{14} y + b_{15} z + b_{16} w) \partial_{w},$

$Y_{3} =(c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z + c_{4} w) \partial_{x} + (c_{5} x + c_{6} y + c_{7} z + c_{8} w) \partial_{y} +$

$+ (c_{9} x + c_{10} y + c_{11} z + c_{12} w) \partial_{z} + (c_{13} x + c_{14} y + c_{15} z + c_{16} w) \partial_{w},$

удовлетворяют коммутационным соотношениям

$[Y_{1}, Y_{2}]=0, [Y_{1}, Y_{3}]=0, [Y_{2}, Y_{3}]=0.$

Тогда, с точностью до линейной замены координат в этих операторов, возможны следующие варианты:

$\begin{matrix} Y_{1} = λ_{1} x \partial_{x} + λ_{2} y \partial_{y} + λ_{3} z \partial_{z} + λ_{4} w \partial_{w}, Y_{2} = b_{1} x \partial_{x} + b_{2} y \partial_{y} + b_{3} z \partial_{z} + b_{4} w \partial_{w}, \\ Y_{3} = c_{1} x \partial_{x} + c_{2} y \partial_{y} + c_{3} z \partial_{z} + c_{4} w \partial_{w}, \\ λ_{1} \neq λ_{2}, λ_{1} \neq λ_{3}, λ_{1} \neq λ_{4}, λ_{2} \neq λ_{3}, λ_{2} \neq λ_{4}, λ_{3} \neq λ_{4}; \end{matrix}$ (5.23)

$\begin{matrix} Y_{1} =(λ_{5} x + y) \partial_{x} + λ_{5} y \partial_{y} + λ_{6} z \partial_{z} + λ_{7} w \partial_{w}, \\ Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y) \partial_{x} + b_{1} y \partial_{y} + b_{11} z \partial_{z} + b_{16} w \partial_{w}, \\ Y_{3} =(c_{1} x + c_{2} y) \partial_{x} + c_{1} y \partial_{y} + c_{11} z \partial_{z} + c_{16} w \partial_{w}, \\ λ_{5} \neq λ_{6}, λ_{5} \neq λ_{7}, λ_{6} \neq λ_{7}; \end{matrix}$ (5.24)

Доказательство. леммы 3 состоит в вычислении коммутаторов $[Y_{1}, Y_{2}]$ , $[Y_{1}, Y_{3}]$ , $[Y_{2}, Y_{3}]$ , приравнивания их к нулю и сравнения коэффициенты; при этом используются результаты леммы 1. Оператор $Y_{1}$ берётся из системы (5.12) $-$ (5.16), а операторы $Y_{2}$ и $Y_{3}$ $—$ произвольного вида. В результате получаем соотношения (5.23) $-$ (5.27).

Лемма 4 Рассмотрим ненулевые операторы $Y_{1}$ , принимающий один из видов (5.12) $-$ (5.16),

$Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z + b_{4} w) \partial_{x} + (b_{5} x + b_{6} y + b_{7} z + b_{8} w) \partial_{y} +$

$+ (b_{9} x + b_{10} y + b_{11} z + b_{12} w) \partial_{z} + (b_{13} x + b_{14} y + b_{15} z + b_{16} w) \partial_{w},$

$Y_{3} =(c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z + c_{4} w) \partial_{x} + (c_{5} x + c_{6} y + c_{7} z + c_{8} w) \partial_{y} +$

$+ (c_{9} x + c_{10} y + c_{11} z + c_{12} w) \partial_{z} + (c_{13} x + c_{14} y + c_{15} z + c_{16} w) \partial_{w} .$

Тогда для них коммутационные соотношения

$[Y_{1}, Y_{2}]=0, [Y_{1}, Y_{3}]=0, [Y_{2}, Y_{3}]= Y_{1}$

не выполняются.

Доказательство. следует из леммы 1 и того факта, что операторы вида $Y_{2}$ в каждой системе коммутативны.

Лемма 5 Пусть ненулевые операторы $Y_{1}$ , принимающий один из видов (5.12) $-$ (5.16),

$Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z + b_{4} w) \partial_{x} + (b_{5} x + b_{6} y + b_{7} z + b_{8} w) \partial_{y} +$

$+ (b_{9} x + b_{10} y + b_{11} z + b_{12} w) \partial_{z} + (b_{13} x + b_{14} y + b_{15} z + b_{16} w) \partial_{w},$

$Y_{3} =(c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z + c_{4} w) \partial_{x} + (c_{5} x + c_{6} y + c_{7} z + c_{8} w) \partial_{y} +$

$+ (c_{9} x + c_{10} y + c_{11} z + c_{12} w) \partial_{z} + (c_{13} x + c_{14} y + c_{15} z + c_{16} w) \partial_{w},$

удовлетворяют коммутационным соотношениям

$[Y_{1}, Y_{2}]=0, [Y_{1}, Y_{3}]= Y_{1}, [Y_{2}, Y_{3}]=0.$

Тогда, с точностью до линейной замены координат возможен единственный вариант для этих операторов:

$\begin{array}{l} Y_{1} & = y \partial_{x} + z \partial_{y} + w \partial_{z}, \\ Y_{2} & =(b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z + b_{4} w) \partial_{x} + (b_{1} y - y + b_{2} z + b_{3} w) \partial_{y} + \\ + (b_{1} z - 2 z + b_{2} w) \partial_{z} + (b_{1} w - 3 w) \partial_{w}, \\ Y_{3} & = x \partial_{x} + y \partial_{y} + z \partial_{z} + w \partial_{w} . \end{array}$

Доказательство аналогично доказательству лемм 1 $-$ 3.

Лемма 6 Рассмотрим ненулевые операторы $Y_{1}$ , принимающий один из пяти видов (5.12) $-$ (5.16),

$Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z + b_{4} w) \partial_{x} + (b_{5} x + b_{6} y + b_{7} z + b_{8} w) \partial_{y} +$

$+ (b_{9} x + b_{10} y + b_{11} z + b_{12} w) \partial_{z} + (b_{13} x + b_{14} y + b_{15} z + b_{16} w) \partial_{w},$

$Y_{3} =(c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z + c_{4} w) \partial_{x} + (c_{5} x + c_{6} y + c_{7} z + c_{8} w) \partial_{y} +$

$+ (c_{9} x + c_{10} y + c_{11} z + c_{12} w) \partial_{z} + (c_{13} x + c_{14} y + c_{15} z + c_{16} w) \partial_{w} .$

Тогда для них коммутационные соотношения

$[Y_{1}, Y_{2}]=0, [Y_{1}, Y_{3}]= Y_{1}, [Y_{2}, Y_{3}]= Y_{2}$

не выполняются.

Доказательство. Оператор $Y_{1}$ берётся из системы (5.12) $-$ (5.16), а операторы $Y_{2}$ $—$ согласно лемме 1, поскольку $[Y_{1}, Y_{2}]=0$ . Далее, вычисляя коммутатор $[Y_{1}, Y_{3}]= Y_{1}$ (лемма 2), приходим в единственному варианту для этих трёх операторов:

$\begin{matrix} Y_{1} = y \partial_{x} + z \partial_{y} + w \partial_{z}, \\ Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z + b_{4} w) \partial_{x} + (b_{1} y + b_{2} z + b_{3} w) \partial_{y} + (b_{1} z + b_{2} w) \partial_{z} + b_{1} w \partial_{w}, \\ Y_{3} =(c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z + c_{4} w) \partial_{x} + (c_{1} y - y + c_{2} z + c_{3} w) \partial_{y} + (c_{1} z - 2 z + c_{2} w) \partial_{z} + (c_{1} w - 3 w) \partial_{w} . \end{matrix}$

Наконец, вычисляя коммутатор $[Y_{2}, Y_{3}]= Y_{2}$ , получаем $Y_{2} = c_{2} Y_{1}$ , что недопустимо для базисных операторов.

Теперь возвращаемся к доказательству теоремы 7.

Сначала рассмотрим алгебру 1 из (4.3). Операторы $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ берутся из леммы 1. Если $ε =0$ , то по лемме 1 вычисляется оператор $Y_{4}$ . В таком случае

$[Y_{1}, Y_{4}]=[Y_{2}, Y_{4}]=[Y_{3}, Y_{4}]=0,$

значит алгебра 1 коммутативна; тогда получаем системы (5.1) $-$ (5.5). Если же $ε =1$ , то согласно леммам 1 и 2 будем иметь

$\begin{matrix} Y_{1} = y \partial_{x} + z \partial_{y} + w \partial_{z}, \\ Y_{2} =(b_{1} x + b_{2} y + b_{3} z + b_{4} w) \partial_{x} + (b_{1} y + b_{2} z + b_{3} w) \partial_{y} + (b_{1} z + b_{2} w) \partial_{z} + b_{1} w \partial_{w}, \\ Y_{3} =(c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z + c_{4} w) \partial_{x} + (c_{1} y + c_{2} z + c_{3} w) \partial_{y} + (c_{1} z + c_{2} w) \partial_{z} + c_{1} w \partial_{w}, \\ Y_{4} =(d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z + d_{4} w) \partial_{x} + (d_{1} y - y + d_{2} z + d_{3} w) \partial_{y} + (d_{1} z - 2 z + d_{2} w) \partial_{z} + (d_{1} w - 3 w) \partial_{w} . \end{matrix}$

Вычисляя остальные коммутаторы

$[Y_{2}, Y_{4}]= k Y_{2}, [Y_{3}, Y_{4}]= l Y_{3},$

получаем (5.6) $-$ (5.8).

Исследуем теперь алгебру 2 из (4.3). Операторы $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ берутся из леммы 1, а $Y_{4}$ $—$ произвольного линейного вида. Если $Y_{1}$ совпадает с (0.5.12), то из соотношения

$[Y_{1}, Y_{4}]= k Y_{1} + Y_{2}$

получаем $k Y_{1} + Y_{2} =0$ , что недопустимо. Пусть теперь $Y_{1}$ совпадает с (5.13); тогда из

$[Y_{1}, Y_{4}]= k Y_{1} + Y_{2}, [Y_{2}, Y_{4}]= - Y_{1} + k Y_{2}$ (5.28)

следует $λ_{5} = λ_{6} = λ_{7} =0$ , что недопустимо. Если же $Y_{1}$ совпадает с (5.14), то из (5.28) следует $λ_{5} = λ_{8} =0$ , что недопустимо. Если $Y_{1}$ совпадает с (5.15), то из (5.28) следует $λ_{9} = λ_{10} =0$ , что также недопустимо. Если $Y_{1}$ совпадает с (5.16), то получаем противоречие $b_{2}^{2} + 1=0$ .

Аналогично, из алгебры 3 получаем два положительных результата (5.9) и (5.10), а из 4 $—$ (5.11).

Из леммы 4 вытекает, что алгебры 5 $-$ 7 дают отрицательный результат, а из лемм 5 и 6 $—$ отрицательный результат для алгебр 8 и 9

Алгебры 10 и 11 также не реализуются. В этом легко убедиться, взяв $Y_{4}$ из системы (5.12) $-$ (5.16); тогда по лемме 1 находим операторы $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ , которые между собой коммутативны.

Таким образом, теорема 7 доказана.

Далее из восьмимерных линейных пространств, найденных в теореме 7, выделим алгебры Ли локально ограниченно точно дважды транзитивных групп Ли преобразований пространства $R^{4}$ . Для этого применим теорему 6 и используем возможность перехода к новому базису (линейной комбинации базисных операторов).

Теорема 8 Из восьмимерных линейных пространств (5.1) $-$ (5.11) выделяются восьмимерные алгебры Ли локально ограниченно точно дважды транзитивных групп Ли преобразований пространстваЁ $R^{4}$ , полученных расширением группы параллельных переносов. Базис этих алгебр Ли, с точностью до линейных комбинаций операторов и линейных замен координат, состоит из операторов дифференцирования $X_{1} = \partial_{x}$ , $X_{2} = \partial_{y}$ , $X_{3} = \partial_{z}$ , $X_{4} = \partial_{w}$ , а также из операторов $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ , $Y_{4}$ :

$Y_{1} = x \partial_{x}, Y_{2} = y \partial_{y}, Y_{3} = z \partial_{z}, Y_{4} = w \partial_{w};$ (5.29)

$Y_{1} =(a x + y) \partial_{x}, Y_{2} = b x \partial_{x} + y \partial_{y}, Y_{3} = c x \partial_{x} + z \partial_{z}, Y_{4} = d x \partial_{x} + w \partial_{w};$ (5.30)

$Y_{1} = w \partial_{z}, Y_{2} = z \partial_{z} + w \partial_{w}, Y_{3} = x \partial_{x} + y \partial_{y}, Y_{4} = y \partial_{x};$ (5.31)

$Y_{1} = y \partial_{x} + z \partial_{y}, Y_{2} = x \partial_{x} + y \partial_{y} + z \partial_{z}, Y_{3} = z \partial_{x}, Y_{4} = w \partial_{w};$ (5.32)

$Y_{1} = y \partial_{x} + z \partial_{y} + w \partial_{z}, Y_{2} = x \partial_{x} + y \partial_{y} + z \partial_{z} + w \partial_{w}, Y_{3} = z \partial_{x} + w \partial_{y}, Y_{4} = w \partial_{x};$ (5.33)

$\begin{matrix} Y_{1} = y \partial_{x} + z \partial_{y} + w \partial_{z}, Y_{2} = x \partial_{x} + y \partial_{y} + z \partial_{z} + w \partial_{w}, \\ Y_{3} = z \partial_{x} + w \partial_{y}, Y_{4} = a w \partial_{x} + y \partial_{y} + 2 z \partial_{z} + 3 w \partial_{w}; \end{matrix}$ (5.34)

$\begin{matrix} Y_{1} = y \partial_{x} + z \partial_{y} + w \partial_{z}, Y_{2} = x \partial_{x} + y \partial_{y} + z \partial_{z} + w \partial_{w}, \\ Y_{3} = w \partial_{x}, Y_{4} = a z \partial_{x} + (y + a w) \partial_{y} + 2 z \partial_{z} + 3 w \partial_{w}; \end{matrix}$ (5.35)

$\begin{matrix} Y_{1} = y \partial_{x} + z \partial_{y} + w \partial_{z}, Y_{2} = z \partial_{x} + w \partial_{y}, Y_{3} = w \partial_{x}, \\ Y_{4} = a x \partial_{x} + (a - 1) y \partial_{y} + (a - 2) z \partial_{z} + (a - 3) w \partial_{w}; \end{matrix}$ (5.36)

$Y_{1} = a y \partial_{x} + z \partial_{y}, Y_{2} = z \partial_{x}, Y_{3} = w \partial_{w}, Y_{4} =(x + b y) \partial_{x} + y \partial_{y} + z \partial_{z};$ (5.37)

$\begin{matrix} Y_{1} = y \partial_{x} + z \partial_{y} + a w \partial_{w}, Y_{2} = z \partial_{x}, \\ Y_{3} = x \partial_{x} + y \partial_{y} + z \partial_{z} + b w \partial_{w}, Y_{4} = c y \partial_{x} + d w \partial_{w}; \end{matrix}$ (5.38)

$\begin{matrix} Y_{1} = y \partial_{x} + (z + a w) \partial_{y} + w \partial_{z}, Y_{2} = w \partial_{x}, \\ Y_{3} = z \partial_{x} + w \partial_{y}, Y_{4} = x \partial_{x} + (y + a w) \partial_{y} + z \partial_{z} + w \partial_{w}; \end{matrix}$ (5.39)

$\begin{matrix} Y_{1} =(a x + y) \partial_{x} + (a y + z) \partial_{y} + (a z + w) \partial_{z} + a w \partial_{w}, Y_{2} = w \partial_{x}, \\ Y_{3} =(x + c z) \partial_{x} + (y + c w) \partial_{y} + z \partial_{z} + w \partial_{w}, Y_{4} = d z \partial_{x} + b w \partial_{y}; \end{matrix}$ (5.40)

$\begin{matrix} Y_{1} =(a x + y) \partial_{x} + (a y + z) \partial_{y} + (a z + w) \partial_{z} + a w \partial_{w}, q Y_{2} = z \partial_{x} + w \partial_{y}, \\ Y_{3} = w \partial_{x}, Y_{4} = b x \partial_{x} + (b y - c z - d w) \partial_{y} + (b z - 2 c w) \partial_{z} + b w \partial_{w}, \end{matrix}$ (5.41)

причем коэффициенты $a$ , $b$ , $c$ , $d$ постоянны.

Доказательство. этой теоремы проводится в два этапа. На первом этапе применяем теорему 6. Для этого исследуем на невырожденность матрицу $K$ , составленную из коэффициентов операторов $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ и $Y_{4}$ . Например, для линейного пространства (5.1) эта матрица имеет вид

$K = (\begin{matrix} λ_{1} x & λ_{2} y & λ_{3} z & λ_{4} w \\ b_{1} x & b_{2} y & b_{3} z & b_{4} w \\ c_{1} x & c_{2} y & c_{3} z & c_{4} w \\ d_{1} x & d_{2} y & d_{3} z & d_{4} w \end{matrix}) .$

Требование невырожденности равносильно линейной независимости операторов $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ и $Y_{4}$ . На втором этапе линейно комбинируем операторы $Y_{1}$ , $Y_{2}$ , $Y_{3}$ и $Y_{4}$ , что приводит к упрощению базиса соответствующих алгебр Ли. Так, например, система (5.1) линейной комбинацией приводится к (5.29). Таким образом производится выделение алгебр Ли (5.29) $-$ (5.41).

6. Вычисления локально ограниченно точно дважды транзитивных действий. Экспоненциальное отображение оператора $Y$ определяем формулой

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \\ w^{'} \end{matrix}) = E x p (t Y) (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) + t Y (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) + \frac{{(t Y)}^{2}}{2!} (\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) + \dots .$ (6.1)

Теорема 9 Локальные группы Ли преобразований трехмерного пространства $R^{4}$ , задающие локально ограниченно точно дважды транзитивные действия в $R^{4}$ , в подходящих обозначениях параметров и координат принимают следующий вид:

$x^{'} = a_{1} x + a_{5}, y^{'} = a_{2} y + a_{6}, z^{'} = a_{3} z + a_{7}, w^{'} = a_{4} z + a_{8};$ (6.2)

$x^{'} = a_{1}^{a} a_{2}^{b} a_{3}^{c} a_{4}^{d} x + a_{2} (\frac{a_{1}^{a} - 1}{a}) + a_{5}, y^{'} = a_{2} y + a_{6}, z^{'} = a_{3} z + a_{7}, w^{'} = a_{4} w + a_{8};$ (6.3)

$x^{'} = a_{1} x + a_{2} y + a_{5}, y^{'} = a_{1} y + a_{6}, z^{'} = a_{3} z + a_{4} w + a_{7}, w^{'} = a_{3} w + a_{8};$ (6.4)

$x^{'} = a_{2} x + a_{3} z + a_{1} y + a_{5}, y^{'} = a_{2} y + a_{1} z + a_{6}, z^{'} = a_{2} z + a_{7}, w^{'} = a_{4} w + a_{8};$ (6.5)

$\begin{matrix} x^{'} = a_{2} x + a_{3} z + a_{4} w + a_{1} y + a_{5}, y^{'} = a_{2} y + a_{1} z + a_{3} w + a_{6}, \\ z^{'} = a_{2} z + a_{1} w + a_{7}, w^{'} = a_{2} w + a_{8}; \end{matrix}$ (6.6)

$\begin{matrix} x^{'} = a_{2} x + (a_{3} + \frac{1}{2} a_{1}^{2}) a_{2} z + (a_{1} a_{3} + \frac{1}{6} a_{1}^{3} + \frac{a}{3} (1 + a_{4}^{3})) a_{2} w + a_{1} a_{2} y + a_{5}, \\ y^{'} = a_{2} a_{4} y + a_{1} a_{2} a_{4}^{2} z + (a_{3} + \frac{1}{2} a_{1}^{2}) a_{2} a_{4} w + a_{6}, z^{'} = a_{2} a_{4}^{2} z + a_{7}, w^{'} = a_{2} a_{4}^{3} w + a_{8}; \end{matrix}$ (6.7)

$\begin{matrix} x^{'} = a_{2} x + (\frac{a}{2} (a_{4}^{2} - 1) + \frac{1}{2} a_{1}^{2} a_{4}^{2}) a_{2} z + a_{3} w + a_{1} a_{2} a_{4} y + a_{5}, \\ y^{'} = a_{2} a_{4} y + a_{1} a_{2} a_{4}^{2} z + (A (a_{4}) + \frac{1}{2} a_{1}^{2} a_{4}^{3}) a_{2} w + a_{6}, \\ z^{'} = a_{2} a_{4}^{2} z + a_{1} a_{2} a_{4}^{3} w + a_{7}, w^{'} = a_{2} a_{4}^{3} w + a_{8}, \\ A (a)= \ln a + 4 \ln^{2} \frac{a}{2} + 13 \ln^{3} \frac{a}{6} + 40 \ln^{4} \frac{a}{24} + \dots; \end{matrix}$ (6.8)

$\begin{matrix} x^{'} = a_{4}^{4} x + a_{1} a_{4}^{4} y + a_{2} a_{4}^{4} z + a_{3} a_{4}^{4} w + a_{1} y + a_{5}, \\ y^{'} = a_{4}^{3} y + a_{1} a_{4}^{3} z + a_{2} a_{4}^{3} w + a_{6}, z^{'} = a_{4}^{2} z + a_{1} a_{4}^{2} w + a_{7}, w^{'} = a_{4} w + a_{8}; \end{matrix}$ (6.9)

$\begin{matrix} x^{'} = a_{4} x + a_{3} z + (a a_{1} + b a_{4} \ln a_{4}) y + a_{5}, y^{'} = a_{4} y + a_{1} z + a_{6}, \\ z^{'} = a_{4} z + a_{7}, w^{'} = a_{3} w + a_{8}; \end{matrix}$ (6.10)

$\begin{matrix} x^{'} = a_{3} x + (\ln a_{1} + c \ln a_{4}) a_{3} y + a_{2} z + a_{5}, \\ y^{'} = a_{3} y + a_{1} z + a_{6}, z^{'} = a_{3} z + a_{7}, w^{'} = a_{1}^{a} a_{3}^{b} a_{4}^{d} w + a_{8}; \end{matrix}$ (6.11)

$\begin{matrix} x^{'} = a_{4} x + a_{3} z + a_{2} w + a_{5}, y^{'} = a_{4} y + a_{1} z + (a_{3} + a a_{1} + a a_{4} \ln a_{4}) w + a_{6}, \\ z^{'} = a_{4} z + a_{7}, w^{'} = a_{4} w + a_{8}; \end{matrix}$ (6.12)

$\begin{matrix} x^{'} = a_{1}^{a} a_{3} x + a_{1}^{a} a_{3} \ln a_{1} y + a_{1}^{a} a_{3} (c \ln a_{3} + d a_{4} + \ln^{2} \frac{a_{1}}{2}) z + a_{1}^{a} a_{3} a_{2} w + a_{5}, \\ y^{'} = a_{1}^{a} a_{3} y + a_{1}^{a} \ln a_{1} a_{3} z + a_{1}^{a} a_{3} (b a_{4} + c \ln a_{3} + \ln^{2} \frac{a_{1}}{2}) w + a_{6}, \\ z^{'} = a_{1}^{a} a_{3} z + a_{1}^{a} \ln a_{1} a_{3} w + a_{7}, w^{'} = a_{a} a_{3} w + a_{8}; \end{matrix}$ (6.13)

$\begin{matrix} x^{'} = a_{1}^{a} a_{4}^{b} x + a_{1}^{a} \ln a_{1} a_{4}^{b} \ln a_{1} y + a_{1}^{a} a_{4}^{b} a_{2} z + a_{1}^{a} a_{4}^{b} a_{3} w + a_{5}, \\ y^{'} = a_{1}^{a} a_{4}^{b} y + a_{1}^{a} a_{4}^{b} (\ln a_{1} - c \ln a_{1} \ln a_{4}) z + a_{1}^{a} a_{4}^{b} a_{2} w + a_{6}, \\ z^{'} = a_{1}^{a} a_{4}^{b} z + a_{1}^{a} a_{4}^{b} (\ln a_{1} - 2 c \ln a_{4}) w + a_{7}, w^{'} = a_{a} a_{4}^{b} w + a_{8} . \end{matrix}$ (6.14)

Доказательство. сводится к применению экспоненциального отображения (6.1) к базисным операторам алгебр Ли (5.29) $-$ (5.41) и дальнейшему вычислению композиций получаемых действий.

7. Заключение. В работе решена задача локального расширения группы параллельных переносов пространства $R^{4}$ до локально ограниченно точно дважды транзитивной группы Ли преобразований этого же пространства при двух условиях: $T_{1} = T_{2} = T_{3} = T_{4} =0$ ; матрица $U_{1}$ имеет совпадающие характеристический и минимальный многочлены и вещественные собственные числа. Эта задача может быть распространена на случай произвольной матрицы $U_{1}$ , а также на случай ненулевых матриц $T_{1}$ , $T_{2}$ , $T_{3}$ , $T_{4}$ . Согласно одной из теорем Г. Г. Михайличенко (см. [10]) полученные локально ограниченно точно дважды транзитивные группы Ли преобразований задают двуметрическую феноменологически симметричную геометрию двух множеств (физическую структуру) ранга $(3,2)$ .

About the authors

V. A. Kyrov

Горно-Алтайский государственный университет

Author for correspondence.
Email: kyrovVA@yandex.ru
Russian Federation, Горно-Алтайск

References

Бредон Г. Введение в теорию компактных групп преобразований. — М.: Наука, 1980.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Физматлит, 2010.
Горбацевич В. В. О расширении транзитивных действий групп Ли// Изв. РАН. Сер. мат. — 2017. —81, № 6. — С. 86–99.
Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
Кыров В. А. К вопросу о локальном расширении группы параллельных переносов трехмерного пространства// Владикавказ. мат. ж. — 2021. — 23, № 1. — С. 32–42.
Кыров В. А. Кратно транзитивная группа Ли преобразований как физическая структура// Мат. тр.— 2021. — 24, № 2. — С. 81–84.
Кыров В. А. Локальное расширение группы параллельных переносов плоскости до локально дважды транзитивной группы Ли преобразований этой же плоскости// Итоги науки техн. Сер. Совр. мат. прилож. Темат. обз. — 2022. — 204. — С. 85–96.
Кыров В. А. О локальном расширении группы параллельных переносов в трехмерном пространстве//Вестн. Удмурт. ун-та. Мат. Мех. Компьют. науки. — 2022. — 32, № 1. — С. 62–80.
Кыров В. А., Михайличенко Г. Г. Вложение аддитивной двуметрической феноменологически симметричной геометрии двух множеств ранга (2, 2) в двуметрические феноменологически симметричные геометрии двух множеств ранга (3, 2)// 2018. — 28, № 3. — С. 305–327.
Михайличенко Г. Г. Групповая симметрия физических cтруктур. — Барнаул, 2003.
Михайличенко Г. Г., Мурадов Р. М. Физические структуры как геометрии двух множеств. — Горно-Алтайск, 2008.
Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.

Supplementary files

Supplementary Files

Action

1. JATS XML

Download

Username
Password
Remember me

Forgot password?	Register

Username
Password
Remember me

Forgot password?	Register