О точной оценке количества действительных инвариантных прямых полиномиальных векторных полей степени n

Полный текст

1. Введение и предварительные сведения. В [3] дана оценка максимального числа $\alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ инвариантных прямых системы

$\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \frac{dx}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^n}{P}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{dy}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>0}}^n}{Q}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \hfill \end{array}\right.$ (1)

где

$P_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{r+s\mathrm{<mo>=</mo>}i}}{a}_{rs}{x}^r{y}^s\mathrm{,}{Q}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{r+s\mathrm{<mo>=</mo>}i}}{b}_{rs}{x}^r{y}^s\mathrm{,}{a}_{rs}\mathrm{,}{b}_{rs}\in ℝ\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}P\mathrm{,}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1,}\mathrm{deg}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{P}^2+Q^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>2}n\mathrm{.}$

Это число удовлетворяет двойному неравенству

$2n+1+\frac{1-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^n}{2}\le \alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le 3n-1.$

Данный результат был использован в [4] при анализе первых интегралов и фазовых портретов кубических дифференциальных систем на плоскости. Тем не менее вопрос о более точной оценке сверху числа действительных инвариантных прямых для систем вида (1) остается открытым и поэтому представляет определенный интерес.

Введение нового понятия $—$ инвариантного множества позволяет улучшить оценку максимального количества инвариантных прямых системы (1).

В данной работе доказано, что векторное поле $n$ -й степени (1), имеющее два инвариантных множества, каждое из которых состоит из $n-1$ параллельных между собой действительных инвариантных прямых, имеет не более $2n+4$ инвариантных прямых при нечетном $n\ge 3$. Под инвариантным множеством понимается множество, состоящее из $s$ параллельных между собой действительных инвариантных прямых системы (1), имеющих угловой коэффициент $k$. Такие множества будем обозначать символом $M_s^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Замечание 1. Всюду в дальнейшем нами рассматриваются только действительные инвариантные прямые. Поэтому, говоря об инвариантных прямых, будем опускать слово <<действительные>>.

Лемма 1. Если система (1) имеет два инвариантных множества $M_{n-1}^{k_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $M_{n-1}^{k_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $k_1\mathrm{,}{k}_2\in ℝ$, $k_1\ne k_2$, то посредством аффинного преобразования переменных $x$ и $y$ система (1) может быть приведена к виду

$\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \frac{dx}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-{\alpha }_{n-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Ax+By+C\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \overline{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{dy}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-{\beta }_{n-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Mx+Ny+L\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv \overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \hfill \end{array}\right.$ (2)

где $\mathrm{0<mo><</mo>}{\alpha }_1\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{\alpha }_{n-2}$, $\mathrm{0<mo><</mo>}{\beta }_1\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{\beta }_{n-2}$, $BM\ne 0$.

Доказательство. Прежде всего отметим, что предположение $k_1\mathrm{,}{k}_2\in ℝ$ не уменьшает общности. Применим к системе (1) преобразование

$x\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{x}+\overline{y}\mathrm{,}y\mathrm{<mo>=</mo>}{k}_1\overline{x}+k_2\overline{y}\mathrm{.}$ (3)

В результате система (1) примет вид

$\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \frac{d\overline{x}}{d\tau }\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}-a_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}-a_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}-a_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{a}}_1\overline{x}+{\overline{b}}_1\overline{y}+{\overline{C}}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{dy}{dt}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}-b_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}-b_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}-b_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\overline{a}}_2\overline{x}+{\overline{b}}_2\overline{y}+{\overline{C}}_2\mathrm{,}\hfill \end{array}\right.$ (4)

где $a_1\mathrm{<mo><</mo>}{a}_2\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{a}_{n-1}$, $b_1\mathrm{<mo><</mo>}{b}_2\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{b}_{n-1}$, ${\overline{a}}_2\cdot {\overline{b}}_1\ne 0$, $dt\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_2-k_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau$.

Заметим, что в результате преобразования (3) инвариантные прямые $M_{n-1}^{k_1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $M_{n-1}^{k_2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{k}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ системы (1) переходят соответственно в изоклины нуля $\overline{y}-b_i\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и в изоклины бесконечности $\overline{x}-a_i\mathrm{<mo>=</mo>0}$ системы (4), где $i\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}n-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$. Совершим в системе (4) параллельный перенос

$\tilde{x}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{x}-a_1\mathrm{,}\tilde{y}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{y}-b_1\mathrm{.}$

В результате получим

$\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \frac{d\tilde{x}}{d\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{x}-{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{x}-{\alpha }_{n-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}A\tilde{x}+B\tilde{y}+C\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{d\tilde{y}}{d\tau }\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{y}-{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{y}-b_{n-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}M\tilde{x}+N\tilde{y}+L\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\hfill \end{array}\right.$ (5)

Лемма доказана.

В дальнейшем будем рассматривать систему (2), имеющую два инвариантных множества

$M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}y\mathrm{<mo>=</mo>0,}y-{\beta }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,}\dots \mathrm{,}y-{\beta }_{n-2}\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>,}$

$M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo>0,}x-{\alpha }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,}\dots \mathrm{,}x-{\alpha }_{n-2}\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$

при условии

$AN-BM\ne \mathrm{0,}BM\ne 0.$ (6)

Определение. Состояние равновесия $U$ системы (2) будем называть узловой точкой, если через $U$ проходят две инвариантные прямые множества $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Состояние равновесия $V$ системы (2), не являющееся узловой точкой, будем называть внеузловой точкой.

Условимся обозначать символом $V^0$ ( $V^{\infty }$ ) внеузловую точку, расположенную на инвариантной прямой, принадлежащей множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (соответственно, $M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ).

Лемма 2. Инвариантная прямая $l\in M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ системы (2) может содержать не более одной внеузловой точки.

Доказательство. Если бы инвариантная прямая $l$ проходила через две внеузловые точки $V_1^0$ и $V_2^0$ (или $V_3^{\infty }$ и $V_4^{\infty }$ ), то она совпадала бы с изоклиной бесконечности $L^{\infty }\mathrm{<mo>:</mo>}Ax+By+C\mathrm{<mo>=</mo>0}$ (соответственно, с изоклиной нуля $L^0\mathrm{<mo>:</mo>}Mx+Ny+L\mathrm{<mo>=</mo>0}$ ). Это противоречит условию $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{P}\mathrm{,}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$.

Лемма 3 Пусть $l\mathrm{<mo>:</mo>}y-kx-b\mathrm{<mo>=</mo>0}$ $—$ инвариантная прямая системы (2), удовлетворяющей условию (6), и пусть $l\notin M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда прямая $l$ пересекает главные изоклины $L^0\mathrm{<mo>:</mo>}Mx+Ny+L\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и $L^{\infty }\mathrm{<mo>:</mo>}Ax+By+C\mathrm{<mo>=</mo>0}$ системы (2).

Доказательство. Пусть $l$ $—$ инвариантная прямая системы (2), удовлетворяющей условию (6). Согласно определению (см. [3]) имеет место равенство

$y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-{\beta }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-{\beta }_{n-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Mx+Ny+L\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\equiv$

$\equiv kx\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-{\alpha }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-{\alpha }_{n-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Ax+By+C\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-kx-b\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{R}_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $R_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ многочлен степени не выше $n-1$. Предположим, что $l\parallel L^0$. Тогда при $y\mathrm{<mo>=</mo>}kx+b$ в левой части равенства (7) получим многочлен степени $n-1$ относительно $x$, а в правой части $—$ многочлен степени $n$, так как $l\cap L^{\infty }\ne \varnothing$. Если предположить, что $l\parallel L^{\infty }$, то при $y\mathrm{<mo>=</mo>}kx+b$ в левой части равенства (7) имеем многочлен степени $n$, а в правой части $—$ многочлен степени $n-1$. В обоих случаях приходим к невыполнимому тождественному равенству.

Лемма 4. Если $V\mathrm{<mo>=</mo>}{L}^0\cap L^{\infty }$ $—$ внеузловая точка системы (2) и через $V$ проходит инвариантная прямая $l\in M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то система (2) не имеет инвариантной прямой $\overline{l}$, не принадлежащей множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и проходящей через $V$.

Доказательство. Пусть $l$ $—$ инвариантная прямая системы (2), принадлежащая множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для определенности полагаем, что $l\in M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$; если $l\in M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, рассуждения аналогичны.

Предположим, что $l$ проходит через внеузловую точку $V\mathrm{<mo>=</mo>}{L}^0\cap L^{\infty }$ и наряду с $l$ система (2) имеет инвариантную прямую $\overline{l}$, не принадлежащую множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и проходящую через $V$. Так как $\overline{l}$ пересекает все $n-1$ инвариантных прямых множества $M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то на $\overline{l}$ расположены $n$ состояний равновесия системы (2).

С другой стороны, состояние равновесия $V$ является особой точкой кратности $r\mathrm{<mo>=</mo>2}$ изоклины нуля $\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Согласно [2, теорема 21] прямая $\overline{l}$ пересекает изоклину нуля $\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ не более чем в $n-1$ точках. Следовательно, система (2) имеет на $\overline{l}$ не более $n-1$ состояний равновесия. Полученное противоречие завершает доказательство леммы.

Лемма 5. Если инвариантная прямая $l\notin M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ системы (2) проходит через внеузловую точку $V_1^0$ (или $V_1^{\infty }$ ), то $l$ непременно проходит через вторую внеузловую точку $V_2^{\infty }$ (соответственно, $V_2^0$ ).

Доказательство. Пусть инвариантная прямая $l$ системы (2) не принадлежит множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и проходит через внеузловую точку $V_1^0$. Согласно лемме 3 прямая $l$ пересекает прямые изоклины $L^0$ и $L^{\infty }$, а также прямые из множества $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Следовательно, система (2) имеет $n$ состояний равновесия на прямой $l$, причем через каждое из них проходит хотя бы одна инвариантная прямая множества $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Так как точка $V_1^0$ расположена на инвариантной прямой $l$, то среди $n-1$ состояний равновесия системы (2), расположенных на $l$ и отличных от $V_1^0$, найдутся не более $n-2$ состояний равновесия, через каждое из которых проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Это означает, что на $l$ найдется состояние равновесия системы (2), через которое проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству $M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Таким образом, на инвариантной прямой $l$ система (2) имеет внеузловую точку $V_2^{\infty }$. Если предположить, что $l$ проходит через внеузловую точку $V_1^{\infty }$, то придем к выводу, что $l$ также проходит через внеузловую точку $V_2^0$. Лемма доказана.

Лемма 6. На инвариантной прямой $l\notin M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ система (2) имеет не более двух внеузловых точек. Если их число равно $2$, то одна из них является внеузловой точкой типа $V^0$, а другая $—$ типа $V^{\infty }$.

Справедливость леммы следует из леммы 5 и того факта, что две прямые пересекаются в одной точке.

2. Основные результаты.

Теорема 1. Предположим, что через внеузловую точку $V\mathrm{<mo>=</mo>}{L}^0\cap L^{\infty }$ системы (2) проходит инвариантная прямая $l\in M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а $L_0$ $—$ инвариантная прямая этой же системы, причем $L_0\notin M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Тогда на $L_0$ расположены $n$ состояний равновесия системы (2), в том числе две внеузловые точки.

Доказательство. Согласно лемме 3 инвариантная прямая $L_0$ пересекает главные изоклины $L^0$ и $L^{\infty }$ системы (2). Это означает, что состояниями равновесия системы (2) являются точки $A\mathrm{<mo>=</mo>}{L}_0\cap L^0$ и $B\mathrm{<mo>=</mo>}{L}_0\cap L^{\infty }$. Очевидно, по лемме 4 точки $A$ и $B$ отличны от внеузловой точки $V$. Покажем, что хотя бы одна из точек $A$ и $B$ является внеузловой точкой. Предположим противное, т.е. пусть $A$ и $B$ $—$ узловые точки системы (2). Тогда они являются особыми точками кратности $r\mathrm{<mo>=</mo>2}$ изоклины нуля $\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и изоклины бесконечности $\overline{P}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ соответственно системы (2). Поэтому согласно [2, теорема 21] на каждой из прямых изоклин $L^0$ и $L^{\infty }$ система (2) имеет не более $n-1$ состояний равновесия.

С другой стороны, полагая, что через $V$ проходит инвариантная прямая $l\in M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, перенесем начало координат в точку $V$. При этом система (2) переходит в следующую систему (обозначения коэффициентов в уравнениях изоклин $L^0$ и $L^{\infty }$, а также фазовых переменных оставляем неизменными):

$\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \frac{dx}{dt}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-c_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-c_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Ax+By\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{dy}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-d_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-d_{n-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Mx+Ny\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \end{array}\right.$ (7)

где $AN-BM\ne 0$, $c_i\ne 0$ ( $i\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}n-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$ ), $c_i\ne c_s$, если $i\ne s$, $i\mathrm{,}s\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}n-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$, $d_j\ne 0$ ( $j\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}n-\mathrm{2<mo>\}</mo>}$ ), $d_j\ne d_r$, если $j\ne r$, $j\mathrm{,}r\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}n-\mathrm{2<mo>\}</mo>}$.

На изоклине нуля $Mx+Ny\mathrm{<mo>=</mo>0}$ система (7) имеет в точности $n$ состояний равновесия. Полученное противоречие доказывает, что состояния равновесия $A$ и $B$ одновременно не могут быть узловыми точками. Определенности ради положим, что $A$ $—$ внеузловая точка. Тогда через $A$ проходит инвариантная прямая $l^{\infty }\in M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Следовательно, инвариантная прямая $L_0$ пересекает $n-2$ инвариантных прямых, принадлежащих множеству $M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и отличных от $l^{\infty }$.

Так как $A$ $—$ внеузловая точка типа $V^{\infty }$, то по лемме 5 инвариантная прямая $L_0$ проходит через внеузловую точку типа $V^0$, и точка $B$ является таковой точкой. Действительно, через внеузловую точку типа $V^0$ проходит изоклина бесконечности $L^{\infty }$, с которой инвариантная прямая $L_0$ пересекается в единственной точке. Через точку $B$ проходит инвариантная прямая $l^0\in M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Следовательно, инвариантная прямая $L_0$ пересекает $n-2$ инвариантных прямых, принадлежащих множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и отличных от $l^0$. Тем самым доказано, что на инвариантной прямой $L_0$ система (2) имеет $n$ состояний равновесия.

Принимая во внимание лемму 6, можно утверждать, что на $L_0$ расположены две внеузловые точки и $n-2$ узловых точки системы (2). Теорема доказана.

Пример 1. Главные изоклины $L^{\infty }\mathrm{<mo>:</mo>}y+2x+\mathrm{2<mo>=</mo>0}$, $L^0\mathrm{<mo>:</mo>}y-x-\mathrm{4<mo>=</mo>0}$ дифференциальной системы

$\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \frac{dx}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y+2x+\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{dy}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y-\mathrm{4<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y-x-\mathrm{4<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill \end{array}\right.$

пересекаются во внеузловой точке $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{2<mo>;</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, через которую проходит инвариантная прямая $y-\mathrm{2<mo>=</mo>0}$, принадлежащая множеству $M_3^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}y\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}y-\mathrm{2<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}y-\mathrm{4<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$. Кроме этого, система имеет инвариантную прямую $y-2x-\mathrm{2<mo>=</mo>0}$, не принадлежащую множеству $M_3^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_3^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Здесь $M_3^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}x-\mathrm{1<mo>=</mo>0<mo>;</mo>}x-\mathrm{2<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$.

Лемма 7. Если $V\mathrm{<mo>=</mo>}{L}^0\cap L^{\infty }$ $—$ внеузловая точка системы (2) и через $V$ проходит инвариантная прямая $L_0\notin M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $L_0$ пересекает инвариантные прямые множества $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ только в узловых точках.

Доказательство. Так как $L_0$ проходит через внеузловую точку $V$, то по лемме 4 через $V$ не проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Следовательно, на $L_0$ расположены $n$ состояний равновесия системы (2), в том числе одна и только одна внеузловая точка $V$ и $n-1$ состояний равновесия, являющихся узловыми точками. Лемма доказана.

Теорема 2. Если система (2) имеет внеузловую точку $V\mathrm{<mo>=</mo>}{L}^0\cap L^{\infty }$, через которую проходят инвариантные прямые $L_1$ и $L_2$ этой системы, то $n$ нечетно.

Доказательство. Согласно лемме 4 и определению внеузловой точки ни одна из инвариантных прямых $L_1$ и $L_2$ не принадлежит множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Следовательно, по лемме 7 инвариантные прямые $L_1$ и $L_2$ пересекают инвариантные прямые множества $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ только в узловых точках. Поэтому $V$ $—$ точка пересечения диагоналей прямоугольника ${\Pi }_1$, образованного инвариантными прямыми $x\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $x-{\alpha }_{n-2}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $y\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $y-{\beta }_{n-2}\mathrm{<mo>=</mo>0}$. Для вершин прямоугольника ${\Pi }_1$ введем следующие обозначения: $O_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $F_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>}{\beta }_{n-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $H_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_{n-2}\mathrm{<mo>;</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\alpha }_{n-2}\mathrm{<mo>;</mo>}{\beta }_{n-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для определенности положим, что $L_1$ проходит через вершины $O_1$ и $G_1$ прямоугольника ${\Pi }_1$.

Пусть $U_1$ $—$ произвольная узловая точка системы (2), расположенная на $L_1$ и отличная от $O_1$ и $G_1$. Тогда $U_1\mathrm{<mo>=</mo>}{L}_1\cap l_1^{\infty }$, $l_1^{\infty }\in M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Прямая $l_1^{\infty }$ пересекает $L_2$ в узловой точке $U_2$. Поэтому через $U_2$ проходит инвариантная прямая $l_2^0\in M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая пересекает $L_1$ в узловой точке $U_3$. Таким образом, на инвариантной прямой $L_1$, равно как и на $L_2$, узловые точки встречаются парами. Следовательно, число инвариантных прямых во множестве $M_{n-1}^0$ или, что то же, самое в множестве $M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, четно, т.е. $n-\mathrm{1<mo>=</mo>2}m$, $m\in \mathbb{N}$. Это означает, что $n\mathrm{<mo>=</mo>2}m+1$ нечетно. Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть $V\mathrm{<mo>=</mo>}{L}^0\cap L^{\infty }$ $—$ внеузловая точка системы (2), причем $L^0$ проходит через противоположные вершины $O_1$ и $G_1$ (или $F_1$ и $H_1$ ), а $L^{\infty }$ $—$ через противоположные вершины $F_1$ и $H_1$ (или $O_1$ и $G_1$ ) прямоугольника ${\Pi }_1$. Тогда система (2) не имеет инвариантной прямой, не принадлежащей множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Доказательство. Согласно определению внеузловой точки возможны два предположения: [ (a)]

1. через $V$ проходит одна инвариантная прямая множества $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$;
2. через $V$ не проходит инвариантная прямая, принадлежащая множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Если имеет место (a), то по лемме 4 система (2) не имеет инвариантной прямой, не принадлежащей множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и проходящей через $V$. По лемме 7 система (2) также не имеет инвариантной прямой, не принадлежащей множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и проходящей через $V$, если выполняется (b).

Таким образом, если система (2) имеет инвариантную прямую $L_0\notin M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $V\notin L_0$. Поэтому $L_0$ пересекает хотя бы одну из инвариантных прямых: $x\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $x-{\alpha }_{n-2}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $y\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $y-{\beta }_{n-2}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ в точке, расположенной вне области, ограниченной прямоугольником ${\Pi }_1$. Это невозможно, так как через любую внеузловую точку, отличную от $V$, должна проходить хотя бы одна из главных изоклин $L^0$ и $L^{\infty }$. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Пример 2. Во внеузловой точке $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo>;</mo>2,5<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ пересекаются изоклины $L^0\mathrm{<mo>:</mo>4}y+5x-\mathrm{20<mo>=</mo>0}$ и $L^{\infty }\mathrm{<mo>:</mo>4}y-5x\mathrm{<mo>=</mo>0}$ системы

$\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \frac{dx}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{4<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>4}y-5x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{dy}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y-\mathrm{5<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>4}y+5x-\mathrm{20<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\hfill \end{array}\right.$

Кроме этого, $L^0$ проходит через противоположные вершины $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>4<mo>;</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>5<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а $L^{\infty }$ $—$ через противоположные вершины $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>4<mo>;</mo>5<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ прямоугольника ${\Pi }_1$. Согласно теореме 3 данная система не имеет инвариантной прямой, отличной от шести очевидных инвариантных прямых.

Лемма 8. Если узловая точка $U\mathrm{<mo>=</mo>}{L}^0\cap L^{\infty }$ системы (2) принадлежит инвариантной прямой $L_0\notin M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $L_0$ проходит только через узловые точки.

Справедливость леммы следует из того, что прямая $L_0$ пересекается с изоклинами $L^0$ и $L^{\infty }$ только в одной точке $U$.

Пример 3 Прямые изоклины $L^0\mathrm{<mo>:</mo>}x+y-\mathrm{4<mo>=</mo>0}$, $L^{\infty }\mathrm{<mo>:</mo>4}x-2y-\mathrm{4<mo>=</mo>0}$ системы

$\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \frac{dx}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>4}x-2y-\mathrm{4<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{dy}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x+y-\mathrm{4<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill \end{array}\right.$

пересекаются в узловой точке $U\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo>;</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Инвариантная прямая $y-x\mathrm{<mo>=</mo>0}$, не принадлежащая множеству

$M_3^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_3^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo>0,}x-\mathrm{1<mo>=</mo>0,}x-\mathrm{2<mo>=</mo>0,}y\mathrm{<mo>=</mo>0,}y-\mathrm{1<mo>=</mo>0,}y-\mathrm{2<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$

проходит только через узловые точки $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo>;</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>;</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo>;</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Лемма 9 Пусть $U\mathrm{<mo>=</mo>}{L}^0\cap L^{\infty }$ $—$ узловая точка системы (2), причем $L^0$ проходит через противоположные вершины $O_1$ и $G_1$ (или $F_1$ и $H_1$ ), а $L^{\infty }$ $—$ через противоположные вершины $F_1$ и $H_1$ (или $O_1$ и $G_1$ ) прямоугольника ${\Pi }_1$. Тогда эта система не имеет инвариантной прямой, не принадлежащей множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Доказательство. Согласно лемме 8 инвариантная прямая $L_0\notin M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, если она существует, не проходит через точку $U$. По лемме 3 прямая $L_0$ пересекает изоклины $L^0$ и $L^{\infty }$. Следовательно, $L_0$ пересекает хотя бы одну из инвариантных прямых: $x\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $x-{\alpha }_{n-2}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $y\mathrm{<mo>=</mo>0}$, $y-{\beta }_{n-2}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ в точке, расположенной вне односвязной области, ограниченной прямоугольником ${\Pi }_1$. Такая точка является внеузловой, и через нее должна проходить хотя бы одна из изоклин $L^0$ и $L^{\infty }$. Но это невозможно, так как по условию $L^0$ и $L^{\infty }$ проходят через пары противоположных вершин прямоугольника ${\Pi }_1$. Лемма доказана.

Пример 4 Главные изоклины $L^0\mathrm{<mo>:</mo>}y+x-\mathrm{2<mo>=</mo>0}$, $L^{\infty }\mathrm{<mo>:</mo>}y-x\mathrm{<mo>=</mo>0}$ системы

$\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \frac{dx}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{dy}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y+x-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill \end{array}\right.$ (8)

проходят через узловую точку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>;</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Кроме этого, изоклине $L^0$ принадлежит одна пара противоположных вершин, а изоклине $L^{\infty }$ $—$ другая пара противоположных вершин прямоугольника ${\Pi }_1$. Поэтому эта система не имеет инвариантной прямой, отличной от очевидных шести инвариантных прямых.

Из теоремы 3 и леммы 9 вытекает следующее утверждение.

Теорема 4 Если все вершины прямоугольника ${\Pi }_1$ принадлежат пересекающимся главным изоклинам $L^0$ и $L^{\infty }$ системы (2), то эта система не имеет инвариантной прямой, не принадлежащей множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Рассмотрим систему (2) в предположении, что две инвариантные прямые $L_1$ и $L_2$ этой системы, не принадлежащие множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, проходят через внеузловую точку $V\mathrm{<mo>=</mo>}{L}^0\cap L^{\infty }$. Для удобства рассуждений перепишем систему (2) в виде

$\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \frac{dx}{dt}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-{\nu }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-{\nu }_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Ax+By+C\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{dy}{dt}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}y-{\omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cdots \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-{\omega }_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}Mx+Ny+L\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \end{array}\right.$ (9)

где $\mathrm{0<mo>=</mo>}{\nu }_1\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{\nu }_{n-1}$, $\mathrm{0<mo>=</mo>}{\omega }_1\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{\omega }_{n-1}$.

По лемме 7 одна пара противоположных вершин прямоугольника ${\Pi }_1$ принадлежит инвариантной прямой $L_1$, а другая пара противоположных вершин прямоугольника ${\Pi }_1$ принадлежит инвариантной прямой $L_2$. Здесь прямоугольник ${\Pi }_1$ образован инвариантными прямыми

$x-{\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,}x-{\nu }_{n-1}\mathrm{<mo>=</mo>0,}y-{\omega }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,}y-{\omega }_{n-1}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Вершины прямоугольника ${\Pi }_1$ обозначим $O_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_1\mathrm{<mo>;</mo>}{\omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $F_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_1\mathrm{<mo>;</mo>}{\omega }_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $G_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_{n-1}\mathrm{<mo>;</mo>}{\omega }_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $H_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_{n-1}\mathrm{<mo>;</mo>}{\omega }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Заметим, что по теореме 2 число $n$ нечетно. Среди прямоугольников, образованных инвариантными прямыми множества

$M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}x-{\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,}\dots \mathrm{,}x-{\nu }_{n-1}\mathrm{<mo>=</mo>0,}y-{\omega }_1\mathrm{<mo>=</mo>0,}y-{\omega }_{n-1}\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$

выделим прямоугольник ${\Pi }_2$, образованный инвариантными прямыми

$x-{\nu }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}x-{\nu }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}y-{\omega }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}y-{\omega }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Обозначим вершины прямоугольника ${\Pi }_2$ через

$O_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>;</mo>}{\omega }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{F}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>;</mo>}{\omega }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{G}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>;</mo>}{\omega }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{H}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>;</mo>}{\omega }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Теорема 5. Пусть через внеузловую точку $V\mathrm{<mo>=</mo>}{L}^0\cap L^{\infty }$ системы (9) проходят две инвариантные прямые $L_1$ и $L_2$, не принадлежащие множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Если при этом система (9) имеет инвариантную прямую $L_3$, отличную от $L_1$ и $L_2$, не принадлежащую множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $L_3$ проходит через одну из вершин прямоугольника ${\Pi }_2$ и система (9) имеет не более $2n+4$ инвариантных прямых.

Доказательство. Так как пересекающиеся инвариантные прямые $L_1$ и $L_2$ проходят через пары противоположных вершин прямоугольника ${\Pi }_1$, то одна пара противоположных вершин прямоугольника ${\Pi }_2$ расположена на $L_1$, а другая пара противоположных вершин ${\Pi }_2$ расположена на $L_2$.

Поэтому для определенности полагаем, что $O_2$ и $G_2$ инцидентны инвариантной прямой $L_1$, а $F_2$ и $H_2$ прямой $L_2$. Легко видеть, что при $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$ теорема верна. При $n\mathrm{<mo>></mo>3}$ (именно этот случай мы рассматриваем) инвариантная прямая $L_3$ не проходит через внутреннюю точку односвязной области, ограниченной прямоугольником ${\Pi }_2$, так как в противном случае на $L_3$ расположены не менее трех внеузловых точек. Это противоречит лемме 6.

Предположим, что $L_3$ не проходит ни через одну из вершин прямоугольника ${\Pi }_2$. Согласно лемме 7 $L_3$ не проходит через точку $V$. Не уменьшая общности считаем, что угловой коэффициент $k$ прямой $L_3$ положителен (случай $k\mathrm{<mo><</mo>0}$ сводится к случаю $k\mathrm{<mo>></mo>0}$ путем параллельного переноса начала координат в соответствующую точку равновесия системы и выбора положительных направлений осей координат). Относительно $k$ возможны следующие предположения:

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{{\omega }_{n-1}}{{\nu }_{n-1}}\mathrm{<mo>;</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}k\mathrm{<mo>></mo>}\frac{{\omega }_{n-1}}{{\nu }_{n-1}}\mathrm{<mo>;</mo>}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>0<mo><</mo>}k\mathrm{<mo><</mo>}\frac{{\omega }_{n-1}}{{\nu }_{n-1}}\mathrm{.}$

Обозначим точку пересечения $L_3$ с $L_2$ через $U_1$. При этом точка $U_1$ является узловой точкой системы (9).

В случае (1) $L_3$ пересекает инвариантные прямые $y-{\omega }_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и $x-{\nu }_{n-1}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ во внеузловых точках $V_1^0$ и $V_2^{\infty }$ соответственно (см. рис. 1).

Рис.1. Инвариантная прямая $L_3$ параллельна инвариантной прямой $L_1$ и проходит через внеузловые точки $V_1^0$ и $V_2^{\infty }$

Так как по лемме 7 на прямых $L_1$ и $L_2$ все состояния равновесия системы (9), отличные от $V$, являются узловыми точками, а на $L_3$ являются узловыми все состояния равновесия, отличные от $V_1^0$ и $V_2^{\infty }$, то существует ломаная $U_1{U}_2\cdots U_{s-1}{U}_s$, состоящая из отрезков инвариантных прямых, принадлежащих множеству $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Здесь $U_s\equiv \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_1\mathrm{<mo>;</mo>}{\omega }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Так как по предположению точка $F_2$ расположена на $L_2$ между точками $V$ и $U_1$, то существует и вторая ломаная, звеньями которой являются отрезки прямых множества $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, заключенные между прямыми $L_1$ и $L_3$. Среди звеньев этой ломаной имеется один отрезок, имеющий с инвариантной прямой $x-{\nu }_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$ общую точку, расположенную между точками $O_1$ и $U_s$. Это равносильно наличию на инвариантной прямой $L_3$ более двух внеузловых точек, что противоречит лемме 6.

Если в случае (1) абсцисса точки $U_1$ больше ${\nu }_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>2}}$, то снова приходим к противоречию с леммой 6. Пусть $k\mathrm{<mo>></mo>}{\omega }_{n-1}{\nu }_{n-1}$. Тогда $L_3$ пересекает прямую $L_1$ только в точке $O_1$ или $G_1$, так как в противном случае система (9) имеет на прямой $L_3$ две внеузловые точки типа $V^{\infty }$, что противоречит лемме 6, либо прямая $L_3$ пересекается с прямой $L_1$ в точке $W$, расположенной вне односвязной области, ограниченной прямоугольником ${\Pi }_1$. Прямая $L_3$ не может пересекаться в точке $W$ с прямой $L_1$, так как в противном случае по необходимости через $W$ должны проходить прямые $L^0$ и $L^{\infty }$, а эти прямые пересекают $L_1$ уже в точке $V$.

Рассмотрим случай, когда прямая $L_3$ проходит через точки $O_1$ и $U_1$ (см. рис. 2). Если $L_3$ проходит через $G_1$ и $U_1$, в рассуждениях ничего не изменится. Так как $V_2^{\infty }\mathrm{<mo>=</mo>}{L}_3\cap \overline{l}$, где $\overline{l}$ $—$ инвариантная прямая $x-{\nu }_{n-1}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, является внеузловой точкой типа $V^{\infty }$, то по лемме 5 на $L_3$ расположена внеузловая точка типа $V^0$. Обозначим эту точку $V_1^0$. Относительно расположения точки $V_1^0$ на прямой $L_3$ возможны предположения: [ (a)]

1. $V_1^0$ расположена между точками $U_1$ и $V_2^{\infty }$;
2. $V_1^0$ расположена между точками $O_1$ и $U_1$.

Рис. 2.Инвариантная прямая $L_3$ проходит через точки $U_1$ и $O_1$

Если предположить, что имеет место случай (а), то на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{O}_1\mathrm{<mo>;</mo>}{U}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ инвариантной прямой $L_3$ расположены только узловые точки системы (9); обозначим их $U_1\mathrm{,}{U}_3\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{U}_s$, где $s$ нечетно. Точка $U_s$ $—$ ближайшая к $O_1$ узловая точка на прямой $L_3$. Через состояние равновесия $U_s$ проходит инвариантная прямая $l_s^{\infty }\in M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, пересекающая инвариантную прямую $L_1$ во внеузловой точке $V_s^{\infty }$. Пришли к противоречию с леммой 7.

Предположим, что $V_1^0$ расположена между точками $O_1$ и $U_1$. Тогда существует ломаная $U_1{\overline{U}}_2\cdots {\overline{U}}_l$, где $l$ нечетно, ${\overline{U}}_l\equiv \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\nu }_{n-2}\mathrm{<mo>;</mo>}{\omega }_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Так как по предположению узловая точка $F_2$ расположена на инвариантной прямой $L_2$ между точками $V$ и $U_1$, то существует ломаная с началом в точке $F_2$, звеньями которой являются отрезки инвариантных прямых множества $M_{n-1}^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup M_{n-1}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, заключенные между прямыми $L_1$ и $L_3$. На прямой $L_1$ нет состояний равновесия системы (9), расположенных между $V$ и $G_1$ и имеющих абсциссу больше, чем ${\nu }_{n-2}$. Поэтому последнее звено в ломаной с началом в точке $F_2$ является отрезком, параллельным оси ординат и имеющим с прямой $L_3$ общую точку с абсциссой, меньшей чем ${\nu }_{n-2}$. Это противоречит лемме 6.

Случай (3) расположения инвариантной прямой сводится к рассмотренному случаю (2).

Таким образом, доказано, что $L_3$ проходит через одну из вершин прямоугольника ${\Pi }_2$. Следовательно, количество инвариантных прямых системы (9) не превосходит $\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{6<mo>=</mo>2}n+4$. Теорема доказана.

Пример 5. Дифференциальное уравнение

$\frac{dy}{dx}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>3}x-2y-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$

траекторий системы

$\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \frac{dx}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{dy}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>3}x-2y-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \end{array}\right.$ (10)

представленное в [1], имеет два инвариантных множества $M_2^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $M_2^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В самом деле, применив к системе (10) преобразование

$x\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{x}+\overline{y}\mathrm{,}y\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{y}\mathrm{,}$

получим систему

$\left\{\begin{array}{ll}\hfill & \frac{d\overline{x}}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{x}+3\overline{y}-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{d\overline{y}}{dt}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{y}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>3}\overline{x}+\overline{y}-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\hfill \end{array}\right.$ (11)

Система (11) имеет два инвариантных множества

$M_2^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\overline{y}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\overline{y}-\mathrm{1<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>,}{M}_2^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\overline{x}\mathrm{<mo>=</mo>0,}\overline{x}-\mathrm{1<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$