О задачах граничного управления и оптимального управления распределенной неоднородной колебательной системой с заданными промежуточными условиями на функции состояния

Полный текст

1. Введение. Волновые уравнения, возникающие в задачах управления распределенными колебательными процессами, имеют неизменный теоретический интерес и существенное практическое значение (см. [1–5, 7–9, 11–18, 21, 22]). В задачах математического моделирования часто возникает необходимость генерации желаемой формы колебания или стабилизации колебания. Решение данной проблемы реализуется исследователями, как правило, с помощью задач граничного управления (см. [2, 4, 5, 7–9, 11–18, 21, 22]). Благодаря многочисленным приложениям многоточечные краевые задачи управления и оптимального управления динамикой являются активно развиваемым направлением в современной теории управления. В этих задачах, наряду с классическими краевыми условиями (начальными и конечными), дополнительно заданы многоточечные условия в промежуточные фиксированные моменты времени.

Задачам управления (в том числе и оптимального) динамикой разнородных составных систем посвящены, в частности, работы [1, 2, 4, 5, 7, 8, 11–18, 26]. Применительно к распределенной колебательной системе, включающей два кусочно однородных участка, эта задача была впервые сформулирована А. Г. Бутковским и исследована в [12]. Серия работ академика В. А. Ильина (см., например, [7, 8]) и работы [4, 5, 11, 13–16, 26] посвящены проблемам граничного управления (оптимального управления) процессами, которые моделируются одномерным волновым уравнением, состоящим из двух участков с разными физическими свойствами. Длины таких участков выбирались исходя из предположения, что время прохождения колебаний по каждому из них является одинаковым. Авторами указанных работ были изучены и выведены формулы типа Даламбера, при этом задачи исследовались методом бегущих волн.

В данной статье рассматривается серия задач граничного управления и оптимального граничного управления динамикой распределенной неоднородной колебательной системы, причем в промежуточные моменты времени известны различные состояния колебательного процесса, который состоит из двух кусочно однородных участков. Считаем, что физические характеристики этих участков удовлетворяют сделанным выше предположениям. Будем осуществлять управление и оптимальное управление за счет смещения одного конца (при закрепленном противоположном конце), а также за счет одновременного смещения обоих концов с заданными условиями: в начальный и конечный моменты времени, а также в разные определенные промежуточные моменты времени. Критерий качества в задачах оптимального граничного управления задан на всем интервале времени.

Сформулированные в данной работе задачи отличаются от существующих постановок тем, что помимо стандартных краевых условий заданы дополнительно многоточечные условия в промежуточные моменты времени, а именно: на функции колебания (прогиба), на их производную (функции скоростей точек), а также одновременно на функции колебания и производную функции колебания. При исследовании этих задач используется метод разделения переменных (метод Фурье).

Цель данной работы состоит в создании аналитического подхода и разработке алгоритма построения функции граничного управления и оптимального управления одномерными колебательными системами, обладающими неоднородными свойствами, динамика которых (под действием сформированного закона управления) за конечный отрезок времени переходит из определенного начального состояния через многоточечные промежуточные состояния в известное (желаемое) конечное состояние.

2. Постановка задачи. Пусть кусочно однородная среда состоит из двух участков с соответствующими длинами $l_1$ и $l$ (т.е. $-l_1\le x\le 0$, $0\le x\le l$ ), $a_i\mathrm{<mo>=</mo>}\sqrt{k_i\mathrm{<mo>/</mo>}{\rho }_i}$ $—$ скорость прохождения волны по $i$ -му участку, где ${\rho }_i\mathrm{<mo>=</mo>}const$ $—$ линейная плотность, $k_i\mathrm{<mo>=</mo>}const$ $—$ модуль Юнга, $i\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$. При этом имеет место равенство

$\frac{l_1}{a_1}\mathrm{<mo>=</mo>}\frac{l}{a_2}\mathrm{,}$ (2.1)

так что время прохождения волны по участкам разной длины совпадает. Пусть состояние неоднородной распределенной системы описывается функцией $Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $-l_1\le x\le l$, $0\le t\le T$, а отклонения от состояния равновесия можно представить в виде волнового уравнения следующего вида:

$\frac{{\partial }^{2}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llllll}\hfill & a_1^2\frac{{\partial }^{2}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}\mathrm{,}\hfill & -l_1\hfill & \le x\le \mathrm{0,}\hfill & 0\hfill & \le t\le T\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & a_2^2\frac{{\partial }^{2}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x^2}\mathrm{,}\hfill & 0\hfill & \le x\le l\mathrm{,}\hfill & 0\hfill & \le t\le T\mathrm{,}\hfill \end{array}\right.$ (2.2)

с граничными условиями двух видов:

1.  $Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}0\le t\le T\mathrm{,}$ (2.3)

<p >2.  $Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}0\le t\le T\mathrm{.}$ (2.4)

Функции $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ управляющие воздействия (граничные управления) с условиями сопряжения в точке $x\mathrm{<mo>=</mo>0}$ соединения участков

$Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0}-\mathrm{0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0}+\mathrm{0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{a}_1^2{\rho }_1\frac{\partial Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{x\mathrm{<mo>=</mo>0}-0}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_2^2{\rho }_2\frac{\partial Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial x}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{x\mathrm{<mo>=</mo>0}+0}\mathrm{.}$ (2.5)

Распределенный кусочно однородный процесс (2.2) можно охарактеризовать как динамическую систему переменной структуры (см. [19]). Уравнение (2.2) характеризует математическая модель продольных (либо поперечных) колебаний стержня (струны) соответственно, где $\rho$ $—$ плотность, $k$ $—$ модуль упругости (натяжение струны).

Пусть классические условия (начальные и конечные) имеют вид

$3Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l_1\le x\le l\mathrm{,}$ (2.6)

$Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_{m+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial Q}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}T}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }_{m+1}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l_1\le x\le l\mathrm{.}$ (2.7)

Пусть также в некоторые определенные моменты времени $t_k$ $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$\mathrm{0<mo>=</mo>}{t}_0\mathrm{<mo><</mo>}{t}_1\mathrm{<mo><</mo>}\dots \mathrm{<mo><</mo>}{t}_m\mathrm{<mo><</mo>}{t}_{m+1}\mathrm{<mo>=</mo>}T\mathrm{,}$

известны промежуточные значения функции колебания (прогиба) и значения ее производной (скоростей точек системы) в следующем виде:

$\text{A}\text{.}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l_1\le x\le l\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (2.8)

$\text{B}\text{.}\frac{\partial Q}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l_1\le x\le l\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (2.9)

$\text{C}\text{.}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l_1\le x\le l\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha -\mathrm{1,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}$ (2.10)

$\frac{\partial Q}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l_1\le x\le l\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha \mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{.}$

В промежуточных условиях (2.10) предполагается, что $m$ $—$ четное число.

Замечание 1. Промежуточные значения функции колебания и значения производной функции колебания в условиях (2.10) можно задавать в любой очередности.

Для задач управления с граничными условиями (2.3) будем рассматривать функционал вида

${\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dt\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{,}$ (2.11)

а для задач управления с граничными условиями (2.4) будем рассматривать функционал вида

${\left[{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\left({\mu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\nu }^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)dt\right]}^{\mathrm{1<mo>/</mo>2}}\mathrm{.}$ (2.12)

Предполагается, что функция $Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\Omega }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, где ${\Omega }_T\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>:</mo>}x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-l_1\mathrm{,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}$, а функции удовлетворяют условиям ${\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-l_1\mathrm{,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и ${\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}-l_1\mathrm{,}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$. Кроме того, полагаем, что выполнены условия согласования

$\begin{array}{llllllll}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \dot{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \dot{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \dot{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \dot{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ \mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \dot{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \dot{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \end{array}$ (2.13)

где $i\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha -1$, $j\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha$, $\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{<mo>/</mo>2}$.

Для уравнения (2.2) с условиями (2.6) и (2.7) на отрезке $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ сформулированы шесть задач граничного управления с граничными условиями (2.3) и (2.4), с заданными различными условиями (2.8)$–$(2.10) на функцию колебания и ее производную в фиксированные промежуточные значения.

Номером 1 обозначим задачи, в которых управление реализуется за счет перемещения только одного конца (для определенности, левого) при закрепленном другом конце.

Задача 1A. Граничное управление колебательным процессом с заданными значениями функции колебания в выделенные промежуточные моменты времени (2.8).

Задача 1B. Граничное управление колебательным процессом с заданными значениями производной функции колебания в выделенные промежуточные моменты времени (2.9).

Задача 1С. Граничное управление колебательным процессом с заданными значениями функции колебания и ее производной в выделенные разные промежуточные моменты времени (2.10).

Сформулируем перечисленные задачи управления 1A, 1B, 1C с указанными граничными условиями (2.3).

Требуется найти такое граничное управление $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $0\le t\le T$, (см. (2.3)), под влиянием которого колебания системы (2.2) с условиями сопряжения (2.5) из известного состояния (2.6) в начале отрезка $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$ переходят в состояние (2.7) в конце отрезка $t\mathrm{<mo>=</mo>}T$, обеспечивая выполнение следующих значений: 

A. функции колебания в фиксированные промежуточные значения времени $t_i$ (см. (2.8));

B. производной функции колебания в фиксированные промежуточные значения времени $t_j$ (см. (2.9));

C. функции колебания и ее производной в фиксированные промежуточные значения $t_i$ и $t_j$ (см. (2.10)).

Номером 2 обозначим далее задачи, в которых управление реализуется за счет перемещения обоих концов системы.

Задача 2A. Граничное управление колебательным процессом с заданными значениями функции колебания в выделенные промежуточные моменты времени (2.8).

Задача 2B. Граничное управление колебательным процессом с заданными значениями производной функции колебания в выделенные промежуточные моменты времени (2.9).

Задача 2C. Граничное управление колебательным процессом с заданными значениями функции колебания и ее производной в выделенные разные промежуточные моменты времени (2.10).

Сформулируем перечисленные задачи управления 2A, 2B, 2C с указанными граничными условиями (2.4).

Требуется найти такие граничные управления $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $0\le t\le T$ (см. (2.4)), под влиянием которых колебания системы (2.2) с условиями сопряжения (2.5) из известного состояния (2.6) в начале отрезка $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$ переходят в состояние (2.7) в конце отрезка $t\mathrm{<mo>=</mo>}T$, обеспечивая выполнение следующих значений: 

A. функции колебания в фиксированные промежуточные значения времени $t_i$ (см. (2.8));

B. производной функции колебания в фиксированные промежуточные значения времени $t_j$ (см. (2.9));

C. функции колебания и ее производной в фиксированные промежуточные значения $t_i$ и $t_j$ (см. (2.10)).

Для уравнения (2.2) с начальными (2.6) и конечными (2.7) условиями на отрезке времени $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}$ и функционалами (2.11), (2.12) сформулированы шесть задач оптимального граничного управления с граничными условиями (2.3) и (2.4), с заданными различными условиями (2.8)$–$(2.10) на функцию колебания и ее производную в определенные промежуточные значения из временного интервала. Сохраняя принятую выше нумерацию задач, отметим задачи оптимального граничного управления дополнительно верхним индексом <<0>>.

Задача 1 ${}^0$ A. Оптимальное граничное управление колебательным процессом с заданными значениями функции колебания в выделенные промежуточные моменты времени (2.8) и минимизирующие функционал (2.11).

Задача 1 ${}^0$ B. Оптимальное граничное управление колебательным процессом с заданными значениями производной функции колебания в выделенные промежуточные моменты времени (2.9) и минимизирующие функционал (2.11).

Задача 1 ${}^0$ C. Оптимальное граничное управление колебательным процессом с заданными значениями функции колебания и ее производной в выделенные разные промежуточные моменты времени (2.10) и минимизирующие функционал (2.11).

Сформулируем перечисленные задачи 1 ${}^0$ A, 1 ${}^0$ B, 1 ${}^0$ C оптимального граничного управления с условиями (2.3).

Требуется найти оптимальное граничного управление ${\mu }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $0\le t\le T$ (см. (2.3)) под воздействием которого колебания системы (2.2) с условиями сопряжения (2.5) из известного состояния (2.6) в начале отрезка $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$ переходят в состояние (2.7) в конце отрезка $t\mathrm{<mo>=</mo>}T$, обеспечивая минимум функционала (2.11) и выполнение следующих заданных значений: 

A. функции колебания в фиксированные промежуточные значения времени $t_i$ (см. (2.8));

B. производной функции колебания в фиксированные промежуточные значения времени $t_j$ (см. (2.9));

C. функции колебания и ее производной в фиксированные промежуточные значения $t_i$ и $t_j$ (см. (2.10)).

Задача 2 ${}^0$ A. Оптимальное граничное управление колебательным процессом с заданными значениями функции колебания в выделенные промежуточные моменты времени (2.8) и минимизирующие функционал (2.12).

Задача 2 ${}^0$ B. Оптимальное граничное управление колебательным процессом с заданными значениями производной функции колебания в выделенные промежуточные моменты времени (2.9) и минимизирующие функционал (2.12).

Задача 2 ${}^0$ C. Оптимальное граничное управление колебательным процессом с заданными значениями функции колебания и ее производной в выделенные разные промежуточные моменты времени (2.10) и минимизирующие функционал (2.12).

Сформулируем перечисленные задачи 2 ${}^0$ A, 2 ${}^0$ B, 2 ${}^0$ C оптимального граничного управления с условиями (2.4).

Требуется найти такие оптимальные граничные управления ${\mu }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\nu }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $0\le t\le T$ (см. (2.4)), под воздействием которых колебания системы (2.2) с условиями сопряжения (2.5) и граничными условиями из известного состояния (2.6) в начале отрезка $t\mathrm{<mo>=</mo>0}$ переходит в известное состояние (2.7) в конце отрезка $t\mathrm{<mo>=</mo>}T$, обеспечивая минимум функционала (2.12) и выполнение следующих заданных значений:

A. функции колебания в фиксированные промежуточные значения времени $t_i$ (см. (2.8)); 

B. производной функции колебания в фиксированные промежуточные значения времени $t_j$ (см. (2.9)); 

C. функции колебания и ее производной в фиксированные промежуточные значения $t_i$ и $t_j$ (см. (2.10)).

Замечание 2 .Так как во всех задачах управления и оптимального управления в отдельные промежуточные моменты времени $t_k$ ( $k\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m$ ) заданы или только значения функции колебания, или только значения производной функции колебания (значения скоростей точек), то использовать подход поэтапного исследования задач нецелесообразно.

В данной работе для всех перечисленных задач по единой схеме предлагается конструктивный подход решения, в котором учитывается специфика промежуточных условий.

Схема построения решений сформулированных задач включает следующие шаги:

Шаг 1. Задачи сводятся к задачам управления с распределенными воздействиями с нулевыми граничными условиями.

Шаг 2. При помощи метода разделения переменных полученные задачи сводятся к задачам управления и оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными, конечными и многоточечными промежуточными условиями.

Шаг 3. При помощи методов теории управления и оптимального управления конечномерными системами с многоточечными промежуточными условиями для произвольного числа первых $n$ гармоник строятся граничные управления и оптимальные граничные управления, которые представляются в явном аналитическом виде.

3. Сведение исходных задач к задачам с нулевыми граничными условиями. Для выполнения шага 1 из схемы построения решения перейдем к новой переменной:

$\xi \mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llll}\hfill & \frac{a_2}{a_1}x\mathrm{,}\hfill & -l_1\hfill & \le x\le \mathrm{0,}\hfill \\ \hfill & x\mathrm{,}\hfill & 0\hfill & \le x\le l\mathrm{,}\hfill \end{array}\right.$ (3.1)

что позволит реализовать растяжение или сжатие отрезка $-l_1\le x\le 0$ относительно точки $x\mathrm{<mo>=</mo>0}$. При этом с учетом (2.1) вместо отрезка $-l_1\le x\le 0$ будем иметь отрезок $-l\le \xi \le 0$.

Для функции $Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получим на отрезках одинаковой длины одинаковое уравнение

$\frac{{\partial }^{2}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}\mathrm{<mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llll}\hfill & a_2^2\frac{{\partial }^{2}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial {\xi }^2}\mathrm{,}\hfill & -l\hfill & \le \xi \le \mathrm{0,}0\le t\le T\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & a_2^2\frac{{\partial }^{2}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial {\xi }^2}\mathrm{,}\hfill & 0\hfill & \le \xi \le l\mathrm{,}0\le t\le T\mathrm{,}\hfill \end{array}\right.$

или

$\frac{{\partial }^{2}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_2^2\frac{{\partial }^{2}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial {\xi }^2}\mathrm{,}-l\le \xi \le l\mathrm{,}0\le t\le T\mathrm{,}$ (3.2)

с граничными условиями

$3Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}0\le t\le T\mathrm{,}$ (3.3)

$Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}0\le t\le T\mathrm{,}$ (3.4)

начальными условиями

$Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l\le x\le l\mathrm{,}$ (3.5)

промежуточными условиями

$4Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l\le \xi \le l\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (3.6)

$\frac{\partial Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l\le \xi \le l\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (3.7)

$Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l\le \xi \le l\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha -\mathrm{1,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}$ (3.8)

$\frac{\partial Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l\le \xi \le l\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha \mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}$

конечными условиями

$Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}T}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l\le \xi \le l\mathrm{,}$ (3.9)

и с условиями сопряжения в точке $\xi \mathrm{<mo>=</mo>0}$ соединения участков:

$Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0}-\mathrm{0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0}+\mathrm{0,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{a}_1{\rho }_1\frac{\partial Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \xi }{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\xi \mathrm{<mo>=</mo>0}-0}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_2{\rho }_2\frac{\partial Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial \xi }{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{\xi \mathrm{<mo>=</mo>0}+0}\mathrm{.}$ (3.10)

Отметим, что для простоты и удобства после замены переменной (3.1) все обозначения функций сохранены.

3.1. Сведение неоднородных граничных условий к нулевым граничным условиям. Поскольку граничные условия (3.3), (3.4) неоднородны, будем строить решение уравнения (3.2) в следующем виде:

$Q\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.11)

где $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ требующая определения функция с однородными граничными условиями

$V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (3.12)

а $W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ $—$ решение уравнения (3.2) с неоднородными граничными условиями

$2W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (3.13)

$W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (3.14)

Функция $W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для условий (3.3) и (3.4) представляется в виде

$W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.15)

$W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2l}\left[\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{.}$ (3.16)

Подстановка (3.11) в (3.2) и учет (3.15), (3.16) дают следующее уравнение для $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$:

$\frac{{\partial }^{2}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t^2}\mathrm{<mo>=</mo>}{a}_2^2\frac{{\partial }^{2}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial {\xi }^2}+F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}-l\le \xi \le l\mathrm{,}0\le t\le T\mathrm{,}$ (3.17)

где

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi -l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ddot{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.18)

$F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2l}\left[\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi -l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ddot{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi +l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\ddot{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{.}$ (3.19)

Функция $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ удовлетворяет условию (3.10) в точке $\xi \mathrm{<mo>=</mo>0}$. Следует отметить, что согласно (3.1) имеем

$\begin{array}{llllll}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & {\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & {\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill \\ {\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & {\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & {\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}\hfill \end{array}$ (3.20)

3.2. Сведение начальных, промежуточных и конечных условий к соответствующим условиям для неоднородного уравнения. Учитывая выражения (3.15), (3.16) для функции $W\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и условия согласования (3.20), из известных начальных (3.5), промежуточных (3.6)$–$(3.8) и конечных условий (3.9) получим соответствующие условия для функции $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Для задач граничного управления колебаниями смещением левого конца при закрепленном правом конце, т.е. для функции $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, получим следующие условия: начальные

$V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3.21)

промежуточные

$3V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (3.22)

$\frac{\partial V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (3.23)

$V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha -\mathrm{1,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}$ (3.24)

$\frac{\partial V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha \mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}$

конечные

$V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\frac{\partial V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}T}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (3.25)

Для задач граничного управления колебаниями смещением двух концов для функции $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ получим следующие условия: начальные

$\begin{array}{ll}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\left[\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{,}\hfill \\ \frac{\partial V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>0}}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\left[\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{,}\hfill \end{array}$ (3.26)

промежуточные

$3V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\left[\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (3.27)

$\frac{\partial V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\left[\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (3.28)

$V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\left[\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha -\mathrm{1,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}$ (3.29)

$\frac{\partial V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}{t}_j}\mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\left[\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha \mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}$

конечные

$\begin{array}{ll}V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\left[\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{,}\hfill \\ \frac{\partial V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\partial t}{\mathrm{<mo>|</mo>}}_{t\mathrm{<mo>=</mo>}T}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{1}{2l}\left[\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l+\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{.}\hfill \end{array}$ (3.30)

Итак, приходим к задачам управления колебаниями, моделируемыми уравнением (3.17) с однородными граничными условиями (3.12), которые формулируются следующим образом:

Задачи управления с нулевыми граничными условиями.

$1$. Смещение левого конца при закрепленном правом конце. Требуется найти такое граничное управление $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $0\le t\le T$, которое переводит колебание системы, описываемое уравнением (3.17), (3.18) с граничными условиями (3.12), из известного начального состояния (3.21) в конечное состояние (3.25), обеспечивая выполнение следующих промежуточных условий: A $—$ (3.22); B $—$ (3.23); C $—$ (3.24).

$2$. Смещение двух концов. Требуется найти такие граничные управления $\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\nu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $0\le t\le T$, которые переводят колебание системы, описываемое уравнением (3.17), (3.19) с граничными условиями (3.12), из известного начального состояния (3.26) в конечное состояние (3.30), обеспечивая выполнение следующих промежуточных условий: A $—$ (3.27); B $—$ (3.28); C $—$ (3.29).

Задачи оптимального управления с нулевыми граничными условиями.

$1$. Смещение левого конца при закрепленном правом конце. Требуется найти такое оптимальное граничное управление ${\mu }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $0\le t\le T$, которое переводит колебание системы, описываемое уравнением (3.17), (3.18) с граничными условиями (3.12), из известного начального состояния (3.21) в конечное состояние (3.25), обеспечивая выполнение следующих промежуточных условий: A $—$ (3.22); B $—$ (3.23); C $—$ (3.24), и которое минимизирует функционал (2.11).

$2$. Смещение двух концов. Требуется найти такие оптимальные граничные управления ${\mu }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\nu }^0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $0\le t\le T$, которые переводят колебание системы, описываемое уравнением (3.17), (3.19) с граничными условиями (3.12), из известного начального состояния (3.26) в конечное состояние (3.30), обеспечивая выполнение следующих промежуточных условий: A $—$ (3.27); B $—$ (3.28); C $—$ (3.29), и которые минимизируют функционал (2.12).

4. Решение задачи. Применение метода разделения переменных. Перейдем к выполнению шагов 2 и 3. Будем искать решение уравнения (3.17) в виде

$V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\displaystyle \sum _{k\mathrm{<mo>=</mo>1}}^{\infty }}{V}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin \frac{\pi k}{l}\xi \mathrm{.}$ (4.1)

Функции $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ представим в виде рядов Фурье в базисе $\mathrm{<mo>\{</mo>}\sin \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\pi k\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>/</mo>}l\mathrm{<mo>\}</mo>}$, $k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots$. Подставим далее их значения вместе с функцией $V\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ в уравнения (3.17)$–$(3.19) и в условия (3.21)$–$(3.30). В результате получим

${\ddot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\lambda }_k^2{V}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{F}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\lambda }_k^2\mathrm{<mo>=</mo>}{\left(\frac{a_2\pi k}{l}\right)}^2\mathrm{,}k\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}\dots \mathrm{,}$ (4.2)

$F_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}\ddot{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (4.3)

$F_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}\left[\ddot{\nu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k-1\right)-\ddot{\mu }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right]\mathrm{.}$ (4.4)

Для задач под номером 1 (смещение одного конца при закрепленном другом конце) начальные, промежуточные и конечные условия запишутся в виде

$2V_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (4.5)

$V_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (4.6)

${\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (4.7)

$\begin{array}{ll}\hfill & V_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha -\mathrm{1,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & {\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha \mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}\hfill \end{array}$ (4.8)

$V_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (4.9)

Здесь $F_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\phi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и ${\psi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ $—$ коэффициенты Фурье, соответствующие функциям $F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{,}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, ${\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и ${\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Для задач под номером 2 (смещение обоих концов) начальные, промежуточные и конечные условия запишутся в виде

$\begin{array}{ll}\hfill & V_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}\left[{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k-1\right)\right]\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & {\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}\left[{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k-1\right)\right]\mathrm{,}\hfill \end{array}$ (4.10)

$V_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}\left[{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k-1\right)\right]\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (4.11)

${\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}\left[{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k-1\right)\right]\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (4.12)

$\begin{array}{ll}\hfill & V_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}\left[{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k-1\right)\right]\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha -\mathrm{1,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & {\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}\left[{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k-1\right)\right]\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha \mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}\hfill \end{array}$ (4.13)

$\begin{array}{ll}\hfill & V_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\phi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}\left[{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k-1\right)\right]\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & {\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\psi }_k^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}-\frac{a_2}{{\lambda }_{k}l}\left[{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(\mathrm{2<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^k-1\right)\right]\mathrm{.}\hfill \end{array}$ (4.14)

Общее решение уравнения (4.2) имеет вид

$V_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{V}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_{k}t+\frac{1}{{\lambda }_k}{\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_{k}t+\frac{1}{{\lambda }_k}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}}{F}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{.}$ (4.15)

Учитывая начальные (4.5) (или (4.10)), промежуточные (4.6)$–$(4.8) (или (4.11)$–$(4.13)) и конечные (4.9) (или (4.14)) условия, из (4.15) получим, что функции $F_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ для каждого $k$ должны удовлетворять интегральным соотношениям в виде

${\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{F}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{C}}_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}{F}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{C}}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (4.16)

${\displaystyle \underset{0}{\overset{t_i}{\int }}}{F}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{C}}_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (4.17)

${\displaystyle \underset{0}{\overset{t_j}{\int }}}{F}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{C}}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (4.18)

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{t_i}{\int }}}{F}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{C}}_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha -\mathrm{1,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{t_j}{\int }}}{F}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{\tilde{C}}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha \mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,.}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}\end{array}$ (4.19)

где приняты обозначения

$\begin{array}{c}{\tilde{C}}_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\lambda }_k{V}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\lambda }_k{V}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_{k}T-{\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_{k}T\mathrm{,}\\ {\tilde{C}}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\lambda }_k{V}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_{k}T-{\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_{k}T\mathrm{,}\end{array}$ (4.20)

${\tilde{C}}_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\lambda }_k{V}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\lambda }_k{V}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_k{t}_i-{\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k{t}_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (4.21)

${\tilde{C}}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\lambda }_k{V}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k{t}_j-{\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_k{t}_j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$ (4.22)

$\begin{array}{c}{\tilde{C}}_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\lambda }_k{V}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\lambda }_k{V}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_k{t}_i-{\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k{t}_i\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha -\mathrm{1,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}\\ {\tilde{C}}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\lambda }_k{V}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k{t}_j-{\dot{V}}_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_k{t}_j\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha \mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,.}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{.}\end{array}$ (4.23)

Отметим, что задачам управления и оптимального управления с условиями A соответствуют интегральные соотношения (4.16), (4.17), задачам с условиями B $—$ соотношения (4.16), (4.18), а задачам с условиями C $—$ соотношения (4.16), (4.19). Приведем дальнейшее построение решения (шаг 3 схемы) для задач граничного управления колебаниями, выделяя построение смещением левого конца при закрепленном правом конце и смещением двух концов.

4.1. Построение решения задач граничного управления колебаниями смещением левого конца при закрепленном правом конце. Подставляя выражение функции $F_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ из (4.3) в соотношения (4.16)$–$(4.19) и интегрируя по частям с учетом условий согласования (2.13), получим из (4.16) следующие соотношения:

${\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{C}_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{C}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (4.24)

а из (4.17), (4.18) и (4.19) получим следующие соотношения:

${\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_{1k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{C}_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_{1k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{C}_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (4.25)

${\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_{2k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{C}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_{2k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{C}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_m\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (4.26)

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_{1k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{C}_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}i\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha -\mathrm{1,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{T}{\int }}}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}{h}_{2k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\tau \mathrm{<mo>=</mo>}{C}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}j\mathrm{<mo>=</mo>2}\alpha \mathrm{,}\alpha \mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}\frac{m}{2}\mathrm{,}\end{array}$ (4.27)

где

$C_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{{\lambda }_k^2}\left[\frac{{\lambda }_{k}l}{a_2}{\tilde{C}}_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+X_{1k}\right]\mathrm{,}{C}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{{\lambda }_k^2}\left[\frac{{\lambda }_{k}l}{a_2}{\tilde{C}}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}T\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+X_{2k}\right]\mathrm{,}$

$C_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{{\lambda }_k^2}\left[\frac{{\lambda }_{k}l}{a_2}{\tilde{C}}_{1k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+X_{1k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right]\mathrm{,}i\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{<mo>;</mo>}$

$C_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{{\lambda }_k^2}\left[\frac{{\lambda }_{k}l}{a_2}{\tilde{C}}_{2k}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+X_{2k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\right]\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,}\dots \mathrm{,}m\mathrm{,}$

а также

$\begin{array}{ll}{X}_{1k}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_k{\phi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_{k}T-{\lambda }_k{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_{k}T\mathrm{,}\hfill \\ X_{2k}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_T\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_{k}T+{\lambda }_k{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_{k}T\mathrm{,}\hfill \\ X_{1k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\lambda }_k{\phi }_i\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k{t}_i-{\lambda }_k{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_k{t}_i\mathrm{,}\hfill \\ X_{2k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\hfill & \mathrm{<mo>=</mo>}{\psi }_j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\psi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cos {\lambda }_k{t}_j+{\lambda }_k{\phi }_0\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-l\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\sin {\lambda }_k{t}_j\mathrm{,}\hfill \end{array}$ (4.28)

$h_{1k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}i\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llll}\hfill & \sin {\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_i-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill & 0\le \tau \le t_i\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \mathrm{0,}\hfill & \hfill & t_i\mathrm{<mo><</mo>}\tau \le T\mathrm{,}\hfill \end{array}\right.h_{2k}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{llll}\hfill & \cos {\lambda }_k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{t}_j-\tau \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\hfill & \hfill & 0\le \tau \le t_j\mathrm{,}\hfill \\ \hfill & \mathrm{0,}\hfill & \hfill & t_j\mathrm{<mo><</mo>}\tau \le T\mathrm{.}\hfill \end{array}\right.$ (4.29)