О скорости убывания решений стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом, зависящим от одной переменной

Полный текст

1. Введение. В заметке Е. М. Ландиса [10] поставлена следующая задача: доказать, что решение стационарного уравнения Шрёдингера с ограниченным потенциалом

$\begin{array}{ll}\hfill & \Delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}x\in {ℝ}^n\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\ge R_0\mathrm{<mo>></mo>0,}\hfill \\ \hfill & \mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le {\lambda }^2\mathrm{,}\lambda \mathrm{<mo>></mo>0,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\ge R_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \end{array}$ (1)

удовлетворяющее оценке вида

$\mathrm{<mo>|</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le const\cdot e^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0,}$

тождественно равно нулю.

В. З. Мешков в известных работах [6, 7] дал отрицательный ответ на данный вопрос. При этом было доказано существование контрпримеров с решениями, которые являются комплексными функциями. Более того, было показано, что если усилить оценку в гипотезе Е. М. Ландиса до следующей:

$\mathrm{<mo>|</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le const\cdot e^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}x{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\mathrm{4<mo>/</mo>3}}}\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0,}$

то ответ будет положительным: таких ненулевых решений не существует. В последнее время интерес к этим результатам не пропал, тематика, связанная с гипотезой Е. М. Ландиса и результатами В. З. Мешкова, активно развивается, причём в том числе и ведущими математиками в области дифференциальных уравнений: Ж. Бургейном, К. Кёнигом и рядом других (см. [13, 15, 17, 18, 21]). Основным вопросом остаётся исследование гипотезы Е. М. Ландиса для действительных решений, причём ответ на этот вопрос до сих пор не удалось получить. В связи с вышеизложенным представляется обоснованным название задача Ландиса"$–$ Мешкова в следующей формулировке.

Задача Ландиса$—$Мешкова. Верно ли, что для заданных области $D$ и положительных функций $r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ только нулевое классическое решение стационарного уравнения Шрёдингера

$\Delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}x\in {ℝ}^n\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (2)

удовлетворяет оценке

$\mathrm{<mo>|</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>?</mo>}$ (3)

Из результатов В. З. Мешкова следует отрицательный ответ в случае комплексных решений, когда $D$ "$—$ внешность некоторого круга, $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\lambda }^2$, $s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}$, $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$, и положительный ответ в случае комплексных решений, если $D$ "$—$ внешность некоторого круга, $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\lambda }^2$, $s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}x{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\mathrm{4<mo>/</mo>3}}}$, $\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0}$. Для действительных решений даже в этих частных случаях ответы неизвестны.

Далее будет показано, что несмотря на общее отрицательной решение В. З. Мешкова для первоначальной формулировки задачи Е. М. Ландиса, тем не менее для некоторых классов потенциалов проблема решается положительно, причём для действительных решений. При этом используется метод операторов преобразования специального вида (см. [3, 11, 12, 22]).

Далее эта задача решена для случая потенциала, зависящего только от одной переменной: $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $1\le i\le n$; далее для определённости считаем, что $i\mathrm{<mo>=</mo>1}$. Для этого случая в работе доказано обобщение утверждения (1) для уравнения

$\Delta u-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo>=</mo>0,}$ (4)

в котором потенциал $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ограничен произвольной неубывающей функцией. Решение основано на использовании операторов преобразования, сводящих уравнение (4) к уравнению Лапласа.

2. Применение операторов преобразования.

2.1. Условия задачи (1) выполнены в полупространстве $x_1\ge R_0$ и инвариантны относительно замены переменных $z\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_1-R_0$. Поэтому будем рассматривать задачу (1) в полупространстве $z\ge 0$ или, сохраняя для переменной $x_1$ прежнее обозначение, $x_1\ge 0$. Будет доказано, что решение задачи (1) равно нулю в полупространстве $x_1\ge 0$, а тогда в силу теоремы Кальдерона о единственности продолжения (см. [9, гл. 6, с. 14]) такое решение тождественно равно нулю во всём пространстве ${ℝ}^n$.

Обозначим через $T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ множество функций, удовлетворяющих следующим условиям (5)$–$(7) в полупространстве ${ℝ}_{+}^n\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\in {ℝ}^n$, $x_1\ge \mathrm{0<mo>\}</mo>}$:

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (5)

$\mathrm{<mo>|</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le c_1{e}^{-\delta \mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{,}\delta \mathrm{<mo>></mo>0,}$ (6)

$\left|\frac{\partial u}{\partial x_1}\right|\le c_2{e}^{-\delta \mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{.}$ (7)

Построим для функций из $T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ такой оператор преобразования

$Su\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{x_1}{\overset{\infty }{\int }}}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt$ (8)

(см. [3, 11, 12, 22]), чтобы выполнялось равенство

$S\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1^2}-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}Su\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le {\lambda }^2\mathrm{,}$ (9)

где, как обычно, через $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обозначено $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Подстановка выражения (8) в формулу (9) приводит к равенствам

$\frac{{\partial }^{2}K}{\partial t^2}-\frac{{\partial }^{2}K}{\partial x_1^2}\mathrm{<mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}K\mathrm{,}$ (10)

$3\frac{\partial K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_1}\mathrm{<mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (11)

$\underset{t\to \infty }{{\displaystyle \lim }}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}-\underset{t\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{\partial K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$ (12)

Выполняя стандартную замену переменных

$w\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{t+x_1}{2}\mathrm{,}v\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{t-x_1}{2}\mathrm{,}$

сведем систему (10)-(11) к более простой (выполнение условия (12) на решениях задачи (1) будет показано позже):

$\frac{{\partial }^{2}K}{\partial w\partial v}\mathrm{<mo>=</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w+v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}K\mathrm{,}$ (13)

$K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{3}{\displaystyle \underset{0}{\overset{w}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds\mathrm{,}$ (14)

которая, в свою очередь, является следствием интегрального уравнения

$K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{3}{\displaystyle \underset{0}{\overset{w}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds+{\displaystyle \underset{0}{\overset{w}{\int }}}d\alpha {\displaystyle \underset{0}{\overset{v}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha +\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha \mathrm{,}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\beta \mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo>|</mo>}\le {\lambda }^2\mathrm{,}w\ge v\ge 0.$ (15)

Уравнение (15) отличается от обычно используемого при рассмотрении операторов преобразования на бесконечном интервале интегрального уравнения изменением области интегрирования с полуоси $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ на отрезок $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что влечёт экспоненциальный рост ядра $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Далее доказывается, что такое ядро существует и оператор преобразования с таким ядром (8) определён на множестве $T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Возможность сведения задачи (10)$–$(12) к неэквивалентным интегральным уравнениям вытекает из недоопределённости задачи Коши (13)-(14).

Следует отметить, что интегральное уравнение (15) должно быть решено в более широкой области без ограничений $w\ge v$, иначе не будет определено ядро под знаками интегралов. Доказательство существования решения в этой более широкой области проводится так же, как приведённое ниже доказательство. На этот нюанс при доказательстве существования решения интегрального уравнения (15) обычно не обращают внимания (замечание А. В. Боровских).

Лемма 1. Существует единственное непрерывное решение уравнения (15), удовлетворяющее неравенству

$\mathrm{<mo>|</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \frac{\lambda }{3}\sqrt{\frac{w}{v}}{I}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2}\lambda \sqrt{wv}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (16)

где $I_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ "$—$ модифицированная функция Бесселя. При этом на допустимом потенциале $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\lambda }^2$ в (16) достигается знак равенства.

Замечание 1. В дальнейшем символом $c$ обозначаются абсолютные положительные постоянные, величина которых не играет роли.

Доказательство. Введём обозначения

$K_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{3}{\displaystyle \underset{0}{\overset{w}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds\mathrm{,}PK\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}w\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{w}{\int }}}d\alpha {\displaystyle \underset{0}{\overset{v}{\int }}}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha +\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\alpha +\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\beta \mathrm{.}$

Тогда уравнение (15) запишется в виде $K\mathrm{<mo>=</mo>}{K}_0+PK$. Будем искать его решение в виде ряда Неймана

$K\mathrm{<mo>=</mo>}{K}_0+P{K}_0+P^2{K}_0+\dots \mathrm{.}$ (17)

Для слагаемых ряда (17) с учётом условия $\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le {\lambda }^2$ получаем

$\mathrm{<mo>|</mo>}{P}^n{K}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{w}_{0}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \frac{1}{3}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\lambda }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{n+1}\frac{w^{n+1}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}\frac{v^n}{n\mathrm{<mo>!</mo>}}\mathrm{,}n\mathrm{<mo>=</mo>0,1,2,}\dots \mathrm{.}$ (18)

Отсюда вытекает неравенство (16), если использовать представление функции $I_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в виде ряда

$I_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{\infty }}\frac{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{2k+1}}{k\mathrm{<mo>!</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}k+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>!</mo>}}\mathrm{.}$

Оценка (16) является точной, так как при $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv {\lambda }^2$, неравенства (18) превращаются в равенства для всех целых $n\ge 0$. Лемма доказана.

Лемма 2. В терминах переменных $x_1$, $t$ справедлива оценка

$\mathrm{<mo>|</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le ct{e}^{\lambda t}\mathrm{.}$

Доказательство. Рассмотрим неравенство

$\left|\frac{1}{x}{I}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|\le c{e}^x\mathrm{,}x\ge \mathrm{0,}$

для проверки истинности которого надо разобрать случаи (i) $x\ge 1$, (ii) $0\le x\le 1$ и использовать известную асимптотику функции $I_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $x\to \infty$ и $x\to +0$ (см. [?]). Отсюда с помощью очевидных неравенств

$\frac{x_1+t}{2}\le t\mathrm{,}2\sqrt{wv}\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{t^2-x_1^2}\le t$

из оценки (16) следует утверждение леммы.

Из леммы 2 следует, что выражение (8) определено на функциях из $T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Покажем, что выражение (8) в действительности задаёт оператор преобразования на $T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для этого осталось проверить соотношение (12). Из того, что $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и из леммы вытекает равенство

$\underset{t\to \infty }{{\displaystyle \lim }}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Поэтому осталось доказать, что если $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то

$\underset{t\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\frac{\partial K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$

Последнее соотношение следует из оценки

$\left|\frac{\partial K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}\right|\le ct{e}^{\lambda t}\mathrm{.}$ (19)

 Для доказательства неравенства (19) нужно перейти к переменным $w$, $v$ и с использованием уже установленных оценок для ядра $K\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ оценить производные $\partial K\mathrm{<mo>/</mo>}\partial w$, $\partial K\mathrm{<mo>/</mo>}\partial v$, дифференцируя уравнение (15). Так как

$\frac{\partial K}{\partial t}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{2}\left(\frac{\partial K}{\partial w}+\frac{\partial K}{\partial v}\right)\mathrm{,}$

то мы придём к (19).

2.2. Покажем, что любое решение задачи (1) принадлежит $T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и, следовательно, на таких решениях определён оператор (8). Для этого необходимо проверить выполнение условия (7).

Лемма 3. Пусть функция $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\ge R_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является решением задачи (1). Тогда найдётся такая постоянная $c\mathrm{<mo>></mo>0}$, что

$\left|\frac{\partial u}{\partial x_1}\right|\le c{e}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{.}$

Доказательство. В силу априорных оценок Шаудера в замкнутом шаре $B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ единичного радиуса с центром в точке $x$, $\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\ge R_0+1$, имеем (см. [?, теорема~33, II])

$u_1\le c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_{\mathrm{1,}\lambda }{}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\cdot u_0{}^{\lambda \mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где введены обозначения

$u_0\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{u}_1\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }_{C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>;</mo>}$

$u_{\mathrm{1,}\lambda }$ есть сумма коэффициентов Гёльдера функции $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и её производных первого порядка $\partial u\mathrm{<mo>/</mo>}\partial x_i$, $1\le i\le n$. Отсюда следует, что

$\left|\frac{\partial u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x_1}\right|\le c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_{\mathrm{1,}\lambda }{}^{\mathrm{1<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\lambda \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\cdot u_0{}^{\lambda \mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+u_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (20)

Отметим, что поскольку выполнены все условия из [?, утверждение~33, V], то константа $c$ в формуле (20) не зависит от $x$.

Из результатов Морри (см. [?, теорема~39, IV]) вытекает оценка для величины $u_{\mathrm{1,}{\lambda }_1}$:

$u_{\mathrm{1,}\lambda }\le c\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\parallel u{\parallel }_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\parallel qu{\parallel }_{L_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}$ (21)

причём постоянная в (21) по-прежнему не зависит от $x$. Из условий задачи $\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le {\lambda }^2$, следовательно, с помощью теоремы о среднем получаем из (21)

$u_{\mathrm{1,}{\lambda }_1}\le c{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \underset{B\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\int }}\mathrm{<mo>|</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^{2}dy\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\le c^1{e}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{.}$

Подставляя последнее неравенство в (20), получаем

$\left|\frac{\partial u}{\partial x_1}\right|\le c\left[{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\frac{1}{1+\lambda }+\frac{\lambda }{1+\lambda }}+e^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}\right]\le c{e}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{.}$

Таким образом, требуемое неравенство установлено для $\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_1\mathrm{<mo>|</mo>}\ge R_0+1$. Так как множество $R_0\le \mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\le R_0+1$ является компактом в ${ℝ}^n$, то это неравенство справедливо и при $\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\ge R_0$. Лемма 3 доказана.

Выполняя опять замену координат $z\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_1-R_0$, получаем, что лемма 3 справедлива в полупространстве $x_1\ge 0$ (мы переобозначим $z$ через $x_1$ ).

2.3. Применим к уравнению (4) оператор $S$. Из тождества (9) и перестановочности $S$ с производными ${\partial }^{2}u\mathrm{<mo>/</mo>}\partial x_i^2$, $2\le i\le n$, получаем, что в полупространстве ${ℝ}_{+}^n$ 

$S\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Delta u-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\Delta Su\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Обозначим функцию $Su$ через $v$. Из (8), (15) следует, что если $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Покажем, что $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ экспоненциально убывает в ${ℝ}_{+}^n$ при $\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\to \infty$ и, следовательно, равна нулю.

Лемма 4. Пусть $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда для $x\in {ℝ}_{+}^n$ 

$\mathrm{<mo>|</mo>}v\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}Su\mathrm{<mo>|</mo>}\le c\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}{e}^{-\epsilon \mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0.}$

Доказательство. Из представления (8) и леммы 3 получаем

$\mathrm{<mo>|</mo>}Su\mathrm{<mo>|</mo>}\le \mathrm{<mo>|</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}+{\displaystyle \underset{x_1}{\overset{\infty }{\int }}}t{e}^{\lambda t}c{e}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{t^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_1{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}}dt\le c\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{e}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}+{\displaystyle \underset{x_1}{\overset{\infty }{\int }}}t{e}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sqrt{t^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_1{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}}dt\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Вычисляя интеграл с помощью замены переменных по формуле $y\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{t^2+\mathrm{<mo>|</mo>}{x}_1{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2}$ с последующим интегрированием по частям, получаем требуемую оценку. Лемма доказана.

Итак, $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ в ${ℝ}_{+}^n$. Определим на $T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ обратный к $S$ оператор $P$ по формуле

$Pu\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{x_1}{\overset{\infty }{\int }}}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{.}$

Тогда для ядра $N\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ справедливы леммы 1$–$3. Кроме того, если $Su\in T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то

$PSu\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (22)

Так как, очевидно, $0\in T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то, применяя (22) к обеим частям установленного в ${ℝ}_{+}^n$ равенства $Su\mathrm{<mo>=</mo>0}$, получим $u\mathrm{<mo>=</mo>0}$ в ${ℝ}_{+}^n$. Выше было показано, что это влечёт $u\equiv 0$ во всём ${ℝ}^n$.

Замечание 2. Переход к полупространству ${ℝ}_{+}^n$ использовался при доказательстве потому, что выражение (8) не определено в области, получаемой пересечением шара $\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\le R_0$ и бесконечного полуцилиндра $\mathrm{<mo>\{</mo><mo>|</mo>}{x}_1\mathrm{<mo>|</mo>}\le R_0\mathrm{,<mi>\; </mi><mo>|</mo>}{x}_1\mathrm{<mo>|</mo>}\le R_0\mathrm{<mo>\}</mo>}$.

Итак, доказано следующее утверждение.

Теорема 1. Любое решение $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo><mo>></mo>}{R}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ стационарного уравнения Шрёдингера с ограниченным потенциалом

$\Delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo>=</mo>0,}x\in {ℝ}^n\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\ge R_0\mathrm{<mo>></mo>0,}$

$q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\ge R_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le {\lambda }^2\mathrm{,<mi>\; </mi>}\lambda \mathrm{<mo>></mo>0,}$

удовлетворяющее оценке

$\mathrm{<mo>|</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le const{e}^{-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\lambda +\epsilon \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}\mathrm{,}\epsilon \mathrm{<mo>></mo>0,}$

есть тождественный нуль.

3. Возможные обобщения. Использованная техника операторов преобразования позволяет усилить полученный результат. Будем обозначать через $L_{\mathrm{2,}loc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\ge R_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ множество функций, для которых при любом $x_1\ge R_0$ конечен интеграл

${\displaystyle \underset{R_0}{\overset{x_1}{\int }}}{\psi }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}ds\mathrm{.}$

Далее, пусть задана неотрицательная функция $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, для которой интеграл

${\displaystyle \underset{x_1}{\overset{\infty }{\int }}}tg\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\mathrm{<mo>=</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

конечен при любом $x_1\ge R_0$ и для некоторой постоянной $\alpha \mathrm{<mo>></mo>0}$ 

$\mathrm{<mo>|</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le c\cdot \exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\alpha \mathrm{<mo>|</mo>}x{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\delta \mathrm{<mo>></mo>0.}$

Тогда по схеме доказательства предыдущей теоремы может быть установлен следующий факт.

Теорема 2. Пусть $\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_{\mathrm{2,}loc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\ge R_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ "$—$ неубывающая функция, а функция $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет перечисленным выше требованиям. Тогда любое решение уравнения

$\Delta u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo>=</mo>0,}x\in {ℝ}^n\mathrm{,}\mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}\ge R_0\mathrm{<mo>></mo>0,}$

$\mathrm{<mo>|</mo>}q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le {\psi }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

для которого выполнено неравенство

$\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le const{e}^{-\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge \mathrm{0,}$

есть тождественный нуль.

В условиях теоремы 1 нужно положить $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{e}^{-\epsilon \mathrm{<mo>|</mo>}x\mathrm{<mo>|</mo>}}$. Примером другой допустимой $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является функция $g\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\epsilon \mathrm{<mo>|</mo>}x{\mathrm{<mo>|</mo>}}^{\delta }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mathrm{0<mo><</mo>}\delta \mathrm{<mo><</mo>1}$. Этот случай является также примером обобщённой задачи Ландиса"$–$ Мешкова (2)$–$(3).

По аналогичной схеме может быть также рассмотрен случай потенциала, зависящего только от радиальной переменной. Ответ в первоначальной формулировке задачи Е. М. Ландиса здесь тоже положительный, после перехода к сферическим координатам нужно использовать операторы преобразования для возмущённого оператора Бесселя, подобные тем, что были рассмотрены выше (см. [3, 11, 12, 22]).

Результаты данной работы переносятся также на класс многомерных специальных потенциалов, которые представляются в виде сумм одномерных потенциалов рассмотренных типов по каждой переменной.

Возможно рассмотрение обобщений задачи Е. М. Ландиса на случай более общих дифференциальных уравнений и соответствующих оценок роста решений. Например, представляет интерес исследование поставленных вопросов для нелинейного уравнения $p$ -лапласиана (см. [16, 19]); эта задача возникла во время обсуждения доклада автора на семинаре кафедры дифференциальных уравнений МГУ с проф. А. А. Коньковым.

Об авторах

Сергей Михайлович Ситник

Автор, ответственный за переписку.
Email: sitnik@bsu.edu.ru
Россия, Белгород

Список литературы

Дополнительные файлы