Application of the projection-grid method for solving nonstationary problems

Full Text

1. Введение. Проекционно-сеточные методы в настоящее время являются чрезвычайно действенными инструментами решения задач математической физики: теплообмена, гидродинамики, электродинамики, механики твердого деформируемого тела и топологической оптимизации.

Общая теория разностных методов разработана А. А. Самарским [11]. Различные приближенные методы решения краевых задач изложены в монографии Г. И. Марчука [8], также классический вариационный подход описан в книге С. Г. Михлина [9]. Наиболее обширные результаты, полученные при численном решении, относятся к регулярным краевым задачам, порождаемым невырожденными уравнениями с гладкими коэффициентами. Эти исследования опираются на теорию аппроксимаций в функциональных пространствах. Гораздо меньше изучены подобные вопросы для сингулярных уравнений.

В этой связи необходимо отметить работу [10], в которой рассмотрено уравнение

$-\frac{d}{dx}\left(x^{k}p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{du}{dx}\right)+q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$

для $0\le k\le \mathrm{5<mo>/</mo>2}$, $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0}$. В ней указан порядок аппроксимации в энергетическом пространстве, зависящий от $k$ и гладкости функции $f$.

В работе [6] В. В. Катраховым и А. А. Катраховой изучена сходимость метода Галеркина для краевой задачи

$-\left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{k}{x}\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+qu\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{du}{dx}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{x\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}u{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{{\Gamma }^{+}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}$

где

${\Gamma }^{+}\mathrm{<mo>=</mo>}\partial {\Omega }^{+}\mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}x\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>,}{\Omega }^{+}\subset R_{+}^2\mathrm{.}$

Ю. Л. Гусманом и А. А. Оганесяном [3] был развит вариационно-разностный подход для двумерного уравнения

$\frac{\partial }{\partial x}\left(x^{\mu }\frac{\partial u}{\partial x}\right)+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+qu\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}y\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

где $0\le \mu \mathrm{<mo><</mo>1}$. Получены точные по порядку оценки погрешности метода.

Работа [6] посвящена исследованию сингулярных краевых задач в контексте изучения сходимости приближенных методов решения.

Вопрос построения эффективных численных методов для сингулярных и вырождающихся краевых задач, несомненно, является актуальным. В настоящей статье на основе вариационного подхода устанавливается разрешимость сингулярного параболического уравнения, в котором по одной из переменных действует оператор Бесселя. Приводятся оценки погрешности аппроксимации точного решения методом Бубнова$–$ Галеркина.

2. Постановка задачи. Рассмотрим начально-краевую задачу

$\frac{du}{dt}+Lu\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{,}$ (1)

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}\frac{du}{dx}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{x\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>0,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (2)

где $f\mathrm{<mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для всех $t$, $x\in \Omega \mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{u}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Оператор $L$ имеет вид

$Lu\mathrm{<mo>=</mo>}-x^{-\gamma }\frac{d}{dx}\left(x^{\gamma }p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{du}{dx}\right)+q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{,}$

$D\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}L\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{v\mathrm{<mo>:</mo>}v\in L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{,}Lv\in L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{,}\frac{dv}{dx}\in L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{,}\frac{dv}{dx}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}\right\}\mathrm{.}$

Основы теории уравнений, содержащих подобные операторы, были заложены И. А. Киприяновым и Я. И. Житомирским (см. [5, 7, 12]).

Скалярное произведение и норма в $L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ задаются следующим образом:

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{\gamma }u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\mathrm{,}\parallel f{\parallel }_{L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{\gamma }{f}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dx\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{.}$

Будем считать, что $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$, $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge p_0\mathrm{<mo>></mo>0}$, $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ge 0$, $p_0\mathrm{<mo>=</mo>}const$, $\gamma \mathrm{<mo>></mo>0}$, $\gamma \ne 1$.

Энергетическое пространство, соответствующее оператору $L$, будем обозначать $H_L$. Скалярное произведение в $H_L$ имеет вид

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{\gamma }\left(p\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial v}{\partial t}+quv\right)dx\mathrm{.}$ (3)

Весовые пространства $H_{\gamma }^m\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ (пространства И. А. Киприянова) определяются как замыкание класса $C_{\text{чет}}^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\subset C^{\infty }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, состоящего из четных функций по норме

$\parallel f{\parallel }_{m\mathrm{,}\gamma }\mathrm{<mo>=</mo>}{\left({\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}0\le i_1+2i_2\le m\\ i\mathrm{<mo>=</mo>0,1}\end{array}}}{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{\gamma }{\left|D_x^{i_1}{B}_x^{i_2}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right|}^2\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}dx\mathrm{,}$

где $D_x\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{d}{dx}$, $B_x\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{d^2}{d{x}^2}+\frac{\gamma }{x}\frac{d}{dx}$ $—$ оператор Бесселя.

Произвольно выберем функцию из $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из пространства $H_{\gamma }^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, удовлетворяющую условию $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. Умножим (1) на $x^{\gamma }v$, проинтегрируем по области $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \Omega$:

${\displaystyle {\int }_0^T}\left[{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{\gamma }\frac{\partial u}{\partial t}vdx-{\displaystyle {\int }_0^1}\left(x^{\gamma }{x}^{-\gamma }\frac{d}{dx}\left(x^{\gamma }p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\frac{du}{dx}\right)v+x^{\gamma }q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}uv-x^{\gamma }fv\right)dx\right]dt\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Интегрируя по частям, получим:

${\displaystyle {\int }_0^T}\left[-\left(u\mathrm{,}\frac{\partial v}{\partial t}\right)+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]dt\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (4)

где $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\cdot \mathrm{,}\cdot {\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}_{L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

Будем называть обобщенным решением задачи (1)$–$(2) функцию $u\in L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая имеет производную $\partial u\mathrm{<mo>/</mo>}\partial x\in L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и удовлетворяет уравнению (4) для любой такой функции $v\in H_{\gamma }^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что $\partial v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}\partial x\mathrm{<mo>=</mo>}v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$.

Приближение решения при такой постановке можно производить как по переменной $x$, так и по переменной $t$ в виде рядов с базисными функциями ${\varphi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\varphi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. В этом случае по временной переменной получаются, как правило, неявные схемы, и затруднено использование удобных на практике разностных схем для аппроксимации производной по $t$.

Пусть такое решение существует и $\partial u\mathrm{<mo>/</mo>}\partial t\in L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Примем $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_{\gamma }^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$, $d\Psi \mathrm{<mo>/</mo>}dt\in L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$. После подстановки $v\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в (4) и интегрирования по частям получим

${\displaystyle {\int }_0^T}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{,}w\right)+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt+\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}w\right)\mathrm{<mo>=</mo>0.}$

Учтем произвольность $\Psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$\left(\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{,}w\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}w\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (5)

Будем называть обобщенным решением задачи (1) $–$(2) функцию $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которая почти при каждом $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ принадлежит энергетическому пространству $H_L$ со скалярным произведением вида (3), имеет производную $\partial u\mathrm{<mo>/</mo>}\partial t\in L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и почти всюду на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет равенствам (5) при любом выборе $w\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in H_L$. Второе определение обобщенного решения требует наличия производной $\partial u\mathrm{<mo>/</mo>}\partial t\in L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, однако при такой постановке переменную $t$ можно рассматривать как параметр.

3. Построение проекционно-разностной схемы. Для приближенного решения задачи (1)$–$(2) будем в первую очередь выполнять аппроксимацию по пространственной переменнной c помощью проекционно-сеточного метода, а затем приближение по времени $t$ с использованием конечно-разностного метода.

Введем на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,1<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ сетку $\mathrm{0<mo>=</mo>}{x}_0\mathrm{<mo><</mo>}{x}_1\mathrm{<mo><</mo>}{x}_2\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{x}_{n-1}\mathrm{<mo><</mo>}{x}_n\mathrm{<mo>=</mo>1}$, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n$, $h\mathrm{<mo>=</mo>}{x}_i-x_{i-1}$. Для случая, когда $\gamma \ne 1$, базисные функции заданы следующим образом:

${\varphi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llll}\hfill & \frac{x^{1-\gamma }-x_{i-1}^{1-\gamma }}{x_i^{1-\gamma }-x_{i-1}^{1-\gamma }}\mathrm{,}\hfill & \hfill & x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{i-1}\mathrm{,}{x}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{x_{i+1}^{1-\gamma }-x^{1-\gamma }}{x_{i+1}^{1-\gamma }-x_i^{1-\gamma }}\mathrm{,}\hfill & \hfill & x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_i\mathrm{,}{x}_{i+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \mathrm{0,}\hfill & \hfill & x\notin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{i-1}\mathrm{,}{x}_{i+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n-1.\hfill \end{array}\right.$ (6)

${\varphi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llll}\hfill & \mathrm{1,}\hfill & \hfill & x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_0\mathrm{,}{x}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \frac{x_2^{1-\gamma }-x^{1-\gamma }}{x_2^{1-\gamma }-x_1^{1-\gamma }}\mathrm{,}\hfill & \hfill & x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>;</mo>}\hfill \end{array}\right.{\varphi }_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llll}\hfill & \frac{x^{1-\gamma }-x_{n-1}^{1-\gamma }}{x_n^{1-\gamma }-x_{n-1}^{1-\gamma }}\mathrm{,}\hfill & \hfill & x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{n-1}\mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \hfill & \mathrm{0,}\hfill & \hfill & x\notin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{n-1}\mathrm{,}{x}_n\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\hfill \end{array}\right.$ (7)

Приближенное решение задачи будем искать в виде

$u_h\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{n-1}}{a}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\varphi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Тогда коэффициенты, являющиеся функциями от $t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, будем искать из системы ОДУ, полученной с помощью метода Бубнова$–$ Галеркина из (5):

$\left(\frac{\partial u_h}{\partial t}\mathrm{,}{\varphi }_i\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{,}{\varphi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}{\varphi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (8)

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{\varphi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}N\mathrm{.}$ (9)

Уравнения (8)$–$(9) могут быть записаны в матричном виде:

$\widehat{B}\frac{da}{dt}+\widehat{A}a\mathrm{<mo>=</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\widehat{B}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{a}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$ (10)

где

$a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\left(a_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{a}_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^T\mathrm{,}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\left(F_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\dots \mathrm{,}{F}_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)}^T\mathrm{,}{F}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}{\varphi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$a_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(a_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>,1}}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{a}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}n-1}\right)}^T\mathrm{,}{a}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{\varphi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\widehat{B}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(B_{ij}\right)\mathrm{,}\widehat{A}\mathrm{<mo>=</mo>}\left(A_{ij}\right)\mathrm{,}$

$A_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{A}_{ji}\mathrm{<mo>=</mo>}\left[{\varphi }_i\mathrm{,}{\varphi }_j\right]\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{ij}}}{x}^{\gamma }\left(p\frac{d{\varphi }_i}{dx}\frac{d{\varphi }_j}{dx}+q{\varphi }_i{\varphi }_j\right)dx\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n-\mathrm{1,}$

$B_{ij}\mathrm{<mo>=</mo>}{B}_{ji}\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\varphi }_i\mathrm{,}{\varphi }_j\right)\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_{{\Omega }_{ij}}}{x}^{\gamma }{\varphi }_i{\varphi }_{j}dx\mathrm{,}{\Omega }_{ij}\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap supp{\varphi }_i\cap supp{\varphi }_j\mathrm{,}{\Omega }_j\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap supp{\varphi }_j\mathrm{.}$

$F_i\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{{\Omega }_j}{\int }}{x}^{\gamma }f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\varphi }_{i}dx\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n-1.$

Поскольку скалярное произведение базисных функций в пространстве $L_{\mathrm{2,}\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\Omega \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ отлично от $0$ только для соседних функций, то для матрицы $\widehat{A}$ требуется найти только элементы $A_{j-\mathrm{1,}j}$, $A_{j\mathrm{,}j}$, $A_{j+\mathrm{1,}j}$ (см. [1]) по следующим формулам:

$A_{j-\mathrm{1,}j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{x_{j-1}}{\overset{x_j}{\int }}}{x}^{\gamma }p\frac{d{\varphi }_{j-1}}{dx}\frac{d{\varphi }_j}{dx}dx+{\displaystyle \underset{x_{j-1}}{\overset{x_j}{\int }}}{x}^{\gamma }q{\varphi }_{j-1}{\varphi }_{j}dx\mathrm{,}$ (11)

$A_{j\mathrm{,}j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{x_{j-1}}{\overset{x_j}{\int }}}{x}^{\gamma }p\frac{d{\varphi }_j}{dx}\frac{d{\varphi }_j}{dx}dx+{\displaystyle \underset{x_{j-1}}{\overset{x_j}{\int }}}{x}^{\gamma }q{\varphi }_j{\varphi }_{j}dx+{\displaystyle \underset{x_j}{\overset{x_{j+1}}{\int }}}{x}^{\gamma }p\frac{d{\varphi }_j}{dx}\frac{d{\varphi }_j}{dx}dx+{\displaystyle \underset{x_j}{\overset{x_{j+1}}{\int }}}{x}^{\gamma }q{\varphi }_j{\varphi }_{j}dx\mathrm{,}$ (12)

$A_{j+\mathrm{1,}j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{x_j}{\overset{x_{j+1}}{\int }}}{x}^{\gamma }p\frac{d{\varphi }_j}{dx}\frac{d{\varphi }_{j+1}}{dx}dx+{\displaystyle \underset{x_j}{\overset{x_{j+1}}{\int }}}{x}^{\gamma }q{\varphi }_{j+1}{\varphi }_{j}dx\mathrm{.}$ (13)

Аналогично для матрицы $\widehat{B}$ рассчитываются элементы $B_{j-\mathrm{1,}j}$, $B_{j\mathrm{,}j}$, $B_{j+\mathrm{1,}j}$:

$B_{j-\mathrm{1,}j}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\left(x_j^{1-\gamma }-x_{j-1}^{1-\gamma }\right)}^2}\left(\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j^{3-\gamma }-x_{j-1}^{3-\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>3}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_j^2{x}_{j-1}^{1-\gamma }-x_{j-1}^2{x}_j^{1-\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\mathrm{,}$ (14)

$B_{j\mathrm{,}j}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\left(x_j^{1-\gamma }-x_{j-1}^{1-\gamma }\right)}^2}\left(\frac{x_j^{3-\gamma }}{3-\gamma }-\frac{x_{j-1}^{3-\gamma }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-x_{j-1}^{1-\gamma }{x}_j^2+\frac{x_{j-1}^{2-2\gamma }{x}_j^{\gamma +1}}{\gamma +1}\right)+$

$+\frac{1}{{\left(x_{j+1}^{1-\gamma }-x_j^{1-\gamma }\right)}^2}\left(\frac{x_{j+1}^{3-\gamma }{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>3}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{x_j^{3-\gamma }}{3-\gamma }+x_{j+1}^{1-\gamma }{x}_j^2-\frac{x_j^{1+\gamma }{x}_{j+1}^{2-2\gamma }}{\gamma +1}\right)\mathrm{,}$ (15)

$B_{j+\mathrm{1,}j}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{1}{{\left(x_{j+1}^{1-\gamma }-x_j^{1-\gamma }\right)}^2}\left(\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{j+1}^{3-\gamma }-x_j^{3-\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>1}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>3}-\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}+\frac{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma -\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{x}_{j+1}^2{x}_j^{1-\gamma }-x_j^2{x}_{j+1}^{1-\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}\gamma +\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right)\mathrm{.}$ (16)

Нетрудно убедиться, что полученные матрицы являются положительно определенными и симметричными.

4. Численное решение системы ОДУ. Введем на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ равномерную сетку $t_j\mathrm{<mo>=</mo>}j\tau$, $\tau \mathrm{<mo>=</mo>}T\mathrm{<mo>/</mo>}J$, $j\mathrm{<mo>=</mo>0,}\dots \mathrm{,}J$. Перепишем уравнения (10), используя для аппроксимации по времени неявную схему (см. [4]), имеющую первый порядок аппроксимации по $\tau$:

$\widehat{B}{a}_0\mathrm{<mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (17)

$\widehat{B}\frac{a_j-a_{j-1}}{\tau }+\widehat{A}{a}_j\mathrm{<mo>=</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}J\mathrm{,}$ (18)

где $a_j\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{a}_{\mathrm{1,}j}\mathrm{,}\dots \mathrm{,}{a}_{n-\mathrm{1,}j}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^T$. Сгруппируем в (18) значения по временным слоям:

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\widehat{B}+\widehat{A}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{a}_j\mathrm{<mo>=</mo>}\tau F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\widehat{B}{a}_{j-1}$ (19)

Матрица $\widehat{B}+\widehat{A}\tau$ имеет трехдиагональный вид и состоит из суммы элемнтов, рассчитанных по формулам (11)$–$(16):

$\left[\begin{array}{ccccc}{B}_{11}+\tau A_{11}& B_{12}+\tau A_{12}& & & \\ B_{21}+\tau A_{21}& B_{22}+\tau A_{22}& B_{23}+\tau A_{23}& & \\ & & & \ddots & \\ & & & & B_{n-\mathrm{2,}n-1}+\tau A_{n-\mathrm{2,}n-1}\\ & & & B_{n-\mathrm{1,}n-2}+\tau A_{n-\mathrm{1,}n-2}& B_{n-\mathrm{1,}n-1}+\tau A_{n-\mathrm{1,}n-1}\end{array}\right]\mathrm{.}$

Обозначим через $f$ вектор-столбец, стоящий в правой части уравнения (19):

$\tau F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\widehat{B}{a}_{j-1}\mathrm{<mo>=</mo>}{f}_{n-1\times 1}\mathrm{<mo>=</mo>}\left[\begin{array}{c}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}{\varphi }_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B_{11}{a}_{\mathrm{1,}j-1}+B_{12}{a}_{\mathrm{2,}j-1}\\ \tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}{\varphi }_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B_{21}{a}_{\mathrm{1,}j-1}+B_{22}{a}_{\mathrm{2,}j-1}+B_{23}{a}_{\mathrm{3,}j-1}\\ ⋮\\ \tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}{\varphi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B_{i\mathrm{,}i-1}{a}_{i-\mathrm{1,}j-1}+B_{i\mathrm{,}i}{a}_{i\mathrm{,}j-1}+B_{i\mathrm{,}i+1}{a}_{i+\mathrm{1,}j-1}\\ ⋮\\ \tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}{\varphi }_{n-1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+B_{n-\mathrm{1,}n-2}{a}_{n-\mathrm{2,}j-1}+B_{n-\mathrm{1,}n-1}{a}_{n-\mathrm{1,}j-1}\end{array}\right]$

Такую систему можно записать в виде

$c_i{a}_{i-\mathrm{1,}j}+d_i{a}_{i\mathrm{,}j}+e_i{a}_{i+\mathrm{1,}j}\mathrm{<mo>=</mo>}{f}_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>2,}\dots \mathrm{,}n-\mathrm{2,}$

$\left(\begin{array}{ccccc}{d}_1& e_1& 0& \cdots & 0\\ c_2& d_2& e_2& \cdots & 0\\ & & & \ddots & \\ & & & c_{n-1}& d_{n-1}\\ & & & & \end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{\mathrm{1,}j}& & & & \\ a_{\mathrm{2,}j}& & & & \\ ⋮& & & & \\ a_{n-\mathrm{1,}j}& & & & \\ & & & & \end{array}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(\begin{array}{ccccc}{f}_1& & & & \\ f_2& & & & \\ ⋮& & & & \\ f_{n-1}& & & & \\ & & & & \end{array}\right)$

и применять для решения метод последовательного исключения неизвестных (метод прогонки).

5. Оценки сходимости. Для получения априорной оценки $u_h$ обобщенного решения умножим каждое из уравнений (8) на функцию $a_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и просуммируем по всем $i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}n-1$:

$\left(\frac{\partial u_h}{\partial t}\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{n-1}}{a}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\varphi }_i\right)+\left[u_h\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{n-1}}{a}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\varphi }_i\right]\mathrm{<mo>=</mo>}\left(f\mathrm{,}{\displaystyle \sum _{i\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{n-1}}{a}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\varphi }_i\right)\mathrm{,}$

а затем проинтегрируем по $t^{\prime }\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

${\displaystyle {\int }_0^t}\left(\frac{\partial u_h}{\partial t}\mathrm{,}{u}_h\right)d{t}^{\prime }+{\displaystyle {\int }_0^t}\left[u_h\mathrm{,}{u}_h\right]d{t}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^t}\left(f\mathrm{,}{u}_h\right)d{t}^{\prime }\mathrm{.}$ (20)

Применим интегрирование по частям:

${\displaystyle {\int }_0^t}\left(\frac{\partial u_h}{\partial t}\mathrm{,}{u}_h\right)d{t}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^1}{\displaystyle {\int }_0^t}\frac{\partial u_h}{\partial t}{u}_h{x}^{\gamma }d{t}^{\prime }dx\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\displaystyle {\int }_0^1}{u}_h{x}^{\gamma }{u}_{h}dx\right){\mathrm{<mo>|</mo>}}_0^1-$

$-{\displaystyle {\int }_0^t}\left(\frac{\partial u_h}{\partial t}\mathrm{,}{u}_h\mathrm{<mo>=</mo>}\right)d{t}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle {\int }_0^t}\left(\frac{\partial u_h}{\partial t}\mathrm{,}{u}_h\right)d{t}^{\prime }\mathrm{.}$

Тогда

$2{\displaystyle {\int }_0^t}\left(\frac{\partial u_h}{\partial t}\mathrm{,}{u}_h\right)d{t}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Перепишем равенство (20):

$\frac{1}{2}\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^t}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^t}\left(f\mathrm{,}{u}_h\right)d{t}^{\prime }+\frac{1}{2}\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Из (9) вытекает равенство

$\left(u_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>}\left(u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{,}$

откуда получаем $\parallel u_h\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \parallel u_0\parallel$. Тогда

$\frac{1}{2}\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^t}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\le {\left({\displaystyle {\int }_0^t}\parallel f{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}{\left({\displaystyle {\int }_0^t}\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}+\frac{1}{2}\parallel u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\parallel }^2\mathrm{.}$ (21)

Рассмотрим норму в энергетическом пространстве:

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{\gamma }\left[p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\left(\frac{du}{dx}\right)}^2+q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^2\right]dx\mathrm{.}$

В последней формуле отбросим неотрицательное слагаемое $q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{u}^2$, а $p\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ заменим на $p_0$:

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}\ge p_0{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{\gamma }{\left(\frac{du}{dx}\right)}^{2}dx\mathrm{<mo>=</mo>}{p}_0\parallel {u^{\prime }}_x{\parallel }^2\mathrm{.}$ (22)

Покажем, что справедлива оценка

$\parallel u{\parallel }_{L_{\mathrm{2,}\gamma }}^2\le \parallel u^{\prime }{\parallel }_{L_{\mathrm{2,}\gamma }}^2\frac{1}{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$ (23)

Запишем c учетом $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0}$:

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-{\displaystyle {\int }_x^1}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{,}{u}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle {\int }_x^1}{\left(u^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\xi }^{-\gamma \mathrm{<mo>/</mo>2}}{\xi }^{\gamma \mathrm{<mo>/</mo>2}}\right)}^{2}d\xi \mathrm{.}$

С использованием неравенства Коши$–$ Буняковского для $0\le x\le 1$ получаем

$u^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\le \left({\displaystyle {\int }_x^1}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2{\xi }^{\gamma }d\xi \right)\left({\displaystyle {\int }_x^1}{\xi }^{-\gamma }d\xi \right)\le \left({\displaystyle {\int }_0^1}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{u}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^2{\xi }^{\gamma }d\xi \right)\frac{{\xi }^{1-\gamma }}{1-\gamma }{\mathrm{<mo>|</mo>}}_x^1\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel u^{\prime }{\parallel }_{L_{\mathrm{2,}\gamma }}^2\frac{1-x^{1-\gamma }}{1-\gamma }\mathrm{.}$

Проинтегрируем от $0$ до $1$ c весом $x^{\gamma }$:

$\parallel u{\parallel }_{L_{\mathrm{2,}\gamma }}^2\le \parallel u^{\prime }{\parallel }_{L_{\mathrm{2,}\gamma }}^2{\displaystyle {\int }_0^1}\frac{x^{\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}-x^{1-\gamma }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{1-\gamma }dx\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel u^{\prime }{\parallel }_{L_{\mathrm{2,}\gamma }}^2\frac{1}{1-\gamma }\left(\frac{x^{\gamma +1}}{\gamma +1}-\frac{x^2}{2}\right){\mathrm{<mo>|</mo>}}_0^1\mathrm{<mo>=</mo>}\parallel u^{\prime }{\parallel }_{L_{\mathrm{2,}\gamma }}^2\frac{1}{\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{.}$

Подставим оценку (23) в неравенство (22):

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\ge 2p_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel u{\parallel }^2\mathrm{.}$ (24)

C учетом (24) запишем (21):

$\frac{1}{2}\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^t}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\le {\left({\displaystyle {\int }_0^t}\parallel f{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}c{\left(\frac{1}{2}\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^t}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}+\frac{1}{2}\parallel u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\parallel }^2\mathrm{,}$

где $c\mathrm{<mo>=</mo>2}{p}_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1}+\gamma \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. К последнему соотношению применим $ϵ$ -неравенство $\mathrm{<mo>|</mo>}ab\mathrm{<mo>|</mo>}\le a^2\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>4}ϵ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+ϵb^2$:

$\frac{1}{2}\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^t}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\le \frac{c}{4ϵ}{\displaystyle {\int }_0^t}\parallel f{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }+cϵ\left(\frac{1}{2}\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^t}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\right)+\frac{1}{2}\parallel u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (25)

Примем $ϵ\mathrm{<mo>=</mo>}c\mathrm{<mo>/</mo>2}$. Имеем

$\left(2-\frac{c^2}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^t}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\right)\le \frac{1}{2}\left({\displaystyle {\int }_0^t}\parallel f{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }+\parallel u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\parallel }^2\right)\mathrm{,}$

$\left(2-\frac{c^2}{2}\right)\left(\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+2{\displaystyle {\int }_0^t}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\right)\le \left({\displaystyle {\int }_0^t}\parallel f{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }+\parallel u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\parallel }^2\right)\mathrm{,}$

$\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^t}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\le C\left({\displaystyle {\int }_0^t}\parallel f{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }+\parallel u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\parallel }^2\right)\mathrm{,}$

$\underset{t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{{\displaystyle \max }}\parallel u_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle {\int }_0^T}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }\le C\left({\displaystyle {\int }_0^T}\parallel f{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d{t}^{\prime }+\parallel u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\parallel }^2\right)\mathrm{.}$

Отсюда следует непрерывная зависимость приближенного решения $u_h$ задачи от $f$ и $u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

Оценим скорость сходимости $u_h$ к $u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ при $h\to 0$. Положим ${\xi }_h\mathrm{<mo>=</mo>}u-u_h$; тогда для любой функции $v_h\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _1^{n-1}}{b}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\varphi }_i$ имеем

$\left(\frac{\partial {\xi }_h}{\partial t}\mathrm{,}{v}_h\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_h\mathrm{,}{v}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{,}{v}_h\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u\mathrm{,}{v}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\left(\frac{\partial u_h}{\partial t}\mathrm{,}{v}_h\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{,}{v}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$\left(\frac{\partial u_h}{\partial t}\mathrm{,}{v}_h\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}_h\mathrm{,}{v}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}{v}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$

$\left(\frac{\partial {\xi }_h}{\partial t}\mathrm{,}{v}_h\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_h\mathrm{,}{v}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left(\frac{\partial u}{\partial t}\mathrm{,}{v}_h\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u\mathrm{,}{v}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{,}{v}_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$

$\left({\xi }_h\mathrm{,}{v}_h\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0.}$

Значит,

$\left(\frac{\partial {\xi }_h}{\partial t}\mathrm{,}{\xi }_h\right)+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_h\mathrm{,}{\xi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>=</mo>}\left(\frac{\partial {\xi }_h}{\partial t}\mathrm{,}u-v_h\right)+\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_h\mathrm{,}u-v_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>.}$

Применяя к $\left(\frac{\partial {\xi }_h}{\partial t}\mathrm{,}{\xi }_h\right)$ интегрирование по частям, получим

$\frac{1}{2}\parallel {\xi }_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{2}d{t}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_h\mathrm{,}u-v_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}d{t}^{\prime }+{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}\left(\frac{\partial {\xi }_h}{\partial t}\mathrm{,}u-v_h\right)d{t}^{\prime }+\frac{1}{2}\parallel {\xi }_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (26)

Вычислим

${\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}\left(\frac{\partial {\xi }_h}{\partial t}\mathrm{,}u-v_h\right)d{t}^{\prime }\mathrm{<mo>=</mo>}\left({\xi }_h\mathrm{,}u-v_h\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\left({\xi }_h\mathrm{,}u-v_h\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}\left({\xi }_h\mathrm{,}\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial v_h}{\partial t}\right)d{t}^{\prime }\mathrm{.}$

Для (26) справедлива оценка

$\frac{1}{2}\parallel {\xi }_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{2}d{t}^{\prime }\le {\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\left({\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{2}d{t}^{\prime }\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\left({\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u-v_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{2}d{t}^{\prime }\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}+\parallel {\xi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \parallel u-v_h\parallel \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\parallel {\xi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \parallel u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-v_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel +{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\left(\parallel {\xi }_h{\parallel }^{2}d{t}^{\prime }\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{<mo>*</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\left({‖\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial v_h}{\partial t}‖}^{2}d{t}^{\prime }\right)}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\frac{1}{2}\parallel {\xi }_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (27)

Так как $u_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ ортогональная проекция $u_0$ на $H_L$, то

$\parallel {\xi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \le \parallel u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-v_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\parallel \mathrm{.}$

Используя неравенство $\mathrm{<mo>|</mo>}ab\mathrm{<mo>|</mo>}\le a^2\mathrm{<mo>/</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>4}ϵ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+ϵb^2$ и оценку (27), получаем:

$\frac{1}{2}\parallel {\xi }_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{2}d{t}^{\prime }\le \frac{1}{4{ϵ}_1}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{2}d{t}^{\prime }+{ϵ}_1{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}u-v_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{2}d{t}^{\prime }+\parallel u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-v_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2+\frac{1}{4{ϵ}_2}\parallel {\xi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2+$

$+{ϵ}_2\parallel u-v_h{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{c}{4{ϵ}_3}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{\xi }_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}}^{2}d{t}^{\prime }+{ϵ}_3{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{‖\frac{\partial u}{\partial t}-\frac{\partial v_h}{\partial t}‖}^{2}d{t}^{\prime }+\frac{1}{2}\parallel u_{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-v_h\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\parallel }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$