Step scaling functions and the Chrestenson system

Abstract

A review of methods for constructing step scaling functions on the positive half-line ${\mathrm{ℝ}}_{+}$ associated with the Chrestenson functions is presented. The conditions under which such step functions generate orthogonal wavelets and tight frames are discussed. A detailed bibliography is provided. 

Full Text

1. Введение. При построении ортогональных вейвлетов и жёстких фреймов на локально компактных абелевых группах ключевым элементом является выбор подходящих масштабирующих функций (см., например, [2, 4, 28, 51]). Простейшей ступенчатой масштабирующей функцией является функция Хаара. Общий метод построения вейвлетов Хаара для широкого класса топологических пространств с мерой, содержащего группы Виленкина и аддитивную группу поля p-адических чисел, обсуждался в [5]. Хорошо известно (см. [63]), что функции Уолша могут быть определены как характеры группы Кантора, а характеры групп Виленкина являются обобщенными функциями Уолша. Ортогональные вейвлеты, масштабирующие функции которых представимы лакунарными рядами Уолша на локально компактной группе Кантора, изучались Лэнгом в [52, 53]. В то время как для вейвлетов Добеши (см. [2]) гладкость растет с увеличением длины носителя, вейвлеты Лэнга могут иметь сколь угодно высокую диадическую гладкость на фиксированном носителе (см. [9], [12, пример 4.3]). В книге [43] содержатся обобщения вейвлетов Лэнга на группы Виленкина и приведено несколько других конструкций вейвлетов в анализе Уолша, включая биортогональный, нестационарный и периодический случаи (см. также [28, гл. 8], [10, 13–15, 17, 32–36, 36–45, 55]).

Характеристические свойства ступенчатых масштабирующих функций на вещественной прямой $ℝ$ изучались в [48, 54]. Первый пример ступенчатой масштабирующей функции в анализе Уолша, отличной от масштабирующей функции Хаара и порождающей кратномасштабный анализ, был найден в [31] (ср. [8, пример 3], [20, пример 2.32]). На группах Виленкина ступенчатые функции представимы конечными линейными комбинациями обобщенных функций Уолша и применяются в теории приближений и для обработки сигналов (см. [7, 8, 36, 40, 49, 50, 60, 61]).

Пусть ${ℝ}_{+}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}+\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для каждого целого $p\ge 2$ функции Крестенсона соответствуют обобщенным функциям Уолша в стандартной интерпретации группы Виленкина $G_p$ на ${ℝ}_{+}$ (см., например, [1, § 1.5], [28, § 8.2], [62],[63, § 1.3]). В настоящей статье приведен обзор методов построения ступенчатых масштабирующих функций с компактными носителями на ${ℝ}_{+}$, ассоциированных c функциями Крестенсона. Аналоги сформулированных в разделе 0.2 характеристических свойств ступенчатых масштабирующих функций для группы $G_p$ доказаны в недавней статье [46]. В разделе 0.3 показано как теоремы из раздела 0.2 могут применяться для построения ортогональных масштабирующих функций и соответствующих им ортогональных вейвлетов на ${ℝ}_{+}$; при этом используются модифицированное условие Коэна, критерий отсутствия блокирующих множеств и метод $N$ -валидных деревьев. Кроме того, в разделе 0.3 отмечаются некоторые недавние результаты о построении жёстких фреймов из ступенчатых функций с компактными носителями. Существенным элементом излагаемых конструкций является дискретное преобразование Виленкина$–$ Крестенсона, для которого формула Пуассона записывается в виде (12).

Как обычно, пусть $\mathbb{Z}$, ${\mathbb{Z}}_{+}$ и $\mathbb{N}$ $—$ множества целых, целых неотрицательных и натуральных чисел соответственно. Для любого $x\in {ℝ}_{+}$ цифры $x_j\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$ определим из разложения

$x\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\in \mathbb{Z}}}{x}_j{p}^{-j}$ (1)

(для $p$ -ично рационального числа $x$ берется разложение с конечным числом ненулевых слагаемых). Если для некоторого $m\in {\mathbb{Z}}_{+}$ в разложении (1) все $x_j\mathrm{<mo>=</mo>0}$ при $j\mathrm{<mo><</mo>}-m$, то пишут $x\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_{-m}{x}_{-m+1}\dots x_0\mathrm{,}{x}_1{x}_2{x}_3\dots \mathrm{.}$ В частности, если $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $x\mathrm{<mo>=</mo>0,}{x}_1{x}_2{x}_3\dots \mathrm{.}$

Будем рассматривать полупрямую ${ℝ}_{+}$ с операцией $\oplus$ поразрядного сложения по модулю $p$. Напомним, что если ${⟨s⟩}_p$ $—$ остаток при делении целого числа $s$ на $p$, то для любых $x\mathrm{,}y\in {ℝ}_{+}$ равенство $z\mathrm{<mo>=</mo>}x\oplus y$ означает, что

$z\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{j\in \mathbb{Z}}}{⟨x_j+y_j⟩}_p{p}^{-j}\mathrm{,}$

где $x_j$ и $y_j$ $—$ цифры чисел $x$ и $y$ в $p$ -ичной системе. При этом $z\mathrm{<mo>=</mo>}x\ominus y$, если $z\oplus y\mathrm{<mo>=</mo>}x$.

Числовые промежутки

$I_l^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}l{p}^{-m}\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{p}^{-m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}l\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{,}$

называются $p$ -ичными интервалами ранга $m$. Топология на ${ℝ}_{+}$, определяемая семейством интервалов $\mathrm{<mo>\{</mo>}{I}_l^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>:</mo>}m\in \mathbb{Z}\mathrm{,}l\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{<mo>\}</mo>}$, называется $W$ -топологией (при $p\mathrm{<mo>=</mo>2}$ $—$ диадической топологией; см. [63, с. 11]). Класс функций из $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, имеющих в $W$ -топологии компактные носители на ${ℝ}_{+}$, обозначается через $L_c^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для каждой функции $f\in L_c^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ через $\mathrm{supp} f$обозначается носитель функции $f$ в $W$ -топологии.

Пусть

$\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\exp \left(\frac{2\pi i}{p}{\displaystyle \sum _{j\in \mathbb{Z}}}{x}_j{y}_{1-j}\right)\mathrm{,}x\mathrm{,}y\in {ℝ}_{+}\mathrm{,}$

где цифры $x_j$ и $y_j$ берутся из разложений вида (1). Известно (см. [1, § 1.5]), что равенство

$\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\oplus z\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

при фиксированных $x$ и $y$ имеет место для всех $z$ из ${ℝ}_{+}$, кроме счетного множества значений.

Обобщенное преобразование Уолша$–$ Фурье функции $f\in L^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ определяется по формуле

$\widehat{f}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}}}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\overline{\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}dx\mathrm{,}\omega \in {ℝ}_{+}\mathrm{,}$

и стандартным образом продолжается на пространство $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Обозначим через ${\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ множество всех функций $f\mathrm{<mo>:</mo>}{ℝ}_{+}\to ℂ$, принимающих постоянные значения на $p$ -ичных интервалах ранга $m$. Для каждого целого $m$ положим

${\mathcal{S}}_l^{m}f\in :=\{{\mathcal{S}}^{\left(m\right)}:\mathrm{supp} f\subset [0,p^l\left)\right\},l\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

Предложение 1 (см. [1, § 6.2]). Имеют место следующие свойства:

(a) если $f\in L^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap {\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $\mathrm{supp} \widehat{f}\subset [0,p^m);$

(b) если $f\in L^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{supp} f\subset [0,p^m)$, то $\widehat{f}\in {\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

В качестве следствия из предложения 1 для любых $m\mathrm{,}l\in \mathbb{Z}$ имеем

$f\in {\mathcal{S}}_l^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\iff \widehat{f}\in {\mathcal{S}}_m^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$ (2)

Cистема Крестенсона $\mathrm{<mo>\{</mo>}{w}_l\mathrm{<mo>:</mo>}l\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{<mo>\}</mo>}$, совпадающая при $p\mathrm{<mo>=</mo>2}$ с классической системой Уолша (см. [27]), определяется равенством

$w_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}l\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{,}x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Хорошо известно, что система $\mathrm{<mo>\{</mo>}{w}_l\mathrm{<mo>:</mo>}l\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ является ортонормированным базисом в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. На полупрямую ${ℝ}_{+}$ функции Крестенсона продолжаются периодически:

$w_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{w}_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}длявсехx\in {ℝ}_{+}\mathrm{.}$

При построении ортогональных вейвлетов с компактными носителями на ${ℝ}_{+}$, определяемых с помощью функций Крестенсона, центральную роль играют масштабирующие уравнения вида

$\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}p{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{p^n-1}}{a}_k\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}px\ominus k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in {ℝ}_{+}\mathrm{.}$ (3)

Функции $\phi \in L^2\left({ℝ}_{+}\right)$, удовлетворяющие уравнениям вида (3), называют масштабирующими функциями. Применяя обобщенное преобразование Уолша-Фурье, можем записать уравнение (3) в виде

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo>/</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo>/</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \in {ℝ}_{+}\mathrm{,}$ (4)

где

$m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{p^n-1}}{a}_k\overline{w_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$ (5)

Функция $m_0$ называется маской масштабирующего уравнения (3) (или его решения $\phi$ ). Отметим, что при условии $\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ из равенства (4) имеем $m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$. Обозначим через ${\mathcal{M}}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ множество таких $1$ -периодических функций $m_0$, что $m_0\in {\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$.

В формуле (5) функции Крестенсона $w_k$ постоянны на каждом интервале $I_l^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $0\le l\le p^n-1$. Поэтому маска $m_0$ имеет период $1$ и принадлежит классу ${\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Обратно, всякая $1$ -периодическая функция из класса ${\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ может быть записана в виде (5). Отметим также, что коэффициенты уравнения (3) восстанавливаются по значениям маски $m_0$ с помощью дискретного преобразования Виленкина$–$ Крестенсона. Действительно, если $b_l\mathrm{<mo>=</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo>/</mo>}{p}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для $0\le l\le p^n-1$, т.е.

$b_l\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{p^n-1}}{a}_k\overline{w_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo>/</mo>}{p}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}l\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}{p}^n-\mathrm{1<mo>\}</mo>,}$ (6)

то

$a_k\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{p^n}{\displaystyle \sum _{l\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{p^n-1}}{b}_l{w}_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo>/</mo>}{p}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}k\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}{p}^n-\mathrm{1<mo>\}</mo><mo>;</mo>}$ (7)

обратно, из (7) следуют равенства (6). Эти дискретные преобразования могут быть выполнены с помощью быстрых алгоритмов (см., например, [1, § 11.2], [47]).

Теорема 1 (см. [31]). Пусть функция $\phi \in L_c^2\left({ℝ}_{+}\right)$ удовлетворяет масштабирующему уравнению (3), $\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$, и пусть маска $m_0$ определена по формуле (5). Тогда $\mathrm{supp} \phi \subset [0,p^{n-1})$, $\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ для всех $k\in \mathbb{N}$ и

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-j}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}длявсех\omega \in R_{+}\mathrm{.}$ (8)

При условиях теоремы 1 имеем $m_0\in {\mathcal{M}}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$; следовательно, $m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-j}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ для всех $\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{p}^{j-n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Поэтому произведение в формуле (8) конечно при каждом фиксированном $\omega \in {ℝ}_{+}$.

Пусть $1_E$ $—$ характеристическая функция множества $E$. Предположим, что функция $\mathrm{\phi }$ удовлетворяет условиям теоремы 1 и существует такое $m\in {\mathbb{Z}}_{+}$, что $\phi \in {\mathcal{S}}^{\left(m\right)}$. В этом случае, поскольку $\mathrm{supp} \phi \subset [0,p^{n-1})$, функция $\phi$ принадлежит классу ${\mathcal{S}}_{n-1}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. В силу соотношения (2) имеем равенство

$\hat{\phi }\left(\omega \right)={\mathbf{1}}_{I_0^{(n-1)}}\mathbf{\left(}\omega \right)+\sum _l^{\infty }\hat{\phi }(l/p^{n-1}){\mathbf{1}}_{I_l^{(n-1)}}\mathbf{\left(}\omega \right),\omega \in {ℝ}_{+}\mathrm{.}$ (9)

С помощью формулы

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}_{+}}}{1}_{I_l^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\chi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\omega \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}{p}^{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>}{p}^{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{w}_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>}{p}^{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

отсюда получается следующее выражение функции $\phi$ через функции Крестенсона$–$ Леви:

$\phi \left(x\right)=(1/p^{n-1}){\mathbf{1}}_{[0,1]}\mathbf{(}x/p^{n-1})+(1+\sum _{l=1}^{\infty }\widehat{\phi (l}l{p}^{n-1})w_l(x/p^{n-1}),x\in {ℝ}_{+}\mathrm{,}$ (10)

где $\widehat{\phi (l}l{p}^{n-1})=0$, для всех $l\ge p^{m+n-1}$. Кроме того, из теоремы 1 по формуле Пуассона

$\sum _{k\in {\mathbb{Z}}_{+}}\phi (x\oplus k)=\hat{\phi }\left(k\right)\chi \left(x\mathrm{,}k\right)$ (11)

выводится следующее свойство разбиения единицы:

$\sum _{k\in {\mathbb{Z}}_{+}}\phi (x\oplus k)=1дляп\mathrm{.}в\mathrm{.}x\in {ℝ}_{+}\mathrm{.}$

Приведем аналог формулы Пуассона для дискретного преобразования Виленкина$–$ Крестенсона (ср. [11, теорема 1]). Пусть компоненты векторов $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_0\mathrm{,}{a}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{a}_{p^n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{b}_0\mathrm{,}{b}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{b}_{p^n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ связаны равенствами (6) и (7). Предположим, что $a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{a}_j$ и $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{b}_j$ для $0\le j\le p^n-1$. Тогда

${\displaystyle \sum _{j\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{p^m-1}}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{l}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}^m{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{p^l-1}}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{m}k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (12)

где $l$ и $m$ $—$ натуральные числа, $l+m\mathrm{<mo>=</mo>}n$. В связи с формулами (11) и (12) отметим, что для вполне несвязных локально компактных групп (в частности, для групп Виленкина и для коммутативных дискретных групп) в [6] вместо унитарных представлений предлагается применять чисто алгебраические индуцированные представления, что может быть использовано при построении вейвлетов и фреймов (ср. [18, 22, 26, 29]).

Масштабирующая функция $\phi$ является ортогональной, если система $\left\{\phi \right(\cdot \ominus k):k\in {\mathbb{Z}}_{+}\}$ ортонормирована в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Предложение 2 (см. [31]). Масштабирующая функция $\phi$ является ортогональной в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ тогда и только тогда, когда

$\sum _{k\in {ℝ}_{+}}\widehat{|\phi }{(\omega \ominus k)}^2|=1\text{для п}\text{.в}\text{. }\omega \in {ℝ}_{+}\mathrm{.}$

Подобный критерий для масштабирующих функций на прямой $ℝ$ хорошо известен (см., например, [4, предложение 1.1.12]).

2. Характеристические свойства ступенчатых масштабирующих функций. Следующее предложение является прямым следствием теоремы 1 и предложения 1.

Предложение 3. Пусть функция $\phi \in L_c^2\left({ℝ}_{+}\right)$ удовлетворяет уравнению (3), $\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ и $m\in {\mathbb{Z}}_{+}$. Тогда следующие условия эквивалентны:

(i) $\phi \in {\mathcal{S}}_{n-1}^{\left(m\right)}$;

(ii) ${\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{m+n}}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-j}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ для всех $\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}^m\mathrm{,}{p}^{m+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$;

(iii) ${\displaystyle \underset{k\mathrm{<mo>=</mo>}-n+1}{\overset{m}{\cup }}}{p}^{m-k+1}{E}_k\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}^m\mathrm{,}{p}^{m+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$,

где $m_0$ $—$ маска уравнения (3), $E_k$ $—$ множество нулей маски $m_0$ на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}^{k-1}\mathrm{,}{p}^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Доказательство . Согласно (4) для любого $m\in {\mathbb{Z}}_{+}$ имеем

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-m-n}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{m+n}}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-j}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \in {ℝ}_{+}\mathrm{.}$ (13)

Пусть выполнено (i). Тогда $\hat{\phi }\in {\mathcal{S}}_m^{(n-1)}$ в силу (2) и из формулы (13) следует (ii) (действительно, если $\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}^m\mathrm{,}{p}^{m+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то $\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ и $\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-m-n}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$, так как $\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ и $p^{-m-n}\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}^{-n}\mathrm{,}{p}^{-n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{p}^{1-n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ ). Пусть выполнено (ii). Тогда из (13) следует, что

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}длявсех\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}^m\mathrm{,}{p}^{m+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

и по формуле (8) получаем $\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ для всех $\omega \ge p^m$. С другой стороны, согласно предложению 1 из включения $\mathrm{supp} \mathrm{\phi }\subset [0,p^{n-1})$ следует, что $\widehat{\phi }\in {\mathcal{S}}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Таким образом, (i) $\iff$ (ii).

Далее, условие (ii) означает, что для любого $\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}^m\mathrm{,}{p}^{m+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ найдется такой номер $j\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}m+n\mathrm{<mo>\}</mo>}$, что $m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-j}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Здесь $p^{-j}\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}^{m-j}\mathrm{,}{p}^{m-j+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, и если $k\mathrm{<mo>=</mo>}m-j+1$, то $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>}-n+\mathrm{1,}-n+\mathrm{2,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Поскольку $E_k\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}^{k-1}\mathrm{,}{p}^k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$, отсюда следует эквивалентность (ii) $\iff$ (iii). Предложение 3 доказано.

Пример 1. Предположим, что $m_0$ $—$ такая маска уравнения (3), что $m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ для $\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{p}^{-r}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$ для $\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}^{-r}\mathrm{,}{p}^{-r+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $r\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}n\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Тогда $\phi =p^{1-r}{\mathbf{1}}_{[0,p^{r-1})}$ (в случае Хаара $r\mathrm{<mo>=</mo>1}$ ).

Пусть $m_0\in {\mathcal{M}}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Тогда для любого $\omega \in {ℝ}_{+}$ имеем

$m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{\omega }_1\dots {\omega }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (14)

где ${\omega }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\omega }_n$ $—$ цифры дробной части числа $\omega$. Полагая

$b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{s}_1\dots s_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}{s}_1\dots s_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{s}_j\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>,}$

в силу формул (6) и (7) замечаем, что множество всех значений $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{s}_1\dots s_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ однозначно определяет функцию $m_0$. Кроме того, если $m_0$ $—$ маска масштабирующей функции $\phi \in L_c^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то по теореме 1 для каждого $\omega \mathrm{<mo>=</mo>}{\omega }_{-m}{\omega }_{-m+1}\dots {\omega }_0\mathrm{,}{\omega }_1{\omega }_2\dots$ имеем

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\omega }_0\dots {\omega }_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\omega }_{-1}\dots {\omega }_{n-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\dots b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0}\dots 0{\omega }_{-m}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$ (15)

Для данного $r\in {\mathbb{Z}}_{+}$ обозначим через ${\sigma }_r\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ множество всех таких векторов

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_0\mathrm{,}{s}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{s}_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{s}_0\ne \mathrm{0,}{s}_j\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>,}$

что для каждого $l\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}r\mathrm{<mo>\}</mo>}$ выполнено неравенство

$b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{s}_{1-n+l}\dots s_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\ne \mathrm{0,}$ (16)

где $s_j\mathrm{<mo>=</mo>0}$ для $j\mathrm{<mo><</mo>0}$. Далее, обозначим через ${\sigma }_{\infty }\mathrm{<mo>=</mo>}{\sigma }_{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ множество таких последовательностей

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_0\mathrm{,}{s}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{s}_0\ne \mathrm{0,}{s}_j\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>,}$

что (16) верно для любого $l\in {\mathbb{Z}}_{+}$. Из определений видно, что если ${\sigma }_r\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$, то ${\sigma }_{r+1}\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$, а если ${\sigma }_{\infty }\ne \varnothing$, то ${\sigma }_r\ne \varnothing$ для каждого $r$.

Предложение 4. Если функция $m_0\in {\mathcal{M}}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ является маской ступенчатой масштабирующей функции φ с компактным носителем, то ${\sigma }_{\infty }\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$.

Доказательство . Действительно, предположим, что ${\sigma }_{\infty }$ содержит последовательность $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_0\mathrm{,}{s}_1\mathrm{,}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ такую, что $s_0\ne 0$. Согласно (15) тогда

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_0\dots s_M\mathrm{,}{s}_{M+1}\dots s_{M+n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{s}_M\dots s_{M+n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{s}_{M-1}\dots s_{M+n-2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\dots b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0}\dots 0s_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\ne 0$

для каждого натурального $M$. Поэтому носитель функции $\widehat{\phi }$ не компактен, что в силу предложения 1 противоречит тому, что масштабирующая функция $\phi$ ступенчатая.

Аналоги сформулированных ниже теорем 2$–$4 для группы Виленкина $G_p$ доказаны в [46].

Теорема 2. Пусть $r\in {\mathbb{Z}}_{+}$ и $m_0\in {\mathcal{M}}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, где $n\in \mathbb{N}$. Для того чтобы функция $m_0$ была маской масштабирующей функции $\phi \in S_{n-1}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r-n+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, необходимо и достаточно, чтобы ${\sigma }_r\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$.

Теорема 3. Пусть $m_0\in {\mathcal{M}}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $r\mathrm{<mo>=</mo>}{p}^{n-1}-1$, где $n\in \mathbb{N}$. Функция $m_0$ является маской ступенчатой масштабирующей функции с компактным носителем тогда и только тогда, когда ${\sigma }_r\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$.

В качестве следствия из теоремы 3 имеем следующее предложение.

Предложение 5. Предположим, что $m_0$ и $r$ такие, как в теореме 3. Для того чтобы функция $m_0$ была маской ступенчатой масштабирующей функции с компактным носителем, необходимо и достаточно, чтобы

·  либо $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0}\cdots 0s_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$ для каждого $s_0\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$;

·  либо $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0}\cdots 0s_0{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$ для каждого $s_1\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$ вместо того, чтобы $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0}\cdots 0s_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$ для некоторого $s_0\ne 0$;

·  либо $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0}\cdots 0s_0{s}_1{s}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$ для каждого $s_2\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$ вместо того, чтобы $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0}\cdots 0s_0{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$ для некоторого вектора $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_0\mathrm{,}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $s_0\ne 0$;

$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$;

·  либо $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{s}_{l-n+2}\dots s_{l+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$ для каждого $s_{l+1}\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$ вместо того, чтобы $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{s}_{l-n+1}\dots s_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$ для некоторого вектора $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_{l-n+1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{s}_l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $l\mathrm{<mo><</mo>}r$.

Для иллюстрации формул (9), (10), предложений 2, 5 и теоремы 2 приведем следующие два примера.

Пример 2. Пусть $p\mathrm{<mo>=</mo>3}$ и $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$.

(a) Если $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>01<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>02<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$, то ${\sigma }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$ (так как $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_0$ ). Поэтому $\widehat{\phi }\in S_{-1}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $\widehat{\phi }\mathrm{<mo>=</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Как в примере 1, отсюда получаем $\phi \left(x\right)=(1/3){\mathbf{1}}_{[0,1)}\mathbf{(}x/3)$.

(b) Если $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>01<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>20<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>21<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>22<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$, то ${\sigma }_1\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$ (так как $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mo\; stretchy="false">(</mo>2,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_1$ для любого $s\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,2<mo>\}</mo>}$ ). Поэтому $\widehat{\phi }\in S_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo>=</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1<mo>/</mo>3,2<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>2<mo>/</mo>3,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>01<mo\; stretchy="false">]</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1<mo>/</mo>3,2<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>02<mo\; stretchy="false">]</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>2<mo>/</mo>3,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

где $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>01<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$. Следовательно,

$\phi \left(x\right)=(1/3){\mathbf{1}}_{[0,1)}\mathbf{(}x/3)(1+b[02\left]w_2\right(x/3\left)\right)$.

(c) Если $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>02<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>10<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>11<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>12<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$, то как в случае (b) (меняя ролями 1 и 2), имеем

$\phi \left(x\right)=(1/3){\mathbf{1}}_{[0.1)}\mathbf{(}x/3)(1+b[01\left]w_1\right(x/3\left)\right).$

(d) Если $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>20<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>22<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>10<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>11<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>12<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$, то ${\sigma }_2\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$. Действительно, очевидно, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}s\mathrm{,}{s}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,<mo\; stretchy="false">(</mo>2,}s\mathrm{,}{s}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_2$ для всех $s\mathrm{,}{s}^{\prime }\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,2<mo>\}</mo>}$. Поэтому $\widehat{\phi }\in S_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo>=</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1<mo>/</mo>3,2<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>2<mo>/</mo>3,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,4<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>4<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>4<mo>/</mo>3,5<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+$

$+\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>5<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>5<mo>/</mo>3,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>2,7<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>7<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>7<mo>/</mo>3,8<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>8<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>8<mo>/</mo>3,3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>01<mo\; stretchy="false">]</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1<mo>/</mo>3,2<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>02<mo\; stretchy="false">]</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>2<mo>/</mo>3,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>01<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>10<mo\; stretchy="false">]</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,4<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>01<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>11<mo\; stretchy="false">]</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>4<mo>/</mo>3,5<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+$

$+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>01<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>12<mo\; stretchy="false">]</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>5<mo>/</mo>3,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>02<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>20<mo\; stretchy="false">]</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>2,7<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>02<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>21<mo\; stretchy="false">]</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>7<mo>/</mo>3,8<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>02<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>22<mo\; stretchy="false">]</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>8<mo>/</mo>3,3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Отсюда имеем

$\phi \left(x\right)=(1/3){\mathbf{1}}_{[0,1)}(x/3)(1 + b[01\left]w_1\right(x/3) + b[02\left]w_2\right(x/3) + b[02\left]b\right[21\left]w_7\right(x/3\left)\right).$ (17)

С помощью предложения 2 проверяется, что эта масштабирующая функция ортогональна, если $\mathrm{<mo>|</mo>}b{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>01<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}b{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>21<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>1}$ и $\mathrm{<mo>|</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>02<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>1}$.

(e) Если $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>10<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>11<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>20<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>21<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>22<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$, то аналогично случаю (d) (меняя местами 1 и 2), имеем

$\phi \left(x\right) = (1/3){\mathbf{1}}_{[0,1)}(x/3)(1 + b[01\left]w_1\right(x/3) + b[02\left]w_2\right(x/3) + b[01\left]b\right[12\left]w_5\right(x/3\left)\right).$ (18)

Эта масштабирующая функция ортогональна, если $\mathrm{<mo>|</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>01<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>1}$ и $\mathrm{<mo>|</mo>}b{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>02<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}b{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>12<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>1}$.

Известно (см. [46]), что при $p\mathrm{<mo>=</mo>3}$, $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$ никаких других масштабирующих ступенчатых масштабирующих функций в $L_c^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, кроме перечисленных в примере 2, не существует.

Пример 3. Пусть $p\mathrm{<mo>=</mo>2}$ и $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$.

(a) Если $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>001<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$, то ${\sigma }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$ (так как $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_0$ ). Следовательно, $\phi \in S_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и

$\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{4}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

(b) Если $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>010<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>011<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$, то ${\sigma }_1\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$ (так как $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_1$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_1$ ). Поэтому $\phi \in S_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и

$\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{4}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>001<mo\; stretchy="false">]</mo>}{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

(c) Если $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>011<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>100<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>101<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$, то ${\sigma }_2\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$ (так как $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_2$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_2$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_2$, $s\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1<mo>\}</mo>}$ ). Следовательно, $\phi \in S_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и

$\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{4}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>001<mo\; stretchy="false">]</mo>}{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo>}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>001<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>010<mo\; stretchy="false">]</mo>}{w}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

(d) Если $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>010<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>110<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>111<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$, то ${\sigma }_2\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$ (так как $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_2$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_2$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,0,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_2$, $s\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1<mo>\}</mo>}$ ). Поэтому $\phi \in S_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и

$\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{4}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>001<mo\; stretchy="false">]</mo>}{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo>}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>001<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>011<mo\; stretchy="false">]</mo>}{w}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

(e) Предположим, что $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>100<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>101<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>111<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$. Отметим, что в силу предложения 4 эти равенства необходимы для компактности носителя функции $\widehat{\phi }$, если указанные в (a)$–$(d) условия на значения $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{s}_1{s}_2{s}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ не выполнены. Действительно, в противном случае $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,0,0,0,}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\sigma }_{\infty }$ или $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,0,1,0,}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\sigma }_{\infty }$ или $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,1,1,}\dots \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in {\sigma }_{\infty }$.

Поскольку $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,0,0,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_3$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,0,1,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_3$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,1,}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_3$ для $s\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1<mo>\}</mo>}$, а также $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_3$, $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1,0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cancel{\in }{\sigma }_3$, мы получаем ${\sigma }_3\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$. Поэтому $\phi \in S_2^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и аналогично предыдущим случаям имеем

$\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{4}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>001<mo\; stretchy="false">]</mo>}{w}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo>}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>001<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>010<mo\; stretchy="false">]</mo>}{w}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>001<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>011<mo\; stretchy="false">]</mo>}{w}_3\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>001<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>011<mo\; stretchy="false">]</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>110<mo\; stretchy="false">]</mo>}{w}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>4<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

По предложению 2 эта масштабирующая функция ортогональна, если $\mathrm{<mo>|</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>001<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>011<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>1}$ и $\mathrm{<mo>|</mo>}b{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>010<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}^2+\mathrm{<mo>|</mo>}b{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>110<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>1}$ (ср. [8, пример 3] и [20, пример 2.32]).

Приведем описание ступенчатых масштабирующих функций для случая $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$ при произвольном $p$. Согласно предложению 5, прежде всего следует рассмотреть случай, когда $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$ для каждого $s\ne 0$. Тогда ${\sigma }_0\mathrm{<mo>=</mo>}\varnothing$ и $m_0$ является маской масштабирующей функции $\phi \in S_1^{(-1)}$, для которой, как выше, получается формула $\phi \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo>/</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. В этом случае шаг является максимально возможным. Семейство ступенчатых масштабирующих функций со всеми возможными шагами описывается следующей теоремой (случай $p\mathrm{<mo>=</mo>3}$ был рассмотрен в примере 2).

Теорема 4. Пусть $m_0\in {\mathcal{M}}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $r\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$, и пусть $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ такой вектор, что ${\xi }_k\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$, ${\xi }_k\ne {\xi }_{k^{\prime }}$ для $k\ne k^{\prime }$. Предположим, что $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}s{s}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$ при $s\ne 0$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}s\mathrm{,}{s}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_k\mathrm{,}{\xi }_{k+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}r-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$. Тогда $m_0$ является маской масштабирующей функции $\phi \in S_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Более того, если $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_k{\xi }_{k+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\ne 0$ для $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}r-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$ и $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0}{\xi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\ne 0$, то $\phi \in S_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\backslash S_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

Аналоги следующих двух предложений для группы Виленкина $G_p$ доказаны в [46].

Предложение 6. Пусть $m_0\in {\mathcal{M}}_0^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ является маской масштабирующей функции $\phi$ с компактным носителем. Для того чтобы функция $\phi$ принадлежала множеству $S_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p-\mathrm{2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\backslash S_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p-\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой вектор $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_{p-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\xi }_k\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$, что $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_k{\xi }_{k+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\ne 0$ для всех $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{2<mo>\}</mo>}$ и $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0}{\xi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\ne 0$.

Предложение 7. Пусть $m_0$, $r$ и вектор $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\xi }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_r\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ такие, как в теореме 4. Предположим, что $\mathrm{<mo>|</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_k{\xi }_{k+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>1}$ для $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,}\dots \mathrm{,}r-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$, $\mathrm{<mo>|</mo>}b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0}s\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>1}$ для $s\notin \mathrm{<mo>\{</mo>}{\xi }_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\xi }_r\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и пусть $b\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0}{\xi }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>0}$ для $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>2,}\dots \mathrm{,}r\mathrm{<mo>\}</mo>}$. Тогда $m_0$ является маской ортогональной ступенчатой масштабирующей функции $\phi \in S_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}r-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

3. Ступенчатые ортогональные вейвлеты и фреймы Парсеваля. Алгоритмы построения ортогональных вейвлетов в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по данной ортогональной масштабирующей функции приведены в [28, § 8.2], [44] и [43, § 5.2]. Если масштабирующая функция $\phi$ ступенчатая, то и полученные по указанным алгоритмам ортогональные вейвлеты ${\psi }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\psi }_{p-1}$ будут ступенчатыми. Таким образом, для построения ортогональных ступенчатых вейвлетов ${\psi }_1\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{\psi }_{p-1}$ достаточно найти ортогональную ступенчатую масштабирующую функцию в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для нахождения таких масштабирующих функций наряду с предложением 7 применяются модифицированное условие Коэна, критерий отсутствия у маски блокирующих множеств и $N$ -валидные деревья.

Известно (см. [33]), что если $m_0$ является маской такой ортогональной масштабирующей функции $\phi \in L_c^2\left({ℝ}_{+}\right)$, что $\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$, то

$m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}и{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{p-1}}\mathrm{<mo>|</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega +k\mathrm{<mo>/</mo>}p{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>1}длявсех\omega \in R_{+}\mathrm{.}$ (19)

Полагая $b_l\mathrm{<mo>=</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo>/</mo>}{p}^n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $0\le l\le p^n-1$, запишем условие (19) в виде

$b_0\mathrm{<mo>=</mo>1,}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{p-1}}\mathrm{<mo>|</mo>}{b}_{s+k{p}^{n-1}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>1}длявсехs\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}{p}^{n-1}-\mathrm{1<mo>\}</mo>}\mathrm{.}$ (20)

Пример 4. Пусть $n\mathrm{<mo>=</mo>2}$, $p\mathrm{<mo>></mo>2}$ и $l\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{2<mo>\}</mo>}$. Предположим, что множества $E_l^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $E_l^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ образуют такое разбиение множества $\mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$, что $E_l^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{j}_1\mathrm{,}{j}_2\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{j}_l\mathrm{<mo>\}</mo>}$ и $0\in E_l^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Для фиксированного $j_0\in E_l^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $j_0\ne 0$, выберем в (20) такие числа $b_s$, $s\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_1+s_{2}p$, $s_1\mathrm{,}{s}_2\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$, что

1. $b_0\mathrm{<mo>=</mo>1}$,

2. $\mathrm{<mo>|</mo>}{b}_s\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>1}$ для всех $s\in E_l^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}$,

3. $\mathrm{<mo>|</mo>}{b}_{j_1+j_{0}p}\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{b}_{j_2+j_{1}p}\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}\dots \mathrm{<mo>=</mo><mo>|</mo>}{b}_{j_l+j_{l-1}p}\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>1}$,

4. $b_s\mathrm{<mo>=</mo>0}$ в остальных случаях.

Согласно предложению 7 соответствующая данной маске $m_0$ масштабирующая функция $\phi$ ортогональна и принадлежит классу ${\mathcal{S}}_1^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ (ср. [35, замечание 3.11] и [57, теорема 4.6]).

Для произвольной функции $\phi \in L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ положим

${\phi }_{jk}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{p}^{j\mathrm{<mo>/</mo>2}}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{j}x\ominus k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\in \mathbb{Z}\mathrm{,}k\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{.}$

Напомним, что функция φ порождает кратномасштабшый анализ (КМА) в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, если, во-первых, система $\left\{\phi \right(\cdot \ominus k) : k \in {\mathbb{Z}}_{+}\}$ ортонормирована в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и, во-вторых, подпространства

$V_j:={\overline{\mathrm{span}}}_{L^2\left({\mathrm{ℝ}}_{+}\right)}\{{\phi }_{jk}:k\in {\mathbb{Z}}_{+}\},j\in \mathbb{Z}\mathrm{,}$

обладают свойствами

$V_j\subset V_{j+1}\mathrm{,}{\displaystyle \cap }{V}_j\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>,}\overline{{\displaystyle \cup }{V}_j}\mathrm{<mo>=</mo>}{L}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Множество $E\subset {ℝ}_{+}$ называется конгруэнтным $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по модулю ${\mathbb{Z}}_{+}$, если мера Лебега множества $E$ равна $1$ и для каждого $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ существует $k\in {\mathbb{Z}}_{+}$ такое, что $x\oplus k\in E$.

Теорема 5 (см. [14]). Пусть функция $\phi \in L_c^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является решением уравнения (3) и маска $m_0$ этого уравнения удовлетворяет условию (19). Предположим, что существует множество $E\subset {ℝ}_{+}$, конгруэнтное $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по модулю ${\mathbb{Z}}_{+}$, состоящее из конечного числа $p$ -ичных интервалов, содержащее интервал $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{p}^{-n}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и такое, что выполнено модифицированное условие Коэна

$\underset{j\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}\underset{\omega \in E}{{\displaystyle \inf }}\mathrm{<mo>|</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-j}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>></mo>0.}$ (21)

Тогда функция $\phi$ порождает КМА в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Если коэффициенты уравнения (3) выбраны так, чтобы выполнялись условия (19) и $m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne 0$ для всех $\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo>/</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, то в условии (21) можно выбрать $E\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для маски $m_0$ из примера 4 модифицированное условие Коэна выполнено на множестве $E\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>|</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>=</mo>1<mo>\}</mo>}$.

Блокирующее множество для маски $m_0$ определяется следующим образом (см. [8, 13]). Для произвольного $M\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ положим

$T_{p}M\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{l\mathrm{<mo>=</mo>0}}{\overset{p-1}{\cup }}}\left\{l\mathrm{<mo>/</mo>}p+\omega \mathrm{<mo>/</mo>}p\mathrm{<mo>:</mo>}\omega \in M\right\}\mathrm{.}$

Множество $M$ называется блокирующим для маски $m_0$, если оно представимо в виде объединения $p$ -ичных интервалов ранга $n-1$, не содержит интервала $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{p}^{-n+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и удовлетворяет условию

$T_{p}M\backslash M\subset \text{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $\text{Z}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>}\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mathrm{<mo>:</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}\mathrm{<mo>\}</mo>}$.

Теорема 6 (см. [13]). Пусть функция $\phi \in L_c^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является решением уравнения (3) и маска $m_0$ этого уравнения удовлетворяет условию (19). Тогда функция $\phi$ порождает КМА в том и только в том случае, когда маска $m_0$ не имеет блокирующих множеств.

Примеры применения теорем 5 и 6 к построению ортогональных масштабирующих функций для малых $p$ и $n$ имеются в [8, 9, 35, 36, 43].

В [58] для построения ступенчатых масштабирующих функций на группе Виленкина $G_p$ примененялись $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{,}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -элементарные множества и $N$ -валидные деревья. Следуя краткому сообщению [39], сформулируем определения этих понятий для полупрямой ${ℝ}_{+}$ и проиллюстрируем их несколькими примерами.

Определение 1 Пусть $N\mathrm{,}m\in \mathbb{N}$. Множество $E$ называется $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{,}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -элементарным множеством, если существуют такие числа ${\zeta }_j$, $j\mathrm{<mo>=</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}{p}^N-1$, что

$E\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{j\mathrm{<mo>=</mo>0}}{\overset{p^N-1}{\cup }}}{\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\zeta }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\zeta }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap {\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\zeta }_{j^{\prime }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\varnothing дляj\ne j^{\prime }\mathrm{,}$

где ${\Delta }^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\zeta }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\zeta }_j\mathrm{<mo>/</mo>}{p}^N\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\zeta }_j+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}{p}^N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\zeta }_0\mathrm{<mo>=</mo>0}$, и для ${\eta }_j\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}{\zeta }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, ${\xi }_j\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo>}{\zeta }_j\mathrm{<mo>\}</mo>}$ выполнены следующие условия:

(a) ${\eta }_j\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}{p}^m-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$;

(b) ${\xi }_j\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1<mo>/</mo>}{p}^N\mathrm{,}\dots \mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^N-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}{p}^N\mathrm{<mo>\}</mo>}$, ${\xi }_j\ne {\xi }_{j^{\prime }}$ для $j\ne j^{\prime }$;

(c) $E\cap \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{p}^{-N+l}\mathrm{,}{p}^{-N+l+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ne \varnothing$ для $l\mathrm{<mo>=</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}m+N-1$.

Заметим, что из условия (a) следует равенство

${\displaystyle \underset{j\mathrm{<mo>=</mo>0}}{\overset{p^N-1}{\cup }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_j\mathrm{,}{\xi }_j+p^{-N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Кроме того, очевидно, всякое $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{,}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -элементарное множество $E$ имеет единичную меру Лебега и содержится в интервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{p}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Определение 2. Периодическим продолжением $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -элементарного множества $\tilde{E}$ называется множество

$P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{\infty }{\cup }}}{\displaystyle \underset{l\mathrm{<mo>=</mo>0}}{\overset{p^s-1}{\cup }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}+l\cdot p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (22)

Отметим, что $P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\supset \tilde{E}\supset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{p}^{-N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Пример 5. В случае $N\mathrm{<mo>=</mo>1}$, $p\mathrm{<mo>=</mo>3}$ множество $\tilde{E}$ в определении 2 имеет вид

$\tilde{E}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\zeta }_1\mathrm{<mo>/</mo>3,<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\zeta }_1+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\zeta }_2\mathrm{<mo>/</mo>3,<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\zeta }_2+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где числа ${\zeta }_1$ и ${\zeta }_2$ представимы в виде

${\zeta }_j\mathrm{<mo>=</mo>}{\eta }_j+{\xi }_j\mathrm{,}{\eta }_j\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,2<mo>\}</mo>,}{\xi }_j\in \mathrm{<mo>\{</mo>1<mo>/</mo>3,2<mo>/</mo>3<mo>\}</mo>,}j\in \mathrm{<mo>\{</mo>1,2<mo>\}</mo>,}{\xi }_1\ne {\xi }_2\mathrm{.}$

Числа ${\zeta }_1$ и ${\zeta }_2$ выбираются так, чтобы пересечение множества $\tilde{E}$ с каждым из интервалов $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1<mo>/</mo>3,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1,3<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ было не пустым. В частности, при ${\eta }_1\mathrm{<mo>=</mo>0}$, ${\xi }_1\mathrm{<mo>=</mo>1<mo>/</mo>3}$, ${\eta }_2\mathrm{<mo>=</mo>2}$, ${\xi }_2\mathrm{<mo>=</mo>2<mo>/</mo>3}$, получаем $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -элементарное множество

$\tilde{E}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>1<mo>/</mo>3,2<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>8<mo>/</mo>3,3<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Периодическое продолжение этого множества есть

$P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{\infty }{\cup }}}{F}_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где

$F_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\tilde{E}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}+\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}+\mathrm{6<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$F_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}+\mathrm{9<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}+\mathrm{12<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}+\mathrm{15<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}+\mathrm{18<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}+\mathrm{21<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}+\mathrm{24<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

и, вообще,

$F_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_{s-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \left({\displaystyle \underset{k{\mathrm{<mo>=</mo>3}}^{s-1}-1}{\overset{3^s-1}{\cup }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{E}+3k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)дляs\ge 2\mathrm{.}$

Определение 3. Будем говорить, что задано $N$ -валидное дерево T, если $T$ ориентировано от листьев к корню и удовлетворяет следующим условиям:

(a) каждая вершина дерева $T$ имеет значение из множества $\mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$;

(b) корень и все вершины дерева $T$ до $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -го уровня включительно имеют значение 0;

(c) любой путь длины $N-1$ встречается в $T$ и притом только один раз.

Каждому $N$ -валидному дереву $T$ сопоставим множество индексов $I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ по правилу:

$s\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\iff s\mathrm{<mo>=</mo>0}илиs\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^N}{s}_k{p}^k\mathrm{,}{s}_k\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>,}$

при условии, что путь $s_0\to s_1\to \dots \to s_N$ встречается хотя бы один раз в каком-нибудь из путей дерева $T$.

Предложение 8 (см. [58]). Для любого $N$ -валидного дерева $T$ множество

${\tilde{E}}_T\mathrm{<mo>:</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{s\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\cup }}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}s{p}^{-N}\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}s+\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}{p}^{-N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (23)

является $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N+\mathrm{1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -элементарным.

Пример 6. Пусть $N\mathrm{<mo>=</mo>2}$, $p\mathrm{<mo>=</mo>3}$, а дерево $T$ выбрано как на рис. 1 в [58], но с противоположной ориентацией. Дерево $T$ имеет следующие пути, начинающиеся в листьях и оканчивающиеся в корне:

$2P_1\mathrm{<mo>:</mo>}0\to 1\to 2\to 0\to \mathrm{0,}{P}_2\mathrm{<mo>:</mo>}1\to 1\to 0\to 2\to 0\to \mathrm{0,}$

$P_3\mathrm{<mo>:</mo>}2\to 1\to 0\to 2\to 0\to \mathrm{0,}{P}_4\mathrm{<mo>:</mo>}2\to 2\to 0\to 0.$

Множество индексов

$I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>\{</mo>0,2,4,5,6,7,8,19,21<mo>\}</mo>}$

находится из условия

$s\in I\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\backslash \mathrm{<mo>\{</mo>0<mo>\}</mo>}\iff s\mathrm{<mo>=</mo>}{s}_0+3s_1+9s_2\mathrm{,}$

где $s_0\to s_1\to s_2$ встречается хотя бы один раз в каком-нибудь из путей $P_1$, $P_2$, $P_3$, $P_4$. Из формулы (23) для данного дерева $T$ получается множество

${\tilde{E}}_T\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo>/</mo>9<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>2<mo>/</mo>9,1<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>4<mo>/</mo>9,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>19<mo>/</mo>9,20<mo>/</mo>9<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>7<mo>/</mo>3,22<mo>/</mo>9<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Положим $n\mathrm{<mo>=</mo>3}$ и выберем в условии (20) отличные от нуля значения маски

$m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{26}}{a}_k\overline{w_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$

так, что $b_0\mathrm{<mo>=</mo>1}$, $\mathrm{<mo>|</mo>}{b}_2\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{b}_4\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{b}_5\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{b}_6\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{b}_7\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{b}_8\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{b}_{19}\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo><mo>|</mo>}{b}_{21}\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>1}$. Отметим, что если все эти значения равны $1$, то маска $m_0$ на интервале $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ совпадет с характеристической функцией множества ${\tilde{E}}_T\mathrm{<mo>/</mo>3}$. Кроме того, $m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$ для всех $\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo>/</mo>27<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и в силу предложения 3 формула

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^3}{m}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}}^{-j}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,3<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

задаёт масштабирующую функцию $\phi \in {\mathcal{S}}_2^{\left(2\right)}$ (ср. [46, пример 4]). Для этой функции с помощью формулы (10) получается разложение

$\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{9}{1}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}+b_2{w}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+b_2{b}_6{w}_6\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+b_2{b}_7{w}_7\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+b_2{b}_8{w}_8\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+b_2{b}_6{b}_{19}{w}_{19}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+b_2{b}_7{b}_{21}{w}_{21}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+b_2{b}_4{b}_6{b}_{19}{w}_{58}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+b_2{b}_5{b}_6{b}_{19}{w}_{59}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $y\mathrm{<mo>=</mo>}x\mathrm{<mo>/</mo>9}$, $x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,9<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Видно, что функция $\phi$ отлична от нуля на множестве ${\tilde{E}}_T$ и обращается в нуль на ${ℝ}_{+}\backslash {\tilde{E}}_T$. Более того, модифицированное условие Коэна

$\underset{j\in \mathbb{N}}{{\displaystyle \inf }}\underset{\omega \in E}{{\displaystyle \inf }}\mathrm{<mo>|</mo>}{m}_0{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}}^{-j}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo>></mo>0}$

выполнено для $E\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{E}}_T$. Значит, по теореме 5 система $\mathrm{<mo>\{</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \ominus k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}k\in {\mathbb{Z}}_{+}\mathrm{<mo>\}</mo>}$ ортонормирована в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Построенная в примере 6 ступенчатая масштабирующая функция относится к случаю $p\mathrm{<mo>=</mo>}n\mathrm{<mo>=</mo>3}$. Из предложения 4 следует, что если при $p\mathrm{<mo>=</mo>}n\mathrm{<mo>=</mo>3}$ некоторое решение $\phi$ масштабирующего уравнения (3) является ступенчатой функцией, то среди нулевых значений маски $m_0$ уравнения (3) будут следующие: $b_9$, $b_{10}$, $b_{13}$, $b_{18}$, $b_{20}$, $b_{26}$.

Определение 4. Говорят, что множество $E$ порождено $N$ -валидным деревом $T$, если

$E\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{\infty }{\cap }}}{p}^{k}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_T\mathrm{<mo>/</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где множество ${\tilde{E}}_T$ задано по формуле (23).

Предложение 9 (см. [58]). Пусть множество $E$ порождено $N$ -валидным деревом $T$ с высотой $H$. Тогда множество $E$ представимо в виде

$E\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{H-N+1}{\cap }}}{p}^{k}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_T\mathrm{<mo>/</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

и является $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{,}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -элементарным множеством с $m\mathrm{<mo>=</mo>}H-2N+1$.

Следующая теорема представляет собой переформулировку теоремы 4.1 из [58].

Теорема 7. Пусть модуль маски $m_0$ масштабирующего уравнения $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ принимает только два значения: $0$ или $1$, причем $m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>1}$. Предположим, что решение $\phi$ уравнения $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, заданное по формуле

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-j}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \in {ℝ}_{+}\mathrm{,}$

таково, что $\widehat{\phi }\in {\mathcal{S}}_m^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $\mathrm{<mo>|</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{<mo>|</mo><mo>=</mo>}{1}_E$, где $N\mathrm{<mo>=</mo>}n-1$ и $E$ является $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}N\mathrm{,}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -элементарным множеством. Тогда существует $N$ -валидное дерево $T$ с высотой $H\mathrm{<mo>=</mo>}m+2N-1$, порождающее множество $E$.

При условиях предложения 9 имеем $E\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{p}^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и

$1_E\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{m+N}}{1}_{P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_T\mathrm{<mo>/</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-k}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \in {ℝ}_{+}\mathrm{.}$ (24)

С другой стороны, для данной функции $\phi$ имеем

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-m-N}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{m+N}}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-j}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \in {ℝ}_{+}\mathrm{.}$ (25)

Отметим, что формула (25) совпадает с (24), если $\widehat{\phi }\mathrm{<mo>=</mo>}{1}_E$ и $m_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{1}_{P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_T\mathrm{<mo>/</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для $\omega \in {\tilde{E}}_T\mathrm{<mo>/</mo>}p$ (при этом $p^{-m-N}E\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}{p}^{-N}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset E$ ).

Пример 7. Пусть $N\mathrm{<mo>=</mo>2}$, $p\mathrm{<mo>=</mo>3}$, а дерево $T$ и множество ${\tilde{E}}_T$ как в примере 6. Тогда $H\mathrm{<mo>=</mo>5}$ и по предложению 9 множество

$E\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{4}{\cap }}}{3}^{k}P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_T\mathrm{<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>,}E\subset \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,9<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

является $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ -элементарным. Полагая ${\tilde{E}}_0\mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{E}}_T\mathrm{<mo>/</mo>3}$, как в примере 5 определим множества

$F_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\tilde{E}}_0\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_0+\mathrm{3<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_0+\mathrm{6<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$F_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_{s-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cup \left({\displaystyle \underset{k{\mathrm{<mo>=</mo>3}}^{s-1}-1}{\overset{3^s-1}{\cup }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_0+3k\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)дляs\ge 2\mathrm{.}$

Тогда

$P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_T\mathrm{<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{s\mathrm{<mo>=</mo>1}}{\overset{\infty }{\cup }}}{F}_s\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Если функция $\phi$ определена условием $\widehat{\phi }\mathrm{<mo>=</mo>}{1}_E$, то согласно (24) и (25) имеем

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^4}{1}_{P\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\tilde{E}}_T\mathrm{<mo>/</mo>3<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}}^{-k}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \in {ℝ}_{+}\mathrm{,}$

и с помощью модифицированного критерия Коэна проверяется, что масштабирующая функция $\phi$ является ортогональной.

Произвольное $N$ -валидное дерево $T$ может быть записано в векторной форме $\tilde{T}$ таким образом, что выполнены следующие условия:

(a) вершинами дерева $\tilde{T}$ являются $N$ -мерные векторы $\text{s}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_N\mathrm{,}{s}_{N-1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ с компонентами $s_i\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$, $i\in \mathrm{1,2.}\dots \mathrm{,}N$;

(b) дерево $\tilde{T}$ ориентировано от листьев к корню, причем корнем дерева $\tilde{T}$ является $N$ -мерный нулевой вектор;

(c) для любой дуги $\text{s}\to \text{t}$ дерева $\tilde{T}$ выполнено условие <<суффикс-префикс>>: первые $N-1$ компонент вектора $\text{t}$ совпадают с последними $N-1$ компонентами вектора $\text{s}$.

Высоты деревьев $\tilde{T}$ и $T$ связаны равенством $\tilde{H}\mathrm{<mo>=</mo>}H-N+1$. Векторная форма применяется при $N\ge 2$; в случае $N\mathrm{<mo>=</mo>1}$ эти формы отождествляются: $\tilde{T}\mathrm{<mo>=</mo>}T$.

Вектору $\text{t}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_N\mathrm{,}{t}_{N-1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ поставим в соответствие число $t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_1+t_{2}p+\dots +t_N{p}^{N-1}$, $t\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}{p}^N-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$. Всем исходящим из вершины $\text{s}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{s}_N\mathrm{,}{s}_{N-1}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{s}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ дерева $\tilde{T}$ дугам $\text{s}\to \text{t}$ приписываются положительные веса ${\lambda }_t$, сумма которых равна $1$. Аналогом сформулированной в [3] теоремы является следующее предложение.

Предложение 10. Пусть числа ${\lambda }_t$ определены для $N$ -валидного дерева $\tilde{T}$ как указано выше, причем $N\mathrm{<mo>=</mo>}n-1$. Предположим, что ненулевые значения маски $m_0$ выбраны так, что $b_0\mathrm{<mo>=</mo>1}$ и $\mathrm{<mo>|</mo>}{b}_{t+k{p}^N}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_t$ для $k\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}p-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$, $t\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}{p}^N-\mathrm{1<mo>\}</mo>}$. Тогда решение $\phi$ уравнения (3), заданное по формуле

$\widehat{\phi }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \prod _{j\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{m}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{p}^{-j}\omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\omega \in {ℝ}_{+}\mathrm{,}$

принадлежит классу ${\mathcal{S}}_N^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, где $m\mathrm{<mo>=</mo>}\tilde{H}-N$.

Для группы Виленкина $G_p$ необходимые и достаточные условия ортонормированности системы целых сдвигов масштабирующей функции, определяемой аналогично функции $\phi$ из предложения 10, доказаны в [24].

При построении фреймов Парсеваля (т.е. нормализованных жёстких фреймов; см. [65, определение 2.1]) вместо (20) применяется условие

$b_0\mathrm{<mo>=</mo>1,}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>0}}^{p-1}}\mathrm{<mo>|</mo>}{b}_{s+k{p}^{n-1}}{\mathrm{<mo>|</mo>}}^2\le 1длявсехs\in \mathrm{<mo>\{</mo>0,1,}\dots \mathrm{,}{p}^{n-1}-\mathrm{1<mo>\}</mo>}\mathrm{.}$ (26)

Это условие гарантирует принадлежность классу $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{ℝ}_{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ функции $\phi$, заданной своим преобразованием Уолша$–$ Фурье по формуле (8) (ср. [8, предложение 6] и [17, раздел 2]). В сочетании с приведенными в разделе 2 характеристическими свойствами условие (26) задает класс масок, для которых соответствующие нормализованные жёсткие фреймы состоят из ступенчатых функций. В [38] определены три типа вейвлет-фреймов на ${ℝ}_{+}$: КМА-фреймы, маски которых удовлетворяют условию (26) (см. [38, раздел 2]); фреймы, ассоциированные с «допустимым условием» типа Добеши (см. [38, теорема 3.3], [56]); и фреймы, ассоциированные с ядрами типа Дирихле$–$ Уолша. Вычислительные алгоритмы для построения фреймов первого типа изложены в [35, 42, 46], а для группы Кантора фреймы второго и третьего типов рассматривались в [34] (в этих случаях условие (26) не требуется). Для фреймов на локальных полях аналоги «допустимого условия» типа Добеши содержатся в [56]. Недавно доказано (см. [19]), что для произвольного локального поля $K$ множество жёстких вейвлет фреймов не плотно в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}K\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Известно, что в случае простого $p$ группа Виленкина $G_p$ изоморфна аддитивной группе поля формальных рядов Лорана над конечным полем $GF\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (о соответствующих масштабирующих функциях см., например, [20, теорема 2.29], [21, 23, 59]). Изучение жёстких фреймов на поле $p$ -адических чисел ${\mathbb{Q}}_p$ представляет особый интерес, поскольку не существует «нетривиального» ортогонального базиса в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathbb{Q}}_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, состоящего из ступенчатых вейвлетов с компактными носителями. Действительно, согласно [30, 64] любой такой ортогональный базис в $L^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\mathbb{Q}}_p\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ является модифицированным базисом Хаара. Подробная библиография о вейвлетах и фреймах на локальных полях имеется в [20] (см. также [21, 22, 25, 26]).