Классическое решение третьей смешанной задачи для телеграфного уравнения с нелинейным потенциалом

Полный текст

1. Введение. Строго говоря, все сплошные среды описываются нелинейными уравнениями. Выбор для описания среды линейных или нелинейных уравнений зависит от роли, которую играют нелинейные эффекты, и определяется конкретной физической ситуацией. Например, при описании распространения лазерных импульсов необходимо учитывать зависимость показателя преломления среды от интенсивности электромагнитного поля.

Линеаризация нелинейных уравнений математической физики не всегда ведёт к содержательному результату. Может оказаться, что линеаризация имеет смысл, но линейные уравнения сохраняют применимость лишь конечное время. Даже если линеаризация нелинейных уравнений математической физики возможна, с точки зрения физики исключительно важны <<существенно нелинейные>> решения, качественно отличающиеся от решений линейных уравнений. Такими могут быть стационарные решения солитонного типа, локализованные в одном или нескольких измерениях, или решения типа волновых коллапсов, описывающие самопроизвольную концентрацию энергии в небольших областях пространства (см. [12]).

Уравнения гиперболического типа занимают особое место среди нелинейных уравнений с частными производеыми второго порядка. <<Потеря одной производной>> при обращении гиперболического оператора второго порядка приводит к принципиальным трудностям при исследовании нелинейных гиперболических уравнений. Даже для создания локальной теории нелинейных гиперболических уравнений и систем потребовалось развитие специальной теории о неявных функциях в нелинейном функциональном анализе, так как классическая теорема о неявной функции из функционального анализа оказалась здесь неприменимой.

Для (существенно) квазилинейных гиперболических уравнений второго порядка с числом независимых переменных больше двух вопрос о разрешимости в целом не исследован даже для задачи Коши.

Разрешимость в некоторых классах функций в целом задачи Коши, а также некоторых краевых задач установлена для шикорого класса слабо нелинейных гиперболических уравнений вида

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_t^2-\Delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\partial }_{t}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\nabla u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\mathrm{<mo>></mo>0,}x\in \Omega \subseteq {ℝ}^n$

(см. [10]). Но в отличие от первой и второй смешанных задач, третьей смешанной задаче посвящено не так много работ, даже в случае достаточно хорошо изученного линейного волнового уравнения (см. [2, 18, 19, 24]), не говоря уже про нелинейные уравнения. Однако в ряде работ, посвященных третьей смешанной задаче для нелинейного уравнения (см., например [16, 20, 21, 23, 25]), строятся слабые решения, а не классические. Отметим работы [21] и [25], в первой из которых изучается задача управления для классического решения, а во второй $—$ третья смешанная задача в классе бесконечно дифференцируемых начальных данных.

Отметим также, что нелинейные уравнения трудно изучать: почти не существует общих методов, работающих для всех таких уравнений, и обычно каждое отдельное уравнение приходится изучать как отдельную задачу.

В данной статье, используя способ, предложенный ранее в [5, 6], и представляющий собой сочетание метода характеристик с методом последовательных приближений, мы строим решение третьей смешанной задачи для неоднородного гиперболического нелинейного уравнения второго порядка, доказываем единственность и непрерывную зависимость решения от начальных данных, а также выводим условия гладкости данных задачи и необходимые и достаточные условия согласования, при которых решение смешанной задачи будет классическим. При невыполнении однородных условий согласования строится задача с условиями сопряжения на характеристике, причем одно из которых, в отличие от первой смешанной задачи (см. [5, 6]), содержит некоторую произвольную постоянную, обеспечивающую наперед заданный разрыв решения. Это означает, что одной третьей смешанной задаче в обычной формулировке будет соответствовать бесконечное множество третьих смешанных задач с условиями сопряжения на характеристике. Но в каждом конкретном случае будет существовать единственное классическое решение. Если же в задаче присутствуют недостаточно гладкие функции, то строится обобщенное слабое решение. В случае нелипшицевой нелинейности отыскивается локальное решение и доказывается его единственность.

2. Постановка задачи. В области $Q\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ двух независимых переменных $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \overline{Q}\subset {ℝ}^2$ рассмотрим одномерное нелинейное уравнение

$\square u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (1)

где $\square \mathrm{<mo>=</mo>}{\partial }_t^2-a^2{\partial }_x^2$ $—$ оператор Д’Аламбера ( $a\mathrm{<mo>></mo>0}$ для определённости), $F$ $—$ функция, заданная на множестве $\overline{Q}$, а $f$ $—$ функция, заданная на множестве $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\times ℝ$ и удовлетворяющая условию типа Липшица$–$ Каратеодори по третьей переменной, т.е. существует измеримая функция $k$, заданная на множестве $\overline{Q}$, что

$\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}_1\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}{z}_2\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le k\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}{z}_1-z_2\mathrm{<mo>|</mo>}$ (2)

и такая, что ее вторая степень локально суммируема. К уравнению (1) присоединяются начальные условия

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}{\partial }_{t}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (3)

и граничное условие

${\partial }_{x}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (4)

где $\phi$, $\psi$, $\mu$ и $\beta$ $—$ функции, заданные на полуоси $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

3. Интегральное уравнение. Область $Q$ характеристикой $x-at\mathrm{<mo>=</mo>0}$ разделим на две подобласти $Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo><mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}at-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>></mo>0<mo>\}</mo>}$, $j\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$.

[x = 0.5cm, y = 0.5cm] [->,line width=1.16pt] (0,0) $–$ (0,6) node[anchor=north west] $t$; [->,line width=1.16pt] (0,0) $–$ (6,0) node[anchor=north west] $x$; [line width=1.16pt,dash pattern=on 7.5pt off 6pt] (0,0) $–$ (6,6); (2.6,2.2) node[anchor=north west] $Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$; (1.4,5.5) node[anchor=north west] $Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$; (-0.6,0.0) node[anchor=north west] $O$; [<-,line width=1.16pt,dotted] (4,4) $–$ (7.2,4.0) node[anchor=west] $x-at\mathrm{<mo>=</mo>0}$;

Figure 1: Разделение области $Q$ характеристикой $x-at\mathrm{<mo>=</mo>0}$ на две подобласти $Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$.

В замыкании $\overline{Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}$ каждой из подобластей $Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ рассмотрим интегральные уравнения

$u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-$

$-\frac{1}{4a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x-at}{\int }}}dy{\displaystyle \underset{{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\mathrm{1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^j\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}at-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{\overset{x+at}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}F\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)+f\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dz\mathrm{,}$

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \overline{Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,2,}$ (5)

где $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ $—$ некоторые функции, первые две из которых заданы на множестве $\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, а последняя $—$ на $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo>}$.

Определим на замыкании $\overline{Q}$ области $Q$ функцию $u$ как совпадающую на замыкании $\overline{Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}$ области $Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ с решением $u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ интегрального уравнения (5):

$u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \overline{Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}j\mathrm{<mo>=</mo>1,2.}$ (6)

Лемма 3.1. Пусть выполняются условия $f\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\times ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $F\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Функция $u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ принадлежит классу $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и удовлетворяет уравнению (1) в $\overline{Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}$ тогда и только тогда, когда она является непрерывным решением уравнения (5) при $j\mathrm{<mo>=</mo>1}$, функции $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ в котором из класса $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Лемма 3.2. Пусть выполняются условия $f\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\times ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $F\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Функция $u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ принадлежит классу $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и удовлетворяет уравнению (1) в $\overline{Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}$ тогда и только тогда, когда она является непрерывным решением уравнения (5), $j\mathrm{<mo>=</mo>2}$, функции $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ в котором из классов $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ соответственно.

Теорема 3.1. Пусть выполняются условия $f\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\times ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $F\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Функция $u$ принадлежит классу $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и удовлетворят уравнению (1) тогда и только тогда, когда она для каждого $j\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$ является непрерывным решением уравнения (5), функции $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ в котором из классов $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}-\infty \mathrm{,0<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ соответственно и выполняются условия согласования

$\begin{array}{c}{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}D{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-D{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}\\ D^2{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-D^2{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{a^2}\left(F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0,}{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>0.}\end{array}$ (7)

Доказательство лемм 3.1, 3.2 и теоремы 3.1 представлено в [6].

Теорема 3.2. Пусть $F\in L_1^{loc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $f\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\times ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, функция $f$ удовлетворяет условию типа Липшица$–$ Каратеодори по третьей переменной, т.е. существует такая функция $k\in L_2^{loc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что выполняется неравенство (2), и заданы непрерывные функции $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$, $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Тогда решения уравнений (5) существуют, единственны и непрерывно зависят от исходных данных.

Замечание 3.1. В теореме 3.1 вместо условия $f\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\times ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ можно потребовать выполнение трех условий:

(i) функция $f_1:\overline{Q}\ni \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\mapsto f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in ℝ$ измерима при любом фиксированном $z\in ℝ$;

(ii) функция $f_2:ℝ\ni z\mapsto f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in ℝ$ непрерывна на множестве $ℝ$ для при почти любой фиксированной точки $\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \overline{Q}$;

(iii) верно неравенство $\mathrm{<mo>|</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{,}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>|</mo>}\le \alpha \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\beta \mathrm{<mo>|</mo>}z\mathrm{<mo>|</mo>}$, где $\alpha \in L_1^{loc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\beta \in ℝ$.

Доказательства теоремы 3.2 и замечания 3.1 представлены в [5].

4. Построение решения смешанной задачи. Функции $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ определяем из условий Коши (3). Подставляя соотношение (5) при $j\mathrm{<mo>=</mo>1}$ в условия (3) получим систему уравнений относительно функций $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$:

$u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\ge \mathrm{0,}$

${\partial }_t{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-aD{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+aD{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-$

$-\frac{1}{2a}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\left(\frac{x-y}{2a}\mathrm{,}\frac{x+y}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{x-y}{2a}\mathrm{,}\frac{x+y}{2}\right)\right)+F\left(\frac{x-y}{2a}\mathrm{,}\frac{x+y}{2}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dy\mathrm{,}x\ge 0.$

Проинтегрировав второе уравнение от $0$ до $x$, получим

$g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}x\ge \mathrm{0,}$

$-g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{a}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dz+\frac{1}{2a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}dz{\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}F\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)+$

$+f\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dy+2C\mathrm{,}x\ge 0.$

Отсюда

$g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2}-\frac{1}{2a}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dz-C-$

$-\frac{1}{4a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}dz{\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}F\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)+f\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dy\mathrm{,}x\ge \mathrm{0,}$

$g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2}+\frac{1}{2a}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dz+C+$

$+\frac{1}{4a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}dz{\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}F\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)+f\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dy\mathrm{,}x\ge \mathrm{0,}$ (8)

где $C$ $—$ произвольная константа из множества действительных чисел. Функцию $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ определяем из граничного условия (4). Подставляя соотношение (5) при $j\mathrm{<mo>=</mo>2}$ в условия (4) получим уравнение

$-\frac{1}{2a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{-at}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{at-y}{2a}\mathrm{,}\frac{at+y}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{at-y}{2a}\mathrm{,}\frac{at+y}{2}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+F\left(\frac{at-y}{2a}\mathrm{,}\frac{at+y}{2}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dy+$

$+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+D{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+D{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}t\ge \mathrm{0,}$

относительно функции $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$. Сделав замену $t\mathrm{<mo>=</mo>}-z\mathrm{<mo>/</mo>}a$, получим обыкновенное дифференциальное уравнение для отыскания функции $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ 

$-\frac{1}{2a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{-y-z}{2a}\mathrm{,}\frac{y-z}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{-y-z}{2a}\mathrm{,}\frac{y-z}{2}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+F\left(\frac{-y-z}{2a}\mathrm{,}\frac{y-z}{2}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dy+$

$+\beta \left(-\frac{z}{a}\right)\left(g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)+D{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+D{g}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\mu \left(-\frac{z}{a}\right)\mathrm{,}z\le 0.$ (9)

Уравнения (9) относительно $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ вместе с первым условием (7) рассматриваем как задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Решая эту задачу, получим:

$g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\exp \left(-{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\beta \left(-\frac{\xi }{a}\right)d\xi \right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2}-C+{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\exp \left({\displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}}\beta \left(-\frac{\theta }{a}\right)d\theta \right)\mathrm{<mo>\{</mo>}\mu \left(\frac{\xi }{a}\right)-$

$-\frac{1}{4a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{-\xi }{\int }}}\left[f\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\right)\right)+F\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\right)\right]dy-$

$-\beta \left(-\frac{\xi }{a}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}C+\frac{1}{4a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{-\xi }{\int }}}dz{\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}}\left[f\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{y+z}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{y+z}{2}\right)\right)+F\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{y+z}{2}\right)\right]dy+$

$+\frac{1}{2a}{\displaystyle \underset{0}{\overset{-\xi }{\int }}}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dz+\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2a}-\frac{{\phi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2}+$

$+\frac{1}{2a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}}\left[f\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\right)\right)+F\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\right)\right]dy\mathrm{<mo>\}</mo>}d\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Заметим, что, поскольку,

$\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\beta \left(-\frac{\xi }{a}\right)d\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(-C-{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}C\beta \left(-\frac{\xi }{a}\right)\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}}\beta \left(-\frac{\theta }{a}\right)d\theta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \right)\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-C\exp \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\beta \left(-\frac{\xi }{a}\right)d\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\left(1+{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\frac{\partial }{\partial \xi }\left[\exp \left({\displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}}\beta \left(-\frac{\theta }{a}\right)d\theta \right)\right]d\xi \right)\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-C\exp \left(-{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\beta \left(-\frac{\xi }{a}\right)d\xi \right)\left(1+\exp \left({\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\beta \left(-\frac{\theta }{a}\right)d\theta \right)-1\right)\mathrm{<mo>=</mo>}-C\mathrm{,}$

и

${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\exp \left({\displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}}\beta \left(-\frac{\theta }{a}\right)d\theta \right){\phi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{<mo>=</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\exp \left({\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\beta \left(-\frac{\theta }{a}\right)d\theta \right)+$

$+{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\exp \left({\displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}}\beta \left(-\frac{\theta }{a}\right)d\theta \right)\beta \left(-\frac{\xi }{a}\right)\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}d\xi \mathrm{,}$

то функция $g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ может быть представлена в виде

$g^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1,2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}-C+\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2}+\exp \left(-{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\beta \left(-\frac{\xi }{a}\right)d\xi \right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{\int }}}\exp \left({\displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}}\beta \left(-\frac{\theta }{a}\right)d\theta \right)\mathrm{<mo>\{</mo>}\mu \left(\frac{\xi }{a}\right)-$

$-\frac{1}{4a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{-\xi }{\int }}}\left[f\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\right)\right)+F\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\right)\right]dy-$

$-\beta \left(-\frac{\xi }{a}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{1}{4a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{-\xi }{\int }}}dz{\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}}\left[f\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{y+z}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{y+z}{2}\right)\right)+F\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{y+z}{2}\right)\right]dy+$

$+\frac{1}{2a}{\displaystyle \underset{0}{\overset{-\xi }{\int }}}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dz+\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2a}+$

$+\frac{1}{2a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}}\left[f\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\right)\right)+F\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\right)\right]dy\mathrm{<mo>\}</mo>}d\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$ (10)

Подставив формулы (8) и (10) в исходные интегральные уравнения (5), получим

$u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{K}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x-at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2}+\frac{1}{2a}{\displaystyle \underset{x-at}{\overset{x+at}{\int }}}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dz+$

$+\frac{1}{4a^2}{\displaystyle \underset{x-at}{\overset{x+at}{\int }}}dz{\displaystyle \underset{x-at}{\overset{z}{\int }}}\left[F\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)+f\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)\right)\right]dy\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \overline{Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{,}$

$u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{K}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\exp \left(-{\displaystyle \underset{0}{\overset{x-at}{\int }}}\beta \left(-\frac{\xi }{a}\right)d\xi \right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x-at}{\int }}}\exp \left({\displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}}\beta \left(-\frac{\theta }{a}\right)d\theta \right)\times$

$\times \mathrm{<mo>\{</mo>}\mu \left(\frac{\xi }{a}\right)-\frac{1}{4a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{-\xi }{\int }}}\left[f\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\right)\right)+F\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\right)\right]dy-$

$-\beta \left(-\frac{\xi }{a}\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\frac{1}{4a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{-\xi }{\int }}}dz{\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}}\left[f\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{y+z}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{y+z}{2}\right)\right)+F\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{y+z}{2}\right)\right]dy+$

$+\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2a}{\displaystyle \underset{0}{\overset{-\xi }{\int }}}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dz\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\frac{\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}-\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2a}+$

$+\frac{1}{2a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\xi }{\int }}}\left[f\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\right)\right)+F\left(\frac{-\xi -y}{2a}\mathrm{,}\frac{y-\xi }{2}\right)\right]dy\mathrm{<mo>\}</mo>}d\xi \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\frac{\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}x+at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}at-x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}{2}+\frac{1}{2a}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x+at}{\int }}}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}z\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}dz+$

$+\frac{1}{4a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x+at}{\int }}}dz{\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}F\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)+f\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}dy-$

$-\frac{1}{4a^2}{\displaystyle \underset{0}{\overset{x-at}{\int }}}dy{\displaystyle \underset{at-x}{\overset{x+at}{\int }}}\left[F\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)+f\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\left(\frac{z-y}{2a}\mathrm{,}\frac{z+y}{2}\right)\right)\right]dz\mathrm{,}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in \overline{Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{.}$ (11)

Лемма 4.1. Пусть выполняются условия $f\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\times ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $F\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\phi \in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mu \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\beta \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и функция $f$ удовлетворяет условию типа Липшица$–$ Каратеодори по третьей переменной, т.е. существует такая функция $k\in L_2^{loc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что выполняется неравенство (2). Тогда решения $u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ ( $j\mathrm{<mo>=</mo>1,2}$ ) уравнений (11) существуют, единственны в классе $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}j\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и непрерывно зависят от функций $\phi$, $\psi$ и $\mu$.

Лемма 4.1 доказывается аналогично теореме 3.2.

Таким образом, построено кусочно гладкое решение задачи (1) $—$ (4), которое определятся формулами (11) и (6).

5. Анализ решения смешанной задачи. Чтобы функция $u$ принадлежала множеству $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, кроме требований гладкости для функций $f$, $F$, необходимо и достаточно выполнение равенств (7), согласно теореме 3.1. Вычисляя величины, которые входят в выражения (7), получаем следующие условия согласования

$\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\phi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>0,}$ (12)

$f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0,}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+F\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+a\left(\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\beta }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\mu }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\psi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\right)\mathrm{<mo>=</mo>0.}$ (13)

Результат сформулируем в виде теоремы.

Теорема 5.1. Пусть выполняются условия $f\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\times ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $F\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\phi \in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mu \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\beta \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и функция $f$ удовлетворяет условию типа Липшица$–$ Каратеодори по третьей переменной, т.е. существует такая функция $k\in L_2^{loc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что выполняется неравенство (2). Третья смешанная задача (1)$–$(4) имеет единственное решение $u$, определенное формулами (6) и (11), из класса $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ тогда и только тогда, когда выполняются условия (12) и (13).

Доказательство теоремы 5.1 вытекает из теоремы 3.1, леммы 4.1 и проведенных выше рассуждений.

6. Неоднородные условия согласования. Теперь, подобно тому как это было сделано в [3–6, 8, 9, 11], рассмотрим задачу (1)$–$(4) вЁслучае, когда условия согласования (12) и (13) частично или полностью не выполняются. Но в отличие от первой смешанной задачи в третьей смешанной задаче условия согласования можно задать таким образом, что решение будет иметь произвольный наперед заданный разрыв на характеристике $x-at\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Согласно теореме 3.1 присутствие неоднородных условий согласования нарушает непрерывность частных производных функции $u$. Данное заключение можно сформулировать в виде следующего утверждения.

Утверждение 6.1. Если для заданных функций $\mu$, $\phi$, $\psi$ не выполняются однородные условия согласования (12) и (13), то какими бы гладкими ни были функции $f$, $F$, $\beta$, $\mu$, $\phi$ и $\psi$, задача (1)$–$(4) не имеет классического решения, определенного на $\overline{Q}$.

Доказательство утверждения вытекает из теоремы 3.1.

Пусть заданные функции уравнения (1), граничных условий (3), (4) являются достаточно гладкими и такими, как в теореме 5.1: $f\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\times ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $F\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\phi \in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mu \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и $\beta \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$. Так как условия согласования (12) и (13), вообще говоря, не выполнены, то получим разрывными производные функции $u$ согласно следующим выражениям:

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo>=</mo>}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{C}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}$

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_{t}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_{t}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo>=</mo>}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_{x}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_{x}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo>=</mo>}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\phi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\frac{1}{4a}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2at}{\int }}}\left[f\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\right)\right)-f\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\right)\right)\right]dz\mathrm{,}$

$\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_t^{2}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_t^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo>=</mo>}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-$

$-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}a\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-\mu \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\phi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+\phi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}{\beta }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\beta \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}\psi \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}-{\mu }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo>}+{\psi }^{\prime }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}+$

$+\frac{1}{8a}{\displaystyle \underset{0}{\overset{2at}{\int }}}\mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>}\left({\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_{t}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\right)-a{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_{x}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\right)\right){\partial }_{y}f\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\mathrm{,}y\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\right)\right)-$

$-a{\partial }_{x}f\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\right)\right)+{\partial }_{t}f\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\right)\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo>}-$

$-\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}\left({\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_{t}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\right)-a{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_{x}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\right)\right){\partial }_{y}f\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\mathrm{,}y\mathrm{<mo>=</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\right)\right)-$

$-a{\partial }_{x}f\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\right)\right)+{\partial }_{t}f\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\left(\frac{z}{2a}\mathrm{,}\frac{z}{2}\right)\right)\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo>\}</mo>}dz\mathrm{<mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}{a}^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_x^{2}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_x^{2}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo>=</mo>}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}$

$\mathrm{<mo>=</mo>}-a\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_t{\partial }_{x}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}-{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_t{\partial }_{x}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo>=</mo>}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}+\frac{1}{2}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{+}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}-f\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\mathrm{,<mo\; stretchy="false">(</mo>}u{\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{-}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>,}$ (14)

где $C^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0}$. В дальнейшем при рассмотрении задачи с условиями сопряжения будем полагать, что $C^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ $—$ некоторая произвольная наперед заданная константа из множества действительных чисел, вообще говоря, не обязательно равная нулю. Здесь было использовано обозначение ${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\pm }$ $—$ предельные значения функции $u$ и ее частных производных с разных сторон на характеристике $x-at\mathrm{<mo>=</mo>0}$, т.е.

${\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}{\partial }_t^{p}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}}^{\pm }\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo>=</mo>}at\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\underset{\delta \to 0+}{{\displaystyle \lim }}{\partial }_t^{p}u\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}at\pm \delta \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>.}$

Введем обозначение $\tilde{Q}\mathrm{<mo>=</mo>}\overline{Q}\backslash \mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|x-at\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$. Справедлива следующая теорема.

Теорема 6.1. Пусть выполняются условия $f\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\times ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $F\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\phi \in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mu \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\beta \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и функция $f$ удовлетворяет условию типа Липшица$–$ Каратеодори по третьей переменной, т.е. существует такая функция $k\in L_2^{loc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что выполняется неравенство (2). Третья смешанная задача (1)$–$(4) имеет единственное решение $\tilde{u}$ из класса $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, которое представляется в виде

$\tilde{u}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}\left\{\begin{array}{cc}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{K}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>,}& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\cup \mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>0,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|x\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>,}\\ u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>=</mo>}{K}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">[</mo>}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}{u}^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo\; stretchy="false">]</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}-C^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{,}& \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\in Q^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\cup \mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,0<mo\; stretchy="false">)</mo>}|t\in \mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo>\}</mo>,}\end{array}\right.$ (15)

где функции $u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ и $u^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>2<mo\; stretchy="false">)</mo>}}$ заданы формулой (11), тогда и только тогда, когда выполняются условия (14).

Для доказательства теоремы 6.1 следует повторить рассуждения, которые ранее привели нас к теореме 5.1.

Теорема 6.2. Пусть выполняются условия $f\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\times ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $F\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\phi \in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mu \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\beta \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и функция $f$ удовлетворяет условию типа Липшица$–$ Каратеодори по третьей переменной, т.е. существует такая функция $k\in L_2^{loc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что выполняется неравенство (2). Третья смешанная задача (1)$–$(4) имеет единственное решение $\tilde{u}$, определенное формулой (15), из класса $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ тогда и только тогда, когда выполняются условия (14) и $C^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

Доказательство. Теорема 6.2 следует фактически из теоремы 6.1 и формул (14). Действительно, если $C^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0}$, то решение $\tilde{u}$ на множестве $\mathrm{<mo>\{</mo><mo\; stretchy="false">(</mo>}t\mathrm{,}x\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}|x-at\mathrm{<mo>=</mo>0<mo>\}</mo>}$ является непрерывным в силу (14). Следовательно, кроме того, что решение $\tilde{u}\in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, оно является непрерывной функцией на замыкании $\overline{Q}$, $\tilde{u}\in C\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$.

Теорема 6.3. Пусть выполняются условия $f\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\times ℝ\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $F\in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\phi \in C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\psi \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\mu \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$, $\beta \in C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo><mo\; stretchy="false">[</mo>0,}\infty \mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo><mo\; stretchy="false">)</mo>}$ и функция $f$ удовлетворяет условию типа Липшица$–$ Каратеодори по третьей переменной, т.е. существует такая функция $k\in L_2^{loc}\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$, что выполняется неравенство (2). Третья смешанная задача (1)$–$(4) имеет единственное решение $\tilde{u}$, определенное формулой (15), из класса $C^2\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\tilde{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}\cap C^1\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>}\overline{Q}\mathrm{<mo\; stretchy="false">)</mo>}$ тогда и только тогда, когда выполняются условия (14), $C^{\mathrm{<mo\; stretchy="false">(</mo>1<mo\; stretchy="false">)</mo>}}\mathrm{<mo>=</mo>0}$ и (12).

Доказательство. Теорема 6.3 легко следует из теорем 6.1, 6.2 и формул (14), так как в этом случае $\tilde{u}$ является непрерывным на множестве $\overline{Q}$, но в силу (14) имеет непрерывные производные первого порядка.

Замечание 6.1. Если заданные функции задачи (1)$–$(4) не удовлетворяют однородным условиям согласования (12) и (13), то решение задачи (1)$–$(4) сводится к решению соответствующей задачи сопряжения, где условия сопряжения задаются на характеристике $x-at\mathrm{<mo>=</mo>0}$.

В качестве условий сопряжения могут быть условия (14). Теперь задачу (1)$–$(4) можно сформулировать, используя условия сопряжения (14) следующим образом.

Задача (1)$–$(4) с условиями сопряжения на характеристиках.

Найти классическое решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям Коши (3), граничным условиям (4), условиям сопряжения (14).

Заметим, что такая формулировка рассмотренной задачи с условиями сопряжения более приемлема для ее численной реализации.

7. Слабое решение. Рассмотрим теперь задачу (1)$–$(4) в случае, когда функции $\beta$, $f$, $F$, $\mu$, $\phi$ и $\psi$ не обладают достаточной степенью гладкости.

Определение 1. Функцию $u$, представимую в виде (6), (11) назовем слабым решение задачи (1)$–$(4).

Замечание 7.1. Любое классическое решение задачи (1)$–$(4) является также слабым решением этой задачи.

Справедлива следующая теорема.